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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.3.2 一次函数的图象
一、教学目标
1.熟练运用描点法画一次函数的图象，通过观察对比多组一次函数图象，归纳出两点法画一次函数图象的简便方法，并理解其适用原理.
2.结合具体实例，探索并理解一次函数表达式中系数k与b对图象位置、形状的影响，总结出一次函数图象的平移规律.
3.能从实际问题的一次函数解析式出发，准确画出对应的函数图象，并能结合图象分析自变量取值范围与实际意义，体会数形结合的数学思想.
二、教学重点及难点
重点：掌握用两点法画一次函数图象；理解一次函数y=kx+b (k≠0)中k、b分别与图象位置的关系.
难点：理解k相同、k不同时图象的平行关系及平移规律；准确分析实际问题中一次函数图象的实际意义.
三、教学过程
【探究新知】
探究：用描点法画一次函数的图象，发现图象特征.
教师：前面，我们已经学习了用描点法画函数的图象，也知道通常可以结合图象研究函数的性质和应用．我们先研究一次函数的图象．
大家运用描点法，在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）； （2）； （3）； （4）．
画图时注意选取合适的自变量取值，规范完成列表、描点、连线三步．
【师生活动】学生独立完成画图操作，教师巡视指导，纠正学生列表取值不合理、描点位置偏差、连线不规范等问题．
答案预设：如图．
教师提问：大家观察自己画出的四个一次函数的图象，发现它们都是什么图形？正比例函数的图象有什么特殊之处？
学生观察后回答：这四个一次函数的图象都是一条直线；正比例函数、 的图象都是经过原点的直线．
教师总结一次函数的图象：一次函数y=kx+b (k≠0) 的图象是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b．
正比例函数的图象：特别地，正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线．
设计意图：让学生动手用描点法画一次函数图象，在实践中感知一次函数图象的形状特征，培养学生的动手操作能力，同时为后续探究两点法画一次函数图象奠定直观基础．
【探究新知】
探究：归纳两点法画一次函数图象的方法.
教师提问：几个点可以确定一条直线？画一次函数的图象时，只需要取几个点？
学生回答：两点确定一条直线，所以画一次函数的图象只需要取两个点即可．
教师追问：那画一次函数的图象时，选取哪两个点作图会更简便呢？大家结合刚才画的 的图象思考一下．
【学生活动】学生小组内交流讨论，尝试总结简便取点方法，教师引导学生结合坐标轴上点的坐标特征分析．
小组代表汇报：选取函数图象与x轴、y轴的交点最简便，因为坐标轴上的点一个坐标为 0，计算简便，描点也容易．
教师总结：画一次函数图象的简便方法——两点法：一般取图象与x轴（y=0）、y轴（x=0）的两个交点，描点后作直线即可；
画正比例函数图象的两点法：因为正比例函数图象过原点，所以取原点(0，0)和点(1，k)，描点后作直线即可．
设计意图：结合“两点确定一条直线”的几何知识，引导学生自主归纳出两点法画一次函数图象的方法，让学生理解方法的原理，同时通过实践体会两点法的简便性，提升学生的数形结合能力和归纳总结能力．
教师拓展1：一次函数图象的平移规律
原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记
向上平移 个单位长度 上加下减
向下平移 个单位长度
向左平移 个单位长度 左加右减
向右平移 个单位长度
教师拓展2：一次函数与正比例函数图象的关系
一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象可以由正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象向上 (b>0) 或向下 (b<0) 平移 |b| 个单位长度得到．
【探究新知】
探究：探索k、b对一次函数图象的影响.
教师提问：观察前面画出的四个一次函数的图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点和不同点：
① 与 ；
② 与 ；
③ 与 ．
教师点拨：你能否从中发现一些规律？对于直线y=kx+b (k、b 是常数，k≠0)，常数 k 和 b 的取值对于直线的位置各有什么影响？
【师生活动】
学生以 4 人小组为单位，结合画出的函数图象，分组讨论三组函数的异同，教师巡视参与小组交流，引导学生从图象的倾斜方向、倾斜程度、与y轴的交点位置等角度分析．
小组代表汇报：
针对第①、②组 与 、 与 ：学生回答两条直线的“倾斜程度”是一样的，也就是从左到右都是向上或向下的趋势相同；但位置不同，、的图象整体在、的上方．
针对第③组 与：学生回答两条直线与 y 轴交于同一个点；但倾斜程度不同，一条更陡，一条更平缓．
教师引导分析：
教师追问：结合函数表达式，第①、②组两个函数的 k 相同、b 不同，第③组 b 相同、k 不同，这分别说明了什么？
学生总结：
相同、 不相同时：共同点是倾斜程度相同，不同点是与 y 轴交点的位置不同；
相同、 不相同时：共同点是与 y 轴交点的位置相同，不同点是倾斜程度不同．
探究平移规律：
教师继续提问：从 的图象到 的图象，图象发生了怎样的移动？从到 呢？
学生观察回答：的图象是由 的图象向上移动了 2 个单位长度得到的；是由向上平移 2 个单位得到的．
教师根据学生的回答，进一步点拨总结规律：
对于直线 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）：
常数 k 决定直线的倾斜程度（陡峭程度）与倾斜方向；
常数 b 决定直线与 y 轴的交点位置，即直线在坐标系中的上下位置；
即对于两个一次函数 y1 = k1x + b1 和 y2 = k2x + b2 (k1、k2 均不为 0)
如果 k1=k2，那么这两条直线会平行．
如果 b1=b2，那么这两条直线会与 y 轴相交于同一个点．
设计意图：通过分组对比、递进式提问，引导学生从图象直观到表达式本质，自主探究k、b对一次函数图象的影响，总结平移规律，培养学生的观察、分析、归纳能力，渗透数形结合的数学思想，突破本节课的教学重点．
【典型例题】
例1. 分别在同一个平面直角坐标系中（下图）画出下列函数的图象：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
解：（1）（2）
教师提问：画正比例函数y=2x时，你取了哪两个点？为什么这样取？
学生回答：取(0，0)和(1，2)，因为正比例函数图象过原点，取原点和(1，k)计算、描点都很简便．
教师继续提问：画、、这些一次函数时，你取了哪两个点？
学生回答：取图象与x轴、y轴的交点，也就是令x=0求y，令y=0求x，这样的点计算简单，描点方便．
教师展示学生的规范作图，点评取点技巧，强调：画一次函数图象，优先取与坐标轴的交点（或正比例函数取原点和(1，k)），是最简便的方法．
例2. 求直线 与 轴和 轴的交点，并画出这条直线．
解：x 轴上的点的纵坐标等于 0，y 轴上的点的横坐标等于 0．交点同时在直线 上，它的坐标 (x，y) 应满足 ．于是，由 y=0 可求得 x= 1.5，点 ( 1.5，0) 就是直线 与 x 轴的交点；由 x=0 可求得 y= 3，点 (0， 3) 就是直线 与 y 轴的交点．
如图，过点 ( 1.5，0) 和点 (0， 3) 作直线，就是所求的直线 ．
教师提问：这里是取哪两个特殊点来作直线的？这样取点有什么好处？
学生回答：取图象与坐标轴的交点(0，3)和(1.5，0)，这样作图简单，容易描点．
设计意图：通过例题让学生熟练掌握两点法画一次函数图象的简便取点方法，规范作图步骤，结合图象深化对k、b系数意义的理解，落实数形结合思想，强化教学重点．
例3. 本节问题 1 中，汽车距北京的路程 s (km) 与汽车在高速公路上行驶的时间 t (h) 之间的函数关系式是 s=285 95t，试画出这个函数的图象．
教师点拨：在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示．
教师提问：画出这个函数的图象，并讨论：
这里自变量 t 的取值范围是什么？函数的图象是怎样的图形？
【师生活动】学生独立分析自变量取值范围，再用两点法画图，教师巡视指导．
教师提问：谁能说说这个问题中自变量t的取值范围？你是怎么确定的？
学生回答：因为时间t≥0，路程s≥0，即285 95t≥0，解得t≤3，所以t的取值范围是0≤t≤3．
教师追问：结合自变量的取值范围，这个一次函数的图象还是一条完整的直线吗？图象的两个端点(0，285)和(3，0)分别表示什么实际意义？
学生观察自己画出的图象后回答：这个函数的图象不是完整的直线，而是一条线段；端点(0，285)表示汽车出发时距北京 285km，端点(3，0)表示汽车行驶 3h 后到达北京．
教师总结：画实际问题中的一次函数图象时，一定要结合实际背景确定自变量的取值范围，此时的函数图象通常是直线的一部分，如线段，图象上的点都对应着实际问题中的有效情境．
设计意图：让学生结合实际问题画一次函数图象，理解实际问题中自变量取值范围的特殊性，体会一次函数图象从“直线”到“线段”的变化，理解图象端点的实际意义，进一步渗透数形结合的数学思想，突破本节课的难点．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.一次函数的图象：一次函数y=kx+b (k≠0) 的图象是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b．
2.正比例函数的图象：正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线．
3.画一次函数图象的简便方法——两点法：一般取图象与x轴（y=0）、y轴（x=0）的两个交点，描点后作直线即可；
画正比例函数图象的两点法：因为正比例函数图象过原点，所以取原点(0，0)和点(1，k)，描点后作直线即可．
4.k、b对一次函数图象的影响：
对于两个一次函数 y1 = k1x + b1 和 y2 = k2x + b2 (k1、k2 均不为 0)：
如果 k1=k2，那么这两条直线会平行．
如果 b1=b2，那么这两条直线会与 y 轴相交于同一个点．

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