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【期末冲刺】第15章 一元一次不等式(组)培优讲义
(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 不等式的基本性质，能熟练运用性质进行不等式变形和大小比较。
掌握 一元一次不等式的解法，能在数轴上表示解集，会解含参数的不等式。
熟练 解一元一次不等式组，能根据解集或整数解个数求参数范围，会判断不等式组无解、有解的条件。
能够 建立一元一次不等式（组）模型解决实际问题（费用、分配、采购、行程等），并设计方案。
体会 数形结合、分类讨论、转化思想在不等式问题中的运用。
核心：不等式性质 · 解集数轴表示 · 整数解与参数 · 实际建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 不等式及其性质
不等式的定义： 用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”表示不等关系的式子。
不等式的基本性质：
性质1（可加性）： 若 ，则 。
性质2（可乘性1）： 若 ，且 ，则 ，。
性质3（可乘性2）： 若 ，且 ，则 ，。
作差法比较大小： ，，。
含参数不等式变形： 注意乘除负数时不等号方向改变。
☆ 一元一次不等式
定义： 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等式两边都是整式的不等式。
解法步骤： 去分母（注意分母为负时不等号方向）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意系数的正负）。
解集在数轴上的表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点；方向向右表示大于，向左表示小于。
含参数的一元一次不等式： 已知解集反求参数，需根据不等号方向判断系数符号，列出等式或不等式。
☆ 一元一次不等式组
解法： 分别解每个不等式，再取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解）。
整数解问题： 先确定不等式组的解集，再在解集范围内找出整数解；若已知整数解的个数，可列关于参数的不等式组求解。
无解与有解条件： 若不等式组无解，则解集的端点满足“大大小小”关系（即较大数≤较小数）。
含参数不等式组： 根据解集情况（如解集为x≥a、有唯一解、有特定整数解等）列不等式（组）求参数范围，注意端点等号的取舍。
特殊形式不等式的解法： 如 ，可转化为两个不等式组（同号为正，异号为负）。
☆ 一元一次不等式的实际应用
常见类型： 费用问题（采购、租车、门票）、分配问题（宿舍、图书）、得分问题、利润问题、方案选择等。
解题步骤： 设未知数 → 根据题意列不等式（组） → 解不等式（组） → 根据实际意义（如人数为整数、数量为正等）确定答案。
分段计费模型： 如手机话费、公园门票等，需根据不同的用量范围列出分段不等式。
知识总结表
类别 核心内容 常用结论/方法
不等式性质 加（减）同数方向不变；乘（除）正数方向不变；乘（除）负数方向改变 注意判断乘除数的正负
一元一次不等式 解法步骤同方程，注意系数化为1时不等号方向 解集数轴表示：空心/实心
一元一次不等式组 分别解，取公共部分 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解
整数解问题 先解不等式组，根据整数解个数列不等式组求参数 端点能否取到是关键
实际应用 建立不等式模型，结合整数解求方案 注意隐含条件（人数、个数为整数）
核心考点 ·3大考点精讲
【模块一】不等式及其性质（对应第1-9题）
※ 方法总结
根据不等式性质判断变形正误：加（减）不变号，乘（除）正数不变，乘（除）负数变号。
利用“作差法”比较代数式大小：作差后结合已知条件判断正负。
由不等式变形得到的新不等式符号方向，反推乘除数的符号（如“”变形为“6已知字母关系求代数式最值：用消元法将目标式表示为某个变量的函数，再根据不等式确定范围求最值。
不等式性质应用（可加性）：由得；由得，传递得。
已知范围求代数式范围（“放缩法”）：分别求出单个变量的范围，再通过不等式加法或乘法求整体范围。
盈利问题：总售价 > 总进价 → 列不等式，利用不等式性质比较与的大小。
1．（2026春 普陀区期中）如果m＜n，那么下列各式中正确的是（　　）
A．m﹣2＞n﹣2 B．2m＞2n C．﹣2m＞﹣2n D．
2．（2025春 嘉定区校级月考）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b
3．（2024春 浦东新区校级期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．如果am2＞bm2，那么a＞b
B．如果﹣5＜﹣3，那么﹣5a＜﹣3a
C．如果a＞0，那么b﹣a＜b
D．如果a＞0，b＜0，c＞0，那么a（b﹣c）＜0
4．（2026春 上海期中）根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为　 　 ．
5．（2026春 杨浦区校级月考）已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为　 　 ．
6．（2025春 上海期末）如果a＞b，那么 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
7．（2026春 普陀区期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
阅题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
因为a＞b， 所以a+c　 　 b+c．（填“＞”，“＝”，“＜”） 又因为c＞d， 所以b+c＞　 　 ． 所以a+c＞b+d．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
8．（2026春 濂溪区校级月考）阅读理解与应用
阅读下列材料：解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0…①，
同理可得1＜x＜2…②，
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2，
按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　 　 ；
（2）若a﹣b＝4，a＞1，b＜2，求2a+3b的取值范围．
9．（2026春 二七区校级月考）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系．
【模块二】一元一次不等式（对应第10-26题）
※ 方法总结
判断不等式组解集：根据时，分析各选项解集。
由解集反推系数：解得，由解集为得且，进而求另一不等式的解集。
根据数轴解集反推不等式符号：观察数轴解集是，从而确定原不等式中的符号为“≥”。
解一元一次不等式步骤：去分母时注意分母为负要变号；去括号、移项、合并、系数化1。
门票年票选择：分别计算不同次数下的费用，比较大小确定最优选择，再判断说法的正误。
10．（2026春 杨浦区期中）已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025春 闵行区校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026春 青浦区校级期中）已知一元一次不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（　　）
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
13．（2025春 闵行区校级月考）解不等式，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1≤3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；④．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
14．（2025春 杨浦区校级期末）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：
A类年票：每张120元，持票入园无需再购票；
B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
C类年票；每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法不正确的个数是（　　）
①小军的年入园需求可能是25次；
②小华的年入园次数需求多于小军；
③小华的年入园需求可能是25次；
④小华的年入园次数需求少于小军．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2026春 松江区期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，则m的取值范围是　 　 ．
16．（2026春 上海校级期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为x＞2．若用字母a表示“□”里的常数，则a的取值范围是　 　 ．
17．（2026春 普陀区期中）已知x＜5，如果（a﹣3）x＞5（a﹣3），那么a的取值范围是　 　 ．
18．（2026春 嘉定区期中）已知三个连续正奇数之和不小于1000，则符合条件的最小正奇数是　 　 ．
19．（2026春 虹口区期中）某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出　 　 个杯子．
20．（2026春 黄浦区期中）已知不等式ax﹣3＞2x与x＞3的解集相同，则a的值为　 　 ．
21．（2026春 黄浦区期中）阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7；
②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3．
所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7．
根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　 　 ．
22．（2026春 上海期中）解不等式：4﹣3（8﹣x）≤5（x﹣2），并在数轴上表示出它的解集．
23．（2026春 浦东新区期中）解不等式：．
24．（2026春 普陀区期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．
（1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
（2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？
25．（2026春 嘉定区期中）根据下列表格信息，完成相应任务
信息一 某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30道题目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于78分者获奖
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A，B两种文具作为奖品，已知购买1个A文具和4个B文具共需44元，购买来2个A文具和3个B文具所花的钱一样多
信息三 学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费和奖品费）不超过850元，其中支付线上平台使用费为180元，剩余的钱用于购买两种文具共60个，其中A文具大于45个
解决问题
任务一 小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二 求A文具和B文具的单价
任务三 该校共有哪几种购买方案
26．（2026春 杨浦区校级月考）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人/辆、28人/辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元．
（1）求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元；
（2）若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？
【模块三】一元一次不等式组（对应第27-41题）
※ 方法总结
不等式组有3个整数解：先解出和，整数解为3,4,5，则，得。
已知解集为：解出和，则。
新定义运算：按定义转化为普通不等式，再根据整数解个数求参数。
不等式组只有4个整数解：解集为，整数解为20,19,18,17，则，解出范围。
不等式组无解： 。
唯一整数解：解集为，整数解为7，则，得。
利用“异号相乘得负”解二次型不等式：将转化为两个不等式组求解。
实际问题列不等式组：如咖啡浓度问题、展位搭建、沙包篮球采购、足球购买、借阅机采购等，根据总价、数量限制列不等式组，求整数解方案。
方程解的范围求参数范围：解出用表示，再根据的范围列不等式组。
27．（2025春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10
28．（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
29．（2025春 闵行区校级月考）对a，b定义一种新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23
30．（2025春 杨浦区校级期末）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
31．（2026春 上海期中）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ．
32．（2026春 嘉定区期中）若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是　 　 ．
33．（2026春 嘉定区期中）求不等式（2x﹣4）（x+2）＜0的解集有如下方法：
根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2），
解得（1）无解（2）﹣2＜x＜1，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜1．
请用上述方法直接求出不等式x2﹣11x﹣26＜0的解集：　 　 ．
34．（2025春 闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组　 　 ．
35．（2026春 上海期中）当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？
36．（2026春 青浦区校级期中）利用数轴确定不等式组的整数解．
37．（2026春 奉贤区期中）据相关报道，2026年奉贤品牌大集会于近期在南桥举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示奉贤优质品牌与助农产品．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不超过B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至多搭建多少个A类展位？
38．（2026春 松江区期中）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
39．（2024春 浦东新区期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
40．（2026春 浦东新区期中）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如表：
A型借阅机 B型借阅机
单日最大借阅量（册/天） 80 60
单台采购成本（元/台） 7500 5000
如果学校计划用不超过10万元采购A、B两种借阅机共15台，并且要求单日总借阅量不低于1062册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
41．（2026春 杨浦区校级月考）某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元．
（1）甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？
（2）若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？
随堂检测 · 精选练习
检测1 — 解不等式组并在数轴上表示解集（基础巩固）。
检测2 — 解不等式组，写出所有负整数解（注意解集端点是否包含）。
检测3 — 解不等式组，判断无解情形（不等式组无解的条件）。
检测4 — 分配问题（班级分奖品）：设班级数为，根据“最后一个班级分到但不足4套”列不等式组，求整数解及奖品数。
检测5 — 分配问题（奖品分学生）：设学生人数，根据“有一名学生分到的奖品少于3个”列不等式组，求最少人数及奖品数。
复习重点：数轴表示解集 · 整数解求参数 · 实际分配问题。
【练习1】（2026春 浦东新区期中）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【练习2】（2026春 杨浦区校级期中）解不等式组：，并写出所有负整数解．
【练习3】（2026 金山区二模）解不等式组：．
【练习4】（2026春 杨浦区校级月考）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足4套．问：有多少个班级？学习用品有几套？
【练习5】（2026春 浦东新区校级期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？
课后巩固 · 针对性练习
巩固1 — 识别不等式（有不等号的式子）。
巩固2 — 不等式两边乘负数要变号，判断变形正误。
巩固3 — 已知不等式组有4个整数解，求参数范围（注意端点取值）。
巩固4 — 不等式组无解的条件：，求参数可能值。
巩固5 — 宿舍分配问题：设宿舍间，总人数，根据“一间宿舍不空但不足5人”列不等式组。
巩固6 — 解不等式组，在数轴上表示，写出整数解。
巩固7 — 解不等式组并数轴表示（注意解集为）。
巩固8 — 解不等式组（基础练习）。
巩固9 — 方程的解在某个范围内，求参数范围（先解方程，再列不等式组）。
巩固10 — 春游租车问题：设36座车辆，根据“42座车少一辆且有一辆车未坐满但超过30人”列不等式组，求人数，再设计最省钱方案。
巩固11 — 宿舍分配（类似作业5），求宿舍数和人数。
巩固12 — 乒乓球拍、羽毛球拍采购：二元一次方程组求单价，再根据数量关系和费用列不等式组，求购买方案。
巩固13 — 香囊制作：方程组求单价，再根据费用和时间列不等式组，求方案并比较费用。
巩固14 — 奖品购买：设保温杯、台灯标价，方程组求解；求折扣；再根据两校获奖金额不等式组求各校得奖情况。
复习建议 不等式章节重在性质的理解与变形技巧，解集的数轴表示，以及实际问题的建模。整数解求参数时务必注意端点等号的取舍（如“有4个整数解”与“只有4个整数解”的区别）。建议多做实际应用题，提升模型建立能力。
【作业1】（2025春 上海校级月考）下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1．其中不等式有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【作业2】（2026春 黄浦区期中）下列解法中，正确的是（　　）
A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≥5
B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5
C．2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3
D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3
【作业3】（2025春 松江区校级月考）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9
【作业4】（2026春 徐汇区校级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．﹣1
【作业5】（2026春 闵行区校级月考）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（　　）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0
B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C．
D．
【作业6】（2026春 宝山区校级期中）解不等式组：并在数轴上表示出来，再写出其整数解．
【作业7】（2026春 嘉定区期中）解不等式组并将其解集用数轴表示．
【作业8】（2026 闵行区二模）解不等式组：．
【作业9】（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的方程的解小于3且不小于1，求m的取值范围．
【作业10】（2025春 上海校级期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
（1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？
（2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案．
【作业11】（2025春 普陀区校级月考）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？
【作业12】（2025春 崇明区校级期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
【作业13】（2024春 宝山区期末）小杰准备利用周末为同学们制作甲、乙两种艾叶香囊，已知购买2个甲种香囊和3个乙种香囊材料费用是15.5元，5个甲种香囊和6个乙种香囊材料费用是35元．
（1）购买甲、乙两种香囊材料的单价分别是多少元？
（2）小杰计划制作12个香囊，制作一个甲种香囊需要30分钟，乙种香囊需要18分钟，如果购买材料费用不少于40元，且制作时间不超过5.5小时，那么小杰有哪几种制作方案？并说明哪种方案所需费用最多，最多费用是多少？
【作业14】（2025春 闵行区校级月考）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：
购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 5 4 800
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 912
（1）求保温杯、台灯的标价；
（2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？
第1页（共1页）【期末冲刺】第15章 一元一次不等式(组)培优讲义
(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 不等式的基本性质，能熟练运用性质进行不等式变形和大小比较。
掌握 一元一次不等式的解法，能在数轴上表示解集，会解含参数的不等式。
熟练 解一元一次不等式组，能根据解集或整数解个数求参数范围，会判断不等式组无解、有解的条件。
能够 建立一元一次不等式（组）模型解决实际问题（费用、分配、采购、行程等），并设计方案。
体会 数形结合、分类讨论、转化思想在不等式问题中的运用。
核心：不等式性质 · 解集数轴表示 · 整数解与参数 · 实际建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 不等式及其性质
不等式的定义： 用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”表示不等关系的式子。
不等式的基本性质：
性质1（可加性）： 若 ，则 。
性质2（可乘性1）： 若 ，且 ，则 ，。
性质3（可乘性2）： 若 ，且 ，则 ，。
作差法比较大小： ，，。
含参数不等式变形： 注意乘除负数时不等号方向改变。
☆ 一元一次不等式
定义： 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等式两边都是整式的不等式。
解法步骤： 去分母（注意分母为负时不等号方向）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意系数的正负）。
解集在数轴上的表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点；方向向右表示大于，向左表示小于。
含参数的一元一次不等式： 已知解集反求参数，需根据不等号方向判断系数符号，列出等式或不等式。
☆ 一元一次不等式组
解法： 分别解每个不等式，再取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解）。
整数解问题： 先确定不等式组的解集，再在解集范围内找出整数解；若已知整数解的个数，可列关于参数的不等式组求解。
无解与有解条件： 若不等式组无解，则解集的端点满足“大大小小”关系（即较大数≤较小数）。
含参数不等式组： 根据解集情况（如解集为x≥a、有唯一解、有特定整数解等）列不等式（组）求参数范围，注意端点等号的取舍。
特殊形式不等式的解法： 如 ，可转化为两个不等式组（同号为正，异号为负）。
☆ 一元一次不等式的实际应用
常见类型： 费用问题（采购、租车、门票）、分配问题（宿舍、图书）、得分问题、利润问题、方案选择等。
解题步骤： 设未知数 → 根据题意列不等式（组） → 解不等式（组） → 根据实际意义（如人数为整数、数量为正等）确定答案。
分段计费模型： 如手机话费、公园门票等，需根据不同的用量范围列出分段不等式。
知识总结表
类别 核心内容 常用结论/方法
不等式性质 加（减）同数方向不变；乘（除）正数方向不变；乘（除）负数方向改变 注意判断乘除数的正负
一元一次不等式 解法步骤同方程，注意系数化为1时不等号方向 解集数轴表示：空心/实心
一元一次不等式组 分别解，取公共部分 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解
整数解问题 先解不等式组，根据整数解个数列不等式组求参数 端点能否取到是关键
实际应用 建立不等式模型，结合整数解求方案 注意隐含条件（人数、个数为整数）
核心考点 ·3大考点精讲
【模块一】不等式及其性质（对应第1-9题）
※ 方法总结
根据不等式性质判断变形正误：加（减）不变号，乘（除）正数不变，乘（除）负数变号。
利用“作差法”比较代数式大小：作差后结合已知条件判断正负。
由不等式变形得到的新不等式符号方向，反推乘除数的符号（如“”变形为“6已知字母关系求代数式最值：用消元法将目标式表示为某个变量的函数，再根据不等式确定范围求最值。
不等式性质应用（可加性）：由得；由得，传递得。
已知范围求代数式范围（“放缩法”）：分别求出单个变量的范围，再通过不等式加法或乘法求整体范围。
盈利问题：总售价 > 总进价 → 列不等式，利用不等式性质比较与的大小。
1．（2026春 普陀区期中）如果m＜n，那么下列各式中正确的是（　　）
A．m﹣2＞n﹣2 B．2m＞2n C．﹣2m＞﹣2n D．
【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可．不等式性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：不等式性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．则：
A、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得m﹣2＜n﹣2．故A错误；
B、不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得2m＜2n．故B错误；
C、不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，得﹣2m＞﹣2n．故C正确；
D、不等式两边先同时除以正数2，得，再两边同时减1，不等号方向不变，得．故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．（2025春 嘉定区校级月考）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b
【分析】根据不等式的性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：因为a＞b，
则根据不等式的基本性质1得，a+2＞b+2．
故A选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，．
故B选项不符合题意．
因为a＞b，
则根据不等式的基本性质2得，ac2＞bc2（c≠0）．
故C选项符合题意．
因为2a＞2b，
则根据不等式的基本性质2得，a＞b．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
3．（2024春 浦东新区校级期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．如果am2＞bm2，那么a＞b
B．如果﹣5＜﹣3，那么﹣5a＜﹣3a
C．如果a＞0，那么b﹣a＜b
D．如果a＞0，b＜0，c＞0，那么a（b﹣c）＜0
【分析】根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
【解答】解：A、如果am2＞bm2，说明m2＞0，那么a＞b，该选项是正确的；故不符合题意；
B、如果﹣5＜﹣3，当a≤0，那么﹣5a＜﹣3a是错误的，该选项是错误的，故符合题意；
C、如果a＞0，则﹣a＜0，那么b﹣a＜b，该选项是正确的；故不符合题意；
D、如果a＞0，b＜0，c＞0，那么a（b﹣c）＜0，该选项是正确的；故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键．
4．（2026春 上海期中）根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为a＜0　 ．
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【解答】解：根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，
∵将“”变形为“6＜ab”，需要在不等号两边同时乘以a，
∵不等号由“＞”变成“＜”，
∴a＜0，
故答案为：a＜0．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键．
5．（2026春 杨浦区校级月考）已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为　7　 ．
【分析】由条件可得x+y+z＝x﹣2，因此求最大值等价于求x的最大值，结合x+y＝6和x≥﹣3y约束，得到x≥﹣3（6﹣x），解不等式可得x≤9，从而求出最大值．
【解答】解：已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，
∴z＝x﹣8，
∴x+y+z＝6+（x﹣8）＝x﹣2，
故求x+y+z的最大值即求x的最大值，
由x+y＝6，得y＝6﹣x，
代入x≥﹣3y，得x≥﹣3（6﹣x），
即 x≥﹣18+3x，
解得x≤9
∴x的最大值为9，
x+y＝6，x﹣z＝8，
∴x＝z+8，
∴z+8+y＝6，
∴z+y＝﹣2
此时x+y+z＝9﹣2＝7，
∴x+y+z≤7，
故最大值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
6．（2025春 上海期末）如果a＞b，那么 　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】用作差法比较即可．
【解答】解：
，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果a﹣b＞0，那么a＞b；如果a﹣b＝0，那么a＝b；如果a﹣b＜0，那么a＜b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a＞b，b＞c，那么a＞b＞c．
7．（2026春 普陀区期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
阅题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
因为a＞b， 所以a+c　＞　 b+c．（填“＞”，“＝”，“＜”） 又因为c＞d， 所以b+c＞b+d ． 所以a+c＞b+d．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：（1）设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．则：
∵a＞b，
∴a+c＞b+c，
又∵c＞d，
∴b+c＞b+d，
∴a+c＞b+d．
（2）∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
∵c＜d，b＞0，
∴bc＜bd，
∴ac＜bd．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
8．（2026春 濂溪区校级月考）阅读理解与应用
阅读下列材料：解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0…①，
同理可得1＜x＜2…②，
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2，
按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　1＜x+y＜5　 ；
（2）若a﹣b＝4，a＞1，b＜2，求2a+3b的取值范围．
【分析】（1）按照题干示范的步骤，先分别求出x和y的取值范围，再将两个范围相加即可求解；
（2）按照题干示范的步骤，先分别求出a和b的取值范围，再根据不等式性质求出2a和3b的取值范围，再将两个范围相加即可求解．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1，
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1 ①，
同理可得2＜x＜4 ②，
由①+②得：2﹣1＜x+y＜4+1，
∴已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵a＞1，
∴b+4＞1，
∴b＞﹣3，
又∵b＜2，
∴﹣3＜b＜2 ①，
同理可得1＜a＜6 ②，
②乘2得2＜2a＜12 ③，①乘3得﹣9＜3b＜6 ④，
③+④，得2﹣9＜2a+3b＜12+6，
∴若a﹣b＝4，a＞1，b＜2，则：2a+3b的取值范围是﹣7＜2a+3b＜18．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2026春 二七区校级月考）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系．
【分析】根据题意列出不等式，整理得10a+20b＜15a+15b，再根据不等式基本性质即可得出b＜a．
【解答】解：根据题意，得，
整理，得10a+20b＜15a+15b，
不等式两边都减去10a+15b，得5b＜5a，
不等式两边都除以5，得b＜a，
所以a与b的大小关系为a＞b．
【点评】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．
【模块二】一元一次不等式（对应第10-26题）
※ 方法总结
判断不等式组解集：根据时，分析各选项解集。
由解集反推系数：解得，由解集为得且，进而求另一不等式的解集。
根据数轴解集反推不等式符号：观察数轴解集是，从而确定原不等式中的符号为“≥”。
解一元一次不等式步骤：去分母时注意分母为负要变号；去括号、移项、合并、系数化1。
门票年票选择：分别计算不同次数下的费用，比较大小确定最优选择，再判断说法的正误。
10．（2026春 杨浦区期中）已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由0＜b＜a得出﹣a＜﹣b＜0，再根据每个选项中的不等式组求出解集即可判断．
【解答】解：∵0＜b＜a，
∴﹣a＜﹣b＜0，
A、不等式组的解集是﹣a＜x＜b，故此选项不符合题意；
B、不等式组无解，故此选项符合题意；
C、不等式组的解集是﹣b＜x＜a，故此选项不符合题意；
D、不等式组的解集是﹣a＜x＜﹣b，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的确定方法是解题的关键．
11．（2025春 闵行区校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得．
【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，
∴a＜0，且x，
∴，
∴a＝3b，且b＜0，
∴（a+b）x＞b﹣a，
即4bx＞﹣2b，
∴x．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（2026春 青浦区校级期中）已知一元一次不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（　　）
A．＞ B．≥ C．＜ D．≤
【分析】根据一元一次不等式的解法得到x▓﹣1，再由题可得x≥﹣1，从而得到答案．
【解答】解：原不等式去括号得2x﹣2▓﹣x﹣5，
3x▓﹣3，
x▓﹣1，
不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集x≥﹣1，
∴被墨迹覆盖的不等式符号为：≥，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，
13．（2025春 闵行区校级月考）解不等式，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1≤3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；④．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：﹣6+x+1≥3x，
移项，得：x﹣3x≥6﹣1，
合并同类项，得：﹣2x≥5，
系数化为1，得：x，
∴其中造成解答错误的一步是第①步，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14．（2025春 杨浦区校级期末）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：
A类年票：每张120元，持票入园无需再购票；
B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
C类年票；每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法不正确的个数是（　　）
①小军的年入园需求可能是25次；
②小华的年入园次数需求多于小军；
③小华的年入园需求可能是25次；
④小华的年入园次数需求少于小军．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分类计论，设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，通过计算分别算出当x为多少时哪种购票方式更合算，再对选项逐一判断即可．
【解答】解：设入园次数为x次，
则购A类票所需费用为120元；
购B类票所需费用为（60+2x）元；
购C类票所需费用为（40+3x）元，
则依题意分类讨论得：
当60+2x＞120时，即x＞30时，选A种购票方式更合算；
当x＝30时，A，B两种购票方式一样；
当40+3x＞60+2x且60+2x＞120时，即30＞x＞20时，选B种购票方式更合算；
当x＝20时，B，C两种购票方式一样；
当40+3x＜60+2x时，即x＜20时，选C种购票方式更合算，
∵小军选择了C类年票，
∴小军的入园次一定小于等于20次，所以结论①错误，符合题意；
∵小华选择了A类年票，
∴小华的入园次数一定大于或等于30次，所以结论③错误，符合题意；
∴小华的入园次数一定大于小军的入园次数，所以结论②正确，不符合题意，结论④错误，符合题意；
∴说法不正确的个数是3个，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是列出不等式求解．
15．（2026春 松江区期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，则m的取值范围是m＜1　 ．
【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得m﹣1＜0，解不等式即可求解，
【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1，
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
16．（2026春 上海校级期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为x＞2．若用字母a表示“□”里的常数，则a的取值范围是a≤2　 ．
【分析】先解x﹣a＞0，再根据不等式组的解集为x＞2，即可求出a的取值范围．
【解答】解：一元一次不等式组时，
用字母a表示“□”里的常数，
∴，
解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查不等式的解集，正确进行计算是解题关键．
17．（2026春 普陀区期中）已知x＜5，如果（a﹣3）x＞5（a﹣3），那么a的取值范围是a＜3　 ．
【分析】根据不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变这一不等式基本性质，判断a﹣3的符号，即可求解a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
∴a﹣3＜0，
解得：a＜3．
故答案为：a＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式，正确进行计算是解题关键．
18．（2026春 嘉定区期中）已知三个连续正奇数之和不小于1000，则符合条件的最小正奇数是　333　 ．
【分析】依据题意，设相邻的三个连续正奇数为：2n﹣1，2n+1，2n+3，且n≥1，n为整数，则2n﹣1+2n+1+2n+3≥1000，可得n166，进而可以计算得解．
【解答】解：由题意，设相邻的三个连续正奇数为：2n﹣1，2n+1，2n+3，且n≥1，n为整数，
∴2n﹣1+2n+1+2n+3≥1000．
∴n166．
∴最小的n为167，
∴符合条件的最小正奇数是2n﹣1＝2×167﹣1＝333．
故答案为：333．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用、有理数的加法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式是关键．
19．（2026春 虹口区期中）某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出　34　 个杯子．
【分析】根据销售款超过进货款的不等关系列出一元一次不等式，结合杯子数量为正整数，即可求得最小售出数量．
【解答】解：设这时已售出x个杯子，这批杯子的总进货款为8×50＝400元，
根据题意列一元一次不等式得，12x＞400，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最小值为34，
故答案为：34．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．
20．（2026春 黄浦区期中）已知不等式ax﹣3＞2x与x＞3的解集相同，则a的值为　3　 ．
【分析】根据所给不等式的解集相同，得出关于a的等式，据此可解决问题．
【解答】解：由ax﹣3＞2x得，
（a﹣2）x＞3．
因为此不等式的解集与x＞3相同，
所以，
解得a＝3，
经检验a＝3是原方程的解．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21．（2026春 黄浦区期中）阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7；
②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3．
所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7．
根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　﹣1≤x≤3　 ．
【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集
【解答】解：仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式如下：
|x﹣1|≤2，
当x﹣1≥0时，x≥1，
∴x﹣1≤2，解得x≤3，
∴1≤x≤3；
当x﹣1＜0时，x＜1，
∴﹣（x﹣1）≤2，解得x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜1，
∴原不等式的解集为﹣1≤x≤3．
故答案为：﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键．
22．（2026春 上海期中）解不等式：4﹣3（8﹣x）≤5（x﹣2），并在数轴上表示出它的解集．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：4﹣3（8﹣x）≤5（x﹣2），
4﹣24+3x≤5x﹣10，
3x﹣5x≤﹣10﹣4+24，
﹣2x≤10，
x≥﹣2；
∴该不等式的解集在数轴上表示如图如下：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，将解集表示在数轴上，解题的关键在于熟练掌握相关解题步骤．
23．（2026春 浦东新区期中）解不等式：．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可．
【解答】解：去分母得：4（1+x）﹣10≤5（5+x），
去括号得：4+4x﹣10≤25+5x，
移项，合并同类项得：﹣x≤31，
系数化为1得：x≥﹣31．
【点评】本题考查解一元一次不等式，正确进行计算是解题关键．
24．（2026春 普陀区期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．
（1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
（2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？
【分析】（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元，则B型号的新型垃圾桶单价为（x+40）元，根据题意可列方程，求解即可．
（2）设购买B型号的新型垃圾桶m个，则购买A型号的新型垃圾桶（50﹣m）个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合m数量为非负整数的实际要求，求出B型号的新型垃圾桶的最大购买数量．
【解答】解：（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元，
根据题意可得 2x+3（x+40）＝370，
解得 x＝50，
则x+40＝50+40＝90，
答：A型号的新型垃圾桶单价为50元，B型号的新型垃圾桶单价为90元；
（2）设购买B型号的新型垃圾桶m个，
根据题意，总费用不超过4000元，可得 90m+50（50﹣m）≤4000，
解得 m≤37.5，
∵m是非负整数，
∴m的最大值为37，
答：社区最多能买37个B型号的新型垃圾桶．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
25．（2026春 嘉定区期中）根据下列表格信息，完成相应任务
信息一 某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30道题目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于78分者获奖
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A，B两种文具作为奖品，已知购买1个A文具和4个B文具共需44元，购买来2个A文具和3个B文具所花的钱一样多
信息三 学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费和奖品费）不超过850元，其中支付线上平台使用费为180元，剩余的钱用于购买两种文具共60个，其中A文具大于45个
解决问题
任务一 小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二 求A文具和B文具的单价
任务三 该校共有哪几种购买方案
【分析】任务一：设小明选对x道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，利用得分＝4×选对题目数﹣2×不选或者选错题目数，结合得分不低于78分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
任务二：设A型文具的单价是a元，B型文具的单价是b元，根据“购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务三：设购买A型文具m个，则购买B型文具（60﹣m）个，利用本次活动的总费用＝支付线上平台使用费+单价×数量，结合本次活动的总费用不超850元且购买A型文具数量大于45个，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：任务一：设小明选对x道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（30﹣x）≥78，
解得：x≥23，
∴x的最小值为23．
答：小明至少应选对23道题；
任务二：设A型文具的单价是a元，B型文具的单价是b元，
根据题意得：，
∴．
答：A型文具的单价是12元，B型文具的单价是8元；
任务三：设购买A型文具m个，则购买B型文具（60﹣m）个，
根据题意得：，
∴，
又∵m为正整数，
∴m可以为46，47，
∴该校共有2种购买方案，
方案1：购买A型文具46个，B型文具14个；
方案2：购买A型文具47个，B型文具13个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务一：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；任务二：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务三：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（2026春 杨浦区校级月考）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人/辆、28人/辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元．
（1）求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元；
（2）若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？
【分析】（1）设租用每辆A型客车需要x元，每辆B型客车需要y元，根据租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元，列出方程组进行求解即可；
（2）设租用A型客车a辆，则租用B型客车（18﹣a）辆，根据题意，列出不等式组进行求解即可．
【解答】解：（1）设租用每辆A型客车需要x元，每辆B型客车需要y元，
由题意列二元一次方程组得：
，
解得，
即租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元，
答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元；
（2）设租用A型客车a辆，则租用B型客车（18﹣a）辆，
由题意列一元一次不等式组得：
，
解得，
∵a为整数，
∴a＝5，6，7，8，9，10，
∴共有6种租车方案．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
【模块三】一元一次不等式组（对应第27-41题）
※ 方法总结
不等式组有3个整数解：先解出和，整数解为3,4,5，则，得。
已知解集为：解出和，则。
新定义运算：按定义转化为普通不等式，再根据整数解个数求参数。
不等式组只有4个整数解：解集为，整数解为20,19,18,17，则，解出范围。
不等式组无解： 。
唯一整数解：解集为，整数解为7，则，得。
利用“异号相乘得负”解二次型不等式：将转化为两个不等式组求解。
实际问题列不等式组：如咖啡浓度问题、展位搭建、沙包篮球采购、足球购买、借阅机采购等，根据总价、数量限制列不等式组，求整数解方案。
方程解的范围求参数范围：解出用表示，再根据的范围列不等式组。
27．（2025春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组只有3个整数解得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≥3，
∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5），
∴56，
∴10＜a≤12，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组56是解题的关键．
28．（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【分析】依据题意，先分别解两个不等式，得到x＞3和x≥a，由于解集为x≥a，则需满足a＞3即可．
【解答】解：由题意，∵，
∴解不等式2（x﹣1）＞4得，x＞3；
解不等式x﹣a≥0得，x≥a，
∵不等式组的解集为x≥a，
∴a＞3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
29．（2025春 闵行区校级月考）对a，b定义一种新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23
【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：根据题意，原不等式组化为，
解①得：x，
解②得：x，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴12，
解得：20＜m≤23．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．
30．（2025春 杨浦区校级期末）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21，
因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．
所以可以得到16≤2﹣3a＜17，
解得﹣5＜a．
故选：C．
【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定2﹣3a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
31．（2026春 上海期中）关于x的不等式组无解，m应满足的条件m≥2　 ．
【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1．
【解答】解：，
不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1，
解这个不等式：
2m﹣1≥m+1，
2m﹣m≥1+1，
m≥2，
∴m应满足的条件是m≥2．
故答案为：m≥2．
【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键．
32．（2026春 嘉定区期中）若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是a≥19　 ．
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“唯一整数解为 x＝7”确定 a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣3＞1，
移项得x＞4，
解不等式3x﹣2≤a，
移项得3x≤a+2，
两边同除以3得x，
∴结合两个解集，不等式组的解集为：4＜x，
∵不等式组有一个整数解x＝7，则：7，
解得：a≥19，
故答案为：a≥19．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握不等式组解集的确定方法，并能根据整数解的唯一性列出关于参数的不等式是解题的关键．
33．（2026春 嘉定区期中）求不等式（2x﹣4）（x+2）＜0的解集有如下方法：
根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2），
解得（1）无解（2）﹣2＜x＜1，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜1．
请用上述方法直接求出不等式x2﹣11x﹣26＜0的解集：　﹣2＜x＜13　 ．
【分析】根据所给解题方法对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：由x2﹣11x﹣26＜0得，
（x﹣13）（x+2）＜0，
根据“异号两数相乘，积为负”可得，
（1）或（2），
解得（1）无解（2）﹣2＜x＜13，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜13．
故答案为：﹣2＜x＜13．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
34．（2025春 闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组　　 ．
【分析】先求出原咖啡液浓度，再依据“调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%”列不等式组即可．
【解答】解：根据题意，知原来咖啡液浓度为100%＝6%，
可列不等式组为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．
35．（2026春 上海期中）当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：由5x≤x﹣14+a得，x；
由得，x．
因为该不等式组恰有一个解，
所以，
解得a＝32．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
36．（2026春 青浦区校级期中）利用数轴确定不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据数轴确定不等式组的解集及整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
将解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
则其整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握以上知识点是关键．
37．（2026春 奉贤区期中）据相关报道，2026年奉贤品牌大集会于近期在南桥举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示奉贤优质品牌与助农产品．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不超过B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至多搭建多少个A类展位？
【分析】（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，根据“搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，根据“搭建A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍，且总搭建预算资金不超过30000元”，列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，
根据题意得：，
解得：20≤m，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为53．
答：组委会至多搭建53个A类展位．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
38．（2026春 松江区期中）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元．
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，
根据题意列一元一次不等式组得：
解得：52≤m≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；
方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；
方案三：购买沙包54个，购买篮球36个．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
39．（2024春 浦东新区期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
40．（2026春 浦东新区期中）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如表：
A型借阅机 B型借阅机
单日最大借阅量（册/天） 80 60
单台采购成本（元/台） 7500 5000
如果学校计划用不超过10万元采购A、B两种借阅机共15台，并且要求单日总借阅量不低于1062册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
【分析】设学校采购A型借阅机x台，则采购B型借阅机（15﹣x）台，根据题意得，然后解不等式组即可．
【解答】解：10万元＝100000元，设学校采购A型借阅机x台，则采购B型借阅机（15﹣x）台，
根据题意得，
解第一个不等式得x≤10；
解第二个不等式得x≥8.1，
∴不等式组的解集为8.1≤x≤10，
因为x为正整数，
所以x的取值为9或10，
当x＝9时，15﹣x＝6；
当x＝10时，15﹣x＝5，
答：共有2种采购方案，方案一：采购A型借阅机9台，B型借阅机6台；方案二：采购A型借阅机10台，B型借阅机5台．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
41．（2026春 杨浦区校级月考）某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元．
（1）甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？
（2）若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？
【分析】（1）设甲种农业设备每台的进价x万元，乙种农业设备每台的进价（x+2）万元，根据“购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元”列方程，解方程即可；
（2）购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元，根据“投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台”列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再结合m为整数得出购买方案以及最小投资额．
【解答】解：（1）设甲种农业设备每台的进价x万元，乙种农业设备每台的进价（x+2）万元，
根据题意得：2x+3（x+2）＝11，
解得：x＝1，
此时2+x＝3，
答：甲种农业设备每台的进价1万元，乙种农业设备每台的进价3万元；
（2）购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元
根据题意得：，
解得15≤m＜18，
∴m取整数：15，16，17，
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台，投入资金15×1+45×3＝150（万元）；
方案二：购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台，投入资金156×1+44×3＝148（万元）；
方案三：购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；投入资金17×1+43×3＝146（万元）．
∴购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台，投入资金最少．
【点评】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式组的综合，根据给定的不等关系建立一元一次不等式组是解决本题的关键．
随堂检测 · 精选练习
检测1 — 解不等式组并在数轴上表示解集（基础巩固）。
检测2 — 解不等式组，写出所有负整数解（注意解集端点是否包含）。
检测3 — 解不等式组，判断无解情形（不等式组无解的条件）。
检测4 — 分配问题（班级分奖品）：设班级数为，根据“最后一个班级分到但不足4套”列不等式组，求整数解及奖品数。
检测5 — 分配问题（奖品分学生）：设学生人数，根据“有一名学生分到的奖品少于3个”列不等式组，求最少人数及奖品数。
复习重点：数轴表示解集 · 整数解求参数 · 实际分配问题。
【练习1】（2026春 浦东新区期中）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后把它们的解集表示在数轴上，再找出它们的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜3，
把不等式①、②的解集分别表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集是﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键．
【练习2】（2026春 杨浦区校级期中）解不等式组：，并写出所有负整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x≤1，
故不等式组的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【练习3】（2026 金山区二模）解不等式组：．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：∵由2x+3≥x+11得：x≥8，
由2﹣x得：x，
∴不等式组无解．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
【练习4】（2026春 杨浦区校级月考）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足4套．问：有多少个班级？学习用品有几套？
【分析】设有x个班级，则学习用品有（10x+5）套，根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解．
【解答】解：设有x个班级，
由题意列一元一次不等式组得，，
解得：．
∵x只能取整数，
∴x＝5，
此时10x+5＝55．
答：有5个班级，学习用品有55套．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键．
【练习5】（2026春 浦东新区校级期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？
【分析】设学生有x人，则有奖品（3x+7）本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可．
【解答】解：如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．则：
设学生有x名，根据题意得：
，
解得：4.5＜x≤6，
因为x为学生人数，只能为正整数，
所以x＝5或x＝6，则学生最少有5名，
当学生最少有5名时，将x＝5代入3x+7，可得奖品数量为：3×5+7＝15+7＝22（个），
答：学生最少有5名，奖品至少有22个．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
巩固1 — 识别不等式（有不等号的式子）。
巩固2 — 不等式两边乘负数要变号，判断变形正误。
巩固3 — 已知不等式组有4个整数解，求参数范围（注意端点取值）。
巩固4 — 不等式组无解的条件：，求参数可能值。
巩固5 — 宿舍分配问题：设宿舍间，总人数，根据“一间宿舍不空但不足5人”列不等式组。
巩固6 — 解不等式组，在数轴上表示，写出整数解。
巩固7 — 解不等式组并数轴表示（注意解集为）。
巩固8 — 解不等式组（基础练习）。
巩固9 — 方程的解在某个范围内，求参数范围（先解方程，再列不等式组）。
巩固10 — 春游租车问题：设36座车辆，根据“42座车少一辆且有一辆车未坐满但超过30人”列不等式组，求人数，再设计最省钱方案。
巩固11 — 宿舍分配（类似作业5），求宿舍数和人数。
巩固12 — 乒乓球拍、羽毛球拍采购：二元一次方程组求单价，再根据数量关系和费用列不等式组，求购买方案。
巩固13 — 香囊制作：方程组求单价，再根据费用和时间列不等式组，求方案并比较费用。
巩固14 — 奖品购买：设保温杯、台灯标价，方程组求解；求折扣；再根据两校获奖金额不等式组求各校得奖情况。
复习建议 不等式章节重在性质的理解与变形技巧，解集的数轴表示，以及实际问题的建模。整数解求参数时务必注意端点等号的取舍（如“有4个整数解”与“只有4个整数解”的区别）。建议多做实际应用题，提升模型建立能力。
【作业1】（2025春 上海校级月考）下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1．其中不等式有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据不等式的概念判定即可．
【解答】解：下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1．
③2x+4y没有不等号，不是不等式，④m＝﹣1是等式，
则不等式有①3＞0，②5x﹣4＜8；⑤t2+2t≥﹣1，一共有3个，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．
【作业2】（2026春 黄浦区期中）下列解法中，正确的是（　　）
A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≥5
B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5
C．2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3
D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5，故本选项不符合题意；
B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得≥5，故本选项不符合题意；
C．2x≥﹣6，两边同除以2，得x≥﹣3，故本选项不符合题意；
D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，关键掌握不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【作业3】（2025春 松江区校级月考）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出23，解之可得．
【解答】解：解不等式3x﹣m＞0，得：x，
解不等式x﹣1≤5，得：x≤6，
∵不等式组有4个整数解，
∴23，
解得：6≤m＜9．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．
【作业4】（2026春 徐汇区校级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．﹣1
【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可．
【解答】解：
解①得x＞1，
解②得x＜a．
∵此不等式组无解，
∴a≤1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
【作业5】（2026春 闵行区校级月考）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（　　）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0
B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C．
D．
【分析】易得学生总人数，有一间宿舍不空但所住的人数不足5人是一个宿舍人数比0多，比5人少，关系式为：总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数＞0；总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数＜5，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
由题意得：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题列不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
【作业6】（2026春 宝山区校级期中）解不等式组：并在数轴上表示出来，再写出其整数解．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
∴它的整数解为：﹣1，0，1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【作业7】（2026春 嘉定区期中）解不等式组并将其解集用数轴表示．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x，
则不等式组的解集为x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【作业8】（2026 闵行区二模）解不等式组：．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分得出答案．
【解答】解：解不等式组：．则：
，
解不等式①，得x＜3；
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是．
【点评】本题考查解不等式组，正确进行计算是解题关键．
【作业9】（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的方程的解小于3且不小于1，求m的取值范围．
【分析】先求出方程的解，进而得到关于m的不等式组，进行求解即可．
【解答】解：，
去分母，去括号得，x﹣12m+2＝6x﹣15m+3，
移项得，x﹣6x＝﹣15m+3+12m﹣2，
合并同类项得，﹣5x＝﹣3m+1，
x的系数化为1得，，
∵关于x的方程的解小于3且不小于1，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
【作业10】（2025春 上海校级期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
（1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？
（2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案．
【分析】（1）设只租用36座客车需x辆，则该校七年级共有36x人参加春游，根据租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可解决问题；
（2）根据（1）中求得的人数，有3种方案，①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车；分别求出费用，再比较即可得到结论．
【解答】解：（1）设只租用36座客车需x辆，则该校七年级共有36x人参加春游，
根据题意得：，
解得：，
∴7＜x＜9，
∵x是整数，
∴x＝8，
∴36x＝36×8＝288，
答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游；
（2）方案①，租36座车8辆的费用为：8×400＝3200（元）；
方案②，租42座车7辆的费用为：7×440＝3080（元）；
方案③，∵，
∴42座车越多越省钱，
又∵，余下人数正好36座，
∴租42座车6辆和36座车1辆的总费用为：6×440+1×400＝3040（元）；
∵3040＜3080＜3200，
∴租用42座车6辆和36座车1辆最省钱．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【作业11】（2025春 普陀区校级月考）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？
【分析】设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人，根据如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人，
根据题意得：，
解得：5＜x＜7，
∵x是正整数，
∴x＝6，
∴4x+20＝44．
答：要住宿舍的新生共有44人，一共有多6间宿舍．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【作业12】（2025春 崇明区校级期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
【分析】（1）设乒乓球拍的单价是x元，羽毛球拍的单价是y元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m副乒乓球拍，则购买（50﹣m）副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，且购买费用不超过2535”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出学校共有3种购买方案．
【解答】解：（1）设乒乓球拍的单价是x元，羽毛球拍的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元；
（2）设购买m副乒乓球拍，则购买（50﹣m）副羽毛球拍，
根据题意得：，
解得：m≤19，
又∵m为正整数，
∴m可以为17，18，19，
∴学校共有3种购买方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【作业13】（2024春 宝山区期末）小杰准备利用周末为同学们制作甲、乙两种艾叶香囊，已知购买2个甲种香囊和3个乙种香囊材料费用是15.5元，5个甲种香囊和6个乙种香囊材料费用是35元．
（1）购买甲、乙两种香囊材料的单价分别是多少元？
（2）小杰计划制作12个香囊，制作一个甲种香囊需要30分钟，乙种香囊需要18分钟，如果购买材料费用不少于40元，且制作时间不超过5.5小时，那么小杰有哪几种制作方案？并说明哪种方案所需费用最多，最多费用是多少？
【分析】（1）设购买甲种香囊材料的单价是x元，乙种香囊材料的单价是y元，根据“购买2个甲种香囊和3个乙种香囊材料费用是15.5元，5个甲种香囊和6个乙种香囊材料费用是35元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设制作m个甲种香囊，则制作（12﹣m）个乙种香囊，根据“购买材料费用不少于40元，且制作时间不超过5.5小时”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各制作方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买甲种香囊材料的单价是x元，乙种香囊材料的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买甲种香囊材料的单价是4元，乙种香囊材料的单价是2.5元；
（2）设制作m个甲种香囊，则制作（12﹣m）个乙种香囊，
根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9，
∴小杰共有3种制作方案，
方案1：制作7个甲种香囊，5个乙种香囊；
方案2：制作8个甲种香囊，4个乙种香囊；
方案3：制作9个甲种香囊，3个乙种香囊．
选择方案1所需费用为4×7+2.5×（12﹣7）＝40.5（元）；
选择方案2所需费用为4×8+2.5×（12﹣8）＝42（元）；
选择方案3所需费用为4×9+2.5×（12﹣9）＝43.5（元）．
∵40.5＜42＜43.5，
∴制作9个甲种香囊，3个乙种香囊所需费用最多，最多费用是43.5元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【作业14】（2025春 闵行区校级月考）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：
购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 5 4 800
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 912
（1）求保温杯、台灯的标价；
（2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？
【分析】（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可；
（2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可．
【解答】解：（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元，
，解得，
答：保温杯、台灯的标价为80元和100元．
（2）解：第三次购买的打折数为：折，
设甲校获得保温杯a个，则
，
解得，
又∵a为整数，
∴a＝8，
∴甲校分别获得保温杯和台灯8个和7个，乙校分别获得保温杯和台灯12个和3个．
【点评】本题考查二元一次方程组和不等式组解应用题，理解题意找出数量关系是解题的关键．
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