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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.3.1 一次函数
一、教学目标
1.结合自驾游路程、弹簧伸长等实际实例，理解一次函数和正比例函数的意义，明确正比例函数是一次函数的特殊形式，理清二者的从属关系.
2.能分析实际问题中的数量关系，准确列出一次函数解析式，并根据实际背景确定自变量的取值范围，建立数学模型解决实际问题.
3.能根据一次函数的解析式，熟练代入自变量的值求出对应的函数值，掌握一次函数的基本运算与应用.
二、教学重点及难点
重点：理解一次函数和正比例函数的概念及二者的关系.
难点：能根据实际问题列一次函数解析式，并代入求函数值，根据实际情境准确确定自变量的取值范围.
三、教学过程
【复习导入】
教师提问：同学们，我们之前学习了函数的相关知识，谁能说说什么是函数？函数又有哪些表示方式呢？
【师生活动】学生思考后回答：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，就说x是自变量，y是x的函数；
函数的表示方式有图象法、列表法和解析法．
教师总结：大家对旧知掌握得很扎实，在实际生活中，很多变量之间的函数关系都有固定的规律，今天我们就来学习一种最常见的函数——一次函数．
设计意图：通过回顾函数的定义和表示方法，唤醒学生的旧知储备，为新知识的学习做好铺垫，同时直接引出本节课的学习主题，让学生明确学习目标．
【探究新知】
探究：分析实际问题，列出函数关系式.
教师提问：问题1. 暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游．汽车驶上 A 地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是 95 km/h．已知 A 地直达北京的高速公路全程为 285 km，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程．
这个问题有什么变量？
学生回答：问题中有两个变量①距北京的路程；②行驶的时间．
教师追问：汽车距北京的路程随着行车时间的变化而变化．要想找出这两个变化着的量之间的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探究这两个变量之间的函数关系式．为此，我们设汽车在高速公路上匀速行驶的时间为 t h，汽车距北京的路程为 s km，大家思考一下，s和t之间有怎样的函数关系？
【师生活动】
学生独立分析数量关系，尝试列出关系式，教师巡视指导．
学生回答：汽车行驶t小时的路程是 95t km，距北京的路程等于总路程减去已行驶路程，所以s=285 95t ①．
教师继续提问：问题2. 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长．弹簧的长度 y(cm) 是所挂重物质量 x(kg) 的函数．已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm．在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm．求这个函数关系式．
【学生活动】学生独立分析题意，梳理数量关系，列出弹簧长度与重物质量的函数关系式，同桌间互相核对推导过程，交流自变量取值范围的确定依据．
答案预设：
因为每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，所以挂 x kg重物时弹簧伸长 0.3x cm．又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm，所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为 (0.3x+6)cm，即有
y=0.3x+6 ②．
这就是所求的函数关系式．
教师点拨：其中自变量 x 的取值范围由问题的“弹性限度”确定．
设计意图：从两个贴近生活的实际问题入手，让学生经历分析数量关系、列函数关系式的过程，感受数学与生活的联系，同时为后续抽象一次函数概念提供具体的实例支撑．
【探究新知】
探究：抽象概念，理解一次函数和正比例函数的意义.
教师提问：我们得到了两个函数关系式，分别是s=285 95t和y=0.3x+6，大家仔细观察，这两个关系式有什么共同点？
【师生活动】
学生小组内交流讨论，梳理两个关系式的共性，教师参与小组讨论，引导学生从变量个数、表达式形式入手分析．
小组代表汇报：都有两个变量；表达式都是用自变量的一次整式表示的；两个变量之间相互关联，一个量随另一个量的变化而变化．
教师总结一次函数的概念：像这样，用自变量的一次整式表示的函数，我们称它们为一次函数．
一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，且k≠0．
大家思考一下，为什么k不能等于 0？
学生回答：如果k=0，那么kx=0，式子就变成了y=b，此时y的值不随x的变化而变化，不符合函数的定义，所以k≠0．
教师追问：在一次函数y=kx+b中，如果b=0，式子会变成什么样子？这种函数我们给它起个什么名字呢？
学生回答：b=0时，式子变成y=kx（k≠0）．
教师顺势给出正比例函数的定义：当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫做正比例函数．
教师点拨：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数．
设计意图：通过观察、分析具体函数关系式的共性，让学生自主抽象出一次函数的概念，再通过设问引导学生理解表达式中k≠0的限定条件，以及正比例函数与一次函数的从属关系，培养学生的抽象概括能力．
【课堂互动】掌握一次函数的判断方法
教师提问：我们已经知道了一次函数的定义，那该如何判断一个函数是不是一次函数呢？大家结合之前的学习，试着总结一下判断方法．
【师生活动】
学生独立思考后，结合上述知识尝试总结，教师补充完善并板书：
先看函数表达式等号两边是否为整式；
若为整式，再通过恒等变形，看能否转化为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式；
能转化则为一次函数，不能则不是．
教师出示练习题：思考，下面这些函数中，哪些是一次函数？
，，，．
【学生活动】学生根据总结的一次函数判断方法，独立分析每个函数的表达式，依次判断是否为一次函数并说明理由，完成后同桌互相核对答案、交流判断依据．
答案预设：
：不是一次函数，因为这个函数不是整式．
：不是一次函数，函数自变量的次数是 2．
：是一次函数．
：不是一次函数，函数自变量的次数是 2．
设计意图：通过总结判断方法、即时练习，让学生熟练掌握一次函数的判断技巧，加深对一次函数概念的理解，突破本节课的教学重点．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.一次函数的概念：用自变量的一次整式表示的关系式，y=kx+b，其中 k、b 是常数，k≠0．
2.正比例函数的概念：当 b=0 时，一次函数 y=kx（常数 k≠0）也叫做正比例函数．

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