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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.2.1 平面直角坐标系
一、教学目标
1.经历从生活实例（如电影院找座位）抽象出平面直角坐标系的过程，理解平面直角坐标系的概念，掌握其构成要素，能规范画出平面直角坐标系.
2.能在给定的平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，也能由点的位置写出它的坐标，熟练掌握坐标与点位置的相互转化方法.
3.理解平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的一一对应关系，掌握四个象限及坐标轴上点的坐标特征，提升数形结合的分析能力.
二、教学重点及难点
重点：平面直角坐标系的概念；根据坐标描点、由点写坐标的基本操作；.
难点：理解有序实数对的“有序”含义，区分不同顺序的坐标对应不同的点；掌握四个象限及坐标轴上点的坐标特征，准确判断点的位置.
三、教学过程
【探究新知】
探究：从生活实例抽象平面直角坐标系的概念.
教师提问：大家去过电影院吗？找座位时是怎么找的？电影票上的“几排几座”能确定唯一的座位吗？
学生回答：电影院找座位先找排数，再找座位号，“几排几座”能确定唯一座位．
教师追问：电影院里的座位可以依次由两个数确定下来．类比电影院找座位的方法，数学中该如何确定平面上一个点的位置呢？
【学生活动】学生结合生活经验思考后，小组内交流讨论，再由小组代表发言：
学生 1：可以像电影院一样，用两个数来确定平面上点的位置，先定一个水平方向的数，再定一个竖直方向的数．
学生 2：可以画两条互相垂直的线，把平面分成格子，每个格子用两个数标记，就像座位的排和座一样．
学生 3：这两个数要有顺序，不能颠倒，不然就会找错位置，就像 “3 排 5 座” 和 “5 排 3 座” 不是同一个座位．
教师：同学们回答的很对．在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．
教师总结平面直角坐标系的概念：
在平面上画两条互相垂直且具有公共原点的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系．
横轴：通常把其中水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；
纵轴：竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；
原点：两条数轴的交点 O（即公共的原点）叫做平面直角坐标系的原点．
设计意图：从学生熟悉的生活实例切入，降低抽象概念的理解难度，让学生体会数学与生活的联系，同时通过动手画图，直观掌握平面直角坐标系的构成和画法，落实基础概念．
【探究新知】
探究：认识点的坐标，掌握坐标与点位置的转化.
教师提问：在平面直角坐标系中，如何用数表示一个点的位置？
我们以点 P 为例，从点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足对应的数分别有什么意义？点的坐标该如何书写？
【师生活动】
教师结合坐标系讲解点的坐标：在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．
如图中的点 P，从点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为点 M 和点 N．
这时，点 M 在 x 轴上对应的数为 3，称为点 P 的横坐标；点 N 在 y 轴上对应的数为 2，称为点 P 的纵坐标．
教师提问：依次写出点 P 的横坐标和纵坐标，可以得到什么？
学生回答：得到一对有序实数 (3，2)，即点 P 的坐标．
教师：这时点 P 可记作 P(3，2)．
设计意图：通过教师讲解、学生思考、动手操作的环节，让学生理解点的坐标的定义，熟练掌握坐标描点的基本方法，突破本节课的教学重点．
教师拓展：点的坐标说明
（1）在写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；
（2）点的坐标是有序数对，(a，b) 和 (b，a) (a ≠ b) 表示不同的点的坐标．
【探究新知】
探究：认识象限，掌握象限及坐标轴上点的坐标特征.
教师讲解象限的划分：在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的 I、II、III、IV 四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．
注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【课堂互动】
教师提问：1.在图中分别描出坐标是 (2，3)、( 2，3)、(3， 2) 的点 Q、S、R，Q(2，3) 与 P(3，2) 是同一个点吗？S( 2，3) 与 R(3， 2) 是同一个点吗？
【师生活动】学生独立在坐标系中描点，教师巡视指导，纠正错误描点．
答案预设：
如图，Q(2，3)和P(3，2)不是同一个点，S( 2，3)和R(3， 2)也不是同一个点．
提问：2.分别写出图中的点 A、B、C、D、E、F 的坐标．
学生思考后写出点的坐标：A( 1，2)，B(2，1)，C(2， 1)，D( 1， 1)，E(0，3)，F( 2，0).
教师：观察你所写出的这些点的坐标，思考：（1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征？
（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
【学生活动】学生结合写出的坐标，小组内展开讨论，先将各点按所在象限及坐标轴分类，标注横、纵坐标的符号，对比归纳出四个象限内点的坐标符号规律，以及 x 轴、y 轴上点横或纵坐标为 0 的特征，最后由小组代表分享汇报归纳结果．
教师讲解：（1）四个象限内的点的坐标特征如下.
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号
第一象限 + +
第二象限 +
第三象限
第四象限 +
（2）两条坐标轴上的点的坐标特征．
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号
在 x 轴的正半轴上 + 0
在 x 轴的负半轴上 0
在 y 轴的正半轴上 0 +
在 y 轴的负半轴上 0
设计意图：通过“描点→写坐标→归纳特征”的完整实践流程，让学生在动手操作中直观感知有序实数对的“有序”本质，自主归纳象限及坐标轴上点的坐标特征，为后续判断点的位置、学习函数图象奠定基础．
【探究新知】
探究：平面上的点与有序实数对的关系.
教师提问：我们知道，数轴上的点和全体实数是一一对应的．上面的练习也给我们这样的启发：平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的．你能说出这句话的含义吗？
【学生活动】学生结合之前描点、写坐标的练习，独立思考“一一对应”的含义，再和同桌交流想法，尝试用自己的话表述．
教师总结：平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的，即坐标平面内的任意一个点都有唯一的有序实数对与它对应，而任意一对有序实数在坐标平面内都有唯一的一个点与它对应．
教师拓展：对称点的坐标特征
1.点 P(x，y)关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为(x，-y)，即横坐标相同，纵坐标互为相反数；
2.点 P(x，y)关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相同；
3.点 P(x，y)关于原点对称的点 P3 的坐标为(-x，-y)，即横、纵坐标均互为相反数．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平面直角坐标系：在平面上画两条互相垂直且具有公共原点的数轴，构成平面直角坐标系．
横轴：通常把其中水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；
纵轴：竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；
原点：两条数轴的交点 O（即公共的原点）叫做平面直角坐标系的原点．
2.点的坐标：任意一点都可以用一对有序实数来表示，平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．
3.象限的划分：在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成 I、II、III、IV 四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．

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