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选修二培优讲义
2026年新高二《选修二》同步培优讲义
目录：
第 1讲：数列概念与基本性质 2
第 2讲：等差数列及基本性质 27
第 3讲：等比数列及基本性质 65
第 4讲：数列的递推与通项公式 103
第 5讲：数列的求和问题 142
第 6讲：数列的绝对值、奇偶项、插项、公共项、取整、存在项问题 169
第 7讲：数列与不等式及数学归纳法的应用 200
第 8讲：数列中的新文化、新定义问题 224
第 9讲：导数的概念、运算及几何意义 264
第 10讲：导数与函数的单调性 281
第 11讲：三次函数的图象和性质 314
第 12讲：利用二阶导函数解决函数问题 331
第 13讲：导数与函数的极值、最值 361
第 14讲：利用导数证明不等式 396
第 15讲：利用导数研究恒成立与能成立 (有解)问题 419
第 16讲：端点效应 442
第 17讲：洛必达法则 456
第 18讲：函数的零点问题及方程的根 468
第 19讲：卡根思想在导数中的应用 510
第 20讲:利用导数研究双变量问题 529
第 21讲：构造函数及不等式放缩 548
第 22讲：泰勒展开式及相关不等式放缩 564
第 23讲：导数中的隐零点问题 579
第 24讲：几类极值点偏移问题 598
第 25讲：拉格朗日中值定理 641
第 26讲：新高考下的导数常考问题 665
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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选修二培优讲义
第 1讲：数列概念与基本性质
题型一：数列的递推公式问题
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an
称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是 ( )
A. a7= 8 B. a8= 22 C. a9= 34 D. a10= 59
【答案】C
【解析】由题意得 an= an-1+ an-2，n≥ 3，所以 a6= a5+ a4= 5+ 3= 8，a7= a6+ a5= 8+ 5= 13，
a8= a7+ a6= 13+ 8= 21，a9= a8+ a7= 21+ 13= 34,a10= a9+ a8= 34+ 21= 55，故选：C
2．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金
属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只
能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放
在较小的金属片上面．将 n个金属片从 1号针移动到 3号针最少需要移
动的次数记为 f n ，则 f 2020 = ( )
A. 22020 B. 22021 C. 22020- 1 D. 22021- 1
【答案】C
【解析】将第 n+1 个金属片从 1号针移动到 3号针，需先将前 n个金属片移到 2号针，需移动 f n 次，
然后移动 1号针的第 n+1 个金属片至 3号针，需移动一次，
最后将 2号针的n个金属片移到 3号针，需 f n 次，则 f n+1 = 2f n + 1
a +1
令 an= f n ，结合则可得 f 1 = 1，则 an+1= 2an+ 1，a n+11= 1，即 an+1+ 1= 2 an+1 an+1
= 2，
则 an+1 为以 2为首项，公比为 2的等比数列，则 an+ 1= 2n an= 2n- 1，故 f 2020 = a 20202020= 2 - 1，
故选：C
3．一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的
两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房A只能爬到 1号或 2号蜂房，从
1号蜂房只能爬到 2号或 3号蜂房， ，以此类推，用 an表示蜜
蜂爬到n号蜂房的方法数，则 a2025被 7除的余数为 ( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】当 n≥ 3且n∈N 时，蜜蜂到达第 n号蜂房，可以从第 n- 1号蜂房到达第 n号蜂房，
也可从第 n- 2号蜂房到达第 n号蜂房，所以，an= an-1+ a n∈N *n-2 ,n≥3 ，且 a1= 1，a2= 2，
所以 a3= 3，a4= 5，a5= 8，a6= 13，a7= 21，a8= 34，a9= 55，a10= 89，a11= 144，a12= 233，a13= 377，
a14= 610，a15= 987，a16= 1597，a17= 2584，a18= 4181，a19= 6765， ，
所以， an 中每项除 7的余数依次为：1、2、3、5、1、6、0、6、6、5、4、2、6、1、0、1、1、2、3、 ，
发现余数的周期是 16，而 2025= 16× 126+ 9，因此，a2025被 7除的余数为 6，故选：D.
4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来
研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多
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类，如图的 1,5,12,22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作 an ，则下列是数列 an 的
项的是 ( )
A. 36 B. 50 C. 70 D. 91
【答案】C
【解析】由已知得 a1= 1,a2= 5= a1+ 4= a1+ 3× 2- 2，a3= 12= a2+ 7= a2+ 3× 3- 2，
a4= 22= a3+ 10= a3+ 3× 4- 2， ，所以 an= an-1+ 3n- 2,n≥ 2，
所以 a5= a4+ 13= 35，a6= a5+ 16= 51，a7= a6+ 19= 70，a8= a7+ 22= 92，故选：C
5 1 - 1 1 - 1．数列 2 ， 4 ，8 ， 16 ， 的第n项 an与第n+ 1项 an+1的关系是 ( )
A. an+1= 2an B. an+1=-2a C. a = 1 a D. a =- 1n n+1 2 n n+1 2 an
【答案】D
- 1 1 - 11 1 1 1
【解析】因为 41 =- ,
8 =- 162 1 2 , 1 =- 2 , ，所以 an+1=- 2 an，故选：D
2 4 8
6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几
何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为
“大自然的几何学”，按照如图 1所示的分形规律，可得如图
2所示的一个树形图，若记图 2中第n行黑圈的个数为 an，
白圈的个数为 bn，则下列结论错误的是 ( )
A. a4= 8 B. b5= 13 C. an+1= 2an+ bn D. bn+1= 2an- bn
【答案】D
【解析】已知 an表示第n行中的黑圈个数，设 bn表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈 2个黑圈，
∴ an+1= 2an+ bn，bn+1= an+ bn，故C正确，D错误；
又∵ a1= 0，b1= 1，所以 a2= 1，b2= 1，a3= 2× 1+ 1= 3，b3= 1+ 1= 2，a4= 2× 3+ 2= 8，
b4= 3+ 2= 5，a5= 2× 8+ 5= 21，b5= 8+ 5= 13，故A、B正确，故选：D
题型二：数列的单调性
4-a x-5, x≤8
1．设函数 f x = - ，数列 an 满足 an= f n ，且数列 a 是递增数列，则ax 8 , > n x 8
a的范围是 ( )
A. 1,4 B. 3,4 C. 13 13 4 ,3 D. 4 ,4
【答案】B
【解析】∵数列 an 是递增数列，∴当n∈ -∞,8 时，f n = 4-a n- 5单调递增，即 4- a> 0，则 a< 4，
当n∈ 8,+∞ 时，f n = an-8单调递增，则 a> 1，
又 a 9-89> a8，即 a > 4-a × 8- 5，则 a> 27- 8a，则 a> 3，∴ a∈ 3,4 ，故选：B
2．已知数列 an 满足 a1= 2,an+1= 2an+ 2，设 bn= n-λ log2 an+2 ，λ∈R，若数列 bn 是
递增数列，则实数 λ的取值范围是 ( )
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 4
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A. -∞,3 B. 4,+∞ C. 3,+∞ D. -∞,4
【答案】D
【解析】an+1= 2an+ 2，所以 an+1+ 2= 2 an+2 ，故 an+2 是以 a1+ 2= 4为首项、2为公比的等比数列，
所以 an+ 2= 4× 2n-1，所以 bn= n-λ log2 a +2 = n-λ n+1 =n2n + 1-λ n- λ，
若数列 bn 是递增数列，则 bn+1> bn恒成立，故 bn+1- bn= n+1 2 + 1-λ n+1 - λ- n2+ 1-λ n-λ
= 2n+ 1+ 1- λ= 2n+ 2- λ> 0恒成立，所以 λ< 2n+ 2恒成立，
所以 λ< 2n+2 min= 4，所以实数 λ的取值范围是 -∞,4 ，故选：D
3．数列 an 通项为 a 2 *n=n - kn n∈N ，且 an 为单调递增数列，则 k的取值范围 ( )
A. -∞,2 B. -∞,3 C. -∞,2 D. -∞,3
【答案】B
【解析】由数列 an 是递增的，则 an+1> an对n∈N *恒成立，即 n+1 2 - k n+1 >n2- kn，整理得 k< 2n
+ 1，对n∈N *恒成立，因函数 f n = 2n+ 1在n∈N *时单调递增，则得 k< f 1 = 3，故选：B
3-a x-3, x≤7
4．已知函数 f x = - ，若数列 a 满足 a = f n (n∈N )且 a 是递增ax 6 n n + n , x>7
数列，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 9 ,3 B. 94 4 ,3 C. (2,3) D. [2,3)
【答案】C
【解析】因为数列 an 是单调递增数列，则函数 f(x) = ax-6在 (7, +∞)上为增函数，可得 a> 1，
函数 f(x) = (3- a)x- 3在 1,7 上为增函数，可得 3- a> 0，可得 a< 3，且有 a7< a8，
即 7(3- a) - 3= 18- 7a< a8-6，即 a2+ 7a- 18> 0，解得 a<-9或 a> 2，综上所述，2< a< 3，故选：C
5．已知数列 an 满足 2an+1an+ an+1- 3an= 0，且 a1> 0，若数列 an 为递增数列，则 a1的取
值范围是 ( )
A. 0, 1 13 B. 0, 2 C. (0,1) D. 1,2
【答案】C
3a
【解析】由数列 an 为递增数列，a1> 0，得 an≥ a1> 0，由 2a nn+1an+ an+1- 3an= 0得 an+1= 2a +1 ，n
1 2a
即 = n+1 = 1 1 + 2 1 1 1a 3a 3 a 3 ，因此 a - 1= n+1 n n n+1 3 a -1 ，n
1 -1 1 - 1 1 1 1 1 n-1数列 a 是以 a 为首项，3 为公比的等比数列，a - 1= a -1 ，n 1 n 1 3
1 1 1
整理得 an= - ，而 an+1> an> 0，则 > > 0，n 1 n n-1
1+ 1a -1 1 1+1 3
1
a -1 1 1+1 3
1 1
a -1 1 3
1 -1 1整理得 a 3 <
1
a - 1
1
，因此 a - 1> 0，解得 0< a1< 1，所以 a1的取值范围是 (0,1)，故选：C1 1 1
6．已知 an 为无穷数列，若 an+1 是递增数列， an-3 是递减数列，则 ( )
A. n∈N *，a *n≤ 3 B. n∈N ，an≥-1
C. n∈N *，a *n> 3 D. n∈N ，an<-1
【答案】A
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【解析】由题意得 {(an+ 1)2}是递增数列，{(a 2n- 3) }是递减数列，
(a
2 2
则 n+1
+1) -(an+1) =(an+1-an)(an+1+an+2)>0
( 2 2 ，an+1-3) -(an-3) =(an+1-an)(an+1+an-6)<0
两式相乘得 (an+1- a 2n) (an+1+ an+ 2) (an+1+ an- 6)< 0，
由于 (a - a )2n+1 n > 0，则-2< an+1+ an< 6，则 an+1+ an+ 2> 0，an+1+ an- 6< 0，所以 an+1- an> 0；
若 n∈N *，an> 3，则 an+ an+1> 2an> 6，矛盾，所以 n∈N *，an≤ 3，故A正确，C错误；
a = 3- 9 |a + 1| = 1 n≥ 2 |a + 1| = 4- 9 7 1若 n n ，则 1 2 ， 时， n n ， a2 2 2
+1 = 4 > 2 ，
符合 an+1 是递增数列，|an- 3| = 9 a -3 3n ，符合 n 是递减数列，此时 a2 1
=- 2 <-1；
若 an= 3- 8n ，同样符合题意，但 an≥ a1=-1；所以B、D错误；故选：A2
题型三：最值问题
1 1 n．数列 an 的前n项和为 1- n ， b
*
n 的前n项和为 n+1 ，n∈N ，则数列 an-bn ( )2
A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项
C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项
【答案】A
【解析】设数列 an 的前n项和为Sn， b
1 n
n 的前n项和为T *n，则Sn= 1- n ，Tn= n+1 ,n∈N ，2
当n= 1时 a1=S = 1- 1 = 11 1 2 ，当n≥ 2时 an=S -S = 1-
1
2 n n-1 2n - 1-
1 1 1 1
2n-1 =- 2n + 2n-1 = 2n ，
n= 1 1 n n-1 1 1经验证， 时成立，所以 an= n ，同理可求得 b2 n
= n+1 - n = 2 ，b1= 2 适合；n +n
1 1
所以 an- bn= n - 2 ，令 c = a - b =
1 - 1 ，
2 n +n n n n 2n n2+n
又 c1= a1- b = 11 1 -
1
2 = 0，c2= a2- b =
1 1
2 - = 1 ，c = a - b = 1 - 1 = 1 ，2 1 +1 22 22+2 12 3 3 3 23 32+3 24
c4= a - b =
1 - 1 = 1 1 1 14 4 24 42+4 80
，c5= a5- b5= 5 - 2 =-2 5 +5 480
，
1 1
当n→+∞时， n → 0， 2 → 0，所以 cn→ 0，且n≥ 5时，c < 0，2 n +n n
c - c = a -b - a -b 1 1 1 1则 n+1 n n+1 n+1 n n = 2n+1 - - - n+1 2 + n+1 2n n2+n
=- 1 2n+1 + ，所以当n= 1 n∈N
时，c2- c1= 112 > 0，数列 cn 单调递增，得 c1< c ；2 n n+1 n+2 2
当 2≤n≤ 6 n∈N 时，cn+1- cn< 0，数列 cn 单调递减，得 c2> c3> c4> 0> c5> c6> c7；
当n∈ 7,+∞ n∈N 时，cn+1- cn> 0，数列 cn 单调递增，得 c7< c8< ；
由此可知 c2最大，c7最小，综上所述，数列 an-bn 存在最大项，也存在最小项，故选：A
2．已知数列 an 的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若 an+Sn= 1000，则使Tn取得最大值时 n
的值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】an+Sn= 1000①，当n= 1时，a1+S1= 1000，即 a1= 500；当n≥ 2时，an-1+Sn-1= 1000②
①-②得 an- an-1+ an= 0，即 an= 1 a 12 n-1故数列 an 为首项是 500，公比为 2 等比数列，
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n-1 1+2+ + - n n-1n 1
则 an= 500× 12 ，∴T = a n
1 n 1 2
n 1 a2 an= 500 × 2 = 500 × 2 ，
n n+1
500n+1T ×
1 2
∵ n+1
2 n
T = - = 500×
1 ，因n∈N *，故当 1≤n≤ 8时，Tn n 1 n+1>Tn；
n 2
500n× 12
2
当n≥ 9时，Tn+1T10>T11> ，∴使Tn取得最大值时 n的值为 9，故选：C
-1 n
3．已知数列 a nn 满足 an= n- n ，则 an ( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】A
lnn
【解析】n n= e n f(x) = lnx，令 ，则 f x 1-lnxx = ，易知 f(x)在 (0,e)单调递增，在 (e, +∞)单调递减，x2
1 -1 n lnn
当n为奇数时，a =nn - n n = e
n + 1n ，故当n≥ 3且为奇数时， an 单调递减，
lnn lnn
且 a nn= e + 1n > e
n > e0= 1，此时 an 的最大值max a1,a3 ，
1 -1 n lnn
当n为偶数时 a =nn - = e n 1n n - n ，
lnx 1 1 lnx
记函数 g x = e x - x , x≥8 ，g
(x) = 2 e x 1-lnx +1 ，x
lnx lnx
由于当 x≥ 8，e x > 1,1- lnx< 0，所以 e x 1-lnx < 1- lnx，
g (x) = 1
lnx
故 e x2 1-lnx
1 1 1 1
+1 < 2 1-lnx +1 = 2 2-lnx ≤x x x x2 2-ln8 < 2 2-2ln2 2 < 0，x
故当 x≥ 8时，g x 单调递减，即当 n≥ 8且为偶数时， an 单调递减，故 a8> a10> a12> ，
又 a1= 2> 1，a2= 2- 12 < 1，a = 2-
1 6 1 lnn
4 4 > 1,a6= 6- 8 ,且当n→+∞时， n → 0，an→ 1，
故 an 的最大值为max a1,a ,a ,a ,a 13 4 6 8 ，而最小值为 a2= 2- 2 < 1，故选：A
4 2．已知数列 an 的首项为 3 ，若 an 的前n项积Tn= 2- 2an，则 ( )
A. 数列 an 有最大项，无最小项 B. 数列 an 无最大项，有最小项
C. 数列 an 有最大项，有最小项 D. 数列 an 无最大项，无最小项
【答案】B
= - T 2-2a a -1【解析】因为Tn 2 2an，所以T n+1n+1= 2- 2an+1，所以 an+1= T =
n+1 = n+1
n 2-2a
，
n an-1
1 1
则 1-a - 1-a = 1
1 1 1
，又 - = 3，所以 n+1 n 1 a1 1-

a 是首项为 3，公差为 1等差数列，故n 1-a =n+ 2，n
a = 1- 1 a a 2故 n n+2 ，所以 n 是递增数列，故 n 有最小项 a1= 3 ，无最大项，故选:B
7 2n-7 , n≤5
5．已知数列 an 的通项公式为 an= ，若 a 是 a1 7 n 中唯一的最小 n2 1 7 - 7 a-1 n, n≥6
项，则实数 a的取值范围是 ( )
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A. 14,16 B. 15,16 C. 15,16 D. 14,16
【答案】B
7 7 7 -14
【解析】当 n≤ 5时，an= 2n-7 ，令 an+1- an< 0得 -2 n+1 -7 2n-7
= < 0，
2n-5 2n-7
解得n≤ 2或n≥ 4，因此可知 a1> a2> a3，a4> a5；
又当n= 1，2，3时 an< 0，当n= 4，5时，an> 0，所以 an 在n= 3时，取最小值 a3=-7
当n≥ 6时，an= 1 n2- 17 7 a-1 n
a-1
，则该代数式对应函数对称轴为直线 n= 2 ，
a a 13 a-1 15因为 7是 n 中唯一的最小项，所以 2 < 2 < 2 ，且 a7= 8- a<-7，解得 14< a< 16，且 a> 15，
即 15< a< 16，故选：B
3 n-1 n-16．已知数列 an 的通项公式为 an= 4
3
4 -1 * ，n∈N ，则关于数列 an 的最值叙
述正确的是 ( )
A. 既有最大项也有最小项 B. 只有最大项没有最小项
C. 没有最大项只有最小项 D. 没有最大项也没有最小项
【答案】A
n-1
【解析】令 t= 34 ，因为n∈N *，所以当n= 1,2,3,4...时，t= 1,
3 9 27
4 , 16 , 64 ...
2
而 an= t t-1 = t2- t= t- 1 12 - 4 ，所以当 t= 1时，即n= 1时，an取最大值；
27 1 3 1 27 5 3 1 1 5 1 27 1
因为 64 < 2 < 4 ，且 2 - 64 = 64 ，4 - 2 = 4 ，因为 64 < 4 ，所以 64 距离 2 最近，
27
所以当 t= 64 ，即n= 4时，an取最小值；所以该数列既有最大项又有最小项，故选：A
题型四：数列的周期性
1．已知数列 an 中，a1= 2 1且 an+1= 1-a n≥1 ，则 a2024= ( )n
A. - 1 B. 2 C. - 2 D. 12
【答案】A
1
【解析】由题意知，数列 an 满足 a1= 2且 an+1= 1-a n≥1 ，n
1- 1
1
则 an+3= 1-a =
1 = 1-an+1 = 1-an = an，
n+2 1- 1 -an+1 11-a -n+1 1-an
1
所以数列 an 是周期为 3的数列，则 a2024= a3×674+2= a2= 1-2 =-1，故选：A
2 1 1．已知数列 an 中，a1=- 4 ，an+1= 1- a ，则 a2025= (　　)n
A. 5 B. 5 C. 8 44 3 D. 5
【答案】D
a = 1- 1 1 1 1 4【解析】由于 n+1 a 且 a1=- 4 ，当n= 1时，a2= 1- a = 5；当n= 2时，a3= 1- = ；n 1 a2 5
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n= 3 1 1当 时，a4= 1- a =- 4 ，所以数列 an 是周期为 3的数列，由于 2025÷ 3= 675，3
4
因此 a2025= a3= 5 ，故选：D.
1 1+a3．已知数列 a nn 满足 a1= 2 ，an+1= 1-a ，则 a2025= ( )n
A. 12 B. - 2 C. -
1
3 D. 3
【答案】A
1
1 1+a 1+a 1+ 1+a 1+3
【解析】由数列 an 满足 a1= 2 ，an+1=
n 1 2 2
1-a 得 a2= =n 1-a1 1- 1
= 3，a3= 1-a = 1-3 =-2，2
2
= 1+aa 3 1 1+a4 14 1-a =- ，a5= = = a1， ，所以数列 an 是周期数列，且周期为T= 4，3 3 1-a4 2
则 a 12025= a506×4+1= a1= 2 ，故选：A.
2an,0≤a < 1n
4 2．已知数列 a 2 *n 满足 an+1= 2a -1, 1 ， n∈N ，若 a1= 5 ，则 a2025= ( )n 2 ≤an<1
A. 4 B. 35 5 C.
2 1
5 D. 5
【答案】C
2a ,0≤a < 12 n n ,a = a = 2 a = 2× a = 4【解析】因为 1 5 且 n 1 ，所以 2 1 5 ，a3= 2× a2- 1= 2×
4 3
2a -1, ≤a <1. 5
- 1= 5
n 2 n
a4= 2× a - 1= 2×
3
3 5 - 1=
1 2 4
5 ，a5= 2× a4= 5 = a1，a6= 2× a5= 5 = a2， ，
2
所以数列 an 是周期数列，且周期为 4，所以 a2025= a506×4+1= a1= 5 ，故选：C .
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2，反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→ 4→ 2→ 1．这就是数学史上著名的“冰雹
an
猜想” (又称“角谷猜想”) ,当a 为偶数时,，已知数列 a nn 满足 a1= 1，an+1= 2 ，则 a2025=3an+1,当an为奇数时,
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】由题意得 a1= 1，a2= 4，a3= 2，a4= 1，a5= 4，a6= 2, ，所以数列 an 是以 3为周期的数列，
又 2025= 3× 675，所以 a2025= a3= 2，故选：B
2an,an< 1 ,
6 4．在数列 an 中，a
2
n+1= 1 ，若 a1= ，则 a2025= ( )2an-1,an≥ 2 , 5
A. 4 B. 3 C. 2 15 5 5 D. 5
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9
2026年选修二培优讲义
【答案】A
2an,a 1n< , 4 4 3
【解析】因为 an+1= 2 且 a1= ，所以 a2= 2a1- 1= 2× - 1= ，2an-1,a ≥ 1 , 5 5 5n 2
a3= 2a 3 1 2 42- 1= 2× 5 - 1= 5 ，a4= 2a3= 5 ，a5= 2a4= 5 ，a6= 2a - 1= 2×
4 - 1= 35 5 5 , ，
4
所以 an 是以 4为周期的周期数列，所以 a2025= a4×506+1= a1= 5 ，故选：A
题型五：恒成立问题
1．已知Sn是各项均为正实数的数列 an 前n项和，a1= 1，a2n+1- an+1an- 6a2n= 0，若 2Snan
-man+ 27≥ 0，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,17 B. -∞,15 C. -∞,9 D. -∞,21
【答案】A
【解析】由 a2n+1- an+1an- 6a2n= 0得 an+1+2an an+1-3an = 0，因为数列 an 各项均为正实数，
a
所以 an> 0，an+1> 0，所以 an+1+ 2an> 0，所以 an+1- 3an= 0，所以 a n+1n+1= 3an，即 a = 3.n
因为 a1= 1，所以数列 an 是首项为 1，公比为 3的等比数列，所以 an= 1× 3n-1= 3n-1，
1-3n 3n-1 2Snan+27S 27 n 27所以 n= 1-3 = 2 ，因为 2Snan-man+ 27≥ 0，所以m≤ a = 2Sn+ a = 3 + 3n-1
- 1
n n
因为 3n+ 27 ≥ 2 3n· 27 = 18，当且仅当 3n 27
3n-1 3n-1
=
3n-1
= 9，即n= 2时，等号成立.
所以 3n+ 27n-1 - 1≥ 17.所以m≤ 17，所以实数m的取值范围是 -∞,17 ，故选：A.3
n n-1
2．已知数列 an 的前n项和为Sn，且 a *1=m，nan-Sn= 2 ，若对任意的 n∈N ，等式
Sn
S = λ恒成立，则m+ λ= ．2n
3
【答案】4 /0.75
n n-1 n-1 n-2
【解析】因为 nan-Sn= 2 ，所以当n≥ 2时， n-1 an-1-Sn-1= 2 ，
两式相减得 n-1 an- n-1 an-1=n- 1，故 an- an-1= 1，数列 an 是以m为首项，1为公差等差数列，
= + - × = + - = m+m+n-1 n n
2
= + 2m-1 n所以 an m n 1 1 m n 1，Sn 2 2 ，
2
= 4n +2 2m-1 n则S 22n 2 = 2n + 2m-1 n，
S 2 2
所以 nS =
n + 2m-1 n n + 2m-1 n n+ 2m-1
2 = 2 = ，又因为对任意的 n∈N
*，
2n 2 2n + 2m-1 n 4n + 4m-2 n 4n+ 4m-2
S
等式 nS = λ恒成立，所以 4 2m-1 = 4m- 2，解得m=
1 λ= 1 3 32 ， 4 ，所以m+ λ= 4 ，故答案为：2n 4
3．对数列 an ，a1= 2，对于任意 n，m∈N+，都有 am an= am+n，若 λ≤ a 9n+ a 对于任意的 nn
∈N+恒成立，则 λ的最大值为 ．
25
【答案】 4
【解析】由题意，令m= 1，则 an+1= an a1= 2an，故数列 an 为等比数列，且 a1= 2，公比 q= 2，所以 a = 2nn
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选修二培优讲义
a + 9 a + 9 - a + 9 = 2n+1+ 9 9 9对数列 n a ，由 n nn+1 a n+ a 2n+1 - 2 + n = 2 -2 2n+1n n 1 n
9 9 9
随着n的增大，2n- n+1 的值越来越大，且当 n= 1时，2- 2 < 0；当n= 2时，2
2-
2 2 23
> 0.
9 9 9 25
所以数列 an+ a 的最小值为：a2+ = 4+ =n a2 4 4
由 λ≤ a + 9 25 25n a 对于任意的 n∈N
+恒成立，则 λ的最大值为 4 ，故答案为：n 4
a a +1
4．已知各项均不为 0的数列 {an}前n项和为Sn，且 a1= 1，S n n+1n= 4
(1) {an}的通项公式为 an= ．
(2)若对于任意 n∈N *，2n λ≥Sn恒成立，则实数 λ的取值范围为 ．
【答案】2n- 1
9
8 ,+∞
a a +1
【解析】(1) ∵S = n n+1n 4 ，∴ 4Sn= anan+1+ 1，
当n≥ 2时，可得 4Sn-1= an-1an+ 1，两式相减得 4an= an(an+1- an-1)，
因为 an≠ 0，故 an+1- an-1= 4，所以 a1,a3,...,a2n-1,...及 a2,a4,...,a2n,...均为公差为 4的等差数列，
= a a +1当n 1时，由 a 1 21= 1及S1= 4 ，解得 a2= 3，
所以 a2n-1= 1+ 4(n- 1) = 2(2n- 1) - 1，a2n= 3+ 4(n- 1) = 2(2n) - 1，
所以数列 {an}的通项公式为 an= 2n- 1
( ) ( ) = - = (2n-1)(2n+1)+12 由 1 知 an 2n 1，可得S 2n 4 =n ，
2
因为对于任意 n∈N *，2n λ≥S nn恒成立，所以 λ≥ n 恒成立，2
2 (n+1)2 2 2
设 b = nn n ，则 b - b =
n -n +2n+1
2 n+1 n 2n+1
- = ，
2n 2n+1
n= 1，2时，bn+1- bn> 0，bn< b *n+1,n≥ 3,n∈N 时，bn+1- bn< 0，bn> bn+1，
9 9
所以 b1< b2< b3> b4> b5> ，故 (bn)max= b3= 8 ，所以 λ≥ 8 ，
即实数 λ的取值范围为 9 8 ,+∞ ，故答案为：(1)a = 2n- 1；(2) n
9
8 ,+∞
5 3 1．已知数列 an 的首项 a1= 2 ，且 an+1- an=- n+1 ，则 an 的通项公式为 ；2
若不等式 a1a2a3 an【答案】an= 1n + 1 32
3
【解析】a1= 2 ，且 an+1- an=-
1
2n+1
，
1 1 1 3
再由累加法得 an= an-an-1 + an-1- an-2 + + a2-a1 + a1= - n + - n-1 + + - +2 2 22 2
1 1
4 - 2n+1=- 3 1 1 1-x1 + 2 = n + 1，设 g x = lnx- x+ 1，则 g
x =
1- 2 x
- 1= x ，g 1 = 0，
2
当 x∈ 0,1 时，g x > 0，g x 为增函数，当 x∈ 1,+∞ 时，g x < 0，g x 为减函数，
g 1 1所以 x max= g 1 = 0，即 lnx≤ x- 1，当且仅当 x= 1时等号成立，所以 lnan= ln n +12 < n ，2
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11
2026年选修二培优讲义
1 n
1 1 1 2 × 1-
1
+ + + < + + + = 2
n
所以 lna1 lna2 lnan 1 2 n 1 = 1-
1
2 2 2 1- 2
< 1，
2
3 5 9 135
即 ln a1a2 an < 1，所以 a1a2a3 an< e，又 a1a2a3= 2 × 4 × 8 = 64 > 2，
故不等式 a1a2a3 an6 a 2n+1．已知数列 n 满足 a1= 2，an= 3a n-1+ 2 n≥2,n∈N ，令 bn= an+1
，数列 bn 的前n项
和为Tn，若对任意 n∈N ， Tn-2 -1 n + λ≥ 1恒成立，则实数 λ的取值范围为 ．
13【答案】 9 ,+∞
【解析】因为 an= 3an-1+ 2，所以 an+ 1= 3an-1+ 3，所以 an+ 1= 3 an-1+
a +1
1 ，即 nan-1+1
= 3，
又当n= 1时，a1+ 1= 3，故数列 an+1 是以 3为首项 3为公比的等比数列，
∴ a + 1= 3n ∴ b = 2n+1 ∴T = 3 + 5 7n ， n n ， n 3 2 + 3 + +
2n-1 + 2n+1 ，
3 3 3 3n-1 3n
∴ 1 T = 3 + 53 n 2 3 +
7
4 + +
2n-1 + 2n+1
3 3 3 3n 3n+1
1 1- 1
2 3 2 2 2 2n+1 1 3 n 2n+1 4 2n+4
上两式相减得 33 Tn= 3 + 2 + + + - = + 2× - = - ，3 33 3n 3n+1 3 1 3n+1 3 3n+11- 3
∴T = 2- n+2n n ，对任意n∈N
， Tn-2 -1 n + λ≥ 1恒成立，3
则 λ≥ 1- T -2 n+2 n -1 n = 1+ n × -1
n ，
3
n+3
n+2 n+2 c n+1 1 1 4
当n为偶数，则 λ≥ 1+ 恒成立，令 c = n+1 3
3n n 3n
> 0，则 c =n n+2
= 3 1+ n+2 ≤ 9 < 1，
3n
n+2 n+2 2+2 2+2
所以 cn= n 是关于n的减函数，得 n ≤ 2 ，所以 λ≥ 1+ 2 = 13 ；3 3 max 3 3 9
当n为奇数，则 λ≥ 1- n+2 n+2 n+2n ，因为 c3 n
= n 是关于n的减函数，得 0<3 3n
≤ 1，
c =- n+2 n+2 13 13所以 n n 是关于n的增函数，得 0>- n ≥-1，所以 λ≥ 1，综上得 λ≥ 9 ，故答案

9 ,+∞3 3
题型六：数列的规律问题
1．将各位数字之和为 9的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列 an ，即 9,18,27, ，
则 a6= ；若 am= 2025，则m= ．
【答案】 54 103
【解析】9，18，27，36，45，54， ，故 a6= 54，满足条件的 an 有以下情况：一位数只有 9，
两位数的有 18,27,36,45,54,63,72,81,90，共有 9个，
当三位数时，设个十百位上的数字分别为 c,b,a，且 a≥ 1,b≥ 0,c≥ 0，
首位为 a的这种三位数有 f a 个，则 a+ b+ c= 9，
若 a= 1，则 b可取 0到 8中任一值，而当 a，b确定后，c值随之确定，此时产生 9个数，即 f 1 = 9；
类似地，f 2 = 8, ,f 9 = 1，因此，三位数的个数为 1+ 2+ +8+ 9= 45.
四位数时，先考虑千位数字为 1时，设个十百位上数字分别为 d,c,b，且 b≥ 0，c≥ 0，d≥ 0,则 b+ c+ d= 8，
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选修二培优讲义
若 b= 0，c可取 0到 8中任一值，而当 c,b确定后，d值随之确定，此时产生 9个数；
若 b= 1，c可取 0到 7中任一值，而当 c,b确定后，d值随之确定，此时产生 8个数；
若 b= 8，c,d只可取 0，只有 1个，因此，形如 1abc的四位数的个数为 1+ 2+ +8+ 9= 45.
注意到，形如 2abc的四位数有两个，即 2007，2016，2025.
综上，2025为第 1+ 9+ 45+ 45+ 3= 103个数，即 a103= 2025，故m= 103，故答案为：54，103
2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n+1．数列 an 的各项按如下规律排列：1 ，1 ，2 ，1 ，2 ，3 ，1 ，2 ，3 ，4 ， ， 1 ，
n+1 n+1
2 ， ， n ， ，则 a2012= ．
64
【答案】59
【解析】数列 an 的各项按分子进行分组如下规律排列：
当分子为 2 2 3 3时，该组只有一项，1 ；当分子为 3时，该组有 2项，1 , 2 ；
n+1 n+1
当分子为 n+ 1时，该组共有 n项， 1 , 2 ,...,
n+1
n ，其中第 k项的分母为 k.
n n+1
所以数列 an 的总项数，即为这 n组的项数之和，故共有 1+ 2+ ...+n= 2 项，
当n= 62 63×62 64×63时，共有项数 2 = 1953< 2012，当n= 63时，共有项数 2 = 2016> 2012，
64 64
所以 a2012所在组的分子为 64，分母应从 63起倒数第 5个，为 59，即 a2012= 59 ，故答案为：59
3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列 an 前 10项依次是 0，
2，4，8，12，18，24，32，40，50，记 bn= (-1)n an,n∈N *，则数列 bn 前 2024项和 ．
【答案】1025156
n2 n2-1
【解析一】 an 知，当n为偶数时，an= 2 ，当n为奇数时，an= 2 ，
n2 - -12 ,n为奇数因为 b = (-1)nn an= ，
n
2
2 ,n为偶数
b 2023
2-1 20242
所以数列 n 的前 2024项和为 (0+ 2) + (-4+ 8) + (-12+ 18) + + - 2 + 2
= + + + + = 1012×(2+2024)2 4 6 2024 2 = 1025156，故答案为：1025156
【解析二】已知该数列 an 的前 10项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，
则数列 bn 的前 10项依次是 0，2，-4,8, -12,18, -24,32, -40,50，所以 b1+ b2= 2，
b3+ b4= 4,b5+ b6= 6,b7+ b8= 8,b9+ b10= 10, ，b2023+ b2024= 2024，
+ + + + = 1012×(2+2024)可得数列 bn 的前 2024项和为 2 4 6 2024 2 = 1025156，故答案为: 1025156
4．将正奇数按下表排成 5列：
第 1列 第 2列 第 3列 第 4列 第 5列
第 1行 1 3 5 7
第 2行 15 13 11 9
第 3行 17 19 21 23
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13
2026年选修二培优讲义

那么，2005应在第 行 列．
【答案】 251； 4
【解析】正奇数构成以 1为首项，2为公差的等差数列，
设 2005为第n项，则 2005= 1+ 2(n- 1)，解得n= 1003.
由 1003= 4× 250+ 3，得 2005应在第 251行第 4列，故答案为：251；4
5 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4．某种规律排列一列数： ，2 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，5 ， 则第 50个数是 .
4
【答案】11
【解析】分母为 n n≥2 的数个数为 n-1 个，其中 1+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 46，
故第 50 1 4 4个数的分母为 11，其中 11 为第 47个数，11 为第 50个数，故答案为：11
6．如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1,2,3, ,200”的标签号，某人从第一道
门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从 1开始依次报一
个数，报到奇数时把门打开.数完一轮后回到起点，再重复此过程，
则最后一道关闭的门标签号为 .
【答案】128
【解析】第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即 2的倍数；
第二轮报数，标签号 2，4，6， ，200的报数结果分别为 1，2，3， ，100，
剔除标签号 2，6，10， ，198，剩余的标签号为 4的倍数；
第三轮报数，标签号 4，8，12， ，200的报数结果分别为 1，2，3， ，50，
剔除标签号 4，12，20， ，196，剩余的标签号为 8的倍数；重复以上步骤可得，
当门数M∈ [2k，2k+1) (k∈N )时，最后留下的一道门的标签号为 2k，故标签号为 128，故答案为：128
题型七：数形结合、转化与化归、分类讨论
1．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的
建筑技术--举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线，如图，“举”是
屋架 BC的高度 hB1，点 B1，B2，B3，B4是屋宽AB的五
h
等分点，连接AC，在B1处下“折” 10 安置第一榑C1，连
h
接AC1，在B2处下“折” 20 安置第一榑C2，依次类推，每
次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑C4
的高度B4C4为 ( )
A. h h5 B. 8 C.
3
20 h D.
2
15 h
【答案】D
BC= h B 4 h【解析】因为 ，所以 1C1= 5 h- 10 =
7h
10 ，则B C =
3 B C - h = 3 × 7h h 192 2 4 1 1 20 4 10 - 20 = 40 h
B 2 h 2 19h h 7 1 h 1 7h h 23C3= 3 B2C2- 40 = 3 × 40 - 40 = 24 h；B4C4= 2 B3C3- 80 = 2 × 24 - 80 = 15 h，故选：D.
2．已知函数 f x = sinx+ lnx，将 y= f(x)所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列
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( - ) < < 2n-1 π xn ，对于正整数 n，甲：n 1 π xn nπ；乙： xn- 2 为单调递增数列，则 ( )
A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误
【答案】B
1
【解析】易知函数 f x = sinx+ lnx的定义域为 0,+∞ ，导函数 f′ x = cosx+ x x>0 ，
令 f ′ x = 0得 cosx=- 1x ，所以函数 f(x)极值点为函数 y= cosx x>0
1
与函数 y=- x x>0 图象的交点
1
的横坐标，在同一平面直角坐标系中，分别画出函数 y= cosx x>0 与函数 y=- x x>0 图象，如图所示，
由图可知，在区间 n-1 π,nπ n∈N 内，
函数函数 y= cosx x>0 1 与函数 y=- x x>0 的图像，
有且仅有 1个交点，且 (n- 1)π< xnx 1因为 n+1> xn> 0，函数 y=- x x>0 为增函数，
1 1 2n-1 π
所以- x <-n x
< 0= cos 2 n∈N ，n+1
2n-1 π
由图像可知，随着 n的增大，xn与 2 越来越接近，距离越来越小，
2n-1 π
所以数列 xn- 2 为递减数列，命题乙错误，故选：B.
3．函数 y= f(x) (x∈ [0,1])对任意 a1∈ (0,1)，由 a *n+1= f(an) (n∈N )得到的数列 an 均是单
调递增数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 an+1= f(an)，点 (an,an+1)在函数 y= f(x)图象上，又 an 单调递增，故 an+1> an，即 f(an)> an，
所以点 (a *n,an+1) (n∈N )始终在直线 y= x的上方．对照四个选项，只有A符合，故选A.
4．记 Sn为数列 an 前 n项和，若 an∈ {1,2,3}，且 an的值为 1，2，3的可能性相同，则 S2025是
奇数的概率为 ( )
A. 12 1+
1 1 1 1 1 1 1
32026 B. 2 1+ 32025 C. 2 1- 32024 D. 2 1+ 32024
【答案】B
【解析】记事件A为“Sn为奇数”，事件A′为“Sn+1为奇数”，Sn是奇数的概率为 qn，
当Sn为奇数时，若 an+1= 2，则Sn+1仍然为奇数，
S 1 2

当 n为偶数时，若 an+1= 1或 3，则Sn+1为奇数，从而 3 P(A) + 3 P(A) =P(A′)
1 2 1 2 1 1 1
即 3 qn+ 3 (1- qn) = qn+1，即- 3 qn+ 3 = qn+1，整理得- 3 qn- 2 = qn+1- 2 ，
n-1
又 q1= 23 ，所以 q -
1 1 1 1 1 1n 2 是首项为 6 ，公比为- 3 的等比数列，则 qn- 2 = 6 - 3 ，
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
15
2026年选修二培优讲义
q = 1 + 1
n-1
- 1 S 1 1 1所以 2025-1 1 1n 2 6 3 ，故 2025是奇数的概率为 2 + 6 (- 3 ) = 2 (1+ 32025 )故选：B.
5．设函数 f(x) = 1 - 12 x ，数列 an 满足 a1= 1，a = a
+
3 +1 2 3
= 2，an+4= an(n∈N )，f(a2+ a3)
2025
+ f(a4+ a5) = 0，则 ai= ( )
i=1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
1 1 3x-1
【解析】函数 f(x) = 2 - x = ，定义域为R，3 +1 2(3x+1)
x
f(x) + f(-x) = 3 -1 3
-x-1
且 x + -x = 0，即 f(x) =-f(-x)，所以 f(x)在R上为奇函数，2(3 +1) 2(3 +1)
因为 y= 3x+ 1在R上单调递增，可知 f(x)在R上单调递增，
因为 f(a2+ a3) + f(a4+ a5) = 0，则 f(a2+ a3) =-f(a4+ a5) = f(-a4- a5)可得 a2+ a3=-a4- a5，
即 a2+ a3+ a4+ a5= 0，由 a +n+4= an(n∈N )可知 4为数列 an 的周期，则 an+ an+1+ an+2+ an+3= 0
2025
且 2025= 4× 506+ 1，所以 ai= a1= 1，故选：A.
i=1
6 n-2．已知数列 an 通项公式为 an= 2n-15 ，前n项和为Sn，则Sn取到最小值时 n的值是 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
a = n-2 = 1 × 2n-15+11 1 11【解析】 n 2n-15 2 2n-15 = 2 + 2n-15 ，
a > 0 1 + 11由 n 得 2 ( > 0，解得n< 2 n>
15
或 ，
2 2n-15) 2
∵n∈N *，∴当n= 1或n≥ 8时，an> 0，当 2≤n≤ 7时，an≤ 0，∴当n= 7时，Sn取得最小值，故选：B
7．数列 an 前n项和为 1- 1n ，{bn}
n
前n项和为 *
2 n+1
，n∈N ，则数列 {an- bn} ( )
A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项
C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项
【答案】A
a n 1 1 1【解析】因为数列 n 的前 项和为 1- n ，当n= 1时，a1= 1- = ，2 21 2
当n≥ 2 1 1 1 1 1 1 1 1时，an= (1- 2n
) - (1- )= - = ，当n= 1时， = ，故 a = ；
2n-1 2n-1 2n 2n 21 2 n 2n
因为 {b } n 1n 的前n项和为 n+1 ，当n= 1时，b1= 2 ；
n2≥ -(n-1)(n+1)当n 2时，bn= n n-1 1n+1 - n = ( =n n+1) n(n+1)
当n= 1 1 1 1 1 1时，1×2 = 2 ，故 bn= ( + ) ；所以 an- bn n 1 n= n -2 n(n+
，
1)
c = a 1 1 1 1 1 1 1设 n n- bn= n - ( + ) ，则 cn- cn-1= n - ( + ) - ( n-1 - ( - ) )= 3 -
2
2 n n 1 2 n n 1 2 n n 1 n -n 2n+1
当n= 2时，(n3-n) - 2n+1=-2< 0，所以 c2- c1> 0，即 c1< c2，
当n= 3时，(n3-n) - 2n+1= 8< 0，所以 c3- c2< 0，即 c3< c2，
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 16
选修二培优讲义
当n= 4时，(n3-n) - 2n+1= 28> 0，所以 c4- c3< 0，即 c4< c3，
当n= 5时，(n3-n) - 2n+1= 56> 0，所以 c5- c4< 0，即 c5< c4，
当n= 6时，(n3-n) - 2n+1= 82> 0，所以 c6- c5< 0，即 c6< c5
当n= 7时，(n3-n) - 2n+1= 80> 0，所以 c7- c6< 0，即 c7< c6
当n= 8时，(n3-n) - 2n+1=-8< 0，所以 c8- c7< 0，即 c8< c7
当n≥ 9时，(n3-n) - 2n+1< 0恒成立，所以 cn- cn-1> 0，即 cn> cn-1，
又n→+∞时，cn趋近于 0，所以 0= c1< c2，c2> c3> c4> 0> c5> c6> c7，c7< c8< c9<
所以 c2为最大项，c7为最小项，所以数列 有最大项也有最小项，故选A.
8．已知数列 an 满足 a1= a 1，a *n+1= 2 an+ 2(n∈N )，若 an 是单调递增数列，则 a的取值
范围是 ( )
A. (-∞,4) B. (-∞,3) C. (-∞,2) D. (-∞,1)
【答案】A
1
【解析】因为 an+1= 2 an+ 2
1
，所以 an+1- 4= 2 (an- 4)，若 a= 4，则 an= 4，不符合题意
若 a≠ 4 1，则 an-4 为等比数列，所以 an= (a- 4) ( 2 )
n-1+ 4
当 a> 4时， an 为单调递减数列，不符合题意；当 a< 4时， an 为单调递增数列，符合题意
综上，a∈ (-∞,4)，故选A.
【过关练习】
1．记Tn为数列 an 的前n项积，且 a1= 1，Tn+1-Tn= 2n，则 a6= ( )
A. 135 B.
13 31 31
6 C. 21 D. 20
【答案】C
【解析】由题意得T1= 1，Tn-Tn-1= 2 n-1 ， ，T2-T1= 2，
累加有n≥ 2时Tn= 1+ 2× 1+ 2× 2+ +2× n-1 = 1+ 2×
n n-1 2
2 =n -n+ 1.
2 2
经验证当 n= 1时满足，故T 2 Tn n -n+1 n -n+1n=n -n+ 1，则n≥ 2时，an= T = 2 = ，n-1 n-1 - n-1 +1 n2-3n+3
n= 1 a = n
2-n+1 31
当 时满足，即 n 2 ，令n= 6可得 a =n -3n+3 6 21
，故选：C
2．设Sn为数列 an 的前n项和，“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的 ( )．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】D
【解析】数列-3，-2，-1，0，1，2，3， 是递增数列，
但Sn=- +
n n-1
3n 1 2 72 = 2 n - 2 n不是递增数列，故不充分；
数列 1，1，1，1， 的前n项和为Sn=n是递增数列，数列不是递增数列，故不必要；故选：D
3．设等比数列 an 的各项均为正数，其 n前项和为Sn，则“S19+S21> 2S20”是“数列 an 是递
增数列”的 ( )
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17
2026年选修二培优讲义
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 a+ b+ c= 2+ 3得S21-S20>
a
S20-S19，a21> a 2120，所以 q= a > 1，20
又 an> 0，所以 an 是递增数列，反之，等比数列 an 的各项均为正数，且数列 an 是递增数列，
所以 q> 1，即有 a21> a20，所以S21-S20>S20-S19，即 a+ b+ c= 2+ 3，
所以“a+ b+ c= 2+ 3”是“数列 an 是递增数列”的充要条件，故选：C
4．Sn为等差数列 an 的前n项和，则“数列 an 为递增数列”是“数列Sn为递增数列”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性判断：设数列 an 首项 a1=-1，公差 d=-1，则通项公式为 an=-n n∈N * ，
= n a1+an = n -1-n =- n n+1 其前n项和Sn 2 2 2 ，显然数列Sn为递减数列，
又 an = -n =n n∈N * ，显然数列 an 为递增数列，
所以“数列 an 为递增数列”无法推出“数列Sn为递增数列”，故充分性不成立.
必要性判断：设数列 an 首项 a1= 1，公差 d= 0，
则通项公式为 an= 1 n∈N * ，是一个常数列，其前 n项和Sn=n 1=n，显然数列Sn为递增数列，
又 an = 1 = 1 n∈N * ，也是一个常数列，显然不是递增数列，
所以“数列Sn为递增数列”无法推出“数列 |an| 为递增数列”，故必要性不成立.
所以“数列 an 为递增数列”是“数列Sn为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.
5．在正整数数列中，由 1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取 1;第二次取 2个连续
的偶数 2，4;第三次取 3个连续的奇数 5，7，9;第四次取 4个连续的偶数 10，12，14，16;第五次
取 5个连续的奇数 17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列 1，2，4，5，7，9，10，12，
14，16，17，19， ，则这个数列中的第 2025个数是 ( )
A. 3980 B. 3982 C. 3984 D. 3986
【答案】D
【解析】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，
n n+1
前n次共取了 1+ 2+ 3+ +n= 2 个数，且第 n次的最后一个数为 n
2，
= 63× 63+1 当n 63时，由等差数列求和公式得 2 = 2016，故到第 63次取时取了 63个奇数，
且前 63次共取了 2016个数，即第 2016个数为 632= 3969，
所以n= 64时，取的数依次为 3970，3972，3974，3976，3978，3980，3982，3984，3986， ，
则第 2025个数为 3986，故选：D.
6 “0< a≤ 1
n
．下列命题：① ”是“存在n∈N * 12 ，使得 2 = a成立”的充分条件；②“a> 0”是
n n
“存在n∈N * 1，使得 2 < a成立”
1 1
的必要条件；③“a> 2 ”是“不等式 2 < a对一切n∈
N *恒成立”的充要条件.其中为真命题的序号是 ( )
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 18
选修二培优讲义
A. ③ B. ②③ C. ①② D. ①③
【答案】B
1 1 1 n 1
【解析】对于①，若取 a= 5 ，满足 0< a≤ 2 ，由 2 = 5 ，显然n N *，故①是假命题；
n n
对于②，因对于 n∈N *，必有 12 > 0
1
，故由 2 < a可得 a> 0，
n
即由“存在n∈N *，使得 12 < a成立”可推得“a> 0”，故 ②是真命题；
1 n 1
对于③，根据指数函数的性质，对一切 n∈N *，都有 2 ≤ 2 成立，
1 n
故“不等式 2 < a对一切n∈N *
1
恒成立”等价于“a> 2 ”，故 ③是真命题，故选：B.
7．意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21，
34,55, ，即F 1 =F 2 = 1，F n =F n-1 +F n-2 n≥3,n∈N * ，此数列在现代物
理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被 2整除后的余数构成一个新数
列 an ，则数列 an 的前 2020项的和为 ( )
A. 672 B. 673 C. 1346 D. 1347
【答案】D
【解析】由数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 各项除以 2的余数，可得 an 为 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1，1,0, ，
所以 an 是周期为 3的周期数列，一个周期中三项和为 1+ 1+ 0= 2，
因为 2020= 673× 3+ 1，所以数列 an 的前 2020项的和为 673× 2+ 1= 1347，故选：D
1+a
8．设数列 an 满足：an+1= n1-a ，a2011= 2，那么 a1等于 ( )n
A. - 1 12 B. 2 C. 3 D. - 3
【答案】A
1+a
= 1+aa n ,a = 2 a = a a = 1+a
1+
【解析】因为 1-a 1n+1 1-a 2011 ，设 1 ，所以 2 1-a ，a3=n 1- 1+a
=- a ，
1-a
1+ - 1 a-1
a = a
1+
4 1 =
a-1 a+1
a+1 ，a5= a-1 = a，所以数列 an 是以 4为周期的周期数列.1- - a 1- a+1
a = a =- 1所以 2011 3 a = 2，所以 a1=-
1
2 ，故选：A.
9．将n个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从 2008到 2010的箭头方向依次为 ( )
A. ↓→ B. →↑
C. ↑→ D. →↓
【答案】A
0
【解析】观察数表可知，位序相同的数字都是以 4为公差的等差数列，故从 2008至 2010，其位序应与 ↓ 相
1→2
同，故选：A
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
19
2026年选修二培优讲义
10． (多选题)近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得
好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视
学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计
划”，为了缓解学生的学习压力，面向 1630名高三学生开展了团建活动．
如果将所有参加活动的学生依次按照 1，2，3，4，5，6，7， 编上号，并按
图所示的顺序排队，我们将 2，3，5，7，10， 位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时
的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有 ( )
A. 站在第 20拐角的学生是 111号 B. 站在第 23拐角的学生是 137号
C. 第 133号同学站在拐角位置 D. 站在拐角位置的同学共有 79名
【答案】ACD
【解析】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26
将奇数项的拐角即为 a 22n-1，易得：a2n-1=n + 1；偶数序号的拐角即为 a2n，由规律可得：a2n=n2+n+ 1
第 20拐角的学生编号为：a = 10220 + 10+ 1= 111正确；
站在第 23拐角的学生编号为：a23= 122+ 1= 145错误；
由n2+n+ 1= 133，解得n= 11，也即第 133号同学站在第 22拐角位置；
由n2+ 1≤ 1630，可得n≤ 40，由n2+n+ 1≤ 1630，可得n≤ 39，
所以拐角总序号可到第 79个，所以站在拐角位置的同学共有 79名，正确；故选：ACD
11 1．数列 a n 中，a1= 2，an+1+ a = 1，n∈N ，则 a1a2+ a2a3+ a3a4+ +a2022a2023= ．n
【答案】-1011
【解析】由题意有 an+1= 1- 1a ，又 a1= 2，所以 a2= 1-
1 = 1 a = 1- 1 1a 2 ， 3 a =-1，a4= 1- a = 2= a1，n 1 2 3
1
所以数列 an 是以 3为周期的周期数列，又由 an+1+ a = 1有 an+1an= an- 1，n
所以 a1a2+ a2a3+ a3a4+ +a2022a2023= a1-1 + a2-1 + + a2022-1 = a1+ a2+ +a2022- 2022
= 674 a1+a2+a 33 - 2022= 674× 2 - 2022=-1011，故答案为：-1011.
12 1．已知数列 an ，a1= 2，an+1= 1-a ，则 a1+ a2+ +a2025= .n
2025
【答案】 2
a 1 1 1 1 1 1【解析】 1= 2，a2= 1-a = 1-2 = -1 =-1，a3=1 1-a
=
2 1-(- )
= 2 ，1
a = 1 1 14 1-a = 1 = 1 = 2
1 1 1 1 1
，a5= 1-a = 1-2 =-1，a6= 1-a =3 1- 4 5 1-(-1)
= 2 ，
2 2
1
观察可得，数列从 a1开始，每 3项重复：2, -1, 2 ，即周期为 3
( ) a + a + a = 2+ (-1) + 1 = 3每个周期 三项 的和为： 3k+1 3k+2 3k+3 2 2 .
由于周期为 3，计算完整周期的个数：2025÷ 3= 675，即 2025项正好包含 675个完整周期 (无剩余项).
3
每个周期的和为 2 ，因此 a
3 675×3 2025 2025
1+ a2+ +a2025= 675× 2 = 2 = 2 ，故答案为： 2
2-a n-1, n<5
13．已知数列 a *n 满足：an= - n∈N ,a>0 ，数列 a 是递增数列，则实an 4, n≥ n5
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 20
选修二培优讲义
数 a的取值范围为 ．
7
【答案】 5 ,2
2-a n-1, n<5【解析】因为 an= n∈N *,a>0 ，且 an 为递增数列，an-4, n≥5
2-a>0 2-a>0 7所以 a>1 ，即 a>1 ，解得 5 < a< 2
7
，故答案为： 5 ,2
a414．数列 a 2n 中，an=n + λn n∈N * ，满足 a1< a2< a3< < an，则实数 λ取值范围 ．
【答案】λ>-3
【解析】由 a 2n=n + λn有 an+1= n+1 2 + λ n+1 ，所以 an+1- an= 2n+ 1+ λ，
由题知数列 an 是单调递增数列，所以 an+1- an> 0，即 2n+ 1+ λ> 0对任意n∈N *恒成立，
所以 λ>- 2n+1 ，即 λ> - 2n+1 max，当n= 1时，- 2n+1 最大值为-3，即 λ>-3，故答案 λ>-3
15．某校的教学楼每层楼有 13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨 1级、2级、3
级台阶，但固定最后一步不能跨 3级台阶 (避免台阶过高摔倒)，那么该教师一共有 ( )种不
同的走法
A. 1049 B. 1144 C. 1431 D. 1705
【答案】C
【解析】设上 n级台阶最后一步能跨 3级走法数为 g n ，上n级台阶最后一步不能跨 3级的走法数为 f n ，
若最后一步跨 1级，则前面 n- 1级的走法数为 g n-1 ，
若最后一步跨 2级，则前面 n- 2级的走法数为 g n-2 ，
若最后一步跨 3级，则前面 n- 3级的走法数为 g n-3 ，所以 g n = g n-1 + g n-2 + g n-3 n≥4 ，
又在限制条件下，f n = g n - g n-3 n≥4 ，易知上 1级台阶有 1种走法；
上 2级台阶可每次只跨 1级，或每次只跨 2级 2种走法；
上 3级台阶可一次跨 3级，或每次只跨 1级，或一次跨 1级另一次跨 2级 4种走法；
上 4级台阶可每次只跨 1级，或两次都跨 2级，或三次中两次跨 1级，一次跨 2级，
或两次中一次跨 1级，一次跨 3级共 7种走法，即 g 1 = 1,g 2 = 2,g 3 = 4,g 4 = 7，
所以 g 5 = 13,g 6 = 24,g 7 = 44,g 8 = 81，g 9 = 149,g 10 = 274,g 11 = 504,g 12 = 927,
所以 f 13 = g 13 - g 10 = g 12 + g 11 = 1431，故选：C
16 a a = 1．已知数列 n 满足 n+1 2 a
4
n+ a ，n∈N ，下面结论成立的是 ( )n
A. 若存在m∈N ，使得 am+1= am，则 a1= 2
B. 若 a1=-3，则数列 an 单调递增，且存在常数m<-2，使得 anC. 若 a1> 0，则存在 n ∈N 10 ，当n>n0时，有 an- 2≤ 2026
D. 若 a1= 2+ 5 1，则对于任意 n∈N ，有 an+1- 2≥ 2 an-2
【答案】C
【解析】选项A，已知存在m∈N 1 4 1，使得 am+1= am，将 am+1= 2 am+ a 代入得：am= 2 a
4
m+ ，
m am
等式两边同时乘以 2a 2 2 2m得 2am= am+ 4，移项可得：am= 4，解得 am= 2或 am=-2.
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
21
2026年选修二培优讲义
当 a = 2时，a = 1 a + 4 = 2 4，即 a + = 4，整理得 a2m m 2 m-1 a m-1 a m-1- 4am-1+ 4= 0，m-1 m-1
根据完全平方公式 (a- b)2= a2- 2ab+ b2可得 (a - 2)2m-1 = 0，解得 am-1= 2，以此类推可得 a1= 2.
当 am=-2时，同理可得 a1=-2，所以若存在m∈N ，使得 am+1= am，则 a1= 2或 a1=-2，A错误；
选项B 1 4 1 4 13，当 a1=-3时，a2= 2 a1+ a = 2 × -3+ -3 =- 6 ，a2- a1=-
13
6 - (-3) =
5
6 > 0，1
2
即 a2> a1，a 1n+1- an= 2
2-a
an+ 4a - an=
1
2
4
a -an =
n
2a .n n n
13 1 4
因为 a1=-3< 0,a2=- 6 < 0，假设 an< 0,则 an+1= 2 an+ a < 0，由数学归纳法可知 an< 0恒成立.n
2-a2
又因为 an+1- a n 2n= 2a ,当 an<- 2 时, 2- an< 0，2an< 0，所以 an+1- an> 0,即数列 {an}单调递增.n
且 an+1= 1 42 an+ an ≤
1
2 × -2 (-an)× - 4a =-2 4，(当且仅当-an=-n a ,n
即 an=-2时取等号)，所以不存在常数m<-2，使得 an1 4 1 4
选项 C，当 a 41> 0时,an+1= 2 an+ a ≥ 2 × 2 an× a = 2，(当且仅当 an=n n a ，即 an= 2时取等)，n
a2-4a +4 (a -2)2 (a -2)2 (a -2)2
a 1 4 n n n n nn+1- 2= 2 an+ a - 2= = ，因为 an≥ 2，所以 ≤ .n 2an 2an 2an 4
b2
设 bn= an- 2，则 b nn+1= an+1- 2，那么 bn+1≤ 4 ，当 b1= a1- 2值较小时，bn会越来越小，且趋近于 0，
1
所以存在 n0∈N ，当n>n0时，有 an- 2≤ 2026 ，C选项正确.
D a = 2+ 5 a = 1 a + 4选项 ，当 1 时 2 2 1 a =
1
2 × 2+ 5+
4 = 12 × 2+ 5+4 5-8+ 1 2 5
= 12 × (5 5- 6)，则 a2- 2=
1
2 × (5 5- 6) - 2=
5 5 1 5
2 - 5，而 2 a1-2 = 2 ，
5 5 - 5 1 5 5 1比较 2 与 2 × 5大小： 2 - 5- 2 × 5= 2 5- 5< 0，即 a2- 2<
1
2 (a1- 2)，所以D错误
故选：C .
17．设周期数列 an 前n项和为Sn，若Sn∈ m,m-1,m+1 ，则m的取值不可以为 ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为数列 an 的是周期数列，又Sn∈ m,m-1,m+1 ，所以Sn的可能取值最多只有三个，
所以 an 的前n项和Sn不能有增大或减小的情况，所以数列 an 在一个周期内的所有项的和为 0.
所以 0∈ m,m-1,m+1 ，则m= 0或m- 1= 0或m+ 1= 0，解得m= 0或m= 1或m=-1.
选项A：若m=-1时，Sn∈ -1,-2,0 ，周期 3，且前 3项为-2，1，1的数列 an ，
其前n项和取值有-2, -1,0，符合题意，所以A错误；
选项B：若m= 0时，Sn∈ 0,-1,1 ，周期为 4，且前 4项为-1，1，1，-1的数列 an ，
其前n项和取值有-1、0、1，符合题意，所以B错误；
选项C：若m= 1时，Sn∈ 0,1,2 ，周期为 4，且前 4项为 1，1，-1，-1的数列 an ，
其前n项和取值有 1、2、0，符合题意，所以C错误；
选项D：若m= 2时，Sn∈ 1,2,3 ，不满足 0∈ m,m-1,m+1 ，所以D正确，故选：D.
18 a 1 1 2 1 2 3 1．数列 n 的前n项和为Sn，若数列 an 的各项按如下规律排列：2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 ,
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2
5 ,
3 4
5 , 5 , ,
1
n ,
2
n , ,
n-1
n , 有如下运算和结论，其中正确的结论是 ( )
① a 324= 8 ；
②数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10, 是等比数列；
n2+n
③数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10, 的前n项和为Tn= 4 ；
5
④若存在正整数 k，使Sk< 10，Sk+1≥ 10，则 ak= 7
A. ①② B. ①③④ C. ③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】①前 24 1 1 2项构成的数列是 2 , 3 , 3 ,
1 , 2 , 3 , 1 2 3 4 1 2 1 2 34 4 4 5 ，5 , 5 , 5 , 6 , 6 , , 8 , 8 , 8 ，
6 1+6 3
到分母为 7的项出现完时共有 2 = 21项，∴ a24= 8 ，①正确；
1 6 n
②数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10, 是 2 ，1，4 ，2， , 2 ，
n n-1 1
由等差数列定义知 2 - 2 = 2 (常数)，
所以数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10,
1
是公差为 2 的等差数列，②不正确．
③∵数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10, 是等差数列，
1 n n-1 n 1 n
2+n
所以由等差数列前 项和公式可知Tn= 2 n+ 2 × 2 = 4 ，③正确；
2
T = n +n T = 15 21 15 21④由③知 n 4 ，又 5 2 ,T6= 2 ，所以S15= 2 ,S21= 2 ，
1 2 3 4 5 15 15 135 21
则S20=S15+ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 2 + 7 = 14 < 10，S21= 2 > 10，
5
所以Sk< 10，Sk+1≥ 10，则 k= 20时，ak= 7 ，④正确；故选：B
2a ,0≤a < 1n n ,
19 6．已知数列 an 满足 an+1= 2 1 若 a1= ，则 a2005的值为 ( )2an-1, 2 ≤an<1. 7
A. 67 B.
5
7 C.
3 1
7 D. 7
【答案】A
6 12 5 10 3 6 12 5
【解析】逐步计算，可得 a1= 7 ，a2= 7 - 1= 7 ，a3= 7 - 1= 7 ，a4= 7 ，a5= 7 - 1= 7 ，
6
这说明数列 an 是周期数列，T= 3.而 2005= 3× 668+ 1，所以 a2005= a1= 7 ，故选：A.
20．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数
1
组成的，第 n行有n个数且两端的数均为 n (n≥ 2)，每个数是它下一行左右
1 1 1 1 1 1 1 1 1
相邻两数的和，如 1 = 2 + 2 ，2 = 3 + 6 ，3 = 4 + 12 ， ，则第 7行
第 4个数 (从左往右数)为 ( )
A. 1 1 1 1140 B. 105 C. 60 D. 42
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23
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【答案】A
6 1 1 1 1 1 1【解析】第 行从左到右各数依次为 6 ，30 ，60 ，60 ，30 ，6 ，
7 1 1 1 1 1 1 1第 行从左到右各数依次为 7 ，42 ，105 ，140 ，105 ，42 ，7 ，故选：A.
21． (多选题)已知数列 an 的各项均为正数，且满足 a2n+1- an= λ(λ是常数，n= 1,2,3, )，则
下列四个结论中正确的是 ( )
A. 若 λ= 0且 a1≠ 1，则数列 lnan 是等比数列
B. 若 λ> 0，则数列 an 是递增数列
C. 1若数列 an 是常数列，则 λ≥- 4
D. 若数列 an 是周期数列，则最小正周期可能为 2
【答案】AC
【解析】对于A，若 λ= 0，可得 a2 2n+1- an= 0，即 an+1= an，
> ≠ lna当 a 0且 a 1时，两边取对数得 2lna = lna ，即 n+1 1n n n+1 n lna = 2 ，n
此时数列 lna
1
n 表示首项为 lna1，公比为 2 的等比数列，故A正确；
对于B，当 λ> 0时，可得 a2n+1- an= λ> 0，即 a2n+1> an，例如：当 a1= 3，λ= 1时，由 a22= a1+ 1= 4得 a2= 2，
又由 a23= a2+ 1= 3，可得 a3= 3，此时 a1> a2> a3，所以当 λ> 0，数列 an 不一定是递增数列，故B错误；
对于C，若数列 an 为常数列，则 an+1= an，因为 a2n+1- an= λ，即 a2n- an= λ，
2
又因为 a2n- a = a 1 1 1 1 1n n- 2 - 4 ≥- 4 ，所以 λ≥- 4 ，所以 λ的取值范围为 - 4 ,+∞ ，故C正确；
对于D，假设数列 an 是周期数列，且最小正周期为 2，即 an+2= an且 an+1≠ an，
因为 a2n+1- a = λ，可得 a2n n+2- an+1= λ，所以 a2n- an+1= λ，则 a2 2n+1- an= an- an+1，
即 a2 2n+1- an+ an+1- an= (an+1- an) (an+1+ an+ 1) = 0，
又因为数列 an 的各项均为正数，即 an> 0,an+1> 0，所以 an+1- an= 0，即 an+1= an，这与 an+1≠ an矛盾，
所以数列 an 的最小正周期不可能是 2，故D错误，故选：AC .
22． (多选题)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小
石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10， 称为
三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16， 称为正方形数，记三角形数构成数列
{an}，正方形数构成数列 {bn}，则下列说法正确的是 ( )
A. 1 + 1 + 1 + + 1 < 2；
b1 b2 b3 bn
B. 1225既是三角形数，又是正方形数；
10
C. (-1)ibi= 50；
i=1
D. m∈N+,m≥ 2,总存在 p、q∈N+，使得 bm= ap+ aq成立；
【答案】ABD
【解析】由题意有数列 an 中，a1= 1,a2- a1= 2,a3- a2= 3, an- an-1=n，n≥ 2，
所以 an= a1+ a2-a1 + a3-a2 + + an-
n n+1
an-1 = 1+ 2+ 3+ +n= 2 ，
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当n= n n+1 1时，得 a1= 1也满足，故 an= 2 ，
数列 bn 中，b1= 1,b2- b1= 3,b3- b2= 5,b4- b3= 7, bn- bn-1= 2n- 1,n≥ 2，
所以 bn= b1+ b2-b1 + b 2 23-b2 + + bn-bn-1 = 1+ 3+ 5+ + 2n-1 =n ,b1= 1满足上式，故 bn=n ，
A 1 = 1 = 4 < 4 = 2 1 - 1对于 ： ，
bn n2 2n 2 2n+1 2n-1 2n-1 2n+1
1
故 + 1 + 1 + + 1 < 2 1- 1 + 1 13 3 - 5 + +
1 1 1
b1 b2 b3 bn 2n-1
- 2n+1 = 2 1- 2n+1 < 2，A正确；
n n+1
对于B：因为 an= 2 = 1225 n n+1 = 2450 n-49 n+50 = 0 n= 49，所以 a49= 1225，
又 bn=n2= 1225 n= 35，故B正确；
10 10
对于C：由∑(-1)ibi=∑(-1)ii2=-1+ 22- 33+ 42+ +102= 2-1 2+1 + 4-3 4+3 +
i=1 i=1
+ - + = + + + + = 5 3+19 10 9 10 9 3 7 11 19 2 = 55，故C错误；
m m+1 m m-1
对于D： m∈N+,m≥ 2,取 p=m,q=m- 1，故 ap+ aq= am+ a 2m-1= 2 + 2 =m = bm，
所以 m∈N+,m≥ 2,总存在 p，q∈N ，使得 bm= ap+ aq成立，故D正确，故选：ABD
23． (多选题)已知数列 an 为递增数列，前 7项分别为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7，则 ( )
A. a2,a3,a4,a5,a6的平均数等于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的平均数
B. a2,a3,a4,a5,a6的中位数等于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的中位数
C. a2,a3,a4,a5,a6的方差大于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的方差
D. a2,a3,a4,a5,a6的极差小于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的极差
【答案】BD
【解析】对于A：取数列：1,2,3,4,5,6,8，显然 2,3,4,5,6平均数为 4，1,2,3,4,5,6,8 29平均数为 7 ，故A错误；
对于B：a2,a3,a4,a5,a6的中位数为 a4，a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的中位数为 a4，B正确；
2-4 2 + 3-4 2 + 4-4 2 + 5-4 2, , , , , , , , , , + 6-4
2
对于C：取数列 1 2 3 4 5 6 7，则 2 3 4 5 6的方差为 5 = 2，
2 2 2 2 2 2 2
1,2,3,4,5,6, 1-4 + 2-4 + 3-4 + 4-4 + 5-4 + 6-4 + 7-4 7的方程为： 7 = 4，C错误；
对于D：a2,a3,a4,a5,a6的极差为 a6- a2，a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的极差为 a7- a1，
因为数列 an 为递增数列，则 a6- a2< a7- a1，D正确，故选：BD
24． (多选题)数列 an 满足前两项都是 1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐
波那契数列，若 an 的前n项和为Sn，下列关于斐波那契数列说法正确的是 ( )
A. S2022+ 1= a2024
B. 若此数列被 4整除后的余数构成一个新的数列 bn ，则 bn 的前 2024项之和为 2697
C. 前 2024项中奇数共有 1350个
D. (a1a - a23 2) + (a a - a22 4 3) + (a 2 23a5- a4) + + (a2022a2024- a2023) = 0
【答案】ACD
【解析】数列 an 中，a1= a2= 1,an+2= an+1+ an，
对于A，an= an+2- an+1，则 a1+ a2+ a3+ +a2022= a3- a2+ a4- a3+ a5- a4+ +a2013- a2022+ a2024- a2023
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25
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= a2024- a2，即S2022= a2024- 1，因此S2022+ 1= a2024，A正确；
对于B，数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 各项除以 4的余数依次为
1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0, ，因此数列 bn 是周期数列，周期为 6，前 6项和为 8，
bn 的前 2024项和为 337× 8+ 1+ 1= 2698，B错误；
对于C，数列 an 中项是以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每 3个数一组，
因此数列 an 前 2024项中奇数共有 674× 2+ 2= 1350，C正确；
对于D，a 2 2n+1an+3- an+2= an+1an+3- an+2(an+1+ an) = an+1(an+3- an+2) - an+2an= an+1- an+2an，
则 (anan+2- a2n+1) + (an+1an+3- a2n+2) = 0，于是 (a1a3- a2 2 2 22) + (a2a4- a3) = (a3a5- a4) + (a4a6- a5)
= = (a2021a2023- a2 22022) + (a2022a2024- a2023) = 0，又 2024= 506× 4，等式成立，D正确，故选：ACD
25．在数列 an 中，a1= 4，a5=-3，且任意连续三项的和均为 7，则 a2026= ；记数列 an
的前n项和为Sn，则使得Sn≤ 100成立的最大整数 n= .
【答案】 4 44
【解析】由题意得 an+ an+1+ an+2= an+1+ an+2+ an+3，故 an= an+3，所以 an 是周期为 3的周期数列，
所以 a2026= a3×675+1= a1= 4，其中 a2= a5=-3，
当n= 3k，k∈N 时，Sn= 7n 7n3 ，令 3 ≤ 100 n≤
300
，解得 7 ，此时n的最大整数为 40，
当n= 3k+ 7 n-1 1，k∈N 7n+5 7n+5 295时，Sn= 3 + 4= 3 ，令 3 ≤ 100，解得n≤ 7 ，故n最大整数为 42，
n= 7 n-2 3k+ 2,k∈N S = + 4- 3= 7n-11 7n-11 ≤ 100 n≤ 311当 时， n 3 3 ，令 3 ，解得 7 ，
此时n的最大整数为 44，综上，使得Sn≤ 100成立的最大整数 n= 44，故答案为：4，44
26．已知数列 a
nπ
n 的通项公式为 an=nsin 3 ，则 a1+ a2+ a3+ +a2021= .
【答案】-1011 3
nπ nπ
【解析】由题意，数列 an 的通项公式为 an=nsin 3 ，且函数 y= sin 3 的最小正周期为 6，
+ + + = ( + ) (6n+1)π (6n+2)π (6n+6)π故 a6n+1 a6n+2 a6n+6 6n 1 sin 3 + (6n+ 2) sin 3 + + (6n+ 6) sin 3
= (6n+ 1) sin π3 + (6n+ 2) sin
2π 6π
3 + + (6n+ 6) sin 3
= 6n+1 3 2 + 6n+2
3
2 + 6n+3 0+ + 6n+4
3 3
- 2 + 6n+5 - 2 + 6n+6 0=
-3 3，又因为 2021= 6× 336+ 5= 6× 337- 1，
所以 a1+ a2+ a3+ +a2021= 337× -3 3 - a2022=-1011 3，故答案为：-1011 3
1+a
27．已知数列 an ，满足 a = n-1n 1-a ，若 a1= 2，Sn表示 an的前n项和，则 S2025= .n-1
【答案】- 17653 / - 588
1
3
= 1+an-1 1+a 1+a 1+(-3)【解析】因 an 1-a ，a1= 2，则 a =
1
2 1-a =
1+2
1-2 =-3
1
，a 23= 1-a = -(- ) =- 2 ，n-1 1 2 1 3
1+a 1+ - 1 1= 3 = 2
1+
= 1 = 1+a4 = 3 = = 1+aa 1+24 1-a 1 3 ，a
5
5 1-a 1 2，a6 1-a =3 1- - 4 1- 5 1-2
=-3， ，
2 3
可见 4 1 1 7是数列 an 的一个周期，且 a1+ a2+ a3+ a4= 2+ (-3) + - 2 + 3 =- 6 ，
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 26
选修二培优讲义
故S2025=S4×506+1= 506(a1+ a2+ a3+ a4) + a1= 506× - 7 + 2=- 1765 17656 3 ，故答案为：- 3
28． 1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那
契数列，即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物
理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被 3除后的余数构成一新数列 an ，则数列
an 的前 2025项的和为 .
【答案】2278
【解析】由数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 各项除以 3的余数，
可得数列 an 为 1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1， ，所以数列 an 是周期为 8的数列，
一个周期中 8项和为 1+ 1+ 2+ 0+ 2+ 2+ 1+ 0= 9，
又因为 2025= 253× 8+ 1，所以数列 an 的前 2025项的和S2025= 253× 9+ 1= 2278，故答案为：2278.
a
29．已知数列 an 满足 a1= 8，a * nn+1- an=n n∈N ，则 n 取最小值时 n= ．
【答案】4
【解析】由题意，n∈N *，在数列 an 中，a1= 8，an+1- an=n n∈N *
∴ a2- a1= 1,a3- a2= 2, ,an- an-1=n- 1，
∴ 1+n-1 n-1 n n-1 n n-1 an- a1= 1+ 2+ +n- 1= 2 = 2 ，即 an= 2 + 8 n∈N
* ，
16 16
∴ an = n-1 + 8
2 n+ -1 2 n -1
n 2 n =
n -n+16
2n =
n ≥ n 72 2 = 2 ，
n= 16n = a当且仅当 即n 4时等号成立，∴
n
n 取最小值时 n= 4，故答案为：4.n>0
m
30．对于给定的数列 an ， bn 和正整数m，若函数 f(x) = ai-bi x中 x的系数为正数，则
i=1
称 f(x)为正比例近似函数，已知数列 an , bn 满足 a1= 1,an= 2an-1+ 1,bn= log2 an+1 ，若
f(x)为正比例近似函数，则m的取值范围为 ．
【答案】 m∣m≥2,m∈N *
【解析一】由 an= 2an-1+ 1得 an+ 1= 2 an-1+1 ，而 a1+ 1= 2≠ 0，
则数列 an+1 是以 2为首项、2为公比的等比数列，所以 an+ 1= 2n，
则 a = 2nn - 1，故 bn= log2 2n-1+1 =n，
令 c n n+1 n nn= an- bn= 2 -n- 1，则 cn+1- cn= 2 - 1- (n+ 1) - 2 -1-n = 2 - 1> 0，
m
所以 cn≥ c1= 0，所以当n> 1时，an- bn> 0，则当m> 1时，∑ ai-bi > 0，
i=1
故m的取值范围为 m m≥2,m∈N * ．
【解析二】设 cn= an+ 1，则 an= cn- 1，由 an= 2an-1+ 1，得 cn- 1= 2 cn-1-1 + 1，
即 cn= 2cn-1，而 c1= a1+ 1= 2≠ 0，故 cn 为等比数列，
所以 c = 2nn ,bn= log2cn= log22n=n，下同法 1，故答案为： m m≥2,m∈N *
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
27
2026年选修二培优讲义
第 2讲：等差数列及基本性质
题型一：等差数列的概念及通项
1．在等差数列 an 中，a4+ a8= 24，a7= 15，则 a4= ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为 d，因为 a4+ a8= 2a6= 24，所以 a6= 12，又 a7= 15，
所以公差 d= 3,a4= a6- 2d= 6，故选：C
2．已知数列 an 为等差数列，a1= 2，2a2+ a4= a3+ 13，则该数列的公差为 .
【答案】3
【详解】设公差为 d，则 2a2+ d= 13，又 a2= a1+ d，则 2a1+ 3d= 4+ 3d= 13，可得 d= 3，故答案为：3
3．若等差数列 an 满足 an+ an+1= 4n+ 1，则 a1= ( )
A. 3 B. 32 C. 1 D.
1
2
【答案】B
【详解】设等差数列 an 的公差为 d，则 an= a1+ (n- 1)d，an+1= a1+nd，
2a -d=1 a = 3
因为 an+ an+1= 4n+ 1得 an+ an+1= 2a1+ 2n-1 d= 2a 1 11- d+ 2nd，所以 ，解得 2 ，选：B2d=4 d=2
4．已知数列 an ，a1= 13，an+1= an- 4，求：
(1)数列 an 的通项公式； (2)数列 an 的前n项和Sn的最大值
【答案】(1) - 4n+ 17；(2)28
【详解】(1)由 an+1= an- 4，可知 an+1- an=-4，所以数列 an 是以 13为首项，以-4为公差的等差数列，
所以 an= 13- 4 n-1 =-4n+ 17；
(2)由 (1) a =-4n+ 17 17 17可知 n ，令-4n+ 17> 0，解得n< 4 ，令-4n+ 17< 0，解得n> 4 ，
即数列从第 5 4×3项开始小于 0，所以数列 an 的前 4项和最大，最大值为S4= 4× 13+ 2 × -4 = 28
5．已知等差数列 an 满足 a2+ a3= 14，且 a4- a2= 8，则首项 a1= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【详解】设等差数列 an 的公差为 d，因为 a2+ a3= 14，且 a4- a2= 8，
a2+a3=2a1+3d=14 a =1所以 1 a4- ，所以 ，故选：Aa2=2d=8 d=4
6．已知 an 是递增的等差数列，a2，a4是方程 x2- 5x+ 6= 0的根
(1) a求 an 的通项公式； (2)求数列 n 2n 的前n项和
(1) n+2 (2)S = 2- n+4【答案】 2 ； n 2n+1
【详解】(1)因为 a 22,a4是方程 x - 5x+ 6= 0的两个根，且 {an}为递增等差数列，
所以 a2= 2,a4= 3 d=
3-2
，公差 2 =
1 1 n+2
2 ，所以 an= 2+ 2 n-2 = 2
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 28
选修二培优讲义
(2) (1) an = n+2 S = 3 + 4 + ...+ n+1 n+2由 知
2n 2n+1
，所以 n 22 3 n
+ n+1 ，①2 2 2
1 S 3 4 n+1 n+22 n= 3 + 4 + ...+2 2 2n+1
+
2n+2
，②
1 1 n-11-
1 3 1 1 3 2
①-②得 2 Sn= 4 + 3 + 4 + ...+
1 n+2 3
n+1 - n+2 = 4 +
2
1 -
n+2
2 2 2 2 n+21- 22
= 3 + 1 - 2 - n+2 = 1- n+44 4 n+2 n+2 n+2 ，所以Sn= 2-
n+4
2 2 2 2n+1
题型二、等差中项的应用
1．在等差数列 an 中，若 a2= 4，a4= 2，则 a6= ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 6
【答案】B
1 1
【详解】等差数列 an ，若 a2= 4,a4= 2，则 a4= 2 a2+a6 = 2 4+a6 = 2，解得 a6= 0，故选B.
2．等差数列 an 的前三项依次为 x，2x+ 1，4x+ 2，则 x的值为 ．
【答案】0
【详解】等差数列 an 的前三项依次为 x，2x+ 1，4x+ 2，∴ x+ 4x+ 2= 2× 2x+1 ，则 x= 0，故答案为：0.
3．设数列 {an}，{bn}都是等差数列，若 a1+ b1= 7，a3+ b3= 21，则 a5+ b5= ．
【答案】35
【详解】因为 {an}，{bn}都是等差数列,所以 an+bn 也成等差数列，
根据等差数列的性质 a1+ b1= 7，a3+ b3= 21, a5+ b5成等差数列，因而 a5+ b5= 2× 21- 7= 35.
题型三、等差数列的性质
1．已知等差数列 an ，若 a1+ a2+ a3+ +a12= 21，则 a2+ a5+ a8+ a11= .
【答案】7
【解答】因为等差数列 an 中，满足 a1+ a2+ a3+ +a12= 21，
根据等差数列性质得 a1+ a2+ a3+ +a12= 6(a1+ a12) = 21 7，解得 a1+ a12= 2 ，
又由 a2+ a5+ a8+ a11= 2(a1+ a12) = 7，故答案为：7.
2．已知数列 an 为等差数列，a1+ a2+ a3= 7，a7+ a8+ a9= 13，则 a13+ a14+ a15= ( )
A. 19 B. 22 C. 25 D. 27
【答案】A
【详解】由 a1+ a2+ a3= 7,a7+ a8+ a9= 13得 3a
7 13
2= 7,3a8= 13，所以得 a2= 3 ,a8= 3 ，
又 a2+ a14= 2a
19
8可得 a14= 3 ，所以 a13+ a14+ a15= 3a14= 19，故选：A
3．在等差数列 an 中，若 a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 120，则 2a6- a9= .
【答案】24
【详解】因为在等差数列 an 中，有 a1+ a5= a2+ a4= 2a3，所以由 a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 120，
得 5a3= 120，a3= 24，又 a3+ a9= 2a6，所以 2a6- a9= a3= 24，故答案为：24
4．已知等差数列 an 前n项和为Sn，且S28= 56，则 a12+ a13+ a14+ a15+ a16+ a17=
【答案】12
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29
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a1+a28 ×28
【详解】由S28= 2 = 56，得 a1+ a28= 4，
则 a12+ a13+ a14+ a15+ a16+ a17= 3 a1+a28 = 12，故答案为：12.
题型四、等差数列前 n项和的求解
1．记Sn为等差数列 {an}的前n项和，若 a3+ a4= 7，3a2+ a5= 5，则S10= .
【答案】95
【详解】因为数列 an为等差数列，则由题意得 a1+2d+a1+3d=7 a1=-4 ，解得 ，3 a1+d +a1+4d=5 d=3
10×9
则S10= 10a1+ 2 d= 10× -4 + 45× 3= 95，故答案为：95.
2．记Sn为等差数列 an 的前n项和，已知S5=S10，a5= 1，则 a1= ( )
A. 7 B. 72 3 C. -
1
3 D. -
7
11
【答案】B
【详解】由S10-S5= a6+ a7+ a8+ a9+ a10= 5a8= 0，则 a8= 0，
则等差数列 an 的公差 d=
a8-a5 =- 13 3 ，故 a1= a5- 4d= 1- 4× -
1
3 =
7
3 ，故选：B.
3．记Sn为等差数列 an 的前n项和，已知 a2= 11，S10= 40
(1)求 an 的通项公式； (2)求数列 an 的前n项和Tn．
14n-n2, n≤7
【答案】(1)15- 2n；(2)Tn= n2-14n+98, n≥8
a2=a1+d=11
【详解】(1) a +d=11设等差数列公差为 d，由题意得 1 S10= ，即 ，10a + 10×91 2 d=40 2a1+9d=8
a1=13解得 d=- ，所以 a = 13- 2 n-1 = 15- 2n，2 n
( ) = n 13+15-2n 2 因为Sn 2 = 14n-n
2 15，令 an= 15- 2n> 0，解得n< 2 ，且n∈N
*，
当n≤ 7时，则 an> 0，可得Tn= a1 + a2 + + an = a1+ a2+ +a =S = 14n-n2n n ；
当n≥ 8时，则 an< 0，可得Tn= a1 + a2 + + an = a1+a2+ +a7 - a8+ +an =S7- Sn-S7
14n-n
2, n≤7
= 2S 27-Sn= 2 14×7-7 - 14n-n2 =n2- 14n+ 98；综上所述：Tn= .n2-14n+98, n≥8
4．记Sn是公差不为 0的等差数列 an 的前n项和，若 a3=S5，a2a4=S4
(1)求数列 an 的通项公式 an； (2)求使Sn> an成立的n的最小值．
【答案】(1)2n- 6；(2)7
【详解】(1)由等差数列性质得：S5= 5a3，则 a3= 5a3，∴ a3= 0，设等差数列的公差为 d，
从而有 a2a4= a3-d a3+d =-d2，S4= a1+ a2+ a3+ a4= a3-2d + a3-d + a3+ a3+d =-2d，
从而-d2=-2d，由于公差不为零，故：d= 2，数列通项公式：an= a3+ n-3 d= 2n- 6
(2) n n-1 由数列通项公式得 a1= 2- 6=-4，则：S 2n=n× -4 + 2 × 2=n - 5n，则不等式Sn> an
即：n2- 5n> 2n- 6，整理得 n-1 n-6 > 0，解得：n< 1或n> 6，又n为正整数，故 n的最小值为 7
5．设等差数列 an 的前n项和为Sn，a5= 3，S5= 35
(1)求 an 的通项公式； (2)设数列 an 的前n项和为Tn，求T10
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【答案】(1)13- 2n；(2)52
a5=a1+4d=3
【详解】(1)设等差数列 an 公差为 d，∵ a5= 3，S5= 35，∴ S5= ，5a + 5×41 2 d=35
解得 a1= 11，d=-2，故 an= a1+ (n- 1)d= 13- 2n.
(2)由 ( ) n(11+13-2n)1 知 an=-2n+ 13，d=-2，∴ a = 1，a 26 7=-1，Sn= 2 = 12n-n ，
∴T10= a1 + a2 + + a10 = a1+ a2+ +a6- a7+a8+a9+a10 =S6- S10-S6 = 2S6-S10= 52
6．已知 an 为等差数列，且 a5= 3a1，a1+ a5+ a14= a10+ 24
(1)求 an 的通项公式； (2)若 2n λ≥ a1+ a2+ +an恒成立，求实数 λ的取值范围．
【答案】(1)an= 2n+ 2；(2) 5 2 ,+∞
a +4d=3a a =4
【详解】(1)设数列 an 公差为 d，则题意得 1 1 1 ，解得 ，则 a3a +17d=a +9d+24 d=2 n= 2n+ 21 1
(2)由 (1)可知运用等差数列求和公式，得到 Sn= a1+ a 22+ +an=n + 3n，
2n λ≥ a + a + +a λ≥ n
2+3n
又 1 2 n恒成立，则 n 恒成立，2
2
f n n +3n
2
设 = n ，则 f(n+ 1) - f n =
-n -n+4
n+1 ，当n= 1时，f 2 - f 1 =
1

2 2 2
> 0，即 f 2 > f 1 ；
当n≥ 2时，-n2-n+ 4≤-2，则 f(n+ 1) - f n < 0，则 f(n+ 1)< f n ；
则 f n max= f(2)，故 λ≥ f 2 =
5 λ 5 2 ，故实数 的取值范围为

2 ,+∞
题型五、等差数列前 n项和的性质
1．设等差数列 {an}的前n项和为Sn，若S3= 9，S6= 36，则 a7+ a8+ a9= ( )
A. 63 B. 36 C. 45 D. 27
【答案】C
【详解】由等差数列前 n项和的性质可知，S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，即 9，27，S9-S6成等差数列，
故 9+S9-S6= 54，故S9-S6= 45，即 a7+ a8+ a9= 45，故选：C
2．等差数列前 n项的和为 30，前 2n项的和为 100，则它的前 3n项的和为 ( )
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
【答案】C
【详解】等差数列性质：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，所以Sn+ S3n-S2n = 2 S2n-Sn ，
即 30+ S3n-100 = 2 100-30 ，解得S3n= 210，故选：C .
S
3 S 13
S
．设 n是等差数列 an 的前n项和，若
7
S = ，则
15
6 11 S
= ．
11
645
【答案】451
S 7a +21d 13 S 15a +105d 645 645
【详解】设数列 a 公差为 d，∵ 7 = 1 15 1n S6 6a1+
=
15d 11
，∴ a1= 36d，则 S = = ，答案11 11a1+55d 451 451
S a
4 n-1．已知等差数列 an ， bn 的前n项和分别为Sn,Tn，且 nT =
6
n+1 ，则 = ( )n b8
A. 516 B.
7 C. 11 516 16 D. 8
【答案】D
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31
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【详解】因为Sn为等差数列 an 的前n项和，所以可设S =An2n +Bn，
同理因为Tn为等差数列 b 2n 的前n项和，所以可设Tn=Cn +Dn
Sn = n-1 n An+B = An+B n-1又 T n+1 ，所以 + = n+1 ，即 An+B n+1 = Cn+D n-1 ，n n Cn+D Cn D

整理得An2+ A+B n+B=Cn2+ D-C n-D，解得A=-B=C=D，
a
不妨设Sn=n n-1 5 ，则Tn=n n+1 ，则 a6=S -S 66 5= 10,b8=T8-T7= 16，故 = 8 ，故选：Db8
5．已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前 n项和分别为Sn，Tn，满足 (2n+ 3)Sn= (3n- 1)
a7+a8+aT 9n，则 = ( )b6+b10
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】A
1 1
【详解】因为数列 an , bn 均为等差数列，可得 a7+ a8+ a9= 3a8= 5 × 15a8= 5 S15，
+ 15 b1+b15 b 2且 6 b10= b1+ b15，又由T15= 2 ，可得 b6+ b10= 15 T15．
1
a S15
因此 7
+a8+a9
+ =
5 = 3 S152 2 T =
3 × 42 3 = 2，故选：A．b6 b10 15
15 T15
6．等差数列 an 的前n项和为Sn，若S2= 2，S4= 10,则S6等于 ( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 42
【答案】C
【详解】第一个 2项和为 2，第二个 2项和为 8，则每 2项构成的等差数列的公差为 6，
第三个 2项和为 14，则S6= 2+ 8+ 14= 24，故选：C .
7．等差数列 an 前n项和为S *n，S3= 6，Sn-3= 16 n≥4,n∈N ，Sn= 20，则n的值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
【答案】B
【详解】由S3= 6，得 a1+ a2+ a3= 6①，
因为S = 16 n≥4,n∈N *n-3 ，Sn= 20，所以Sn-Sn-3= 4，即 an+ an-1+ an-2= 4②，
①②两式相加，得 a1+ an+ a2+ an-1+ a3+ an-2= 10，即 3 a1+an = 10，
+ = 10 = n aa a S 1+an 5n所以 1 n 3 ，所以 n 2 = 3 = 20，解得n= 12，故选：B.
8．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若S4= 2，S8= 12，则S20= ( )
A. 30 B. 58 C. 60 D. 90
【答案】D
【详解】由数列 an 为等差数列，故S4、S8-S4、S12-S8、S16-S12、S20-S16亦为等差数列，
由S4= 2，S8= 12，则S8-S4= 10，故S12-S8= 18，S16-S12= 26，S20-S16= 34，
即有S12= 18+S8= 30，S16= 26+S12= 56，S20= 34+S16= 90，故选：D.
S n+3 a9．已知等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为S n 3n和Tn，且 T =n n-1
，则 = ．
b4
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4
【答案】3
【详解】因为等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为Sn和Tn，
Sn n+3 kn n+3 故可设 T = n-1 = k≠0 ，所以Sn= kn(n+ 3),Tn= kn(n- 1),k≠ 0，n kn n-1
a3 = S3-S2 = 18k-10k = 8k所以 T -T - =
4 4
3 ，故答案为： .b4 4 3 12k 6k 6k 3
S
10 2n-3．设等差数列 an ， bn 的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数 n都有 nT = ，n 4n-3
a
则 3+ +
a9 = ( )
b4 b8 b5+b7
A. 37 B.
5 C. 19 1921 41 D. 40
【答案】C
11
a a (a1+a11)
【详解】由等差数列等和性得 3 + 9 = a3 + a9 = a3+a9 = a1+a11 = 2 = S11
b4+b8 b5+b7 2b6 2b6 2b6 b1+b11 11 (b +b ) T112 1 11
= 2×11-3 194×11-3 = 41 ，故选：C .
题型六、等差数列通项公式与前 n项和的关系
S
1．记Sn为数列 an 的前n项和，设甲： an 为等差数列；乙： n n 为等差数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解一】甲： an 为等差数列，设其首项为 a1，公差为 d，
n(n-1) S
S n n-1 d d S S d则 n+1 nn=na1+ 2 d，n = a1+ 2 d= 2 n+ a1- 2 , n+1 - n = 2 ，
S
因此 n n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
S
反之，乙： n
S S nS -(n+1)S na -S
n 为等差数列，即
n+1 n n+1 n n+1 n
n+1 - n = n(n+ = 为常数，1) n(n+1)
na
设为 t，即 n+1
-Sn = t，则S =na - t n(n+ 1)，有S = (n- 1)a - t n(n- 1),n≥ 2，
n(n+1) n n+1 n-1 n
两式相减得：an=nan+1- (n- 1)an- 2tn，即 an+1- an= 2t，对n= 1也成立，
因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.
= + n(n-1)【详解二】甲： an 为等差数列，设数列 an 首项 a1，公差为 d，即Sn na1 2 d，
Sn (n-1) d d则 Sn n = a1+ 2 d= 2 n+ a1- 2 ，因此 n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
Sn S反之，乙： 为等差数列，即 n+1 - Sn Sn n n+1 n =D, n =S1+ (n- 1)D，
即Sn=nS1+n(n- 1)D，Sn-1= (n- 1)S1+ (n- 1) (n- 2)D，
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
33
2026年选修二培优讲义
当n≥ 2时，上两式相减得：Sn-Sn-1=S1+ 2(n- 1)D，当n= 1时，上式成立，
于是 an= a1+ 2(n- 1)D，又 an+1- an= a1+ 2nD-[a1+ 2(n- 1)D]= 2D为常数，
因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充选修二培优讲义
2026年新高二《选修二》同步培优讲义
目录：
第 1讲：数列概念与基本性质 2
第 2讲：等差数列及基本性质 27
第 3讲：等比数列及基本性质 65
第 4讲：数列的递推与通项公式 103
第 5讲：数列的求和问题 142
第 6讲：数列的绝对值、奇偶项、插项、公共项、取整、存在项问题 169
第 7讲：数列与不等式及数学归纳法的应用 200
第 8讲：数列中的新文化、新定义问题 224
第 9讲：导数的概念、运算及几何意义 264
第 10讲：导数与函数的单调性 281
第 11讲：三次函数的图象和性质 314
第 12讲：利用二阶导函数解决函数问题 331
第 13讲：导数与函数的极值、最值 361
第 14讲：利用导数证明不等式 396
第 15讲：利用导数研究恒成立与能成立 (有解)问题 419
第 16讲：端点效应 442
第 17讲：洛必达法则 456
第 18讲：函数的零点问题及方程的根 468
第 19讲：卡根思想在导数中的应用 510
第 20讲:利用导数研究双变量问题 529
第 21讲：构造函数及不等式放缩 548
第 22讲：泰勒展开式及相关不等式放缩 564
第 23讲：导数中的隐零点问题 579
第 24讲：几类极值点偏移问题 598
第 25讲：拉格朗日中值定理 641
第 26讲：新高考下的导数常考问题 665
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
1
选修二培优讲义
第 1讲：数列概念与基本性质
题型一：数列的递推公式问题
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an
称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是 ( )
A. a7= 8 B. a8= 22 C. a9= 34 D. a10= 59
2．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金
属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只
能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放
在较小的金属片上面．将 n个金属片从 1号针移动到 3号针最少需要移
动的次数记为 f n ，则 f 2020 = ( )
A. 22020 B. 22021 C. 22020- 1 D. 22021- 1
3．一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的
两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房A只能爬到 1号或 2号蜂房，从
1号蜂房只能爬到 2号或 3号蜂房， ，以此类推，用 an表示蜜
蜂爬到n号蜂房的方法数，则 a2025被 7除的余数为 ( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来
研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多
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3
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类，如图的 1,5,12,22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作 an ，则下列是数列 an 的
项的是 ( )
A. 36 B. 50 C. 70 D. 91
5 1 - 1 1 1．数列 2 ， 4 ，8 ，- 16 ， 的第n项 an与第n+ 1项 an+1的关系是 ( )
A. a = 2a B. a =-2a C. a = 1 a D. a =- 1n+1 n n+1 n n+1 2 n n+1 2 an
6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几
何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为
“大自然的几何学”，按照如图 1所示的分形规律，可得如图
2所示的一个树形图，若记图 2中第n行黑圈的个数为 an，
白圈的个数为 bn，则下列结论错误的是 ( )
A. a4= 8 B. b5= 13 C. an+1= 2an+ bn D. bn+1= 2an- bn
题型二：数列的单调性
4-a x-5, x≤8
1．设函数 f x = - ，数列 an 满足 an= f n ，且数列 ax 8, > n 是递增数列，则a x 8
a的范围是 ( )
A. 1,4 B. 3,4 C. 134 ,3 D.
13
4 ,4
2．已知数列 an 满足 a1= 2,an+1= 2an+ 2，设 bn= n-λ log2 an+2 ，λ∈R，若数列 bn 是
递增数列，则实数 λ的取值范围是 ( )
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A. -∞,3 B. 4,+∞ C. 3,+∞ D. -∞,4
3．数列 an 通项为 an=n2- kn n∈N * ，且 an 为单调递增数列，则 k的取值范围 ( )
A. -∞,2 B. -∞,3 C. -∞,2 D. -∞,3
3-a x-3, x≤7
4．已知函数 f x = - ，若数列 ax 6 n 满足 an= f n (n∈N+)且 an 是递增a , x>7
数列，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 94 ,3 B.
9
4 ,3 C. (2,3) D. [2,3)
5．已知数列 an 满足 2an+1an+ an+1- 3an= 0，且 a1> 0，若数列 an 为递增数列，则 a1的取
值范围是 ( )
A. 0, 13 B. 0,
1
2 C. (0,1) D. 1,2
6．已知 an 为无穷数列，若 an+1 是递增数列， an-3 是递减数列，则 ( )
A. n∈N *，a *n≤ 3 B. n∈N ，an≥-1
C. n∈N *，an> 3 D. n∈N *，an<-1
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题型三：最值问题
1 1 n．数列 an 的前n项和为 1- n ， bn 的前n项和为
*
n+1 ，n∈N ，则数列 a -b ( )2 n n
A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项
C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项
2．已知数列 an 的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若 an+Sn= 1000，则使Tn取得最大值时 n
的值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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-1 n
3．已知数列 an 满足 a = nn n- n ，则 an ( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
4 2．已知数列 an 的首项为 3 ，若 an 的前n项积Tn= 2- 2an，则 ( )
A. 数列 an 有最大项，无最小项 B. 数列 an 无最大项，有最小项
C. 数列 an 有最大项，有最小项 D. 数列 an 无最大项，无最小项
7 2n-7 , n≤5
5．已知数列 an 的通项公式为 an= ，若 a1 1 7是 an 中唯一的最小 n2 7 - 7 a-1 n, n≥6
项，则实数 a的取值范围是 ( )
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A. 14,16 B. 15,16 C. 15,16 D. 14,16
3 n-16 3
n-1
．已知数列 an 的通项公式为 an= 4 4 -1 ，n∈N * ，则关于数列 an 的最值叙
述正确的是 ( )
A. 既有最大项也有最小项 B. 只有最大项没有最小项
C. 没有最大项只有最小项 D. 没有最大项也没有最小项
题型四：数列的周期性
1 1．已知数列 an 中，a1= 2且 an+1= 1-a n≥1 ，则 a2024= ( )n
A. - 1 B. 2 C. - 2 D. 12
2．已知数列 an 中，a1=- 14 ，an+1= 1-
1
a ，则 a2025= (　　)n
A. 5 B. 54 C.
8 4
3 D. 5
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3 1
1+a
．已知数列 an 满足 a1= n2 ，an+1= 1-a ，则 a2025= ( )n
A. 1 12 B. - 2 C. - 3 D. 3
2an,0≤a 1n<
4．已知数列 an 满足 a
2
n+1= 1 ， n∈N * ，若 a1=
2
2a -1, ≤a <1 5
，则 a2025= ( )
n 2 n
A. 45 B.
3 C. 2 D. 15 5 5
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2，反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→ 4→ 2→ 1．这就是数学史上著名的“冰雹
an
猜想” (又称“角谷猜想”) ,当a 为偶数时,，已知数列 an 满足 a1= 1，a nn+1= 2 ，则 a2025=3an+1,当an为奇数时,
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2a
1
n,an< ,
6．在数列 a
4
n 中，a
2
n+1= 1 ，若 a1= 5 ，则 a2025= ( )2an-1,an≥ 2 ,
A. 4 B. 35 5 C.
2 1
5 D. 5
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题型五：恒成立问题
1．已知Sn是各项均为正实数的数列 an 前n项和，a = 1，a21 n+1- an+1an- 6a2n= 0，若 2Snan
-man+ 27≥ 0，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,17 B. -∞,15 C. -∞,9 D. -∞,21
n n-1
2．已知数列 an 的前n项和为Sn，且 a1=m，nan-Sn= ，若对任意的 n∈N *2 ，等式
Sn
S = λ恒成立，则m+ λ= ．2n
3．对数列 an ，a1= 2，对于任意 n，m∈N+ 9，都有 am an= am+n，若 λ≤ an+ a 对于任意的 nn
∈N+恒成立，则 λ的最大值为 ．
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4．已知各项均不为 0的数列 {an}前n项和为Sn，且 a1= =
a
1，S n
an+1+1
n 4
(1) {an}的通项公式为 an= ．
(2)若对于任意 n∈N *，2n λ≥Sn恒成立，则实数 λ的取值范围为 ．
5 3 1．已知数列 an 的首项 a1= 2 ，且 an+1- an=- n+1 ，则 an 的通项公式为 ；2
若不等式 a1a2a3 an低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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6．已知数列 an 满足 a1= 2，an= 3an-1+ 2 n≥2,n∈N 2n+1 ，令 bn= a +1 ，数列 bn 的前n项n
和为T，若对任意 n∈N ， T nn n-2 -1 + λ≥ 1恒成立，则实数 λ的取值范围为 ．
题型六：数列的规律问题
1．将各位数字之和为 9的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列 an ，即 9,18,27, ，
则 a6= ；若 am= 2025，则m= ．
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2 a 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n+1．数列 n 的各项按如下规律排列：1 ，1 ，2 ，1 ，2 ，3 ，1 ，2 ，3 ，4 ， ， 1 ，
n+1 n+12 ， ， n ， ，则 a2012= ．
3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列 an 前 10项依次是 0，
2，4，8，12，18，24，32，40，50，记 bn= (-1)n an,n∈N *，则数列 bn 前 2024项和 ．
4．将正奇数按下表排成 5列：
第 1列 第 2列 第 3列 第 4列 第 5列
第 1行 1 3 5 7
第 2行 15 13 11 9
第 3行 17 19 21 23
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那么，2005应在第 行 列．
5 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4．某种规律排列一列数：1，2 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，5 ，5 ，5 ，5 ， 则第 50个数是 .
6．如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1,2,3, ,200”的标签号，某人从第一道
门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从 1开始依次报一
个数，报到奇数时把门打开.数完一轮后回到起点，再重复此过程，
则最后一道关闭的门标签号为 .
题型七：数形结合、转化与化归、分类讨论
1．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的
建筑技术--举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线，如图，“举”是
屋架 BC的高度 hB1，点 B1，B2，B3，B4是屋宽AB的五
等分点，连接AC，在B “ h1处下 折” 10 安置第一榑C1，连
接AC1，在B2处下“折”
h
20 安置第一榑C2，依次类推，每
次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑C4
的高度B4C4为 ( )
A. h5 B.
h C. 38 20 h D.
2
15 h
2．已知函数 f x = sinx+ lnx，将 y= f(x)所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列
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2n-1 π
xn ，对于正整数 n，甲：(n- 1)π< xnA. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误
3．函数 y= f(x) (x∈ [0,1])对任意 a1∈ (0,1)，由 an+1= f(an) (n∈N *)得到的数列 an 均是单
调递增数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是 ( )
A. B. C. D.
4．记 Sn为数列 an 前 n项和，若 an∈ {1,2,3}，且 an的值为 1，2，3的可能性相同，则 S2025是
奇数的概率为 ( )
A. 1 1+ 1 12 2026 B. 2 1+
1
2025 C. 12 1-
1 D. 1 1+ 1
3 3 32024 2 32024
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5 f(x) = 1 - 1．设函数 2 x ，数列 an 满足 a1= 1，a2= a3= 2，a
+
n+4= an(n∈N )，f(a2+ a3)3 +1
2025
+ f(a4+ a5) = 0，则 ai= ( )
i=1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．已知数列 an 通项公式为 a = n-2n 2n-15 ，前n项和为Sn，则Sn取到最小值时 n的值是 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7 a n 1- 1 n．数列 n 前 项和为 n ，{bn}前n项和为 n+1 ，n∈N
*，则数列 {a
2 n
- bn} ( )
A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项
C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项
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8 1．已知数列 an 满足 a1= a，a = a + 2(n∈N *n+1 2 n )，若 an 是单调递增数列，则 a的取值
范围是 ( )
A. (-∞,4) B. (-∞,3) C. (-∞,2) D. (-∞,1)
【过关练习】
1．记Tn为数列 an 的前n项积，且 a1= 1，Tn+1-Tn= 2n，则 a6= ( )
A. 13 B. 135 6 C.
31
21 D.
31
20
2．设Sn为数列 an 的前n项和，“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的 ( )．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3．设等比数列 an 的各项均为正数，其 n前项和为Sn，则“S19+S21> 2S20”是“数列 an 是递
增数列”的 ( )
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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．Sn为等差数列 an 的前n项和，则“数列 an 为递增数列”是“数列Sn为递增数列”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．在正整数数列中，由 1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取 1;第二次取 2个连续
的偶数 2，4;第三次取 3个连续的奇数 5，7，9;第四次取 4个连续的偶数 10，12，14，16;第五次
取 5个连续的奇数 17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列 1，2，4，5，7，9，10，12，
14，16，17，19， ，则这个数列中的第 2025个数是 ( )
A. 3980 B. 3982 C. 3984 D. 3986
n
6．下列命题：①“0< a≤ 1 * 12 ”是“存在n∈N ，使得 2 = a成立”的充分条件；②“a> 0”是
n n
“存在n∈N * 1，使得 2 < a成立”的必要条件；③“a>
1
2 ”
1
是“不等式 2 < a对一切n∈
N *恒成立”的充要条件.其中为真命题的序号是 ( )
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A. ③ B. ②③ C. ①② D. ①③
7．意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21，
34,55, ，即F 1 =F 2 = 1，F n =F n-1 +F n-2 n≥3,n∈N * ，此数列在现代物
理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被 2整除后的余数构成一个新数
列 an ，则数列 an 的前 2020项的和为 ( )
A. 672 B. 673 C. 1346 D. 1347
1+a
8．设数列 an 满足：a = nn+1 1-a ，a2011= 2，那么 a1等于 ( )n
A. - 12 B. 2 C.
1
3 D. - 3
9．将n个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从 2008到 2010的箭头方向依次为 ( )
A. ↓→ B. →↑
C. ↑→ D. →↓
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10． (多选题)近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得
好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视
学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计
划”，为了缓解学生的学习压力，面向 1630名高三学生开展了团建活动．
如果将所有参加活动的学生依次按照 1，2，3，4，5，6，7， 编上号，并按
图所示的顺序排队，我们将 2，3，5，7，10， 位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时
的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有 ( )
A. 站在第 20拐角的学生是 111号 B. 站在第 23拐角的学生是 137号
C. 第 133号同学站在拐角位置 D. 站在拐角位置的同学共有 79名
11 1．数列 an 中，a1= 2，an+1+ a = 1，n∈N
，则 a1a2+ a2a3+ a3a4+ +a2022a2023= ．
n
12 1．已知数列 an ，a1= 2，an+1= 1-a ，则 a1+ a2+ +a2025= .n
2-a n-1, n<513．已知数列 an 满足：a *n= n∈N ,a>0 ，数列 a 是递增数列，则实an-4 , n≥ n5
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数 a的取值范围为 ．
14．数列 an 中，an=n2+ λn n∈N * ，满足 a1< a2< a3< < an，则实数 λ取值范围 ．
15．某校的教学楼每层楼有 13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨 1级、2级、3
级台阶，但固定最后一步不能跨 3级台阶 (避免台阶过高摔倒)，那么该教师一共有 ( )种不
同的走法
A. 1049 B. 1144 C. 1431 D. 1705
16 1 4．已知数列 an 满足 a n+1= 2 an+ a ，n∈N ，下面结论成立的是 ( )n
A. 若存在m∈N ，使得 am+1= am，则 a1= 2
B. 若 a1=-3，则数列 an 单调递增，且存在常数m<-2，使得 anC. 若 a1> 0 1，则存在 n0∈N ，当n>n0时，有 an- 2≤ 2026
D. 若 a1= 2+ 5 1，则对于任意 n∈N ，有 an+1- 2≥ 2 an-2
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17．设周期数列 an 前n项和为Sn，若Sn∈ m,m-1,m+1 ，则m的取值不可以为 ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
18．数列 an 的前n项和为Sn，若数列 a
1 1 2 1 2 3 1
n 的各项按如下规律排列：2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 ,
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2 , 3 , 4 1 25 5 5 , , n , n , ,
n-1
n , 有如下运算和结论，其中正确的结论是 ( )
① a24=
3
8 ；
②数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a7+ a8+ a9+ a10, 是等比数列；
2
③数列 a1,a2+ a3,a4+ a5+ a6,a + a + a + a
n +n
7 8 9 10, 的前n项和为Tn= 4 ；
5
④若存在正整数 k，使Sk< 10，Sk+1≥ 10，则 ak= 7
A. ①② B. ①③④ C. ③④ D. ②③④
2a ,0≤a < 1n n ,
19 6．已知数列 a 2n 满足 an+1= 1 若 a1= 7 ，则 a2005的值为 ( )2an-1, 2 ≤an<1.
A. 67 B.
5 3 1
7 C. 7 D. 7
20．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数
组成的，第 n行有n 1个数且两端的数均为 n (n≥ 2)，每个数是它下一行左右
1 = 1 1 1 1 1 1 1 1相邻两数的和，如 1 2 + 2 ，2 = 3 + 6 ，3 = 4 + 12 ， ，则第 7行
第 4个数 (从左往右数)为 ( )
A. 1 1 1 1140 B. 105 C. 60 D. 42
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21． (多选题)已知数列 a 2n 的各项均为正数，且满足 an+1- an= λ(λ是常数，n= 1,2,3, )，则
下列四个结论中正确的是 ( )
A. 若 λ= 0且 a1≠ 1，则数列 lnan 是等比数列
B. 若 λ> 0，则数列 an 是递增数列
C. a 1若数列 n 是常数列，则 λ≥- 4
D. 若数列 an 是周期数列，则最小正周期可能为 2
22． (多选题)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小
石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10， 称为
三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16， 称为正方形数，记三角形数构成数列
{an}，正方形数构成数列 {bn}，则下列说法正确的是 ( )
A. 1 + 1 + 1 + + 1 < 2；
b1 b2 b3 bn
B. 1225既是三角形数，又是正方形数；
10
C. (-1)ibi= 50；
i=1
D. m∈N+,m≥ 2,总存在 p、q∈N+，使得 bm= ap+ aq成立；
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23． (多选题)已知数列 an 为递增数列，前 7项分别为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7，则 ( )
A. a2,a3,a4,a5,a6的平均数等于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的平均数
B. a2,a3,a4,a5,a6的中位数等于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的中位数
C. a2,a3,a4,a5,a6的方差大于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的方差
D. a2,a3,a4,a5,a6的极差小于 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的极差
24． (多选题)数列 an 满足前两项都是 1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐
波那契数列，若 an 的前n项和为Sn，下列关于斐波那契数列说法正确的是 ( )
A. S2022+ 1= a2024
B. 若此数列被 4整除后的余数构成一个新的数列 bn ，则 bn 的前 2024项之和为 2697
C. 前 2024项中奇数共有 1350个
D. (a 21a3- a2) + (a a - a2 2 22 4 3) + (a3a5- a4) + + (a2022a2024- a2023) = 0
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
25
2026年选修二培优讲义
25．在数列 an 中，a1= 4，a5=-3，且任意连续三项的和均为 7，则 a2026= ；记数列 an
的前n项和为Sn，则使得Sn≤ 100成立的最大整数 n= .
26 nπ．已知数列 an 的通项公式为 an=nsin 3 ，则 a1+ a2+ a3+ +a2021= .
27．已知数列 an ，满足 an=
1+an-1
1-a ，若 a1= 2，Sn表示 an的前n项和，则 S2025= .n-1
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 26
选修二培优讲义
28． 1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那
契数列，即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物
理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被 3除后的余数构成一新数列 an ，则数列
an 的前 2025项的和为 .
a
29．已知数列 an 满足 a1= 8，an+1- an=n n∈N * ，则 nn 取最小值时 n= ．
m
30．对于给定的数列 an ， bn 和正整数m，若函数 f(x) = ai-bi x中 x的系数为正数，则
i=1
称 f(x)为正比例近似函数，已知数列 an , bn 满足 a1= 1,an= 2an-1+ 1,bn= log2 an+1 ，若
f(x)为正比例近似函数，则m的取值范围为 ．
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
27
2026年选修二培优讲义
第 2讲：等差数列及基本性质
题型一：等差数列的概念及通项
1．在等差数列 an 中，a4+ a8= 24，a7= 15，则 a4= ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
2．已知数列 an 为等差数列，a1= 2，2a2+ a4= a3+ 13，则该数列的公差为 .
3．若等差数列 an 满足 an+ an+1= 4n+ 1，则 a1= ( )
A. 3 B. 32 C. 1 D.
1
2
4．已知数列 an ，a1= 13，an+1= an- 4，求：
(1)数列 an 的通项公式； (2)数列 an 的前n项和Sn的最大值
5．已知等差数列 an 满足 a2+ a3= 14，且 a4- a2= 8，则首项 a1= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．已知 an 是递增的等差数列，a2，a4是方程 x2- 5x+ 6= 0的根
( ) a1 求 an 的通项公式； (2)求数列 n n 的前n项和2
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 28
选修二培优讲义
题型二、等差中项的应用
1．在等差数列 an 中，若 a2= 4，a4= 2，则 a6= ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 6
2．等差数列 an 的前三项依次为 x，2x+ 1，4x+ 2，则 x的值为 ．
3．设数列 {an}，{bn}都是等差数列，若 a1+ b1= 7，a3+ b3= 21，则 a5+ b5= ．
题型三、等差数列的性质
1．已知等差数列 an ，若 a1+ a2+ a3+ +a12= 21，则 a2+ a5+ a8+ a11= .
2．已知数列 an 为等差数列，a1+ a2+ a3= 7，a7+ a8+ a9= 13，则 a13+ a14+ a15= ( )
A. 19 B. 22 C. 25 D. 27
3．在等差数列 an 中，若 a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 120，则 2a6- a9= .
4．已知等差数列 an 前n项和为Sn，且S28= 56，则 a12+ a13+ a14+ a15+ a16+ a17=
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
29
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题型四、等差数列前 n项和的求解
1．记Sn为等差数列 {an}的前n项和，若 a3+ a4= 7，3a2+ a5= 5，则S10= .
2．记Sn为等差数列 an 的前n项和，已知S5=S10，a5= 1，则 a1= ( )
A. 7 B. 72 3 C. -
1 7
3 D. - 11
3．记Sn为等差数列 an 的前n项和，已知 a2= 11，S10= 40
(1)求 an 的通项公式； (2)求数列 an 的前n项和Tn．
4．记Sn是公差不为 0的等差数列 an 的前n项和，若 a3=S5，a2a4=S4
(1)求数列 an 的通项公式 an； (2)求使Sn> an成立的n的最小值．
5．设等差数列 an 的前n项和为Sn，a5= 3，S5= 35
(1)求 an 的通项公式； (2)设数列 an 的前n项和为Tn，求T10
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 30
选修二培优讲义
6．已知 an 为等差数列，且 a5= 3a1，a1+ a5+ a14= a10+ 24
(1)求 a 的通项公式； (2)若 2nn λ≥ a1+ a2+ +an恒成立，求实数 λ的取值范围．
题型五、等差数列前 n项和的性质
1．设等差数列 {an}的前n项和为Sn，若S3= 9，S6= 36，则 a7+ a8+ a9= ( )
A. 63 B. 36 C. 45 D. 27
2．等差数列前 n项的和为 30，前 2n项的和为 100，则它的前 3n项的和为 ( )
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
S S
3．设Sn是等差数列 an 的前n项和，若
7 13 15
S =6 11
，则 S = ．11
S
4 a n-1 a．已知等差数列 n ， bn 的前n项和分别为Sn,T，且 n 6n T =n n+1
，则 = ( )
b8
A. 5 7 11 516 B. 16 C. 16 D. 8
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
31
2026年选修二培优讲义
5．已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前 n项和分别为Sn，Tn，满足 (2n+ 3)Sn= (3n- 1)
a +a +a
Tn，则
7 8 9
b6+
= ( )
b10
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6．等差数列 an 的前n项和为Sn，若S2= 2，S4= 10,则S6等于 ( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 42
7．等差数列 an 前n项和为Sn，S3= 6，Sn-3= 16 n≥4,n∈N * ，Sn= 20，则n的值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
8．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若S4= 2，S8= 12，则S20= ( )
A. 30 B. 58 C. 60 D. 90
S a
9．已知等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为S
n+3
n和Tn，且
n 3
T =n n-1
，则 = ．
b4
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 32
选修二培优讲义
S
10 2n-3．设等差数列 an ， bn 的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数 n都有 nT = 4n-3 ，n
a3 + a则 9+ = ( )b4 b8 b5+b7
A. 3 B. 5 C. 19 D. 197 21 41 40
题型六、等差数列通项公式与前 n项和的关系
S
1．记S nn为数列 an 的前n项和，设甲： an 为等差数列；乙： n 为等差数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
33
2026年选修二培优讲义
2．已知各项均为正数的数列 an 的前n项和为S 2n，且 an，Sn，an为等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若m为正整数，记集合 m 2an>m 的元素个数为 bn ，求数列 bn 的前 50项和.
3 S 1 5．已知 n是数列 an 前n项和，Sn= 4 n
2+ 4 n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn= 2a2n，记Tn，T n分别为数列 bn 的前n项和与前n项积，求T +T n n．
4．已知Sn是数列 an 前n项和，2Sn=nan，a2= 3
(1)求数列 an 通项公式； (2)若 bn= 16-an ，求数列 bn 的前n项和Tn
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 34
选修二培优讲义
5 n
2+n
．已知数列 an 的前n项和Sn= 2
(1)求数列 an 的通项公式； (2)设 bn= 2an+ -1 n ·an，求数列 bn 的前 2n项和
题型七、等差数列通项公式与前 n项和的最值
1．已知Sn为等差数列 an 的前n项和，a1=-21，S7=S15，则Sn的最小值为 ( )
A. - 99 B. - 100 C. - 110 D. - 121
2．若Sn为等差数列 an 前n项和，3a10+ a12< 0，a8+ 3a12> 0，当Sn取最小值时，n= ( )
A. 9 B. 10 C. 10或 11 D. 11
3．已知首项为正数的等差数列 an 的前n项和为Sn，若 S15-S11 S15-S12 < 0，则 ( )
A. a13+ a14> 0 B. S11C. 当n= 14时，Sn取最大值 D. 当Sn< 0时，n的最小值为 27
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35
2026年选修二培优讲义
4．已知数列 an 是公差为 d的等差数列，Sn是其前n项的和，若 a1< 0，S2000=S2024，则 ( )
A. d> 0 B. a2012= 0 C. S4024= 0 D. Sn≥S2012
2S
5．记Sn为数列 an 的前n项和．已知
n
n +n= 2an+ 1
(1)证明： an 是等差数列； (2)若 a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值
6．等差数列 an 中，a1> 0，S7=S9，则使得前 n项的和最大的 n值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7．设数列 an 为等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列不正确是 ( )
A. d< 0 B. a7= 0
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 36
选修二培优讲义
C. S9>S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
8．等差数列 an 中，a2=-7，a5=-1，若Sn= a1+ a2+ +an，Tn= a1a2 an，则 ( )
A. Sn有最小值，Tn无最小值 B. Sn有最小值，Tn无最大值
C. Sn无最小值，Tn有最小值 D. Sn无最大值，Tn有最大值
题型八、等差数列中的数学文化
1．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，
要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有 996斤棉花要赠送给 8个子女
做旅费，从第 1个孩子开始，以后每人依次多 17斤，直到第 8个孩子为止 ，根据这些信息
第三个孩子分得 ( )斤棉花？
A. 99 B. 116 C. 133 D. 150
2．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板 (称为天心石)，环绕天心石
砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多 9块，向外每环依次也增加 9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板 (不含天心石)
3402块，则上层有扇形石板 块
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
37
2026年选修二培优讲义
3．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂 1次 (1个正常细菌分裂成 2个正常细菌
和 1个非正常细菌)，非正常细菌每小时分裂 1次 (1个非正常细菌分裂成 2个非正常细菌).若
1个正常细菌经过 14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
4．“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该
定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密、秘密共
享等方面有着重要的应用.已知数列 an 单调递增，且由被 2除余数为 1的所有正整数构成，
现将 a6，a9，a11，a13的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为 ( )
A. 1157 B. 1177 C. 1155 D. 1122
5． (多选)《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一，《算学启蒙》中涉及一些“堆
垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有 143根相同的圆形小木棍，小
军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于 2，且从最下
面一层开始，每一层比它上一层多 1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是 ( )
A. 2 B. 9 C. 11 D. 13
6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的
习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画
法如下：在水平直线上收长度为 1的线段AB，作一个等边三
角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交
线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，
CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画
圆弧 以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 38
选修二培优讲义
题型九、等差数列奇偶项的和
1．设等差数列的项数 n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为 ( )
A. n-1n B.
2n+1 C. 2n+1 D. n+1n 2n n-1
2．已知等差数列 an 的前 30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B-A= 45，2A=B
+ 615，则 an= ( )
A. 3n- 2 B. 3n- 1 C. 3n+ 1 D. 3n+ 2
3．已知数列 an 的前n项和为Sn，且 a1= 1，a2= 2，an+1+ an= 3n，则 ( )
A. a4= 5 B. S20= 300
2
C. S31= 720 D. n 3n +1为奇数时，Sn= 4
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
39
2026年选修二培优讲义
4．已知数列 an 的各项均为正数，记Sn为 an 的前n项和，且 2S 2n= an+ an.
(1)求数列 an 的通项公式； (2)记 c = -1 nn anan+1，求数列 cn 的前n项和Tn
5．已知等差数列 an 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 319，所有偶数项之和为 290，则
该数列的中间项为 ( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
a +2,n为奇数
6．已知数列 an 满足 a1= 1，a nn+1= + , ，则 an 的前 40项和为an 3 n为偶数
7 1．已知数列 an 满足 a1= 5 ，且当n≥ 2时，有 an-1- an= 4an-1an.
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 40
选修二培优讲义
( ) 1 ( ) = -1
n
1 求证：数列 a 为等差数列； 2 令 bn a ，求数列 bn 的前n项和Sn.n n
8．已知数列 an 的各项均为正数，其前 n项和为S ，且 a2n n= 4Sn- 2an- 1.
2 2 ,n为奇数
(1)求 an，Sn； (2)设 bn= an+1+ an+5 ，求数列 bn 的前 8项和T8Sn-Sn-1,n为偶数
题型十、等差数列的证明
1．记Sn为数列 an 的前n项和，已知 an> 0,a2= 3a1，且数列 Sn 是等差数列，证明： an
是等差数列.
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
41
2026年选修二培优讲义
2．记Sn为数列 an 的前n项和，bn为数列 Sn 的前n
2 1
项积，已知 S + = 2．n bn
(1)证明：数列 bn 是等差数列； (2)求 an 的通项公式
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 42
选修二培优讲义
2n+1a
3．已知数列 an 满足 a
n
1= 2,an+1= .an+2n
n
( ) 2 a a1 证明：数列 是等差数列； (2)设 b = n+1 n+2 a n a ，求 bn 的前n项和Tnn n
a
4 1．已知数列 an 的前n项和为Sn，且S
n
n= 2 + a ．n
(1)证明：数列 S2n 是等差数列；
1 S , n=1
(2) n数列 Sn 的每一项均为正数，bn= ，数列 bn 的前n项和为T，当T21 n n S +S , n≥2n n-1
≥ 1012时，求n的最小值
题型十一：恒成立问题
1．已知数列 an 是公差为 d的等差数列，其前 n项和为Sn且 a2n= 2an- 2，若Sn≤S5对任意
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
43
2026年选修二培优讲义
的n∈N *恒成立，则公差 d的取值范围为 ．
2．已知数列 an 是等比数列，且 a1= 2，4a2，2a3,，a4成等差数列.若 bn= an+ 2 -1 n ，且 bn
< λbn+1对任意n∈N *恒成立，则实数 λ的取值范围是 .
3．已知 an 是公差为 2的等差数列，其前 n项和为Sn，S4是 a2与 a21的等差中项，则 an=
3 n
；设 bn= 4 an，若对 k∈N *，使得 bk≤ λ恒成立，则 λ的取值范围为
4．已知数列 an 的前n项和为S n，a1=m，2nan= 2Sn+n(n- 1)，若对任意 n∈N ，等式
Sn
S = k恒成立，则m= .2n
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 44
选修二培优讲义
5．设Sn是公差为 d d≠0 的无穷等差数列 an 的前n项和，则下列命题正确的是 .
①若 d< 0，则数列 Sn 有最大项；②若数列 Sn 有最大项，则 d< 0
③若数列对任意的 n∈N *，Sn+1>Sn恒成立，则Sn> 0
④若对任意的 n∈N *，均有Sn> 0，则Sn+1>Sn恒成立
题型十二：数形结合、转化与化归、分类讨论
1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于
得出了长方台形垛积的求和公式，如图，由大小相同的小球堆成的一
个长方台形垛积，第一层有 ab，(a = b + 1 ) 个小球，第二层有
a+1 b+1 个小球，第三层有 a+2 b+2 个小球.....依此类推，最
底层有 cd个小球，共有 n层．现有一个由小球堆成的长方台形垛积，
共 7层，小球总个数为 168，则该垛积的第一层的小球个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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2026年选修二培优讲义
2

．已知 |a| = 1，a⊥ b，若 |a+ b|，|a+ 2b|，|a+ 2 2 b|成等差数列，则 |b| = ( )
A. 0 1 B. 1 34 2 34 2 34或 或 17 C. 1或 17 D. 0或 17
3．已知实数 x，y，z满足 0< x< y< z< π，且 sinx，siny，sinz可以按照某个顺序排成等差
数列，则 ( )
A. sinx不可能是等差中项 B. siny不可能是等差中项
C. sinz不可能是等差中项 D. sinx，siny，sinz都可能是等差中项
S a +a
4 2n+2．等差数列 an 、 bn 前n项和分别为Sn与Tn，且 n = 3 9Tn n+3
，则 = ( )
3b7-b9
A. 14 B. 12 C. 26 D. 79 7 15 4
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 46
选修二培优讲义
a +a +a + +a
5．已知正项等差数列 a 满足 1 3 5 2n-1
n
n a +a + +a = n+2 ，n∈N
+，则 ( )
3 5 2n+1
A. 4050 B. 2025 C. 4048 D. 2024
6．记数列 an 的前n项和为Sn，若 Sn =n，则 a1 + a2 + + a10 的值不可能为 ( )
A. 96 B. 98 C. 100 D. 102
7．数列 an 前n项和Sn，满足 an+1- an= dn∈ 1,3 ，a1= 2，则S10可能不同取值的个数 ( )
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
【过关练习】
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
47
2026年选修二培优讲义
1 2π．已知等差数列 an 的公差为 * 3 ，集合S= cosan n∈N ，若S= a,b ，则 ab= ( )
A. - 1 B. - 12 C. 0 D.
1
2
S
2．记Sn为数列 an 的前n项和，设甲： an 为等差数列；乙：
n
n 为等差数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 48
选修二培优讲义
3．已知 an 是等差数列，a2+ a5= 16，a5- a3= 4
2n-1
(1)求 an 的通项公式和 ai n∈N
i=2n-1
(2)设 bn 是等比数列，且对任意的 k∈N *，当 2k-1≤n≤ 2k- 1时，则 bk< an< bk+1，
(Ⅰ)当 k≥ 2时，求证：2k- 1< b < 2kk + 1； (Ⅱ)求 bn 的通项公式及前 n项和
a -6,n为奇数
4．已知 an 为等差数列，b
n
n= ，记Sn，Tn分别为数列 an ， bn 的前n项和，2an,n为偶数
S4= 32，T3= 16，求：(1)求 an 的通项公式； (2)证明：当n> 5时，Tn>Sn
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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5．图 1是中国古代建筑中的举架结构，AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂
直距离称为举，图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,
DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
DD1 = , CC1 = ,BB1 = AA0.5 k k 1
OD DC 1 CB 2
, = k3．已知 k1,k2,
1 1 1 BA1
k3成公差为 0.1的等差数列，且直线OA的斜率为 0.725，
则 k3= ( )
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
6．设 an 是公差不为 0的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0
时，an> 0”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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7．已知等差数列 a n 的首项 a1=-1，公差 d> 1．记 an 的前n项和为Sn n∈N ．
(1)若S4- 2a2a3+ 6= 0，求Sn；
(2)若对每个n∈N ，存在实数 cn，使 an+ cn,an+1+ 4cn,an+2+ 15cn成等比数列，求 d取值范围
S
8 1．记Sn为数列 a
n
n 的前n项和，已知 a1= 1, a 是公差为 3 的等差数列n
(1)求 an 的通项公式； (2) 1 + 1证明：a + +
1 < 2
1 a2 an
9．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党
徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列，对
应的宽为 b1,b2,b3,b4,b5(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 a1= 288，a5= 96，b1= 192，则 b3
=
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A. 64 B. 96 C. 128 D. 160
a +1,n为奇数,
10．已知数列 an 满足 a1= 1，a nn+1= an+2,n为偶数.
(1)记 bn= a2n，写出 b1，b2，并求数列 bn 的通项公式； (2)求 an 的前 20项和
11．将数列 {2n- 1}与 {3n- 2}公共项从小到大排列得到数列 an ，则 an 前n项和 ．
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12．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板 (称为
天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块，下一层的第一环
比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，且下层比中层多
729块，则三层共有扇面形石板 (不含天心石) ( )
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
a
13．已知等差数列 {an}前n项和Sn，公差 d≠ 0， 1 ≤ 1，记 b1=Sd 2，bn+ 1=S2n+2-S2n，n∈
N ，下列等式不可能成立的是 ( )
A. 2a4= a2+ a 2 26 B. 2b4= b2+ b6 C. a4= a2a8 D. b4= b2b8
15．等差数列 {an}中，其前n项和为Sn，则“S1+S3< 2S2”是“{an}为递减数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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16．已知等差数列 an 前n项和为Sn，“a2024= 0”是“Sn=S4047-n n<4047,n∈N ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
17．记数列 an 的前n项和为Sn，Sn=An+B，A、B为常数，下列选项正确的是 ( )
A. 若A+B= 1，则 a1= 1
B. 若A= 2，则 a2= 2
C. 存在常数A、B，使数列 an 是等比数列
D. 对任意常数A、B，数列 an 都是等差数列
18．设等差数列 an 首项为 a1，公差为 d，前n项和为Sn，若S10A. 当n= 8，Sn最大 B. 使得Sn< 0成立的最小自然数 n= 18
S S
C. a n 108+a5 > a10+a11 D. a 中最小项为n a10
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= + = + an+1+119．数列 an 满足 a1 1，an+1 an 2n 1，若数列 a 前n项的和为Tn，则Tn>a nn an+1 2
2023
2024 的n的最小值为 ．
a -1 a +3
20．记各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn，已知 S 是
n 与 nn 2 2 的等差中项.
(1)求 an 的通项公式；
(2) 1记Sn是数列 an 前n项和，证明：S +
1 + 1 + ...+ 1
1 S
< 2
2 S3 Sn
2
(3)设 b = an+1n S S +
an+1 ，数列 b 的前n项和为T，证明：T - 4n< 2
n n+1 S S n n nn n+1
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21．在数列 an 中，a1= 2,an+ an+1= 3 2n(n∈N *)
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 bn 满足 4b1-14b2-1 4bn-1= a bnn ；
b b
①求证：数列 b 是等差数列； ②若 b = 3，设数列 c = n n+1n 2 n a 前n项和为Tn，求证：Tn< 14n
22．已知数列 an 满足 a1= 1，且对任意m，n∈N *(m>n)均有 am+n+ am-n= 2am+ 2an
(1)设 bm= am+1- am，证明 bm 为等差数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
2n n
(3)已知Tn=∑ ak+ak (-1)k ,n∈N *，求∑ 1T n∈N
*
k=1 k=1 k
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23．已知数列 {bn}满足：b1= 1 1 2 2，S = - ，其中Sn为数列 {bn}的前n项和．n bn bn+1
(1)求数列 {bn}的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为 1且公比为正数的等比数列 {cn} (n∈N *)，对任意正整数 k，
当 k≤m时，都有 ck≤ bk≤ ck+1成立，求m的最大值
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24． (多选题)已知等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，前n项和为Sn，若S21下列说法正确的是 ( )
A. 当n= 20时，Sn最大 B. 使得Sn< 0成立的最小自然数 n= 40
C. a19+a20 > a21+a22 D. Sn S21 an 中最小项为 a21
25． (多选题)已知等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，前n项和为Sn，若S10列说法正确的是 ( )
A. 当n= 9时，Sn最大 B. 使得Sn< 0成立的最小自然数 n= 18
C. a8+a9 >
S S
a10+a11 D. 数列 n 10 a 中最小项为n a10
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26．设等差数列 an 前n项和为Sn，若Sk= 4，Sk+2= 0，Sk+4=-6，则 k= ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
27．已知实数 a，b，c构成公差为 d的等差数列，若 abc= 2，b< 0，则 d的取值范围为 ( )
A. -∞,- 3 ∪ 3,+∞ B. -∞,-2 ∪ 2,+∞
C. -∞,- 5 ∪ 5,+∞ D. -∞,-3 ∪ 3,+∞
28． (多选题)已知Sn为等差数列 an 的前n项和，则 ( )
A. 若S 2n= 2n +n，则 an= 2n+ 1 B. S3n，S6n-S3n，S9n-S6n成等差数列
C. Sn，S2n，S3n可能成等差数列 D. Sn，S2n，S3n可能成等比数列
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( ) = tan-129． 多选题 已知数列 an 满足 an+1 2 ，a =
1
1 t ，其中 t≠ 0，则 ( )t an+3t
A. a2= t B. t tan+1 为等差数列
C. 数列
4
+ ta 1 的前n项和为n
2+n D. 数列 tan+1 的前 99项和大于 18 2
n
30． (多选题)已知数列 an 的前n项和为Sn，a1= 9，an= an+1+ 3，则下列说法正确的是 ( )
A. a5- a1=-12 B. an 是递增数列
C. 当n> 4时，an< 0 D. 当n= 3或 4时，Sn取得最大值
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31． (多选题)已知数列 an 的通项公式为 an= 3 n-1 + 1，前n项和为Sn，数列 bn 满足
nbn=Sn，则下列说法正确的是 ( )
A. b
3
n 是公差为 2 的等差数列 B. b2026是 an 中的项
a
C. 数列 n 是单调递增数列 D. 数列 an 中存在三项能构成等比数列bn
32 1． (多选题)已知等比数列 an 前n项和Sn=- + t，t∈R， a 前n项积为T，则 ( )2n n n
A. t= 1 B. a = 1n 2n
C. T = 1n
2 n n-
D. 数列 an+an+1+a 是等比数列1 n+2
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a
33． (多选题)数列 an 是等差数列，公差为 d，前n项和为Sn，且 a1= 2025, 2024a <-1，则2025
( )
A. 当n= 2024时，Sn取最大值 B. 使得Sn> 0的n的最大值为 4048
C. 使得Sn< 0的n的最小值为 4050 D. - 40504047 < d<-
2025
2024
34． (多选题)已知等比数列 an 的首项 a1> 1，公比为 q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数
f(x) = x(x+ a1) (x+ a2) (x+ a11)，若 f (0) = 1，则 ( )
A. lgan 为递减的等差数列 B. q> 1
a
C. 1 Sn- 1-q 为递增的等比数列 D. Tn取得最大值时 n的值是 10
35． (多选题)若 f x = (x- 1)3+ 2 x-1 - ln x2-x + 2，数列 an 的前n项和为Sn，且S1=
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1
10 ,2Sn=nan+1，则下列说法正确的是 ( )
A. f x 关于点 1,2 成中心对称 B. 数列 an 是等差数列
i=1
C. n数列 an 的通项公式为 an= 5 D. ∑ f ai = 3819
36． (多选题)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中，后人称为“三角垛”. “三角垛”的最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三
层有 6个球，第四层有 10个球 设第n层有 an个球，则 ( )
A. a5= 15 B. an+1-an 是等差数列
C. a 1 1 12025为偶数 D. 1≤ a + a + + a < 21 2 n
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37．若数列 an 满足 a1= a2= 1，an+ a 2n+1+ an+2=n n∈N * ，则 a20= ．
38．设 x∈R，函数 y= x 表示不超过 x的最大整数．若正项数列 an 中，a1= 1，且当n≥ 2
时，a2 2 2 2nan-1+ an- an-1= 0，Sn为其前n项和，则 S10000 = ．
2n+1 n an,n为偶数
39．在已知数列 an 中，a1= 2，a 3n+1= n+1
3 n an,n为奇数2
(1)求数列 an 的通项公式.
(2)数列 an 中是否存在不同的三项 ap，aq，ar p,q,r∈N * 恰好成等差数列？若存在，求出 p，
q，r的关系；若不存在，请说明理由
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 64
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40．在公差不为 0的等差数列 an 中，已知 a1，a2，a5成等比数列，a2n= 2an+ 1 n∈N
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b π若数列 n 满足 bn= sin 2 an+1 + cos πan ，求数列 bn 的前 2n项和T2n
41．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且满足 a2+ a6= 14，S10= 100.
(1)求 an 的通项公式；
(2)在 an 中是否存在 am，ak，ap(m< k< p)成等比数列？若存在，求出一个这样的 3项；若
不存在，请说明理由.
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第 3讲：等比数列及基本性质
题型一：等比数列的概念及通项公式
1．设数列 an 是各项均为正数的等比数列，其前 n项和为Sn，若 a5- a1= 15，a4- a2= 6，则
S5= ( )
A. 15 B. 16 C. 31 D. 3116
2．记Sn为等比数列 an 的前n项和，若 a4- a2=
S
24，a5- a3= 72，则 na = ( )n
A. 2n- 1 B. 2- 21-n C. 3 + 1 D. 3 - 12 2 3n-1 2 2 3n-1
3．已知等比数列 an 前n项和为Sn，且 2Sn= 3an+1- 3
(1)求 an 的通项公式； (2)求数列 Sn 的前n项和.
4．已知 an 为等比数列，a2a4a5= a3a6，a9a10=-8，则 a7= .
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5．已知等比数列 an 的公比 q> 0，且 a3+ a1a5= 6，a6= 16
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 满足 bn= λ 3n- an，且 bn 是严格增数列，求实数 λ的取值范围
题型二：等比数列的证明
1．已知 sinα+ cosα= k
(1) 2若 α∈ (0,π)，k= 3 ，求 tanα；
2
(2)设S = sinnα+ cosnn α，n∈N *，证明：Sn= kS - k -1n-1 2 Sn-2(n≥ 3)；
(3)在 (2)的条件下，若 k= 7 45 ，证明数列 Sn- 5 Sn-1 为等比数列并求Sn的通项公式.
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2．已知数列 an 满足：a1= 1，an+1+ 3an= 4n，n∈N *
(1)求证： a -n+
1
n 4 成等比数列； (2)求数列 an 的前n项和Sn
3．记Sn为数列 an 前n项和，已知 a1= 1，a2= 2， Sn+Sn+1 Sn+2= 2S2n+1
( S S1)求 a n 103，S3； (2)证明： 1- S 为等比数列； (3)求n+1 a10
, = = S4．设数列 a 的前n项和为S S S 1，且 n+1 1n n 1 2 S 是公差为 2 的等差数列n
(1) S证明：数列
n
n! 是等比数列；
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 68
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(2)求 an 的通项公式；
(3)若 an>m对于任意正整数 n均成立，求整数m的最大值
5． (1)已知数列 an 满足 a1= 2，点 an,an+1 在函数 f(x) = x2+ 2x的图象上，其中 n= 1，2，
3 ，求证：数列 lg 1+an 是等比数列
(2)在数列 an 中，a1= 2 a = 83 ， 2 9 ，当n≥ 2时，3an+1= 4an- an-1 n∈N
* ，求证： an+1-an
为等比数列；
6．设数列 an 的前n项和为Sn，已知 ba - 2nn = (b- 1)Sn．
(1)证明：当 b= 2时， an-n 2n-1 是等比数列； (2)求 an 的通项公式
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7．已知数列 an 的首项 a1= 1，且满足 an+1+ an= 3n+ 1.
(1) 3证明 an- 2 n+
1
4 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数 n，am+ an= am+n总成立？若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由.
8．已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn= 3an- 2n.
(1)求证：数列 a nn-2 是等比数列；
n-1
(2)设 bn= an+ λ 2n- λ+1 3 2 ，若 bn 是递增数列，求实数 λ的范围
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 70
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9 1．已知正项数列 an 中，a 2 2 *1= 3 ，且 3an+1+ 2an+1an- an= 0 n∈N .
(1)求数列 an 通项公式；
(2) an-ab n+1 * 1n= a a n∈N ，证明：b1+ b2+ +bn10．已知数列 an 满足 a1= 1,an+1= 2an+n- 1, n∈N * .
(1)证明：数列 an+n 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；
(2)设 b 1n= ，数列 bnbn+1 的前n项和为T 2n，若Tn恒成立，求实数m的取值范围.
题型三：等比数列的常用性质
y-x
1．若实数 0，x，y 6 1 1， 成等差数列，- 2 ，a，b，c，- 8 成等比数列，则 = .b
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a
2．已知等差数列 a 1n 的公差为 d d≠0 ，a5是 a4与 a8的等比中项，则 = ( )d
A. - 5 B. - 2 C. 52 5 2 D.
2
5
3．已知整数数列 an 是等比数列，a1a3+ 2a23+ a3a5= 100，则 a6的最小值为 ．
4．已知 an 是等比数列，若 a3、a7分别是函数 y= x2+ 4x+ 2的两个零点，则 a5= .
5．若等比数列 an 中的 a2，a 22024是方程 x - 4x+ 3= 0的两个根，则 log3a1+ log3a2+ log3a3
+ +log3a2025= ．
6．已知数列 an 为等比数列，a2= 6，a5= 162．
( S S1)求数列 an 通项公式； (2)设Sn是数列 an 前n项和，证明 n n+2S2
≤ 1
n+1
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题型四：等比数列的前 n项和公式及其性质
1 33．已知等比数列的首项为-1，前n项和为Sn，若S10= 32 S5，则 q的值为 ．
S S
2．设等比数列 an 前n项和为Sn，若
8
S = 6，则
12 = ．
4 S4
3．已知等比数列 an 的前 6项和为 126，其中偶数项和是奇数项和的 2倍，则 a1= ．
4．若等比数列 an 共有奇数项，其首项为 1，其偶数项和为 170，奇数项和为 341，则这个数列
的公比为 ，项数为 ．
n
5．已知等比数列 an 的前n项和为S
1
n，若Sn= x 3 + 27，x为实数，则 a7= .
6．设数列 an 的前n项和为S *n，已知Sn= 2an- 2 n∈N ，
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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(1)求 an 的通项公式；
(2) 1 1记数列 a 的前n项和为Tn，求使得 Tn-1 < 2024 成立的n的最小值.n
7．公比为 q的等比数列 an 的前n项和Sn= 2n+ a
(1)求 a与 q的值；
(2) 1 1 1若 bn= log2an，记数列 bn 的前n项和为Tn，求证：T + T + +T < 22 3 n+1
8 9．已知数列 an 的前n项和为Sn，a1=- 4 ，且 4Sn+1= 3Sn- 9.
(1)求数列 an 的通项；
(2)设数列 bn 满足 3bn+ (n- 4)an= 0(n∈N *)，记 bn 的前n项和为Tn，若Tn≤ λbn对任意
n∈N 恒成立，求实数 λ的取值范围.
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选修二培优讲义
9．记Sn为数列 an 的前n项和，则“ an 为等比数列”是“ S 2n+1-S1 =Sn Sn+2-S2 ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
10．设数列 {an}的前n项和为Sn.已知S *2= 4，an+1= 2Sn+ 1，n∈N .
(Ⅰ)求通项公式 an； (Ⅱ)求数列 {|an-n- 2|}的前n项和
11．设数列 an 的前n项和为S nn.已知 2Sn= 3 + 3.
(Ⅰ)求 an 的通项公式； (Ⅱ)若数列 bn 满足 anbn= log3an，求 bn 的前n项和Tn
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2026年选修二培优讲义
12．已知等比数列 an 的前n项和为Sn，且S *n+1= 3Sn+ 1，其中n∈N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an与 an+1之间插入n个数，使这 n+ 2个数组成一个公差为 dn的等差数列，在数列 dn
中是否存在不同三项 dm，dk，dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三
项；若不存在，请说明理由.
题型五、等比数列的函数特性与最值
1．设等比数列 an 前n项和Sn，设甲：a1< a2< a3，乙：{Sn}是严格增数列，则甲是乙的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2．已知正项等比数列 an 满足 a8= 8,a 111+ 4a12= 4 ，则 a1a2 an取最大值时 n的值为 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3． (多选)无穷等比数列 an 的首项为 a1公比为 q，下列条件能使 an 既有最大值，又有最小
值的有 ( )
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 76
选修二培优讲义
A. a1> 0，0< q< 1 B. a1> 0，-1< q< 0
C. a1< 0，q=-1 D. a1< 0，q<-1
4． (多选) a -1在等比数列 an 中，a1> 1，a 20242023a2024> 0，a -1 < 0，若Sn为 an 的前n项和，2023
Tn为 an 的前n项积，则 ( )
A. an 为单调递增数列 B. S2023C. T2023为 Tn 的最大项 D. Tn 无最大项
5． (多选)已知正项等比数列 an 的前n项的积为Tn，且公比 q≠ 1，若对于任意正整数 n，Tn
≥T2023，则 ( )
A. 0< a1< 1 B. 0< q< 1 C. a2023= 1 D. T4047≥ 1
6．等比数列 a n 公比为 q q≠1 ，a1> 0，若Tn= a1a2a3 an(n∈N )，则“q> 1”是“数列 Tn
为递增数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
77
2026年选修二培优讲义
题型六：等比数列前 n项和的实际应用
1．李华从 2015年起，每年 10月 1日到银行存入 a元，若年利率为 r，按复利计算，到期自动转
存，那么 2025年 10月 1日将前面的存款全部取出，可得本利和为 ( )
a 1+r 1 1-1
A. a 1+r 1 0 B. r
a 1+r 1+r 1 1-1 a 1+r 1+r 1 0-1
C. r D. r
2．现有某种细胞 1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由 1个细胞分裂成 2
1 1 3
个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为 2 × 1000+ 2 × 1000× 2= 2 × 1000，2小时
1 3 1 3 9
后，细胞总数约为 2 × 2 × 1000+ 2 × 2 × 1000× 2= 4 × 1000，问当细胞总数超过 10
10个
时，所需时间至少为 (　　) (参考数据：lg3≈ 0.477，lg2≈ 0.301)
A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 78
选修二培优讲义
3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而
税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其
“ 1 1意思为 今有人持金出五关，第 1关收税金为持金的 2 ，第 2关收税金为剩余金的 3 ，第 3关收
1 1 1
税金为剩余金的 4 ，第 4关收税金为剩余金的 5 ，第 5关收税金为剩余金的 6 ，5关所收税金
之和恰好重 1斤.问原来持金多少 ”.记这个人原来持金为 a斤，则 a= ( )
A. 3 4 6 72 B. 3 C. 5 D. 6
4．某企业年初贷款 a万元，年利率为 r，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划
第 5年底还清，则每年应偿还的金额数为 ( )
a(1+r)5 ar(1+r)5 ar(1+r)5
A. 5 万元 B. C. D.
ar
万元 万元 万元
(1+r) -1 (1+r)5-1 (1+r)4-1 (1+r)5
5． (多选)佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的
比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都
有关系．记佩尔数列为 an ，且 a1= 0，a2= 1，an+2= 2an+1+ an．则 ( )
A. a10= 985 B. 数列 an+1-an 是等比数列
C. a = 2n 4 ( 2+1)
n-1-(- 2+1)n-1 D. 白银比为 2+ 1
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
79
2026年选修二培优讲义
6．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老
鼠每月生子一次，每月生 12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了 12只小老鼠，一共 14
只；2个月后，每对老鼠各生 12只小老鼠，一共 98只， ，以此类推.记每个月新生的老鼠数
量为 an，每个月老鼠的总数量为 bn，数列 an ， bn 的前n项和分别为Sn，Tn，可知 a1= 12，a2
= 84，b1= 14，b2= 98，则下列说法正确的是 ( )
8
A. a = 12 76 B. b = 2 756 6 C. S6= 2 76- 2 D. T 7 -76= 3
7． 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从 2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多
200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加 10%.记甲、乙两公司在 2023年第n个月的盈利
分别为Q1(n)，Q2(n) (单位：万元).已知Q1(1) = 1200，Q2(1) = 1100，则Q1(n) -Q2(n)最大时，
n的值为 ( ) (参考数据：lg1.1≈ 0.0414，lg2≈ 0.3010)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一
半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为 378里，第一天健步行走，从第二天
起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后 3天共走
的里程数为 ( )
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 80
选修二培优讲义
A. 6 B. 12 C. 18 D. 42
题型七：公共项问题、插项问题
1．等差数列 a 前n项和为S ，S = 25，a + 2a = 19，数列 b 通项 b = 2nn n 5 3 4 n n - 1，将数列
an 和数列 bn 的公共项按从小到大的顺序排列构成数列 cn ，则数列 cn 前 50项和为 ( )
A. 251- 3 B. 251- 52 C. 250- 51 D. 250- 1
2．在等差数列 an 中，a1= 1，a1,a2,a5成公比不为 1的等比数列，Sn是 an 的前n项和，将
1011 1
数列 an 与数列 Sn-1 的公共项从小到大排列得到新数列 bn ，则 =( )
i=1 bn
A. 1 B. 1010 C. 1011 D. 11011 2023 2023
3．已知数列 an ， bn 的通项公式分别为 an= 2n，bn= 2n，现从数列 an 中剔除 an 与 bn
的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列 cn ，则数列 cn 的前
150项之和为 ( )
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
81
2026年选修二培优讲义
A. 23804 B. 23946 C. 24100 D. 24612
4．已知数列 an 满足：a3= 8且 n,m∈N+,an+m= anam，数列 an 与 log2a3n+2 的公共项
从小到大排列成数列 bn ，则 b109= ( )
A. 2218 B. 2219 C. 4109 D. 4218
5．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记
为n n∈N * .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列 1，3进行构造，第 1
次得到数列 1，2，3 3 5；第 2次得到数列 1，2 ，2，2 ，3； 依次构造，记第 n n∈N
* 次得到的数
列的所有项之和为Tn，则T8= ( )
A. 510 B. 514 C. 1022 D. 1026
6．已知数列 an 和 bn 通项公式分别为 a nn= 3 ，bn=n，在 bm与 bm+1之间插入数列 an 的
前m项，构成新数列 cn ，即 b1，a1，b2，a1，a2，b3，a1，a2，a3，b4，a1，a2，a3，a4，b5， ，记数列
S8
bn 的前n项和为Sn，则 ci= ( )
i=1
A. 30 B. 4944 C. 9876 D. 14748
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 82
选修二培优讲义
7．已知数列 an 是各项为正数的等比数列，公比为 q，在 a1，a2之间插入 1个数，使这 3个数
成等差数列，记公差为 d1，在 a2，a3之间插入 2个数，使这 4个数成等差数列，公差为 d2， ，在
an，an+1之间插入n个数，使这 n+ 2个数成等差数列，公差为 dn，则 ( )
A. 当 0< q< 1时，数列 dn 单调递减 B. 当 q> 1时，数列 dn 单调递增
C. 当 d1> d2时，数列 dn 单调递减 D. 当 d1< d2时，数列 dn 单调递增
8 1．已知等差数列 an 满足 a =n，若在 a 与 a ann n n+1之间插入 2 个 2 得到数列 bn ，Tn为数列
bn 的前n项和，则T50= ( )
A. 15 B. 452 C.
75
2 D. 62
9．已知等比数列 an 的前n项和为S *n，an+1=Sn+ 2 n∈N ．在 an与 an+1之间插入n个
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
83
2026年选修二培优讲义
数，使这n+ 2个数组成一个等差数列，记插入的这 n个数之和为Tn，T5的值为 ( )
A. 240 B. 360 C. 480 D. 560
题型八：范围与最值问题
1． (多选题)记等比数列 an 的前n项和为Sn，若S2+ a2= 0，S4= 5，则 ( )
A. S3+ a3= a2 B. a2+ a4=-5
C. a2是 an 中的最小项 D. S2是 Sn 中的最小项
2． (多选题)设等比数列 an 的公比为 q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件：a1>
, a2024-11 a2024a2025> 1，a -1 < 0，下列结论正确的是 ( )2025
A. S2024C. T2024是数列 Tn 中的最大值 D. 数列 Tn 无最大值
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 84
选修二培优讲义
3． (多选题)设 a n∈N *n 是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且
K5K8，则下列选项中成立的是 ( )
A. 0< q< 1 B. a7= 1
C. K9>K5 D. K6与K7均为Kn的最大值
4． (多选题)设等比数列 an 的公比为 q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件 a1>
, > a2022-11 a2022a2023 1，a -1 < 0，下列结论正确的是 ( )2023
A. S2022C. T2023是数列 Tn 中的最大值 D. 数列 Tn 无最大值
5． (多选题)设等比数列 an 的公比为 q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件 a1>
1，a2022a2023> 1， a2022-1 a2023-1 < 0，则下列选项正确的是 ( )
A. 0< q< 1 B. S2022>S2023- 1
C. T2023是数列 Tn 中的最大项 D. T4043< 1
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
85
2026年选修二培优讲义
6． (多选题)设公比为 q的等比数列 an 的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且 a1> 1，a2023a2024
> a1， 2023-1a -1 < 0，则下列结论正确的是 ( )2024
A. 0< q< 1 B. S2023S2024- 1> 0
C. T2024是数列 Tn 中的最大值 D. T2023是数列 Tn 中的最小值
a -1
7． (多选题)在等比数列 an 中，a1> 1，a 20242023a2024> 0，a -1 < 0，若Sn为 an 的前n项2023
和，Tn为 an 的前n项积，则 ( )
A. an 为单调递增数列 B. S2023C. T2023为 Tn 的最大项 D. Tn 无最大项
题型九：等差数列与等比数列的综合应用
1．已知数列 an 满足 2an+1= an+2+ an n∈N * ，a3=S2，S3= 2+ a4 其中Sn为 an 的前n项
和，等比数列 bn 满足：b1= 1，且 b1，b2+ 1，b3+ 1成等差数列．
(1)求数列 an 、 bn 的通项公式；
( ) = an+2 2 设Cn ， C
2λ
n 的前n项和为A2S b n
，若An≥ 恒成立，求实数 λ的最大值
n n+1 n+1
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 86
选修二培优讲义
2．设 an 是等差数列， bn 是等比数列，且 a1= b1= a2- b2= a3- b3= 1
(1)求 an 与 bn 通项公式； (2)求数列 an+2bn 前n项和Tn； (3)求
2n
a kk+1-(-1) ak bk
k=1
3．已知数列 an 的项数有限，且满足以下两个条件：① a1+ a2+ +an= 0，② a1 + a2 +
+ an = 1，称该数列为 n阶好数列.
(1)若 an 为等比数列，写出 4阶好数列的各项 (不必说明理由).
(2)若 an 为等差数列，且为 2k+ 1阶好数列，求该数列的通项 an(1≤n≤ 2k+ 1，用n、k表
示).
(3)记n阶好数列 a 1n 的前 k项和为Tk，若存在m(1≤m≤n)满足Tm= 2 ，则数列 Tk (1≤
k≤n)能否为n阶好数列 请说明理由.
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a
4．已知首项相同的等差数列 an 的公差与等比数列 bn 的公比大小相等，且 b
4
n+1> bn，b2
= 72 ，a4- b2= 5
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式； (2)令 cn= anbn，求数列 cn 的前n项和Tn
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 88
选修二培优讲义
题型十：奇偶问题
6n-5,n为奇数
1．已知数列 an 的通项 an= n, ，求其前 n项和S2 n为偶数 n
an ,a
2．已知数列 a 满足：a =m(m为正整数)，a = 2 n为偶数n 1 n+1 3an+1,an为奇数
(1)设数列 an 的前n项和为Sn，当m= 1024时，求S12；
(2)若 a6= 4，求m所有可能的取值集合M
3．已知等差数列 an 满足 3an+1= an+ 4n+ 8， an 的前n项和为Sn.
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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2026年选修二培优讲义
1S ,n为奇数(1)求 an 的通项公式； (2)若 bn= n ，求数列 bn 的前 2n项和T2n2n,n为偶数
4 1．已知等比数列 an 是递减数列， an 的前n项和为Sn，且 a ，2S2，8a3成等差数列，3a2=1
a1+ 2a3，数列 bn 的前n项和为T 2n，满足Tn=n +n，n∈N *.
anbn,n是奇数 2n
(1)求 an 和 bn 的通项公式； (2)若 cn= (3n+8)anb b , ，求 cn 是偶数 ii=1n n+2
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 90
选修二培优讲义
2a +1,n为奇数
5．已知数列 an 满足 a1= 2，a nn+1= - , ，公差不为 0的等差数列 bn 满足 b ，2an 2 n为偶数 1
b2，b4成等比数列，b8= a3
(1)证明：数列 a2n-1 是等比数列
(2)求 an 和 bn 的通项公式．
(3)在 ak与 ak+1之间从 bn 的第一项起依次插入 bn 中的 k项，构成新数列 cn ：a1，b1，a2，
b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4， .求 cn 中前 60项的和T60
题型十一：数形结合、转化与化归、分类讨论
1．作边长为 3的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切
圆，如此下去，则前 n个内切圆的面积之和为 ( )
A. 1- 1 1 1 14n-1 π B. 1- 4n π C. 4- 4n-1 π D. 4- π4n+1
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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2026年选修二培优讲义
2．已知数列 {an}是公比为 q(q> 0且 q≠ 1)的等比数列，点Ai在圆 Γi：(x- ai)2+ y2= a2i(i=
1，2，3)上，且满足 |A3A1|：|A3A2| = 2： 3，若A jA3是圆Γ j( j= 1,2)的切线，则 q= ( )
A. 1 B. 12 3 C. 2 D. 3
3．已知等比数列 {an}的公比为 q且 q≠ 1，记Tn= a1a2...an(n= 1,2,3,...)，则“a1> 0且 q> 1”
是“{Tn}为严格增数列”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【过关练习】
1．已知Tn为等比数列 an 的前n项积，若 an> 0，a4a6= 9，且 a10= 4，T14= ( )
A. 614 B. 127 C. 1214 D. 367
2．等比数列 an 的前n项和S n-1n= 4 + t，则 t= ( )
A. - 1 B. - 14 C.
1
2 D.
1
3
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 92
选修二培优讲义
3．设 an 是公比为 q q≠-1 的无穷等比数列，Sn为其前n项和，若 a1> 0，则“q> 0”是“数
列 Sn 存在最小项”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
4． (多选)已知数列 a nn 的前n项和为Sn，首项 a1= 2，且满足 an+1+ an= 4 3 ，则下列四个结
论中正确的是 ( )
A. 数列 an 是等比数列 B. S5= 362
2n+1
C. S2n= 3 -32 D. S
n+1 n+1
n+1-Sn= 3 + -1
低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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2026年选修二培优讲义
5． (多选)已知-1，2，8是等比数列 an 前 5项中的其中 3项，且 a2> 0，则 an 前 7项和可
能为 ( )
A. - 43 B. - 43 C. 434 6 D.
43
2
6 1．无穷等比数列 an 满足：a1+ a2= 1，a3+ a4= 4 ，则 an 的各项和为 ．
7． (2024年北京)设 an 与 bn 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M=
k|a *k=bk,k∈N ，给出下列 4个结论，其中正确结论的序号是 .
①若 an 与 bn 均为等差数列，则M中最多有 1个元素；
②若 an 与 bn 均为等比数列，则M中最多有 2个元素；
③若 an 为等差数列， bn 为等比数列，则M中最多有 3个元素；
④若 an 为递增数列， bn 为递减数列，则M中最多有 1个元素.
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 94
选修二培优讲义
8．如图，等边三角形ABC的边长为 4，取△ABC各边的中点D，E，F，作第 2
个等边三角形DEF，然后再取△DEF各边的中点G，H，I，作第 3个等边三角
形GHI，依此方法一直继续下去，记△ABC为第 1个三角形，△DEF为第 2个三
角形，△GHI为第 3个三角形， ，依此类推，则第 10个三角形与第 5个三角形
的面积之和为 ( )
5 5 45+1 3 45+1 3
A. 4 +1 B. 4 +19 C. D.4 48 49 48
9．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为 a、b、c，则以下结论
正确的是 ( )
①B= π3 ；
②若 a、b、c成等比数列，则△ABC为等边三角形；
③若 a= 2c，则△ABC为直角三角形；
④若 tanA+ tanC+ 3> 0，则△ABC为钝角三角形.
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
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2026年选修二培优讲义
10．债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券
n C F
现值计算公式为PV= i + n ，其中PV为债券现值，n表示债券的期限 (单位：
i=1 (1+r)i (1+r)n
年)，Ci为第 i年的利息，Fn为n年后的债券面值，r为贴现率.若PV= 72,r= 0.05，Ci= 2.1i，
F
则 5F = ( )4
A. 12 B.
1 2 1
3 C. 3 D. 4
S
11 1．记首项为 1的数列 a 的前n项和为S ，且 nn n ! n 是以 2 为公比的等比数列，若对于任
意正整数n，均有 an>m，则整数m的最大值为 ( )
A. 0 B. - 1 C. - 2 D. - 3
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 96
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12． (多选题)已知数列 an 的前n项和为S *n，a1= 1，且 an+1=Sn n∈N ，则 ( )
A. an 不是等比数列 B. a2= 2
C. a4= 4a2 D. S = 2n-1n
13． (多选题)已知数列 an 是等比数列，以下结论正确的是 ( )
A. a2n 是等比数列
B. 若 a3= 3，a7= 27，则 a5=±9
C. 若 a1< a2< a3，则数列 an 是递增数列
D. 若数列 an 的前n项和S nn= 3 + r，则 r=-1
14． ( sinx多选题)已知定义域为 π,+∞ 的函数 f(x) = x 的所有单调增区间，从左往右排列可e
, ∈ a以表示为 an bn ，n N *，令 cn= n ，且数列 cn 的前n项和为Sn，则 ( )bn
A. an=- π 4 24 + 2nπ B. cn 是递增数列 C. cn≤ 1- n+1 D. Sn低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
97
2026年选修二培优讲义
15． (多选题)若正数 a,b,c,d满足 a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则下列正确的是 ( )
A. c2= bd B. 若 b= 2a，则 d= 4.5a
C. 若 a,b均为整数，则 c一定为整数 D. 若 a,b均为整数，则 d一定为整数
16．设 an 为首项大于 0，公差不为 0的等差数列，Sn为 an 的前n项和，且 a2，a1，a4成等比
数列，则使得不等式Sn+ 4a1< 0成立时对应的最小整数 n的值为 .
17．设 an 为首项大于 0，公差不为 0的等差数列，Sn为 an 的前n项和，且 a2,a1,a4成等比
数列，则使得不等式Sn+ 4a1< 0成立时对应 ．
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 98
选修二培优讲义
18．已知Sn为等比数列 an 的前n项和，若 4a2,2a3,a4成等差数列，且S4= 8a2- 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) a若 b nn= ，且数列 bn 的前n项和为Tn，求Tn的取值范围
an+2 an+1+2
19．数列 an 为公差不为零等差数列，其前 n项和为Sn，S7= 49，且 a2，a5，a14成等比数列
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 an+bn 是公比为 3的等比数列，且 b3= 22，求 bn 的前n项和Tn
20．已知等比数列 an 和等差数列 bn ，满足 an+1> an，a1= b1= 1，a2= b2，3a3= 4b3．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
n+1
(2) T记数列 a b 的前n项和为T，数列 nn n n
2
的前n项和为P，证明：Pb b n n低头赶路敬事如仪自知自心其路则明
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21 1 3．已知数列 an 满足 a1= 4 ，an，2 an+1，2anan+1成等差数列.
(1) 1求证：数列 -1 a 是等比数列，并求出 an 的通项公式；n
n
(2) a 3 1 5记 n 的前n项和为Sn，证明： 8 1- 3 ≤Sn< 12
( I ) = an+1 = a22． 2025 1年全国 卷 已知数列 a nn 中，a1 3， n n+1 + n(n+1)
(1)证明：数列 nan 是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数 f(x) = a1x+ a x22 + +amxm，求 f (-2)
凡心所向素履所往生如逆旅一苇以航 100
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23． (2023年天津)已知 an 是等差数列，a2+ a5= 16,a5- a3= 4．
2n-1
(1)求 an 的通项公式和 ai n∈N
i=2n-1
(2)设 bn 是等比数列，且对任意的 k∈N *，当 2k-1≤n≤ 2k- 1时，则 bk< an< bk+1，
(i)当 k≥ 2时，求证：2k- 1< bk< 2k+ 1； (ii)求 bn 的通项公式及前 n项和
24．欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数 n，欧拉函数 φ n 表示小于或等于 n
的正整数中与 n互质的数的个数．例如 φ 8 = 4(1，3，5，7与 8互质)
(1)求 φ 3 ，φ 9 ，φ 3n 的值；
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(2) 1已知数列 a 满足 a = nn n 2 n φ 3 ，求 an 的前n项和Sn
25．已知函数 f(x) = 2x2，设曲线 y= f(x)在点 (x *n,f(xn))，n∈N 处的切线与 x轴的交点为
(xn+1,0)，其中 x1= 1
(1)写出 x2,x3，并求数列 xn 的通项公式；
(2)设数列 nxn 的前n项和为Sn，证明：Sn< 4
26．已知数列 a 前n项为S ，且S =n2n n n .正项等比数列 bn 的首项为 1，Tn为其前n项和，
且T5= 5T3- 4
(1)求 an，bn； (2)当 λ> 0时，若 λSn≤Tn+ 1对任意n∈N *恒成立，求实数 λ的最大值
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27．如图，正方形ABCD的边长为 a1，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，
H，作第 2个正方形EFGH，其边长记为 a2；然后再取正方形EFGH各边的中
点 I，J，K，L，作第 3个正方形 IJKL，其边长记为 a3；依此方法一直继续下去，
n(n∈N *) a . 2则记第 个正方形的边长为 n 已知 a1= 2 ，bn=-log2a
2
n
(1)求 an，bn；
(2)记第n个正方形区域未被第 n+ 1个正方形区域覆盖的面积为Sn，求使得S1+S2+ +Sn
≥ 2 成立的n的最小值.
bn
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第 4讲：数列的递推与通项公式
题型一：直接观察法
1 1 17 25．已知无穷数列 an 前 5项分别为 3 ，3，3 ，3 ，11，则此数列的通项公式可能为 ( )
A. a = 7n-6 B. a = 8n-7n 3 n 3 C. a =
9n-8 10n-9
n 3 D. an= 3
2．已知虚数数列 an= (1+ i)n，则其前 4n项和为 ( )
A. 1- -4 n 1- i B. 1- -4 n i-1
C. 1 n 1 n5 1- -4 1- i D. 5 1- -4 i-1
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙
粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的 1，3，6，10称为三
角形数，第二行的 1，4，9，16称为正方形数，第三行的 1，5，12，22称为五边形
数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第 5项分别为 ( )
A. 24，34 B. 25，35 C. 25，34 D. 24，35
4．将正整数如图排列，第 n行有n个数，从 1开始作如下运动，先从左往下
碰到 2，记为 a1，再从 a1开始从右往下碰到 5，记为 a2，接着从 a2开始，从左往
下碰到 8，记为 a3 .依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为 a1，
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a2 an ，构成数列 an ，则 a10= ( )
A. 59 B. 60 C. 61 D. 62
题型二：累加法
1．若对任意正实数 x，都有 f(x)> 0，2+ 2f(x)< f(x+ 1) + f(x- 1)< 3+ 2f(x)，且有 f(1) =
f(2) = 1，下列选项正确的是 ( )
A. f(20)> 484 B. f(10)> 73 C. f(10)< 69 D. f(20)< 293
2．已知数列 an 首项 a1=-56，an+1≥ an+ 2n，则使得 an≤ 0成立的最大正整数 n是 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3．已知数列 an 满足 a1= 2，an= an-1+ 2n(n≥ 2)
(1)求数列 a 1n 的通项公式； (2)记数列 a 的前n项和为Sn，证明：Sn< 1n
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4．数列 an 中，a1= 1，a2= 9，且 an+2+ an= 2an+1+ 8，
(1)求数列 an 的通项公式； (2)数列 bn 前n项和为Sn，且满足 b2n= an，bnbn+1< 0，求Sn
5 3．已知各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn,2Sn=n an+1 且 a2= 2 a1.
(1) a求 an 的通项公式； (2)若 bn= nn ,求数列 bn 的前n项和T2 n
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题型三：累乘法
1．数列递推指的是通过数列第 n项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项，若数
1
列 an满足 a1= 2 ，a2= 1，a1a3= a
2
2 ，a1a4= a 23 ，a1a5= a 24 ， ，则 a2025= ( )
A. 22023 B. 22024
2023 2024
C. 2 2 -1 D. 2 2 -1
a
2．在数列 {an}中，若 a1= 2 2，且对任意 n∈N *有 n+1a = 2+ n ，则数列 {an}前 30项和为 ( )n
A. 30× 231+ 2 B. 31× 231+ 2 C. 29× 230+ 2 D. 29× 231+ 2
3．记数列 an 的前n项和Sn，对任意正整数 n，有 2Sn=nan，且 a2= 3.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 a mk< 4 < ak+1，则在 ak和 ak+1两项中插入 4m，由此得到一个新数列
bn ，求 bn 的前 91项和
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= , = ( > ) = n a -a 4．已知 a1 a a2 p 常数 p 0
n 1
，数列 an 的前n项和为Sn，且Sn 2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
( S2)记 b = n+2 + Sn+1n S ，数列 bn 的前n项和为Tn，求证：Tn< 2n+ 3n+1 Sn+2
n+1 a
5．设数列 an 的前n项和为S ,a nn 1= 1，且Sn= 2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
( ) = an+a2 若 b n+1n 2 2 ，数列 bn 的前n项和为T , n∈N
*
n ,Tn题型四：利用Sn与 an的关系之消Sn
1．设数列 an 的前n项和为Sn，若 a2= 3,Sn+1= 2Sn+n，则 an=
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2．记Sn为数列 an 的前n项和，已知 a2=-2，2Sn=n an-4
(1)求数列 an 的通项公式； (2)求数列 an 的前n项和Tn
3．已知数列 an ，Sn为数列 an 的前n项和，且满足 a1= 2，3Sn= n+2 an
(1)求 a 1 1 1 1 1 3n 的通项公式： (2)证明：a + a + a + a + + <1 2 4 8 a2n 4
4．设Sn为数列 an 的前n项和，且S2= 8，2Sn= (n+ 1)an+n- 1.
(1)求 an； (2)若不等式 λ 2n-Sn> 0恒成立，求实数 λ的取值范围.
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5．已知正项数列 an 的前n项和为Sn，且 4Sn= a2n+ 2an
n
(1) -1 求 an 通项公式；(2)若 bn= ，记数

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