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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 3.3.1垂径定理
课型： 新授 设计时间： 2026 年 5 月 18 日
学习核心内容 垂径定理的内容及推导； 垂径定理的基本推论； 3. 利用垂径定理解决弦、半径、弦心距相关的计算与实际问题。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
理解垂径定理及其推论，掌握 “半径、半弦长、弦心距” 构成的直角三角形模型，能运用垂径定理解决相关的计算、作图和证明问题。 2.经历 “动手操作 — 猜想验证 — 推理论证 — 应用拓展” 的探究过程，提升几何直观、逻辑推理和建模能力。3.感受垂径定理在解决实际问题（如拱桥、水管截面）中的价值，体会数学与生活的联系，培养严谨的科学态度和探究精神。 1. 能准确复述垂径定理的内容，明确定理的条件与结论，达成知识目标； 2. 能独立完成垂径定理相关的计算、作图题，会用 “垂径定理 + 勾股定理” 模型解决问题，达成能力目标； 3. 主动参与课堂探究与合作交流，积极分享发现与思路，达成情感目标。
学习过程设计
情境导入 1.展示赵州桥的图片，介绍背景：赵州桥的桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦长）和拱高（弧的中点到弦的距离）已知，如何求桥拱所在圆的半径？ 2.引出问题：解决这类问题需要用到圆的一个重要性质 —— 垂径定理，今天我们一起来探究。 二、新知探究 （一）垂径定理的探究与证明 1.动手操作：在透明纸上画一个圆，任意画一条弦 AB，再画一条垂直于 AB 的直径 CD，CD 与 AB 交于点 E，沿 CD 折叠圆，观察发现： - AE=BE（直径平分弦）； - AC =BC ，AD =BD （直径平分弦所对的弧）。 2.归纳定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.定理证明：连接 OA、OB，利用等腰三角形 “三线合一” 证明 AE=BE，再通过圆的对称性证明弧相等。 （二）垂径定理的推论与拓展 1.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 - 强调：当弦是直径时，任意一条直径都平分它，但不一定垂直，因此推论中 “弦不是直径” 的条件不可省略。 2.核心模型：垂径定理 + 勾股定理：在⊙O 中，半径 r、弦心距 d、半弦长构成直角三角形，满足。 （三）垂径定理的应用 1.作图应用（例 1）：已知弧 AB，用直尺和圆规作弧 AB 的中点。 步骤：① 连接 AB；② 作 AB 的垂直平分线，与弧 AB 交于点 E，则 E 即为弧 AB 的中点。 2.实际应用（例 2）：排水管截面问题，已知半径 OB=10，水面宽 AB=16，求圆心 O 到水面的距离 OC。 解：由垂径定理得 AC=BC=8，在 Rt△OBC 中，. 三、例题精讲 补充例题：已知⊙O 的半径为 13cm，一条弦 AB 的弦心距为 5cm，求弦 AB 的长。解：过 O 作 OC⊥AB 于 C，由垂径定理得 AC=BC，在 Rt△OAC 中，.所以 AB=2AC=24cm。 课堂练习 1.基础题：判断正误（如 “平分弦的直径垂直于弦” 是否正确，说明理由）； 2.计算题：教材课内练习第 2 题（已知半径和弦心距，求弦长）；3.作图题：作已知弧的中点。 五、课堂小结 （师生共同回顾）： 1. 垂径定理的内容与推论； 2. 垂径定理的核心模型：半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形； 3. 垂径定理的应用：作图、计算、解决实际问题。
作业内容： 基础作业 1. 教材课内练习第 1、2 题； 2. 默写垂径定理的内容及核心模型公式。 提升作业 1. 已知⊙O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，求圆心 O 到 AB 的距离； 2. 完成教材作业题第 1、2 题（弦长、半径、弦心距的计算）。 拓展作业 1. 结合赵州桥的背景，尝试用垂径定理解决桥拱半径的计算问题； 2. 思考：如何用垂径定理找到一个圆形工件的圆心？
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 3.3 垂径定理 1.垂径定理内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧符号语言：∵CD 是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AC =BC ，AD =BD 2.推论平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧# 3.核心模型：（垂径 + 勾股） （）（r：半径，d：弦心距，：弦长） 4.应用;①作图：作弧的中点②计算：弦长、半径、弦心距③实际问题：拱桥、水管截面
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