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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.3.3 一次函数的性质
一、教学目标
1.结合一次函数的图象，理解一次函数的增减性，能根据解析式中 k 的符号，判断函数值随自变量增大而增大或减小的规律.
2.经历观察、对比、归纳的过程，结合一次函数的图象与解析式，总结并掌握一次函数 y=kx+b (k≠0) 的性质.
3.体会数形结合的数学思想，提升从函数图象中分析、归纳函数性质的能力.
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握一次函数的增减性.
难点：能结合一次函数的图象和解析式，灵活运用一次函数的性质解决相关问题.
三、教学过程
【复习导入】
教师提问：同学们，上节课我们学习了一次函数的图象，谁能说一说：
一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是什么图形？
画一次函数图象最简便的方法是什么？
一次函数的图象可以由正比例函数y=kx的图象经过怎样的平移得到？
【师生活动】
学生 1 回答：一次函数的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b；
学生 2 回答：两点法，一般取图象与x轴、y轴的两个交点来作图；
学生 3 回答：当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位；
教师追问：我们知道函数反映了现实世界中量的变化规律，那么一次函数有什么性质呢？它的图象是如何变化的？今天我们就一起来探究一次函数的性质.
设计意图：通过回顾一次函数图象的形状、画法和平移规律，唤醒学生的旧知储备，为本节课探究函数性质做好铺垫；同时通过设问，激发学生的探究兴趣，自然引出本节课的学习主题．
【探究新知】
探究：一次函数的性质.
教师提问：请大家观察两个函数图象：和y=3x 2．
思考：当一个点在直线上从左向右移动时，自变量x是如何变化的？
对应的，函数值y又是如何变化的？这说明了什么？
【师生活动】学生独立观察图象，小组内交流讨论．学生代表汇报：当点在直线上从左向右移动时，自变量x的值在增大，函数值y的值也随之增大．
教师追问：请大家再观察一下，这两个函数的解析式中，k的值有什么共同特点？
学生回答：它们的k值都是正数，即k>0．
教师小结：非常好！我们发现，当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右是上升的．
设计意图：通过引导学生观察图象上点的移动，将自变量与函数值的变化联系起来，直观感知k>0时一次函数的增减性；通过追问解析式，引导学生将图象的变化与表达式中的k值联系起来，渗透数形结合思想．
教师提问：接下来，请大家观察另外两个函数和的图象，
思考以下问题：
这两个函数的k值是正数还是负数？
当点在直线上从左向右移动时，函数值y随着x的增大如何变化？
这两个函数的图象从左到右是上升还是下降？
【师生活动】学生结合图象，类比上一个探究过程，自主分析并回答问题．
学生回答：这两个函数的k值都是负数，即k<0；当x增大时，y的值反而减小；图象从左到右是下降的．
教师追问：这和我们刚才研究的k>0时的情况正好相反，谁能完整地描述一下k<0时一次函数的性质？
学生总结：当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
设计意图：通过类比探究，让学生自主发现k<0时一次函数的变化规律，培养学生的观察、对比和归纳能力；通过与k>0时的情况对比，加深对一次函数增减性的理解．
教师提问：从对以上四个函数的研究结果中，你能否概括出关于一次函数性质的一般结论？
【学生活动】学生小组讨论，尝试用规范的数学语言总结规律．
教师讲解：
一次函数y=kx+b (k≠0) 有下列性质：
若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
教师引导学生齐读性质，加深记忆．
教师追问：这些性质在本节问题 1 和问题 2 中，反映了怎样的实际意义？你能证明这些性质吗？
【学生活动】学生小组讨论，结合实际问题，分析k的符号与实际情境中变量变化的对应关系，小组内交流分享自己的理解．
答案预设：
问题 1 中，，说明汽车行驶的时间 越长，汽车距北京的路程 就越小；问题 2中，，说明随着所挂重物质量 的增加，弹簧的长度 （在弹性限度内）也增加．
设计意图：由特殊到一般，引导学生归纳出一次函数的完整性质，培养学生的抽象概括能力；结合实际问题，让学生体会数学知识与现实生活的联系，深化对性质的理解．
【课堂互动】
教师提问：画出函数 y= 2x+2 的图象，结合图象回答：在这个函数中，随着自变量 x 的增大，函数值 y 是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
【师生活动】学生独立完成画图，并结合图象回答问题．教师选取学生的作品进行展示点评，强调画图规范．
学生回答：k= 2<0，所以y随x的增大而减小，图象从左到右下降；图象经过第一、二、四象限．
答案预设：
列表如下：
... 0 1 ...
... 2 0 ...
这个函数中，随着自变量 x 的增大，函数值 y 减小，它的图象从左到右下降．
设计意图：通过动手画图和即时练习，让学生在实践中巩固一次函数的性质，提升数形结合的应用能力；通过追问，引导学生脱离图象，直接根据解析式判断函数性质，深化对性质的理解和应用．
教师归纳：一次函数的性质
一次函数
的符号
性质 随 的增大而增大，函数图象从左到右上升 随 的增大而减小，图象从左到右下降
与 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限
【课堂互动】
教师提问：如果不画图，你能直接根据k和b的值判断函数的增减性和图象经过的象限吗？
【师生活动】学生结合教师提问，独立思考后同桌交流，尝试直接根据k、b的值判断一次函数的增减性与图象经过的象限，教师适时进行引导．
教师拓展：k，b 与一次函数图象的关系
对于一次函数 y=kx+b，
（1）k，b 的符号 直线所经过的象限；
（2）k 的符号 一次函数的增减性；
（3）b 的符号 直线与 y 轴的交点位置．
|k| 越大，直线y=kx+b(k≠0) 与 x 轴相交所成的锐角就越大(直线越陡).
|k| 越小，直线y=kx+b(k≠0) 与 x 轴相交所成的锐角就越小(直线越缓).
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.一次函数y=kx+b (k≠0) 的性质：
若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．

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