资源简介

第五章 分式与分式方程 北师大版(2024)
5.1 分式及其基本性质
一、教学目标
1.经历从实际问题中抽象出分式的过程，理解分式的概念，能准确区分分式与整式.
2.理解分式有意义、无意义以及分式值为零的条件，能熟练判断分式有意义的取值范围，会求解分式值为零的字母取值.
3.能根据实际情境列分式，体会分式作为表示数量关系的代数式的意义，发展符号意识，提升代数分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：理解分式的概念，掌握分式有意义的条件，能准确判断分式、区分分式与整式.
难点：准确理解并区分分式有无意义与值为零的条件，能灵活解决相关综合问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：分式的概念.
教师提问：2019 年 12 月 30 日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口市的旅程时间. 京张高速铁路正线全长 174 km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的 2 倍.
设乙列车的平均行驶速度为 x km/h，请回答下列问题：
(1) 乙列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？
(2) 甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？
【学生活动】学生独立思考，根据“时间=路程÷速度”列式，同桌互相对照答案.
答案预设：
(1)；(2).
教师提问：(1) 李叔叔计划用 x 元购买一批单价为 a 元/kg 的苹果，由于购买量大，现每千克便宜了 b 元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果？
(2) 在 2022 年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播. 据统计，这项赛事前 a 天日均收看人数为 m 万，后 b 天日均收看人数为 n 万，那么这 (a＋b) 天该赛事的日均收看人数为多少万？
【学生活动】学生独立分析数量关系，列出代数式；小组内交流列式依据，分享思考过程，全班汇报最终结果.
教师点拨：，.
答案预设：
(1)；(2).
教师提问：上面问题中出现了代数式 ，，，，它们有什么共同特征？
它们与整式有什么不同？与同伴进行交流.
【师生活动】学生以小组为单位展开讨论，对比整式、分数的结构特征，自主归纳共性；教师巡视引导，完善学生的表述，最终提炼出分式的核心特征.
学生1：都不是整式．
学生2：与分数的形式相同，都是的形式．
教师：那这些式子与分数有什么不同点呢？
学生回答：分数的分子分母都是整数，上述式子的分子分母都是整式，并且分母中含有字母.
教师总结分式的概念：一般地，用 A，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成的形式．如果 B 中含有字母，那么称为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．
对于任意一个分式，分母都不能为零.
设计意图：由实际问题抽象出分式，让学生在观察、对比、归纳中自主建构概念，体会从具体到抽象的数学思想，清晰区分分式与整式.
教师拓展：
1.分式是不同于整式的另一类式子，两类式子的区别是分母是否含有字母．
2.分式的分子 A 可以含有字母，也可以不含字母，分母 B 中必须含有字母．
3.由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．
【探究新知】
探究：分式的实际意义.
教师提问：你能赋予分式，一些实际意义吗？与同伴进行交流.
【师生活动】学生结合行程、工程、价格等情境独立思考举例，在小组内互相交流、丰富例子，推选代表进行全班展示；教师倾听学生举例，及时肯定合理情境，引导学生体会分式表示数量关系的一般性.
答案预设：
：甲在 a 小时内行驶了 b 千米，速度为千米/小时；
甲在 a 小时内完成 b 件工作，效率为件/小时.
：甲速度a千米/小时，乙速度b千米/小时，甲追上乙(相距1千米)需小时 (a＞b).
【典型例题】
例1.（1）当 时，分别求分式的值；
（2）当 取什么值时，分式有意义？
教师点拨：求分式的值，可以把a的每个值代入计算.
解：（1）当 时，；
当 时，；
当 时，.
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
由分母 ，得 .
所以，当时，分式有意义.
【课堂互动】
教师提问：我们在计算分式的值时，有没有什么需要特别注意的地方？如果分母为 0，会出现什么问题？
【学生活动】学生结合例题计算过程独立思考，小组内展开讨论，结合分数分母不能为 0 的旧知，类比推理分式的相关条件；小组代表发言，分享自己的推理过程与结论，全班共同完善、修正.
教师总结分式有无意义的条件：
分式中，当分母 B≠0 时，分式有意义.
当分母 B＝0 时，分式无意义.
教师点拨：分式有、无意义，只与分式中分母的值是否为零有关，而与分子的值是否为零无关.
设计意图：本环节以例题计算为切入点，通过递进式问题引导学生自主探究分式有无意义的条件. 结合分数分母不为 0 的旧知进行类比推理，让学生在独立思考、小组讨论中自主建构新知，深刻理解“分式有无意义仅与分母有关，与分子无关”的核心结论，既强化了知识间的内在联系，又培养了学生的类比推理、逻辑思考与合作交流能力.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式的概念：一般地，用 A，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成 的形式．如果 B 中含有字母，那么称为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．
2.分式有无意义的条件：
分式中，当分母 B≠0 时，分式有意义．当分母 B＝0 时，分式无意义．

展开更多......

收起↑