资源简介

18.1.2 矩形的判定（课时1）
一、教学目标
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想和图形判定的探究思路.
掌握矩形的定义判定法和两个判定定理，能准确表述定理内容.
能运用矩形的判定方法进行简单的几何证明和计算.
二、教学重点及难点
重点：矩形的两个判定定理及其应用.
难点：矩形判定定理的证明过程，以及合理选择判定方法解决问题.
三、教学过程
【复习引入】
提问：什么是矩形？（学生回答：有一个角是直角的平行四边形是矩形）
回顾矩形的性质：
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：相等且互相平分
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形
设计意图：通过复习矩形的定义和性质，唤醒学生已有知识，为从性质的逆命题出发探究判定方法做好铺垫，体现 "性质 - 判定" 的几何研究逻辑.
【探究新知】
探究 1：定义法判定矩形
教师引导：矩形的定义本身就是一种最基本的判定方法.
符号表示：
在 ABCD 中，
∵∠ABC=90°，
∴ ABCD 是矩形.
强调：定义法需要同时满足两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.
设计意图：明确定义作为判定方法的基础性地位，为后续两个判定定理的证明提供依据.
探究 2：矩形的判定定理 1（三个角是直角的四边形是矩形）
提出猜想：
矩形的性质 "四个角都是直角" 的逆命题是什么？（学生回答：四个角都是直角的四边形是矩形）
追问：判定条件能否减少？三个角是直角的四边形是矩形吗？
动手操作：
让学生动手作一个三个角都是直角的四边形，观察图形特征.
作法：
（1）任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
（2）过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
（3）过点 D 作垂直于 AD 的直线 m，与直线 l 相交于点 C．
演绎证明：
已知：在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：
∵∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
又∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
又∵∠B=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
得出定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
符号表示：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
设计意图：让学生经历 "猜想 - 操作 - 证明" 的完整过程，培养逻辑推理能力，理解判定定理的推导依据.
探究 3：矩形的判定定理 2（对角线相等的平行四边形是矩形）
提出猜想：
矩形的性质 "对角线相等" 的逆命题是什么？（学生回答：对角线相等的四边形是矩形？）
引导学生思考：这个逆命题是否成立？如果不成立，需要添加什么条件？
修正猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
动手操作：
作一个对角线相等且互相平分的四边形，观察是否为矩形.
作法：
（1）任意作两条相交的直线，交点记为 O；
（2）以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD；
（3）顺次连结所得的四点
演绎证明：
已知：在 ABCD 中，AC=BD.
求证： ABCD 是矩形.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
在△ABC 和△DCB 中，
AB=DC，
BC=CB，
AC=DB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=90°.
∴ ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
得出定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号表示：
在 ABCD 中，
∵AC=BD，
∴ ABCD 是矩形.
生活应用：
介绍木工师傅用测量对角线的方法检验门框是否为矩形的原理.
设计意图：通过修正猜想、动手验证和严格证明，让学生理解判定定理的条件必要性，体会数学与生活的联系.
【典型例题】
例 在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB 的度数.
师生活动：
学生独立思考，尝试解题.
小组交流解题思路.
教师展示规范解题过程：
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD.
∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠DAB=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=90°-50°=40°.
设计意图：通过典型例题，让学生掌握判定定理 2 的应用，学会将对角线相等的条件转化为矩形的判定，同时结合矩形的性质进行计算.
【当堂检测】
下列说法正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三个角都是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
已知：在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，若 AB=3cm，BC=4cm，则 AD= cm，CD= cm，四边形 ABCD 的面积是 __cm .
在 ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且 MB=MC.求证： ABCD 是矩形.
师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，最后集体订正答案.
设计意图：通过不同层次的练习题，巩固学生对矩形三种判定方法的理解和应用，及时反馈学习效果.
四、课堂小结
今天我们学习了矩形的三种判定方法：
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形.
判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形.
五、板书设计
18.1.2 矩形的判定（课时 1）
定义法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
符号： ABCD 中，∠ABC=90° ABCD 是矩形
判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
符号：四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90° 四边形 ABCD 是矩形
判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号： ABCD 中，AC=BD ABCD 是矩形

展开更多......

收起↑