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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 3.3.2 垂径定理
课型： 新授 设计时间： 2026 年 5 月 19 日
学习核心内容 垂径定理推论的深化理解与辨析； 垂径定理综合应用（弦、半径、弦心距的复杂计算、简单证明）； 垂径定理在实际问题中的建模应用； 4. 圆中辅助线（作弦心距）的添加方法。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1. 熟练掌握垂径定理及其推论，能灵活运用 “半径 - 半弦 - 弦心距” 模型解决综合计算、证明与实际问题，掌握圆中作弦心距的辅助线技巧。 2. 经历 “辨析 — 建模 — 综合应用” 过程，提升几何建模、逻辑推理和知识迁移能力。 3. 感受垂径定理的应用价值，培养严谨的解题习惯和数学应用意识。 1. 能准确辨析垂径定理推论的易错点，熟练运用核心模型，达成知识目标； 2. 能独立完成综合计算、简单证明及实际应用题，规范添加辅助线，达成能力目标； 3. 主动参与小组讨论，清晰表达解题思路，达成情感目标。
学习过程设计
复习导入 回顾旧知：垂径定理内容、推论、核心公式 。 易错辨析：判断 “平分弦的直径垂直于弦”“垂直于弦的直线平分弦” 是否正确，说明理由。 引出课题：本节课深化垂径定理，解决综合与实际问题。 新知探究 推论深化与易错点突破 重点强调：推论 “平分弦（非直径）的直径垂直于弦”，弦 为直径时不成立，结合画图反例说明。 辅助线技巧：遇弦作弦心距，构造直角三角形，转化为勾股 定理求解。 综合计算应用 例 1：⊙O 半径为 10，弦 AB∥CD，AB=16，CD=12，求 AB 与 CD 间 的距离。 解：分 AB、CD 在圆心同侧 / 异侧两种情况，作弦心距 OE⊥AB、OF⊥CD，用勾股定理求 OE、OF，再算距离。 简单证明应用 例 2：已知 AB 是⊙O 的弦，E、F 在 AB 上，AE=BF，求证：OE=OF。证明：作 OG⊥AB 于 G，由垂径定理得 AG=BG，结合 AE=BF 得 EG=FG，由垂直平分线性质得 OE=OF。 实际问题建模 例 3：圆柱形水管直径 1m，水面宽 0.8m，求水的最大深度。 解：转化为圆中弦长问题，作弦心距，用勾股定理求弦心距，分 水面在圆心上下两种情况求深度。 例题精讲 补充例题：⊙O 中，弦 AB=8，半径 OA=5，点 C 在弧 AB 上，OC⊥AB，求 OC 的长。 解：设 OC 交 AB 于 D，由垂径定理得 AD=4，Rt△AOD 中求 OD，再算 OC。 课堂练习 基础题：P77—78：课内练习1题。2. 提升题：课内练习2题。3. 拓展题：简单证明题—作业题6题。 课堂小结 垂径定理推论：弦非直径是关键条件； 辅助线：遇弦作弦心距，构直角三角形； 3. 解题思路：分类讨论（平行弦、水面位置）、建模转化。
作业内容 基础作业 1. 默写垂径定理推论及易错点； 2. 教材习题：弦心距、弦长简单计算题。 提升作业 1. 平行弦 AB、CD，半径 13，AB=24，CD=10，求两弦距离； 2. 证明：圆中两条平行弦所夹的弧相等P78作业题7题。 拓展作业 1. 圆形拱桥跨度 24m，拱高 8m，求拱桥半径； 2. 思考：垂径定理还能解决哪些生活中的圆形问题？
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计3.3 垂径定理（第 2 课时） 一、推论辨析 平分弦（非直径）的直径⊥弦 易错：弦为直径时不成立 二、辅助线：作弦心距 模型： 三、典型例题 1. 平行弦距离：分类讨论 2. 证明：OE=OF 3. 实际问题：水管、拱桥建模
教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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