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第五章 分式与分式方程 北师大版(2024)
5.2 分式的运算
一、教学目标
1.经历类比分数乘除运算法则探究分式乘除运算法则的过程，理解并掌握分式的乘除运算法则，能运用法则进行简单的分式乘除运算.
2.能熟练进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算，掌握因式分解在分式乘除中的应用，规范运算步骤，将结果化为最简分式.
3.能运用分式乘除运算解决简单的实际问题，体会分式运算的实际价值，提升代数运算能力与数学应用意识.
二、教学重点及难点
重点：掌握分式的乘除运算法则，能熟练进行分式乘除运算，将结果化为最简分式.
难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算中，因式分解的正确运用、公因式的准确约分，以及实际问题中分式模型的建立与运算.
三、教学过程
【探究新知】
探究：分式的乘除法法则.
教师提问：我们已经学习了分数的乘除法，谁能完整说出分数的乘法和除法法则？请举例说明.
【学生活动】学生独立回忆分数乘除法则，用文字语言完整表述，并举出具体例子验证；同桌之间互相补充、纠错.
学生回答：
分数乘法：两个分数相乘，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，
例如；
分数除法：除以一个分数等于乘这个分数的倒数，再按照分数乘法计算，
例如.
教师提问：类比分数的运算，你认为分式能进行哪些运算？两个分式应该如何相乘、如何相除？和同伴交流你的猜想.
【师生活动】学生结合分数乘除法则进行类比猜想，独立思考分式的运算规律；小组内展开讨论，验证猜想的合理性，教师引导学生对比分数与分式的结构，提炼共性特征.
教师讲解分式的乘除法法则：
分式乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
分式除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
这一法则可以用式子表示为：，.
【课堂互动】
教师提问：分式的乘除混合运算应该遵循怎样的运算顺序？和我们之前学过的有理数乘除混合运算顺序有什么联系？运算时需要注意哪些问题？
教师点拨：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算.
【学生活动】学生结合有理数乘除混合运算的旧知，独立思考后小组交流，得出结论：
分式乘除是同级运算，应按照从左到右的顺序计算；有括号时先算括号内的；运算时要先把除法转化为乘法，再约分，结果化为最简分式.
教师拓展：
分式的乘法法则可以推广到多个分式相乘，如
，
注意：当分式与整式相乘除时，可把整式看作分母是 1 的分式，如
，.
【探究新知】
探究：分式的乘方.
教师：计算.
学生回答：.
教师提问：根据乘方的意义与分式的乘法法则计算下列式子：
______，______，______，
你能归纳出分式乘方的法则吗？用文字语言和符号语言分别表示出来.
【学生活动】学生先根据乘方的意义，把分式的乘方展开成多个相同分式相乘的形式，再通过分子、分母分别相乘的方法计算结果.
答案预设：，，.
教师讲解分式的乘方法则：分式的乘方：分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方.
用式子表示为：(n 是正整数).
教师点拨：注意在进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数.
设计意图：从学生已掌握的乘方意义出发，通过具体指数的计算，引导学生自主发现分式乘方的规律，让学生在动手计算、小组交流中完成知识的自主建构，培养学生的观察、归纳和逻辑推理能力，渗透从特殊到一般的数学思想.
【典型例题】
例1. 计算：
例2.计算：
设计意图：通过分层递进的分式乘除运算例题，帮助学生熟练掌握分式乘除运算法则，规范运算步骤，强化因式分解与约分的综合运用，培养学生严谨的运算习惯与代数运算能力，强化分式运算的基础.
【课堂互动】
教师提问：购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好. 假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d，已知球的体积公式为 (其中 R 为球的半径)，那么
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(2) 你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴进行交流.
【师生活动】学生根据球的体积公式，分别表示出整个西瓜的体积和西瓜瓤的体积，列出体积比的分式，再通过分式运算化简；小组内讨论半径R对比值的影响，分析得出结论.
教师适时进行引导.
答案预设：
(1)设西瓜的半径为 R，西瓜瓤的体积：，整个西瓜的体积：.
.
(2)由 (1) 的结论可知，当西瓜皮的厚度 d 不变时，R 越大，的值越大，
即西瓜瓤占整个西瓜的比例越大，所以买大西瓜合算.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式的乘除法法则：
分式乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
分式除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
这一法则可以用式子表示为：，．
2.分式的乘方法则：
分式的乘方：分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方.
用式子表示为：(n 是正整数)．

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