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【期末冲刺】解答题满分讲义
(15~18章 知识点梳理+典例) 2026年沪教版数学七年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
一元一次不等式（组） —— 掌握不等式的性质，能解不等式（组）并用数轴表示解集；能根据整数解个数、解集情况求参数范围；能建立不等式模型解决实际问题（费用、分配、得分等）。
相交线与平行线 —— 掌握三线八角，平行线的判定与性质，能添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题；理解新定义（如“t系数补角”），能进行角度计算与证明。
三角形 —— 掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质；理解中线、高线、角平分线、中位线的性质；能运用全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS等）进行证明与计算；掌握“倍长中线法”构造全等求线段范围；能运用内外角平分线模型求角。
等腰三角形 —— 掌握等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”性质，等边三角形的判定与性质；能综合运用垂直平分线、全等、旋转等知识解决等腰三角形相关的证明与计算；会分类讨论等腰三角形的存在性问题。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想、模型思想在解答题中的综合运用。
核心：不等式建模 · 平行线辅助线 · 全等构造 · 等腰分类与三线合一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一元一次不等式（组）
不等式性质： 两边加（减）同一个数（式）不等号方向不变；乘（除）同一个正数方向不变；乘（除）同一个负数方向改变。
解一元一次不等式： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意负数变号）。
解集数轴表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点。
一元一次不等式组： 分别解每个不等式，取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）。
含参数不等式组： 根据解集或整数解个数列不等式（组）求参数范围，注意端点取值（等号能否取到）。
实际应用： 利用不等关系建立不等式（组），注意实际问题中隐含条件（边长>0、人数为整数、总费用不超过等）。
☆ 相交线与平行线
对顶角、邻补角： 对顶角相等，邻补角互补。
三线八角： 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型）。
平行线的判定： 同位角相等 两直线平行；内错角相等 两直线平行；同旁内角互补 两直线平行。
平行线的性质： 两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。
光的反射问题： 入射角等于反射角，转化为角度相等模型，结合平行线求角度。
新定义角度关系： 如“t系数补角”：，可列方程求解。
☆ 三角形
三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
内角和定理： 。
外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
三角形中的重要线段： 中线（等分面积）、高线、角平分线、中位线（平行且等于第三边一半）。
全等三角形： 判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），性质（对应边、角相等）。常用构造全等的方法：倍长中线、作垂线、截长补短等。
角平分线模型： 内角平分线夹角 ；内角与外角平分线夹角 。
中线取值范围： 利用倍长中线构造全等，利用三角形三边关系求中线范围。
☆ 等腰三角形
性质： 等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。
判定： 等角对等边；两腰相等。
等边三角形： 三边相等，三个角都是60°；三线合一；外心、内心、重心重合。
线段垂直平分线： 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆定理：到两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
等腰三角形存在性： 分类讨论腰和底，注意三角形三边关系；等边三角形外找点使与顶点构成等腰三角形，常利用垂直平分线作圆。
旋转构造： 以等腰三角形或等边三角形为基础，通过旋转60°构造全等，将分散条件集中。
☆ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
不等式（组） 性质、解法、整数解、参数范围、实际应用 同大取大，同小取小；乘除负数变号
相交线与平行线 同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质 平行线间距离处处相等；过拐点作平行线
三角形 三边关系、内角和、外角、全等判定、中线、高线 中线等分面积；中位线平行且等于第三边一半；倍长中线法
等腰三角形 等边对等角、三线合一、等边三角形性质、垂直平分线 底边上的高、中线、顶角平分线重合
综合应用 折叠、旋转、等边三角形内点、等腰存在性 分类讨论、构造全等、转化思想
核心模块 ·4大典型模块精讲
【模块一】一元一次不等式（组）（对应第1-6题）
※ 方法总结
解不等式组并用数轴表示解集，再写出整数解（题1）。
不等式组恰有一个解（即解集为单一数值）→ 解不等式后令两个端点相等，注意等号取舍（题2）。
利用不等式性质比较大小：不等式的可加性、乘法法则（同正、同负）（题3）。
实际问题列不等式组：根据单价、总价、数量关系建立方程（组）求单价，再列不等式求最值（题4）。
得分问题：设选对题数，列不等式求至少答对题数；二元一次方程组求单价；再根据总费用和数量限制列不等式组求购买方案（题5）。
分段计费（手机话费）：根据主叫时间分段计算费用；通过方程求时间；通过不等式比较两种方式的优劣（题6）。
1．利用数轴确定不等式组的整数解．
2．当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？
3．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
问题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
因为a＞b， 所以a+c　 　 b+c．（填“＞”，“＝”，“＜”） 又因为c＞d， 所以b+c＞　 　 ． 所以a+c＞b+d．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
4．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．
（1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
（2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？
5．根据下列表格信息，完成相应任务
信息一 某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30道题目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于78分者获奖
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A，B两种文具作为奖品，已知购买1个A文具和4个B文具共需44元，购买2个A文具和3个B文具所花的钱一样多
信息三 学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费和奖品费）不超过850元，其中支付线上平台使用费为180元，剩余的钱用于购买两种文具共60个，其中A文具大于45个
解决问题
任务一 小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二 求A文具和B文具的单价
任务三 该校共有哪几种购买方案
6．下表中有两种手机通话计费方式：
月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫
方式一 50 150 0.2 免费
方式二 80 350 0.25 免费
（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费）
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需　 　 元，按方式二计费需　 　 元；
（2）王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为　 　 分钟；
（3）当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱．
【模块二】相交线与平行线（对应第7-13题）
※ 方法总结
相交线中对顶角、邻补角性质，结合角平分线、比例求角度（题7）。
平行线性质与角平分线综合：由AB∥CD得同旁内角互补，角平分线定义代入，利用三角形内角和证明垂直（题8）。
新定义“t系数补角”：设未知数，根据定义列方程求解；结合平行线性质进行角度转化（题9）。
“猪蹄”模型：过拐点作平行线，将∠BEC拆分为两个内错角之和，证明∠B+∠C=∠BEC（题10）。
命题改写与证明：先写成“如果…那么…”形式，再写出已知、求证，结合几何定理证明（题11）。
命题的逆命题：交换条件和结论得到逆命题（题12-13）。
7．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　 　 ．
8．如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD．试说明：AC⊥BD．下面是小明的解答过程，请补充完整．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　 　 ＝180°（　 　 ）．
∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD（已知），
∴∠DBC∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠DBC+∠ACB（　 　 ）（等式性质）．
即∠DBC+∠ACB＝　 　 °．
∵∠DBC+∠ACB+∠BEC＝180°（　 　 ），
∴∠BEC＝　 　 （等式性质）．
∴AC⊥BD．
9．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“2系数补角”是　 　 ；
【初步认识】
（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝40°，若∠BEG是∠EGF的“3系数补角”，求∠BEG的大小；
【问题解决】
（3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），∠AEN∠AEM，∠CFN∠CFM，∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，此时∠ENF的度数？
10．（1）问题发现：
如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由；
（2）解决问题：
如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．
11．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　 ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
12．把“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　 　 ．
13．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　 　 ．
【模块三】三角形（对应第14-23题）
※ 方法总结
三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和；已知两边和第三边比例，可设参数表示，再根据三边关系求周长范围（题14）。
中线等分面积：三角形中线将三角形分成面积相等的两部分；利用面积法求高（题15）。
内外角平分线模型：（内角平分线与外角平分线夹角）；内角平分线夹角；外角平分线夹角（题16）。
角平分线与高线综合：利用三角形内角和、互余关系求角度（题17）。
动点问题中的角度关系：利用外角性质或内角和定理推导∠1、∠2与∠α的关系（题18）。
角平分线与三角形内角和：设未知数，利用角平分线定义及内角和列方程求角（题19）。
正多边形内角公式：；全等三角形对应角相等，结合外角性质求角（题20）。
中点构造全等：已知中点，延长构造全等三角形（AAS或ASA），得边相等，再结合垂直证线段关系（题21）。
面积法求高、平行线分线段成比例、等腰三角形判定（题22）。
一线三等角全等模型：过等腰直角三角形直角顶点作直线，构造全等直角三角形，推导线段关系（题23）。
14．（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围．
（2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围．
15．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？
16．已知，如图CE是△ABC的外角平分线，BE平分∠ABC，且BE、CE交于E点．
（1）求证：．
（2）请探究，在△ABC中，∠B、∠C内角平分线形成的∠D与∠A的关系？∠B、∠C外角平分线形成的∠D与∠A的关系？（直接写出结果）
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数．
18．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2：　 　 ；图3：　 　 ．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
20．如图，点F、G分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，连结AF、BG相交于H，△ABF≌△BCG．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求∠AHG的度数．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证：
（1）FC＝AD；
（2）BC＝AB﹣AD．
22．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，∠A为锐角，△ABC的面积为9，点P为边AB上的动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D，CE平分∠ACP交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PE的长？
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系？
23．（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 　 　 ．
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积．
【模块四】等腰三角形（对应第24-34题）
※ 方法总结
尺规作图：过一点作已知直线的垂线；点到直线距离（题24）。
等腰三角形性质与判定：利用等腰三角形底角相等、三线合一证明等边三角形或角度关系（题25-26）。
圆中半径相等证等腰：连接圆心与圆上点，得半径相等，结合已知线段相等证等腰（题27）。
垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到两端距离相等；利用30°角直角三角形边角关系证等边三角形（题28）。
全等三角形与等腰三角形综合：通过SAS证全等得边相等，再结合角度证等腰（题29-30）。
动点与等腰三角形存在性：分类讨论等腰三角形的腰和底，结合角度条件列方程求解（题31）。
旋转中的角平分线关系：利用三角板旋转，角平分线性质，列方程求时间（题32）。
角平分线与四边形内角和：构造全等证明线段相等（如截长补短法）（题33）。
倍长中线法：构造全等三角形，利用三角形三边关系求中线取值范围，再推广到等腰直角三角形中的中线问题（题34）。
24．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，按下列语句画图．
（1）过点P画边OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画△OPC的高PH；
（3）线段 　 　 的长度是点P到直线OA的距离．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边CA延长线上一点．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若∠DAB＝60°，求证：△ADF是等边三角形．
26．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
27．在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等．如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD＝EC，求证：△ABC是等腰三角形．
28．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝2，求AE的长．
29．如图，已知△ABC，点D为BC边上一点，点E为△ABC外一点，连接AE交BC于点F，连接AD，DE，有∠B＝∠E＝40°，∠BAE＝60°，且∠ADC＝70°．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若AB＝CD，求∠ACD的大小．
30．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长．
31．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 　 　 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
32．【综合与探究】数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，过点O作∠BOC平分线OE．
（1）【操作发现】“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
∠AOC 10° 24° 50° 66°
∠DOE 5° 12° 25° 33°
请依据上表，写出∠AOC与∠DOE的数量关系　 　 ；
（2）【思考论证】老师进一步提出了如下问题：当三角尺COD在直线AB上方绕顶点O旋转时（OD到达OB边时停止旋转），∠AOC与∠DOE是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由；
（3）【拓展延伸】“创新小组”又提出如下问题：将图1中∠COD的边OC与OA重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（0＜t＜20），OF为∠COD的角平分线，当∠EOF＝28°时，求t的值．
33．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
34．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，D为BC边上的中点，试求中线AD长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是　 　 ．
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
（2）求中线AD长的取值范围．（直接写出答案）
【解决问题】
（3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形．∠ABC＝∠DBE＝90°，BF是△BEC的中线，若BF＝5，求AD的长．
课后巩固 · 针对性练习
巩固1 — 解不等式组，求负整数解（数形结合）。
巩固2 — 解不等式组，在数轴上表示解集，写整数解。
巩固3 — 解含参方程组，用含m代数式表示x,y，代入不等式求m的最大整数值。
巩固4 — 实际应用：搭建展位费用问题，列方程组求单价，再列不等式组求最多搭建数。
巩固5 — 采购问题：二元一次方程组求单价，再列不等式组求购买方案。
巩固6 — 平行线判定与性质：已知角相等，推平行，再证AB∥CD。
巩固7 — “猪蹄”模型的两种证明方法（过E作平行线或过B作平行线），拓展求角度。
巩固8 — 平行线性质与角平分线综合，结合垂直求角度。
巩固9 — 中点+平行证全等，推线段关系，勾股求边长。
巩固10 — 中点+倍长中线，证全等，推线段平行和相等，求中线范围。
巩固11 — 全等三角形判定（ASA）及线段和差（截长法）。
巩固12 — 等腰三角形中线与三线合一，利用外角性质求角度。
巩固13 — 等腰三角形边角关系，利用比例证全等，推线段相等。
巩固14 — 等腰三角形底边中点与高线、垂直平分线的综合运用。
巩固15 — “钻石三角形”新定义：过顶点和对边上一点的直线分割出两个等腰三角形，分类讨论角度。
复习建议 解答题重在逻辑推理与规范书写，几何题要善于构造辅助线（平行线、倍长中线、截长补短），不等式应用题需准确提取不等关系。建议每道题完成后总结所运用的核心知识点和数学思想，强化分类讨论和数形结合能力。
【作业1】解不等式组：，并写出所有负整数解．
【作业2】解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出不等式组的整数解．
【作业3】已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足x﹣2y＜9，求m的最大整数值．
【作业4】据相关报道，2026年奉贤品牌大集会于近期在南桥举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示奉贤优质品牌与助农产品．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不超过B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至多搭建多少个A类展位？
【作业5】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【作业6】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD．
【作业7】问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．
证明：过点E作EF∥AB
∴∠B＝∠　 　 ，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD（　 　 ），
∴∠　 　 ＝∠DEF（　 　 ），
∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D，
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G…
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【作业8】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【作业9】如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP．
（1）求证：AD+BC＝AB；
（2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长．
【作业10】如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）AB＝5，CF＝3，求BD的长．
【作业11】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC＝AE+CD．
【作业12】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数．
【作业13】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．
（1）求证：CD＝BE．
（2）求证：DF＝EF．
【作业14】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由．
（1）AD∥FG；
（2）点A在EF的垂直平分线上．
【作业15】经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　 　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 　 　 （填A或B或C）．若不是，请说明理由．
（3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
第1页（共1页）【期末冲刺】解答题满分讲义
(15~18章 知识点梳理+典例) 2026年沪教版数学七年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
一元一次不等式（组） —— 掌握不等式的性质，能解不等式（组）并用数轴表示解集；能根据整数解个数、解集情况求参数范围；能建立不等式模型解决实际问题（费用、分配、得分等）。
相交线与平行线 —— 掌握三线八角，平行线的判定与性质，能添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题；理解新定义（如“t系数补角”），能进行角度计算与证明。
三角形 —— 掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质；理解中线、高线、角平分线、中位线的性质；能运用全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS等）进行证明与计算；掌握“倍长中线法”构造全等求线段范围；能运用内外角平分线模型求角。
等腰三角形 —— 掌握等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”性质，等边三角形的判定与性质；能综合运用垂直平分线、全等、旋转等知识解决等腰三角形相关的证明与计算；会分类讨论等腰三角形的存在性问题。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想、模型思想在解答题中的综合运用。
核心：不等式建模 · 平行线辅助线 · 全等构造 · 等腰分类与三线合一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一元一次不等式（组）
不等式性质： 两边加（减）同一个数（式）不等号方向不变；乘（除）同一个正数方向不变；乘（除）同一个负数方向改变。
解一元一次不等式： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意负数变号）。
解集数轴表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点。
一元一次不等式组： 分别解每个不等式，取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）。
含参数不等式组： 根据解集或整数解个数列不等式（组）求参数范围，注意端点取值（等号能否取到）。
实际应用： 利用不等关系建立不等式（组），注意实际问题中隐含条件（边长>0、人数为整数、总费用不超过等）。
☆ 相交线与平行线
对顶角、邻补角： 对顶角相等，邻补角互补。
三线八角： 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型）。
平行线的判定： 同位角相等 两直线平行；内错角相等 两直线平行；同旁内角互补 两直线平行。
平行线的性质： 两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。
光的反射问题： 入射角等于反射角，转化为角度相等模型，结合平行线求角度。
新定义角度关系： 如“t系数补角”：，可列方程求解。
☆ 三角形
三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
内角和定理： 。
外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
三角形中的重要线段： 中线（等分面积）、高线、角平分线、中位线（平行且等于第三边一半）。
全等三角形： 判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），性质（对应边、角相等）。常用构造全等的方法：倍长中线、作垂线、截长补短等。
角平分线模型： 内角平分线夹角 ；内角与外角平分线夹角 。
中线取值范围： 利用倍长中线构造全等，利用三角形三边关系求中线范围。
☆ 等腰三角形
性质： 等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。
判定： 等角对等边；两腰相等。
等边三角形： 三边相等，三个角都是60°；三线合一；外心、内心、重心重合。
线段垂直平分线： 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆定理：到两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
等腰三角形存在性： 分类讨论腰和底，注意三角形三边关系；等边三角形外找点使与顶点构成等腰三角形，常利用垂直平分线作圆。
旋转构造： 以等腰三角形或等边三角形为基础，通过旋转60°构造全等，将分散条件集中。
☆ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
不等式（组） 性质、解法、整数解、参数范围、实际应用 同大取大，同小取小；乘除负数变号
相交线与平行线 同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质 平行线间距离处处相等；过拐点作平行线
三角形 三边关系、内角和、外角、全等判定、中线、高线 中线等分面积；中位线平行且等于第三边一半；倍长中线法
等腰三角形 等边对等角、三线合一、等边三角形性质、垂直平分线 底边上的高、中线、顶角平分线重合
综合应用 折叠、旋转、等边三角形内点、等腰存在性 分类讨论、构造全等、转化思想
核心模块 ·4大典型模块精讲
【模块一】一元一次不等式（组）（对应第1-6题）
※ 方法总结
解不等式组并用数轴表示解集，再写出整数解（题1）。
不等式组恰有一个解（即解集为单一数值）→ 解不等式后令两个端点相等，注意等号取舍（题2）。
利用不等式性质比较大小：不等式的可加性、乘法法则（同正、同负）（题3）。
实际问题列不等式组：根据单价、总价、数量关系建立方程（组）求单价，再列不等式求最值（题4）。
得分问题：设选对题数，列不等式求至少答对题数；二元一次方程组求单价；再根据总费用和数量限制列不等式组求购买方案（题5）。
分段计费（手机话费）：根据主叫时间分段计算费用；通过方程求时间；通过不等式比较两种方式的优劣（题6）。
1．利用数轴确定不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据数轴确定不等式组的解集及整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
将解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
则其整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握以上知识点是关键．
2．当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：由5x≤x﹣14+a得，x；
由得，x．
因为该不等式组恰有一个解，
所以，
解得a＝32．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
3．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
问题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
因为a＞b， 所以a+c　＞　 b+c．（填“＞”，“＝”，“＜”） 又因为c＞d， 所以b+c＞b+d ． 所以a+c＞b+d．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：（1）设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．则：
∵a＞b，
∴a+c＞b+c，
又∵c＞d，
∴b+c＞b+d，
∴a+c＞b+d．
（2）∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
∵c＜d，b＞0，
∴bc＜bd，
∴ac＜bd．
【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键．
4．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．
（1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
（2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？
【分析】（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元，则B型号的新型垃圾桶单价为（x+40）元，根据题意可列方程，求解即可．
（2）设购买B型号的新型垃圾桶m个，则购买A型号的新型垃圾桶（50﹣m）个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合m数量为非负整数的实际要求，求出B型号的新型垃圾桶的最大购买数量．
【解答】解：（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元，
根据题意可得 2x+3（x+40）＝370，
解得 x＝50，
则x+40＝50+40＝90，
答：A型号的新型垃圾桶单价为50元，B型号的新型垃圾桶单价为90元；
（2）设购买B型号的新型垃圾桶m个，
根据题意，总费用不超过4000元，可得 90m+50（50﹣m）≤4000，
解得 m≤37.5，
∵m是非负整数，
∴m的最大值为37，
答：社区最多能买37个B型号的新型垃圾桶．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
5．根据下列表格信息，完成相应任务
信息一 某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30道题目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于78分者获奖
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A，B两种文具作为奖品，已知购买1个A文具和4个B文具共需44元，购买2个A文具和3个B文具所花的钱一样多
信息三 学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费和奖品费）不超过850元，其中支付线上平台使用费为180元，剩余的钱用于购买两种文具共60个，其中A文具大于45个
解决问题
任务一 小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二 求A文具和B文具的单价
任务三 该校共有哪几种购买方案
【分析】任务一：设小明选对x道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，利用得分＝4×选对题目数﹣2×不选或者选错题目数，结合得分不低于78分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
任务二：设A型文具的单价是a元，B型文具的单价是b元，根据“购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务三：设购买A型文具m个，则购买B型文具（60﹣m）个，利用本次活动的总费用＝支付线上平台使用费+单价×数量，结合本次活动的总费用不超850元且购买A型文具数量大于45个，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：任务一：设小明选对x道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（30﹣x）≥78，
解得：x≥23，
∴x的最小值为23．
答：小明至少应选对23道题；
任务二：设A型文具的单价是a元，B型文具的单价是b元，
根据题意得：，
∴．
答：A型文具的单价是12元，B型文具的单价是8元；
任务三：设购买A型文具m个，则购买B型文具（60﹣m）个，
根据题意得：，
∴，
又∵m为正整数，
∴m可以为46，47，
∴该校共有2种购买方案，
方案1：购买A型文具46个，B型文具14个；
方案2：购买A型文具47个，B型文具13个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务一：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；任务二：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务三：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6．下表中有两种手机通话计费方式：
月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫
方式一 50 150 0.2 免费
方式二 80 350 0.25 免费
（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费）
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需　60　 元，按方式二计费需　80　 元；
（2）王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为　430　 分钟；
（3）当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱．
【分析】（1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按“方式二”计费时主叫通话时间为t分钟，
（2）根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可；
（3）根据题中所给出的条件，分0＜t≤150、150＜t≤350、t＞350三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案．
【解答】解：（1）李明按方式一计费＝50+0.2×（200﹣150）＝50+10＝60元，
李明按方式二计费＝80元．
故答案为：60，80；
（2）设王华该月主叫通话时间为t分钟，
∵王华某月按方式二计费需100元
∴根据题意列一元一次方程得，（t﹣350）×0.25+80＝100
∴t＝430．
故答案为：430；
（3）当0＜t≤150时，方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一省钱；
当150＜t≤350时，
∵方式一计费＜方式二计费
∴50+0.2×（t﹣150）＜80，
∴150＜t＜300；
当t＞350时，
∵方式一计费＜方式二计费
∴50+0.2×（t﹣150）＜（t﹣350）×0.25+80，
∴t＞550；
∴0＜t＜300或t＞550时，选择方式一比选择方式二省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解．
【模块二】相交线与平行线（对应第7-13题）
※ 方法总结
相交线中对顶角、邻补角性质，结合角平分线、比例求角度（题7）。
平行线性质与角平分线综合：由AB∥CD得同旁内角互补，角平分线定义代入，利用三角形内角和证明垂直（题8）。
新定义“t系数补角”：设未知数，根据定义列方程求解；结合平行线性质进行角度转化（题9）。
“猪蹄”模型：过拐点作平行线，将∠BEC拆分为两个内错角之和，证明∠B+∠C=∠BEC（题10）。
命题改写与证明：先写成“如果…那么…”形式，再写出已知、求证，结合几何定理证明（题11）。
命题的逆命题：交换条件和结论得到逆命题（题12-13）。
7．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　77°　 ．
【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，，，结合角平分线的定义进一步求解即可；
（2）设∠AOC＝x°，可得，，，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠AOE：∠COE＝2：3，
∴，，
∴∠BOE＝90°+54°＝144°，
∵OF平分∠BOE，
∴．
（2）设∠AOC＝x°，则，，，
∵∠BOF＝∠AOC+12°，
∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴，
解得：x＝65，
∴，
∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°，
∴．
【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键．
8．如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD．试说明：AC⊥BD．下面是小明的解答过程，请补充完整．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　∠BCD ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD（已知），
∴∠DBC∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠DBC+∠ACB（　∠ABC+∠BCD ）（等式性质）．
即∠DBC+∠ACB＝　90　 °．
∵∠DBC+∠ACB+∠BEC＝180°（　三角形三个内角的和等于180°　 ），
∴∠BEC＝　90°　 （等式性质）．
∴AC⊥BD．
【分析】先由AB∥CD得到∠ABC+∠BCD＝180°，再利用角平分线定义将两个角的和转化为∠DBC+∠ACB，结合三角形内角和定理求出∠BEC＝90°，最后根据垂直定义得出结论．
【解答】解：由条件可知∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD（已知），
∴（等式性质），
即∠DBC+∠ACB＝90°，
∵∠DBC+∠ACB+∠BEC＝∠180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠BEC＝90°（等式性质），
∴AC⊥BD，
故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补；∠ABC+∠BCD；90；三角形三个内角的和等于180°；90°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
9．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“2系数补角”是　∠2　 ；
【初步认识】
（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝40°，若∠BEG是∠EGF的“3系数补角”，求∠BEG的大小；
【问题解决】
（3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），∠AEN∠AEM，∠CFN∠CFM，∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，此时∠ENF的度数？
【分析】（1）设∠P的“2系数补角”是a，由“t系数补角”定义列方程即可得出；
（2）过G作GH∥AB，利用平行线的内错角相等得出∠EGF＝∠BEG+∠DFG，设∠BEG＝m，∠EGF＝n，则n＝m+40°①，由“3系数补角”定义得n+3m＝180°②，联立方程求解即可；
（3）设∠AEN＝x，∠CFN＝y，则∠AEM＝3x，∠CFM＝3y，根据M、N的位置（异侧/同侧），结合平行线性质，用x、y表示∠ENF和∠EMF，代入“2系数补角”的关系∠ENF+2∠EMF＝180°，求解x+y，即可得∠ENF的度数．
【解答】解：（1）设∠P的“2系数补角”是a，
∴∠P+2a＝180°，即90°+2a＝180°，
解得a＝45°，
∴∠P的“2系数补角”是∠2＝45°；
故答案为：∠2；
（2）如图，过G作GH∥AB，
由条件可知AB∥CD∥GH，
∴∠BEG＝∠HGE，∠HGF＝∠DFG，
∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
设∠BEG＝m，∠EGF＝n，
∴n＝m+40°①，
由条件可知∠EGF+6∠BEG＝180°，即n+3m＝180°②，
联立①②得，
解得，
∴∠BEG＝35°；
（3）由“2系数补角”定义可知∠ENF+2∠EMF＝180°，
设∠AEN＝x，∠CFN＝y，则∠AEM＝3x，∠CFM＝3y，
当点M、N在直线EF异侧时，
此时∠BEM＝180°﹣3x，∠DFM＝180°﹣3y，
同（2）中方法可得∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝360°﹣3（x+y），
∴x+y+2[360°﹣3（x+y）]＝180°，
解得x+y＝108°，
∴∠ENF＝108°；
当点M、N在线段EF同侧时，
同理可知∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝3（x+y），
∴x+y+6（x+y）＝180°，
解得x+y＝（）°，
∴∠ENF＝（）°，
综上，∠ENF的度数为108°或（）°．
【点评】本题考查了平行线性质．余角和补角，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（1）问题发现：
如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由；
（2）解决问题：
如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，证明EF∥CD，得出∠C＝∠CEF，再根据平行线的性质得出∠B＝∠BEF，推出∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF，即可得出结论；
（2）作EF∥AB，利用平行线的性质得到∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，则∠CEF＝60°，所以∠AEF＝20°，从而得到∠A的度数．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF，
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）解：作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝20°．
所以∠A的度数为20°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握性质和判定是做题的关键．
11．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　 ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案；
（2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN＝∠ENB＝90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF．
【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
（2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
求证：CD∥EF，
证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
∴∠CMN＝∠ENB＝90°，
∴CD∥EF．
【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握平行线的判定方法．
12．把“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等　 ．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．
【解答】解：等角的补角相等改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
13．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　如果两个角相等，那么它们是对顶角　 ．
【分析】逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．
【解答】解：交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
【点评】该题考查了逆命题，熟练掌握该知识点是关键．
【模块三】三角形（对应第14-23题）
※ 方法总结
三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和；已知两边和第三边比例，可设参数表示，再根据三边关系求周长范围（题14）。
中线等分面积：三角形中线将三角形分成面积相等的两部分；利用面积法求高（题15）。
内外角平分线模型：（内角平分线与外角平分线夹角）；内角平分线夹角；外角平分线夹角（题16）。
角平分线与高线综合：利用三角形内角和、互余关系求角度（题17）。
动点问题中的角度关系：利用外角性质或内角和定理推导∠1、∠2与∠α的关系（题18）。
角平分线与三角形内角和：设未知数，利用角平分线定义及内角和列方程求角（题19）。
正多边形内角公式：；全等三角形对应角相等，结合外角性质求角（题20）。
中点构造全等：已知中点，延长构造全等三角形（AAS或ASA），得边相等，再结合垂直证线段关系（题21）。
面积法求高、平行线分线段成比例、等腰三角形判定（题22）。
一线三等角全等模型：过等腰直角三角形直角顶点作直线，构造全等直角三角形，推导线段关系（题23）。
14．（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围．
（2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围．
【分析】（1）由三角形三边关系定理得到6＜c＜30．
（2）设b＝4x，c＝3x，由三角形三边关系定理得到1＜x＜7，因此14＜7x+7＜56，于是得到14＜这个三角形的周长＜56．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：18﹣12＜c＜18+12，
∴6＜c＜30．
（2）∵b：c＝4：3，
∴设b＝4x，c＝3x，
∴这个三角形的周长＝7x+7，
由三角形三边关系定理得到：b﹣c＜a＜b+c，
∴4x﹣3x＜7＜4x+3x，
∴1＜x＜7，
∴14＜7x+7＜56，
∴14＜这个三角形的周长＜56．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理．
15．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？
【分析】（1）根据高线的定义，画高即可；
（2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，EF、DG即为所求作；
（2）∵AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为 40，BD＝5，
∴10，
∴EF＝4，
即△BED中BD边上的高EF为4．
【点评】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
16．已知，如图CE是△ABC的外角平分线，BE平分∠ABC，且BE、CE交于E点．
（1）求证：．
（2）请探究，在△ABC中，∠B、∠C内角平分线形成的∠D与∠A的关系？∠B、∠C外角平分线形成的∠D与∠A的关系？（直接写出结果）
【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠ECD＝∠E+∠EBC，结合角平分线的定义即可得证；
（2）在图2中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，即可得出；在图3中，根据三角形的外角的性质可得∠EBC＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，进而在△ECD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB），即可求解．
【解答】（1）证明：由题意可得：
，，
又∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠ECD＝∠E+∠EBC，
∴，
（2）解：图②结论：；图③结论：，
在下图中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，
∴，
在△BCD中，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
下图中，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，
∠EBC＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，
∴，
∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键．
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数．
【分析】先由垂线的定义得到∠ADE＝90°，再由三角形内角和定理得到∠DAE＝30°，则由角平分的定义可得∠CAB＝2∠CAE＝60°，据此由三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠CAB＝2∠CAE＝2×30°＝60°，
∵∠CBA＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝80°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握．
18．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2：　∠2＝∠α+∠1+60°　 ；图3：　∠2＝∠1﹣∠α+60°　 ．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，两式相加，即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．
【解答】解：（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，
∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B，
∵∠DPE＝∠α＝50°，
∴∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°，
即∠1+∠2＝60°+α＝110°；
（2）由图2得∠2＝∠α+∠1+60°，由图3得∠2＝∠1﹣∠α+60°，理由如下：如图2，
如图2，设AC，EP 交于点F，
∵∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
∴∠2＝60°+∠1+∠α；
如图3，设AC，EP 交于点F，
∵∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
∴∠2＝∠1﹣∠α+60°；
故答案为：图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，掌握三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
【分析】（1）先由角平分线性质求出∠DAC的度数，再根据外角与内角的关系得∠ADB、∠C、∠DAC间关系，最后代入计算得结论；
（2）先由三角形外角与内角的关系求出∠BAD+∠ABE的度数，再由角平分线性质求出∠BAC+∠ABC的度数，最后利用三角形内角和定理得结论．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
【点评】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点、掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“三角形的内角和是180°”等相关知识是解决本题的关键．
20．如图，点F、G分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，连结AF、BG相交于H，△ABF≌△BCG．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求∠AHG的度数．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、正五边形的内角相等即可得解；
（2）根据全等三角形的性质及三角形外角定理即可得解．
【解答】解：（1）∵正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠ABC540°＝108°；
（2）∵△ABF≌△BCG，
∴∠BAF＝∠CBG，
∵∠BAF+∠ABH＝∠AHG，
∴∠CBH+∠ABH＝∠AHG＝∠ABC540°＝108°，
∴∠AHG＝108°．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理是解此题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证：
（1）FC＝AD；
（2）BC＝AB﹣AD．
【分析】（1）由SAS可证△ADE≌△FCE，可得FC＝AD；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，由SAS可证△AEB≌△FEB，可得AB＝BF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）由（1）知：△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
又∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
在△AEB和△FEB中，
，
∴△AEB≌△FEB（SAS），
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝FC，
∴BC＝AB﹣AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△FEB是解答本题的关键．
22．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，∠A为锐角，△ABC的面积为9，点P为边AB上的动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D，CE平分∠ACP交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PE的长？
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系？
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可求出PE；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，ABC的面积为9，AB＝6，
∴AB CP6×CP＝9，
∴CP＝3，
由勾股定理得：PA4，
过点E作EF⊥AC，
∵CE是角平分线，
∴PE＝EF，CF＝PC＝3，
∴AF＝2，
∴22+EF2＝（4﹣EF）2，
解得EF，
∴PE；
（2）AC＝CD+DB．过A作AO∥BC交BD的延长线于点O，
∵BD∥AC．AO∥BC．
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵AC＝BO，
∴E是AB的中点，
∴延长CE肯定可以过点O点，
∴∠ACO＝∠COD，
∵∠ACP的平分线交AB于点E，
∴∠OCD＝∠ACO，
∴∠OCD＝∠ACO＝∠COD，
∵．CD＝DO，
∵DO+DB＝BO＝AC，
∴AC＝CD+DB．
【点评】本题考查三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
23．（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 　6　 ．
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积．
【分析】（1）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE，CD＝BE，由此即可得出AD、BE与DE之间满足的数量关系；
（2）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE＝11，CD＝BE＝5，由此即可得出DE的长；
（3）过点D作DP⊥FG于点P，过点E作EH⊥FG于点H，设BF＝a，则CF＝28﹣a，证明△FAC和△HEA全等得AF＝EH＝19，CF＝AH＝28﹣a，同理证明△FAB和△PDA全等得BF＝AP＝a，AF＝DP＝19，则DP＝EH＝19，再证明△DPG和△EHG全等得PG＝HG，则PG＝2PG，根据AH＝AP+PH＝a+2PG＝28﹣a得PG＝14﹣a，继而得AG＝AP+PG＝14，然后根据三角形的面积公式即可得出△ADG的面积．
【解答】解：（1）AD、BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE＝DE，理由如下：
如图1所示：
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴AD+BE＝CE+CD＝DE；
（2）如图2所示：
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠1+∠ACD＝90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∴∠2+∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠1，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE＝11，CD＝BE＝5，
∴DE＝CE﹣CD＝11﹣5＝6；
（3）过点D作DP⊥FG于点P，过点E作EH⊥FG于点H，如图3所示：
设BF＝a，
∵BC＝28，AF＝19，
∴CF＝BC﹣BF＝28﹣a，
∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠FAC+∠HAE＝90°，
∵BC⊥AF，EH⊥FG，
∴∠AFC＝∠H＝90°，
∴∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠FAC＝∠HEA，
在△FAC和△HEA中，
，
∴△FAC≌△HEA（AAS），
∴AF＝EH＝19，CF＝AH＝28﹣a，
同理证明：△FAB≌△PDA（AAS），
∴BF＝AP＝a，AF＝DP＝19，
∴DP＝EH＝19，
∵DP⊥FG，EH⊥FG，
∴∠DPG＝∠H＝90°，
在△DPG和△EHG中，
，
∴△DPG≌△EHG（AAS），
∴PG＝HG，
∴PH＝2PG，
∵AH＝AP+PH＝a+2PG＝28﹣a，
∴PG＝14﹣a，
∴AG＝AP+PG＝a+14﹣a＝14，
∴S△ADGAG DP14×19＝133．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
【模块四】等腰三角形（对应第24-34题）
※ 方法总结
尺规作图：过一点作已知直线的垂线；点到直线距离（题24）。
等腰三角形性质与判定：利用等腰三角形底角相等、三线合一证明等边三角形或角度关系（题25-26）。
圆中半径相等证等腰：连接圆心与圆上点，得半径相等，结合已知线段相等证等腰（题27）。
垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到两端距离相等；利用30°角直角三角形边角关系证等边三角形（题28）。
全等三角形与等腰三角形综合：通过SAS证全等得边相等，再结合角度证等腰（题29-30）。
动点与等腰三角形存在性：分类讨论等腰三角形的腰和底，结合角度条件列方程求解（题31）。
旋转中的角平分线关系：利用三角板旋转，角平分线性质，列方程求时间（题32）。
角平分线与四边形内角和：构造全等证明线段相等（如截长补短法）（题33）。
倍长中线法：构造全等三角形，利用三角形三边关系求中线取值范围，再推广到等腰直角三角形中的中线问题（题34）。
24．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，按下列语句画图．
（1）过点P画边OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画△OPC的高PH；
（3）线段 PH 的长度是点P到直线OA的距离．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）过P点作OA的垂线，垂足为H点；
（3）根据点到直线的距离的定义求解．
【解答】解：（1）如图，OC为所作；
（2）如图，PH为所作；
（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离．
故答案为：PH．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点到直线的距离．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边CA延长线上一点．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若∠DAB＝60°，求证：△ADF是等边三角形．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，
因为DE⊥BC，所以∠DEB＝∠DEC＝90°，
所以∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠CDE＝90°，
所以∠BFE＝∠CDE，
因为∠BFE＝∠AFD，
所以∠CDE＝∠AFD，
所以AD＝AF，）
又因为∠DAB＝60°，
所以△ADF是等边三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
26．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分线，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根据点A与点E关于直线BC对称，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，从而△BDF是等腰三角形；
（3）过D作DK⊥AB于K，证明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【解答】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵点A与点E关于直线BC对称，
∴∠EBC＝∠CBA＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠AFB，
∴BF＝BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD＝90°＝∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC＝AK，CD＝DK，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠KBD＝45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK＝DK，
∴BK＝CD，
∵AB＝AK+BK，
∴AB＝AC+CD，
∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理．
27．在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等．如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD＝EC，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】推导△OBD≌△OCE，得出∠ABC＝∠ACB，得出AB＝AC，得到△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵BD＝EC，OB＝OC＝OD＝OE，
∴△OBD≌△OCE（SSS），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法，利用全等三角形的判定和性质进行推导．
28．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝2，求AE的长．
【分析】（1）由AD垂直平分BC得AB＝AC，再由DF⊥AB，∠E＝30°得∠BAC＝60°，据此可得出结论；
（1）由等边三角形性质得∠B＝60°，AC＝BC，在Rt△DFB中，根据BF＝2，∠BDF＝30°得BD＝2BF＝4，进而得CD＝BD＝4，则AC＝BC＝8，再证明∠CDE＝∠E＝30°得CE＝CD＝4，据此可得AE的长．
【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AFE是直角三角形，
在Rt△AFE中，∠E＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，AC＝BC，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴△DFB是直角三角形，
在Rt△DFB中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BF＝4，
∵AD垂直平分BC，
∴CD＝BD＝4，
∴AC＝BC＝CD+BD＝8，
又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CE＝CD＝4，
∴AE＝AC+CE＝12．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
29．如图，已知△ABC，点D为BC边上一点，点E为△ABC外一点，连接AE交BC于点F，连接AD，DE，有∠B＝∠E＝40°，∠BAE＝60°，且∠ADC＝70°．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若AB＝CD，求∠ACD的大小．
【分析】（1）先得出∠BAD＝∠EAD＝30°，再证出△ABD≌△AED，由此即可得证；
（2）先求出∠AFD的度数，再得出DF＝EF，CD＝AE，则CF＝AF，进而可得∠ACD＝∠CAF，然后利用三角形的外角性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠E＝40°，∠BAE＝60°，且∠ADC＝70°．
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∵∠BAE＝60°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴BD＝DE．
（2）解：由题意可得：∠AFD＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝80°，
∵∠E＝40°，
∴∠EDF＝∠AFD﹣∠E＝40°，
∴∠EDF＝∠E，
∴DF＝EF，
由（1）已证：△ABD≌△AED，
∴AB＝AE，
∵AB＝CD，
∴CD＝AE，
∴CD﹣DF＝AE﹣EF，即CF＝AF，
∴∠ACD＝∠CAF，
又∵∠ACD+∠CAF＝∠AFD＝80°，
∴．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，正确进行计算是解题关键．
30．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝42cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为42cm，
∴AB+BC+AC＝42cm，
∵AC＝16cm，
∴AB+BC＝26cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
31．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 　直角三角形　 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°，得到∠ACD＝120°﹣30°＝90°，则△ACD是直角三角形．
（2）分类讨论：当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE；当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE；当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了分类讨论思想的运用以及等腰三角形的判定与性质．
32．【综合与探究】数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，过点O作∠BOC平分线OE．
（1）【操作发现】“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
∠AOC 10° 24° 50° 66°
∠DOE 5° 12° 25° 33°
请依据上表，写出∠AOC与∠DOE的数量关系　∠AOC＝2∠DOE ；
（2）【思考论证】老师进一步提出了如下问题：当三角尺COD在直线AB上方绕顶点O旋转时（OD到达OB边时停止旋转），∠AOC与∠DOE是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由；
（3）【拓展延伸】“创新小组”又提出如下问题：将图1中∠COD的边OC与OA重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（0＜t＜20），OF为∠COD的角平分线，当∠EOF＝28°时，求t的值．
【分析】（1）由表格数据可得结论；
（2）设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论；
（3）∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，分0＜t≤10和10＜t＜20两种情况，分别列方程计算即可．
【解答】解：（1）由表中数据可得：∠AOC＝2∠DOE，
故答案为：∠AOC＝2∠DOE；
（2）∠AOC与∠DOE还满足（1）中的数量关系，理由如下：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴，
∴∠AOC＝2∠DOE；
（3）当10＜t＜20时，∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，
∵OF平分∠COD，∠COD＝90°，
∴，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠FOE＝∠FOC﹣∠COE＝45°﹣（90°﹣4.5t）°＝28°，
解得，
当0＜t≤10时，∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，
∵OF平分∠COD，∠COD＝90°，
∴，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠FOE＝∠COE﹣∠FOC＝90°﹣4.5t°﹣45°＝28°，
解得；
综上可知，当∠EOF＝28°时，t的值为或．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解决问题是解本题的关键．
33．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
34．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，D为BC边上的中点，试求中线AD长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是A ．
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
（2）求中线AD长的取值范围．（直接写出答案）
【解决问题】
（3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形．∠ABC＝∠DBE＝90°，BF是△BEC的中线，若BF＝5，求AD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得EB＝AC＝4，再根据三角形的三边关系解答即可求解；
（3）延长BF至G，使GF＝BF，连接CG，可证△CFG≌△EFB（SAS），可得CG＝EB，∠1＝∠2，再证明△ABD≌△BCG（SAS），得到AD＝BG＝2BF＝10，即可求解．
【解答】解：（1）D为BC边上的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴△ADC≌△EDB的理由是SAS，
故答案为：A；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴EB＝AC＝4，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
即1＜AD＜5；
（3）延长BF至G，使GF＝BF，连接CG，
∵BF是△BEC的中线，
∴CF＝EF，
在△CFG和△EFB中，
，
∴△CFG≌△EFB（SAS），
∴CG＝EB，∠1＝∠2，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠4+∠CBE＝180°，
∵∠2+∠3+∠CBE＝180°，
∴∠4＝∠2+∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠1+∠3，
即∠4＝∠GCB，
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB＝CB，BD＝BE，
∴BD＝CG，
∴△ABD≌△BCG（SAS），
∴AD＝BG＝2BF＝10，
即AD的长为10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
巩固1 — 解不等式组，求负整数解（数形结合）。
巩固2 — 解不等式组，在数轴上表示解集，写整数解。
巩固3 — 解含参方程组，用含m代数式表示x,y，代入不等式求m的最大整数值。
巩固4 — 实际应用：搭建展位费用问题，列方程组求单价，再列不等式组求最多搭建数。
巩固5 — 采购问题：二元一次方程组求单价，再列不等式组求购买方案。
巩固6 — 平行线判定与性质：已知角相等，推平行，再证AB∥CD。
巩固7 — “猪蹄”模型的两种证明方法（过E作平行线或过B作平行线），拓展求角度。
巩固8 — 平行线性质与角平分线综合，结合垂直求角度。
巩固9 — 中点+平行证全等，推线段关系，勾股求边长。
巩固10 — 中点+倍长中线，证全等，推线段平行和相等，求中线范围。
巩固11 — 全等三角形判定（ASA）及线段和差（截长法）。
巩固12 — 等腰三角形中线与三线合一，利用外角性质求角度。
巩固13 — 等腰三角形边角关系，利用比例证全等，推线段相等。
巩固14 — 等腰三角形底边中点与高线、垂直平分线的综合运用。
巩固15 — “钻石三角形”新定义：过顶点和对边上一点的直线分割出两个等腰三角形，分类讨论角度。
复习建议 解答题重在逻辑推理与规范书写，几何题要善于构造辅助线（平行线、倍长中线、截长补短），不等式应用题需准确提取不等关系。建议每道题完成后总结所运用的核心知识点和数学思想，强化分类讨论和数形结合能力。
【作业1】解不等式组：，并写出所有负整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x≤1，
故不等式组的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【作业2】解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后表示在数轴上，再求出整数解．
【解答】解：解得x≤1，
解2x+4＞0得x＞﹣2，
∴不等式组的解集为，即﹣2＜x≤1，
解集在数轴上表示为：
所以：不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
【点评】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
【作业3】已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足x﹣2y＜9，求m的最大整数值．
【分析】解方程组得出x＝﹣m+3，y＝﹣2m+4，然后根据x﹣2y＜9得关于m的不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：，
①+②得，2x＝﹣2m+6，即x＝﹣m+3，
②﹣①得：2y＝﹣4m+8，即y＝﹣2m+4，
∵x﹣2y＜9，
∴﹣m+3﹣2（﹣2m+4）＜9，
解得：m，
∴m的最大整数值为4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．
【作业4】据相关报道，2026年奉贤品牌大集会于近期在南桥举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示奉贤优质品牌与助农产品．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不超过B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至多搭建多少个A类展位？
【分析】（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，根据“搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，根据“搭建A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍，且总搭建预算资金不超过30000元”，列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，
根据题意得：，
解得：20≤m，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为53．
答：组委会至多搭建53个A类展位．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【作业5】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元．
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，
根据题意列一元一次不等式组得：
解得：52≤m≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；
方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；
方案三：购买沙包54个，购买篮球36个．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
【作业6】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD．
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE＝∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∠1＝∠AGH，
∴∠2＝∠AGH，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行，和内错角相等，两直线平行．
【作业7】问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．
证明：过点E作EF∥AB
∴∠B＝∠　∠BEF ，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD（　平行于同一直线的两直线平行　 ），
∴∠D ＝∠DEF（　两直线平行，内错角相等　 ），
∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D，
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G…
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可；
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠BGD，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可；
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】（1）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D，
故答案为：∠BEF；平行于同一直线的两直线平行；D；两直线平行，内错角相等
（2）如图③，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∴∠EDC＝∠BGD，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠BGD＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；
（3）如图④中，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，
∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，
结合（1）可得：∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
【作业8】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠280°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．
【作业9】如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP．
（1）求证：AD+BC＝AB；
（2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长．
【分析】（1）延长AP交BC的延长线于E，根据平行线的性质得到∠DAP＝∠E，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，AD＝CE，根据等腰三角形的性质得到AB＝BE＝BC+CE＝BC+AD，于是得到AD+BC＝AB；
（2）由（1）知，AD+BC＝AB＝13，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：延长AP交BC的延长线于E，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠E，
∵取CD中点P，
∴PD＝PC，
在△ADP与△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP（AAS），
∴AP＝PE，AD＝CE，
∵PB⊥AE，
∴AB＝BE＝BC+CE＝BC+AD，
即AD+BC＝AB；
（2）解：由（1）知，AD+BC＝AB＝13，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD面积（AD+BC） CD13CD＝78，
∴CD＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，梯形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【作业10】如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）AB＝5，CF＝3，求BD的长．
【分析】（1）先证明AE＝CE，再证明∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，从而可得结论；
（2）利用全等三角形的性质证明AD＝CF＝3，从而可得答案．
【解答】（1）证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键．
【作业11】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC＝AE+CD．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答；
（2）通过角之间的转化可得出△COF≌△COD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠CAO∠BAC＝45°，∠ACO∠ACB＝15°，
∴∠AOE＝∠CAO+∠ACO＝45°+15°＝60°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△AOE和△AOF中
，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE＝∠AOF＝60°，
∴∠AOF＝∠COD＝60°＝∠COF，
在△COF和△COD中，
，
∴△COF≌△COD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△AOE≌△AOF是解题关键．
【作业12】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝70°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【作业13】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．
（1）求证：CD＝BE．
（2）求证：DF＝EF．
【分析】（1）根据等角对等边，得到AB＝AC，结合，，得到AD＝AE，通过△ACD≌△ABE（SAS），即可求解，
（2）由△ACD≌△ABE，得到∠ACD＝∠ABE，∠CFE＝∠BFD，结合BD＝CE，得到△BDF≌△CEF（AAS），即可求解，
本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵，，
∴AD＝AE，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）由（1）得△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF．
【点评】本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
【作业14】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由．
（1）AD∥FG；
（2）点A在EF的垂直平分线上．
【分析】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
（2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CAD＝∠BAD，再利用平行线的性质可得∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，从而可得∠F＝∠AEF，然后利用等角对等边可得AF＝AE，即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG；
（2）∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∴点A在EF的垂直平分线上．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【作业15】经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　是　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由．
（3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠BDC＝∠B＝72°，求出∠A＝∠ACD＝36°，根据等腰三角形的判定推出△ACD和△BDC都是等腰三角形；
（2）取AC的中点D连接BD，根据直角三角形的性质得到BD＝CD＝AD，求得△BCD和△ABD是等腰三角形，于是得到结论；
（3）分三种情况，当AD＝CD时，当AC＝AE，CE＝BE时，当AC＝CE，CE＝BE时，于是得到结论．
【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝36°．
∵∠A＝∠ACD＝36°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝72°，
∵∠B＝72°，
∴∠B＝∠BDC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴△ABC是“钻石三角形”．
（2）解：是，
理由：如图，取AC的中点D连接BD，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝CD＝AD，
∴△BCD和△ABD是等腰三角形，
∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B．
故答案为：是，B；
（3）解：如图a，
当AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝20°，
∴∠CDB＝40°，
∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°；
②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；
③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
如图b，
当AC＝AE，CE＝BE时，
∵∠A＝20°，
∴∠ACE＝∠AEC＝80°，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
如图c，
当AC＝CE，CE＝BE时，
∵∠A＝20°，
∴∠AEC＝∠A＝20°，
∴∠B＝10°，
综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，理解“钻石分割线”的定义并分类讨论是解题的关键．
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