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【人教版】小学六年级下数学奥数：第10讲：空间想象力综合训练（上）
【课程导言】
空间想象力是小学几何学习的重难点。本讲将通过正方体展开图、立体切割、拼接组合等经典题型，帮助同学们建立三维视角，掌握“立体转平面，平面构立体”的核心思维。
一、 核心知识点梳理
本讲主要涵盖以下六大核心考点：
序号 知识模块 核心技巧与方法
1 正方体展开图 掌握“对面”与“邻面”的快速判断法则（如“Z”字形两端、间隔排列等）。
2 质数长方体 利用长、宽、高均为质数的特性，结合面积和进行因数分解（质数拆分）。
3 切割与表面积 理解“截去”操作对表面积的影响（通常减少两个面或改变接触面）。
4 拼接组合体 掌握拼接处“重合面”数量的计算，理解表面积减少量与体积不变性的关系。
5 无盖容器制作 掌握“剪角折盒”模型，明确底面长宽与剪去小正方形边长的关系。
6 内切立体 理解正方体内切圆柱（或圆）时，直径与棱长的相等关系。
二、 经典例题精讲
【例题 1】正方体的折叠与对面判断
题目：将硬纸片沿虚线折叠围成一个正方体，请问这个正方体 2 号面的对面是几号面？
【解析】
思路：利用正方体展开图的“对面”规律。在常见的“1-3-2”型展开图中，中间一行三个面，下边两个面，利用“Z”字形两端的面互为对面。
结论：根据图形结构分析，2号面与6号面不相邻且处于相对位置。
答案：6号面。
【例题 2】质数长方体的体积求解
题目：一个长方体，正面与上面的面积之和为 209，已知长、宽、高均为质数，求这个长方体的体积。
【解析】
设未知数：设长方体的长、宽、高分别为 （均为质数）。
列方程：正面面积 = ，上面面积 = 。
质数拆分：将 209 分解质因数： 。
若 ，则 。寻找两个质数和为19： 。
若 ，则 。寻找两个质数和为11：无解（因为 2+9 不成立，9非质数；3+8不成立...）。
确定三边：故三边为 。
计算体积： 。
【答案】 ：374
【例题 3】立体切割与百分比
题目：一个棱长为 5 厘米的正方体，在左上方截去一个长、宽、高分别为 5cm、3cm、2cm 的小长方体，求原正方体表面积减少的百分比。
【解析】
原表面积： 平方厘米。
截去分析：截去的小长方体位于“角”上（左上方），会暴露出新的面。
减少的面积： 4个外表面（前、侧2、上）。
增加的面积：前，上.
两者合起来，表面积少了两个3乘2的侧面积。
答：降幅为 8%。
【答案】 ：8%
三、 拓展例题精讲
【拓展例题 1】拼接组合体的体积
题目：三个完全相同的正方体按图示粘接组合，表面积比原来总和减少 16 平方厘米，求组合后立体图形的体积。
【解析】
分析拼接：3个正方体排成一排拼接，会有 2 处接触面，每接触一次减少 2 个面的面积（共减少 4 个面）。
计算单面面积：减少的总面积为 16 平方厘米。
求棱长：正方形面积为 4，则棱长 厘米。
求体积：单个体积 = 。总体积 = 。
【答案】 ：24 立方厘米
【拓展例题 2】无盖长方体容器
题目：从长 13cm、宽 9cm 的长方形硬纸板四角，各剪掉边长为 2cm 的正方形，再沿虚线折成无盖长方体容器，求容器的容积。
【解析】
确定底面尺寸：
新长方体的高 = 剪去的正方形边长 = 2 cm。
新长方体的长 = 原长 - 2 × 高 = cm。
新长方体的宽 = 原宽 - 2 × 高 = cm。
计算容积：
【答案】 ：90 立方厘米
【拓展例题 3】内切圆柱与正方体
题目：正方体纸盒内部恰好放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（圆柱底面直径、高都等于正方体棱长），取 ，求正方体纸盒的容积。
【解析】
设棱长：设正方体棱长为 。
圆柱参数：圆柱底面直径 = ，半径 ；圆柱高 。
列体积公式：
代入数值：
结论： 即为正方体的容积。
【答案】 ：800 立方厘米
四、 基础练习
1.正方体展开图折叠后，判断 2 号面的对面是几号面。
2.长方体正面与上面面积和为 209，长宽高都是质数，求体积。
3.棱长 5cm 正方体截去小长方体，求表面积减少的百分比。
五、拓展练习
1.三个相同正方体拼接，表面积减少 16 平方厘米，求组合体积。
2.长 13cm、宽 9cm 长方形纸板四角剪去 2cm 正方形，折无盖长方体求容积。
3.正方体内切圆柱体积 628 立方厘米，求正方体容积。
六、基础练习参考答案
答案：5 号面
解析：依据正方体展开图对面规律直接判断。
答案：374
解析：，质数拆分只有 ，长宽高为 11、17、2，体积 。
答案：8%
解析：原表面积 ，减少面积 ，降幅 。
七、拓展练习参考答案
答案：24 立方厘米
解析：拼接减少 4 个面，单面积 ，棱长 2cm，体积 。
答案：90 立方厘米
解析：折后长 9cm、宽 5cm、高 2cm，容积 。
答案：800 立方厘米
解析：由圆柱体积公式推得 ，即正方体容积 800 立方厘米。
【教学总结】
本讲重点在于“动态”思维：折叠、切割、拼接。同学们在复习时，务必牢记：
①切与拼：只改变表面积，不改变总体积（除非挖去）。
②内切问题：找直径与棱长的等量关系。
③展开图：多用排除法和相对位置法。

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