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专题04平行四边形、三角形中位线期末复习讲义
题型梳理归纳
题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.求平行线间的距离
题型3.利用平行线间距离解决问题 题型4.判断能否构成平行四边形
题型5.添一条件成为平行四边形 题型6.数图形中平行四边形个数
题型7.求与已知三点构成平行四边形的点的个数 题型8.与三角形中位线有关的求解问题
题型9.三角形中位线的实际应用 题型10.平行四边形性质与判定综合应用
题型11.全等三角形与平行四边形综合 题型12.平行四边形性质和判定综合证明
题型13.平行四边形的动点问题 题型14.平行四边形的折叠与旋转问题
题型15.分层精练15道题
重点知识梳理
【知识点一、平行四边形的性质】
定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，记作 ABCD。
三大核心性质：
边的性质：对边平行且相等.即AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC。
角的性质：对角相等，邻角互补
（3）对角线的性质：对角线互相平分，即AC、BD交于点O，则OA=OC，OB=OD）。
3. 拓展性质与关键概念
（1）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。
（2）面积特性：过对称中心的任意直线，均能将平行四边形分为面积相等的两部分。
（3）平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线间的距离；
平行线间的距离处处相等，平行四边形的高即为对应平行线间的距离。
【知识点二、平行四边形的判定】
1.五大判定定理（按边、角、对角线分类）
（1）定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD,AD∥BC）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD,AD=BC）
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD,AB=CD）
（4）角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(∠A=∠C，∠B=∠D)
（5）对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（OA=OC,OB=OD）
2.★用表格表示如下：
【知识点三、三角形的中位线】
1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
★关键区分：中位线≠中线，中线是连接顶点与对边中点的线段。
2.中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
若D、E分别为△ABC的AB、AC中点，则DE∥BC，且DE=BC。如下图：
3.核心应用与拓展
（1）直接计算：已知三角形一边，可求对应中位线长度；已知中位线，可反推对应边长。
（2）证明应用：证明线段平行、倍分关系，或通过中位线构造平行四边形解决问题。
（3）拓展结论：三角形三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的
核心题型精讲
题型1.利用平行四边形的性质求解
1．如图，在中，，，，则的周长是（ ）
A．21 B．22 C．25 D．32
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴的周长．
2．中，与的平分线交于点P，，，则________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得出，，结合角平分线的定义可求出，根据三角形内角和定理得出，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】解：∵中，，
∴，，
∴，
∵与的平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴.
3．如图，在中，，．
(1)求和的度数．
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知：，，得出，求出的度数，即可得出的度数．
（2）过点作于点，则，得出是等腰直角三角形，则，根据平行线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，则
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，则
∴
∴，
∴的面积
题型2.求平行线间的距离
1．如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴
即平行线，之间的距离是．
2．如图，已知直线，，，则的高是______．
【答案】
【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可．
【详解】解：过点作，过点作，
，
，
，即，
，
，则的高是．
3．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求：
(1)小路，，的长；
(2)计算出绿地的面积（含小路）；
(3)，之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理求出，即可得；
（2）根据平行四边形的面积公式解答；
（3）根据面积相等可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，，．
，
，
；
（2）解：绿地的面积为；
（3）解：设，之间的距离为．
∵绿地的面积为，
，
解得．
即，之间的距离为．
题型3.利用平行线间距离解决问题
1．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线间的距离处处相等求解即可．
【详解】解：设到的距离为，
∵直线，点、在直线上，
∴到的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为．
2．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】利用平行线间的距离处处相等和“同底等高”的三角形面积相等进行解答．
【详解】解：∵，
∴边上的高与边上的高相等（平行线间的距离处处相等），
∴（“同底等高”的三角形面积相等）．
3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中借助网格格点的连线完成作图．
(1)在图1中，在上画一点E，使平分的面积；
(2)在图2中，在上画一点F，使平分的面积；
(3)在图3中，F是上的格点，在上画一点D使得的面积和的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）取与最中间格线的交点E，连接，则平分的面积；
（2）取格点和，连接交于点F，连接，则平分的面积；
（3）平移线段至，交于点D，连接，则的面积和的面积相等．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，线段即为所求；
（3）解：如图所示，点D即为所求；
题型4.判断能否构成平行四边形
1．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行，
∴四边形是平行四边形，A不符合题意．
B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意．
C、∵四边形内角和为，，，
∴，
∴，同理可得，
∴四边形是平行四边形，C不符合题意．
D、∵，
∴，，
又，
∴，
∴，即四边形对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，D不符合题意．
2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________．
【答案】①②④⑤
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．
【详解】解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
②∵，，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故④正确；
⑤∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故⑤正确；
⑥∵，，
不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确．
综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形．
故答案为：①②④⑤．
3．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析；
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】证明如下：选择②③
，
，
且满足，，
在和中
，
，
，
四边形是平行四边形．
题型5添一条件成为平行四边形
1．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意．
2．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）．
【答案】②（或③，或④）
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．
若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证．
【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．
若添加条件②，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件③，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形．
若添加条件④，可得四边形是平行四边形．
理由如下：
连接，交于点O
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
综上所述，添加的条件可以是②或③或④．
故答案为：②（或③，或④）
3．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．

(1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可；
（2）由，得，再证明得，进而即可得到结论．
【详解】（1）或（填写一个答案即可），
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：或（填写一个答案即可）
（2）如图，连接，，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
题型6数图形中平行四边形个数
1．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（ ）
A．8个 B．9个 C．7个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
根据平行四边形的判定与性质分析判断即可．
【详解】解：如图，设与交于点，
∵在中，分别是各边中点，
∴，
∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形，
故选：B．
2．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________．
【答案】4
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是平行四边形；
则图中平行四边形有个，
故答案为：．
3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为．
(1)作出经平移后所得的图形．
(2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【答案】(1)图见解析；
(2)，，，，，．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，．
【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键．
题型7.求与已知三点构成平行四边形的点的个数
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个．
【详解】解：如图所示：
观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4），
∴点D的坐标不可能是（-3，2）.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题．
2．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______．
【答案】或或
【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可．
【详解】解：设点D的坐标为，
当、为平行四边形对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得，
点坐标为；
当、为对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得，
点坐标为；
当、为对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
，
解得，
点坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
3．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为．
(1)的长为 ；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长；
（2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可；
（3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可．
【详解】（1）解：点坐标为，点坐标为，
的长为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，，
，，
，
是直角三角形；
（3）解：如图所示，
由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
题型8.与三角形中位线有关的求解问题
1．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴．
2．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________．
【答案】2
【分析】先连接交于点，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵在平行四边形中，，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴．
3．如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论；
（2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是的中位线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵是的中位线，
∴．
题型9.三角形中位线的实际应用
1．如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】标记各个顶点，由题意可得，是的中位线，根据中位线的性质求解即可．
【详解】解：如图，标记各个顶点，
由题意可得，为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，D选项符合．
2．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______．
【答案】24
【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果.
【详解】解：由题意，是的中位线，，
∴.
3．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案．
课题 测量人工湖的长度
测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小
方案一 测量数据：， ，
续表
方案二 测量数据：，，
方案三 测量数据：，，
(1)方案一：，，
是线段的中点，是线段的中点，
是的_____．
，
_____．
(2)方案一求得长度的依据是__________．
(3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度．
【答案】(1)中位线，160
(2)三角形的中位线定理
(3)，过程见解析
【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键；
（1）根据已知思路写出需要填补的空缺；
（2）根据方案一的思路判断依据；
（3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长．
【详解】（1）解：，，
是线段的中点，是线段的中点，
是的中位线．
，
160．
（2）解：三角形的中位线定理
（3）解：选择方案二：，
，
．
或选择方案三：，，
为直角三角形．
，
，
．
题型10.平行四边形性质与判定综合应用
1．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
．
∴，即，
平分交于点，
．
2．如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______．
【答案】
【分析】先利用等腰三角形三线合一得到、，设，结合用勾股定理列方程求出，再由得，最后根据对角线垂直的四边形面积公式算出．
【详解】解：∵，是中点，
∴，且，
设，
∵，，
则，
在中，由勾股定理：代入得：，
展开化简得，
解得：，即
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是对角线互相垂直的平行四边形，
∴．
3．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在，当的值为时；与互相平分
(3)2或8
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
（2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可．
（3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答
【详解】（1）解： 四边形是平行四边形，
，
，
，
当点在线段延长线上时，
（2）存在，理由如下：
如图1，连接、，
与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
当t的值为时；与互相平分；
（3）分两种情况：
①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，解得：；
②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，解得：；
综上所述，t的值为2或8．
题型11.全等三角形与平行四边形综合
1．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可．
【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形；
B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；
C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
2．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
【答案】．
【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．
3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明）
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接．
题型12.平行四边形性质和判定综合证明
1．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且．
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接；
乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接；
丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接．
上述三名同学的作法一定正确的是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
【答案】A
【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
分别按照甲，乙，丙三名同学的方法作图，然后根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】解：甲：如图，由题可知，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
，
即甲同学符合要求；
乙：如图，由题可知，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
即乙同学符合要求；
丙：如图，存在两个交点，此时四边形不是平行四边形，故丙同学不符合要求．
2．如图，在中，．若，则的度数是_____．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴ ，
∵
∴
即
∵
∴
∵且
∴ 四边形是平行四边形
∴
∵
∴ ．
故答案为：．
3．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
题型13.平行四边形的动点问题
1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解
【详解】解：如图，设与相交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵为边上一动点，
∴当时，的值最小，此时的值最小，如图
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
2．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
又∵，
∴的对边为，即，
∴，
∴，
解得或．
3．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．
(1)求的长度（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，四边形是平行四边形；
(3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)为
(3)点在线段的垂直平分线上．见解析
【分析】（1）根据平行四边形得，再根据“角边角”证明，可得 ，进而得出答案；
（2）当时，四边形是平行四边形，可得，求出解即可；
（3）作直线，垂足为，与交于，根据勾股定理求出，再根据，求出，可得，进而求出，当时，，然后根据可得点是的中点，则此题可解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
．
，
．
，
，
；
（2）解：，
当时，四边形是平行四边形，
即，解得，
当为时，四边形是平行四边形；
（3）解：结论：点在线段的垂直平分线上．
理由：如图，过点作直线，垂足为，与交于，
在中，，
，
．
，
，
，
，
，
．
当时，，
，即点是的中点，
点在线段的垂直平分线上．
题型14.平行四边形的折叠问题
1．对进行下列操作：
操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合；
操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为．
对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（）
A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半
C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大
【答案】B
【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半．
【详解】解：设的面积为S．
∵是的中位线，
∴，且，点E、F分别是、的中点，
∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半．
∴．
∴ ．
由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同，
∴ ．
又∵ 落在上，与重合，
∴ 操作1中阴影部分面积．
∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为，
∴垂直平分．
又∵，
∴，且平分，
∴是的中位线，
∴ ，．
由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同，
∴ ．
∴ 操作2中阴影部分面积：
∵ ，故选项A不正确，不符合题意，
∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半．
综上所述：只有选项B正确，符合题意．
2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______．
【答案】
6
【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得．
【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，
，，
，
，
，
，
周长为 ，
即 ．
3．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．

(1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度．
【问题解决】
(2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案；
（2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论；
（3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）解：由折叠可知：，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
如图所示，延长交于点，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，
∴，
∴，
∴，
∴．
分层精练
一、单选题
1．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
无法根据已知条件得到，
所以正确的是①②④⑤．
2．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂线段最短，即可得出结果.
【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离，
该线段即为点到直线的垂线段，
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，
该距离应为中的最小值，
，
，
直线与直线之间的距离是.
3．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在四边形中，
∴当时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，故A符合题意．
当时，四边形可能是等腰梯形，故B不符合题意．
当或时，无法证明，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意．
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
5．如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质求解即可；
【详解】解：因为平行四边形，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
二、填空题
6．如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理与等腰三角形的判定，灵活运用三角形中位线的性质和平行线、角平分线的性质推导等腰三角形是解题的关键．根据三角形中位线定理可得，，；再结合角平分线的定义与平行线的内错角相等，可推出，进而得到，最后通过线段差求出的长度．
【详解】解：是的中位线，
，，，
，
又平分，
，
，
，
．
故答案为：．
7．图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板长．托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长．若，点到底座的距离是___________．（结果保留根号）
【答案】
【分析】先过点C作，过点A作交的延长线于点W， 则点到的距离等于的长度．为等腰直角三角形，为含30度角的直角三角形，根据即可求解．
【详解】解：先过点C作，过点A作交的延长线于点W，
，，
，
点到的距离等于的长度．
，
．
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
，，
，
，
，
点到底座的距离是．
8．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
取中点F，连接，
，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
连接，如图：
∵点，分别为，的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值最小．
若，
则，
∴，
∴．
故答案为：，．
9．如图，在四边形中，，点E，F分别是，的中点，且有，则_________．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，过点E分别作，的平行线，，分别交于点G，H，则可得四边形、均为平行四边形．由平行四边形的性质可得，，证明，从而可得，，再由三角形内角和定理证明出为直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：过点E分别作，的平行线，，分别交于点G，H，
则可得四边形、均为平行四边形．
，．
点E，F分别为中点，
，．
，即．
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
为直角三角形．
，
故答案为：．
10．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）．
【答案】①②
【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，,．
①，
∴，
∴．
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形．
故①正确；
②∵，
∴，
，
∴，
∴．
同理可得：
∵，
四边形是平行四边形．
故②正确；
③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形，
故③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
11．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点．
(1)，求平行四边形其他各个内角的度数．
(2)若，周长为，求各边的长；
(3)求证：；
(4)若，求的面积．
【答案】(1)；；
(2)
(3)见解析
(4)48
【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质求解即可．
（2）根据题意，再结合即可得答案；
（3）证明即可；
（4）根据勾股定理，求得，结合的面积等于求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
又，
∴，
故平行四边形的各边长为：；
（3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴．
（4）解：∵四边形是平行四边形， ，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
12．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为．
(1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程：
证明：∵沿翻折至，
∴，，
∵在平行四边形中，，
∴_______，
∴____________，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴_____________，
∴，
∵，
∴____________，
∴；
(2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长；
(3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】（1）先根据翻折的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，接下来结合，可得，然后根据“等边对等角”得，进而得出最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案；
（2）先延长与交于点M，根据平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而得，再设，可得，然后根据“角角边”证明，可得，最后结合得出方程，求出解即可；
（3）当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，可得，即可得出，再分两种情况讨论：当点在下方时，交于点O，然后根据直角三角形的性质及勾股定理求出，接下来求出，最后根据点P刚好落在的中点上得出答案；当点在上方时，直线交于点O，结合直角三角形的性质求出，再求出可得答案．
【详解】（1）证明：∵沿着翻折至，
∴．
在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴．
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∴；
（2）解：如图所示；延长与交于点M，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
∵折叠得到，
∴，
∴，
∴，
设，
∴．
∵
∴．
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵．
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
当时，，
当点在下方时，交于点O，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴．
∵点P刚好落在的中点上，
∴；
当点在上方时，直线交于点O，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P刚好落在的中点上，
∴，
所以的长为或．
13．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
14．如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒，过点D作于点F，连接．
(1)用t的代数式表示： ； ；
(2)t为何值时，为直角三角形，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当或，为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由题意得，，可证明，，则；
（2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当或，为直角三角形，理由如下：
如图所示：当时，则
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
解得；
如图所示，当时，
∵，
∴，
由（1）可得
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述：当或，为直角三角形．
15．探究解题
(1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，；
，，
又
____________
D是中点
且
∴四边形______是平行四边形；
______；______
(2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______；
(3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想．
【答案】(1)；；；；
(2)平行；
(3)见详解
【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半；
（2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半；
（3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明．
【详解】（1）证明：，
，，
又，
，
，
D是中点，
且，
∴四边形是平行四边形，
，．
（2）平行；，证明过程见（3）详解，
（3）证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图
，
，
，
，
，
．专题04平行四边形、三角形中位线期末复习讲义
题型梳理归纳
题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.求平行线间的距离
题型3.利用平行线间距离解决问题 题型4.判断能否构成平行四边形
题型5.添一条件成为平行四边形 题型6.数图形中平行四边形个数
题型7.求与已知三点构成平行四边形的点的个数 题型8.与三角形中位线有关的求解问题
题型9.三角形中位线的实际应用 题型10.平行四边形性质与判定综合应用
题型11.全等三角形与平行四边形综合 题型12.平行四边形性质和判定综合证明
题型13.平行四边形的动点问题 题型14.平行四边形的折叠与旋转问题
题型15.分层精练15道题
重点知识梳理
【知识点一、平行四边形的性质】
定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，记作 ABCD。
三大核心性质：
边的性质：对边平行且相等.即AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC。
角的性质：对角相等，邻角互补
（3）对角线的性质：对角线互相平分，即AC、BD交于点O，则OA=OC，OB=OD）。
3. 拓展性质与关键概念
（1）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。
（2）面积特性：过对称中心的任意直线，均能将平行四边形分为面积相等的两部分。
（3）平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线间的距离；
平行线间的距离处处相等，平行四边形的高即为对应平行线间的距离。
【知识点二、平行四边形的判定】
1.五大判定定理（按边、角、对角线分类）
（1）定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD,AD∥BC）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD,AD=BC）
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD,AB=CD）
（4）角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(∠A=∠C，∠B=∠D)
（5）对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（OA=OC,OB=OD）
2.★用表格表示如下：
【知识点三、三角形的中位线】
1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
★关键区分：中位线≠中线，中线是连接顶点与对边中点的线段。
2.中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
若D、E分别为△ABC的AB、AC中点，则DE∥BC，且DE=BC。如下图：
3.核心应用与拓展
（1）直接计算：已知三角形一边，可求对应中位线长度；已知中位线，可反推对应边长。
（2）证明应用：证明线段平行、倍分关系，或通过中位线构造平行四边形解决问题。
（3）拓展结论：三角形三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的
核心题型精讲
题型1.利用平行四边形的性质求解
1．如图，在中，，，，则的周长是（ ）
A．21 B．22 C．25 D．32
2．中，与的平分线交于点P，，，则________．
3．如图，在中，，．
(1)求和的度数．
(2)当时，求的面积．
题型2.求平行线间的距离
1．如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，已知直线，，，则的高是______．
3．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求：
(1)小路，，的长；
(2)计算出绿地的面积（含小路）；
(3)，之间的距离．
题型3.利用平行线间距离解决问题
1．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”）
3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中借助网格格点的连线完成作图．
(1)在图1中，在上画一点E，使平分的面积；
(2)在图2中，在上画一点F，使平分的面积；
(3)在图3中，F是上的格点，在上画一点D使得的面积和的面积相等．
题型4.判断能否构成平行四边形
1．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________．
3．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形．
题型5.添一条件成为平行四边形
1．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（ ）
A．B． C． D．
2．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）．
3．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．

(1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
题型6.数图形中平行四边形个数
1．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（ ）
A．8个 B．9个 C．7个 D．5个
2．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________．
3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为．
(1)作出经平移后所得的图形．
(2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
题型7.求与已知三点构成平行四边形的点的个数
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______．
3．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为．
(1)的长为 ；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ．
题型8.与三角形中位线有关的求解问题
1．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
2．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________．
3．如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
题型9.三角形中位线的实际应用
1．如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______．
3．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案．
课题 测量人工湖的长度
测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小
方案一 测量数据：， ，
续表
方案二 测量数据：，，
方案三 测量数据：，，
(1)方案一：，，
是线段的中点，是线段的中点，
是的_____．
，
_____．
(2)方案一求得长度的依据是__________．
(3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度．
题型10.平行四边形性质与判定综合应用
1．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______．
3．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值．
题型11.全等三角形与平行四边形综合
1．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
2．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
题型12.平行四边形性质和判定综合证明
1．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且．
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接；
乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接；
丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接．
上述三名同学的作法一定正确的是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
2．如图，在中，．若，则的度数是_____．
3．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
题型13.平行四边形的动点问题
1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
3．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．
(1)求的长度（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，四边形是平行四边形；
(3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．
题型14.平行四边形的折叠问题
1．对进行下列操作：
操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合；
操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为．
对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（）
A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半
C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大
2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______．
3．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．

(1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度．
【问题解决】
(2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长．
分层精练
一、单选题
1．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
5．如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ．
7．图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板长．托板固定在支撑板顶端点处，可绕点旋转，支撑板可绕点转动．支撑板长．若，点到底座的距离是___________．（结果保留根号）
8．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______．
9．如图，在四边形中，，点E，F分别是，的中点，且有，则_________．
10．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）．
三、解答题
11．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点．
(1)，求平行四边形其他各个内角的度数．
(2)若，周长为，求各边的长；
(3)求证：；
(4)若，求的面积．
12．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为．
(1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程：
证明：∵沿翻折至，
∴，，
∵在平行四边形中，，
∴_______，
∴____________，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴_____________，
∴，
∵，
∴____________，
∴；
(2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长；
(3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长．
13．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
14．如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒，过点D作于点F，连接．
(1)用t的代数式表示： ； ；
(2)t为何值时，为直角三角形，请说明理由．
15．探究解题
(1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，；
，，
又
____________
D是中点
且
∴四边形______是平行四边形；
______；______
(2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______；
(3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想．
试卷第1页，共3页

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