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第四章 因式分解 北师大版(2024)
4.3 公式法
一、教学目标
1.经历观察平方差、完全平方类多项式特征的过程，理解公式法因式分解的意义，能准确识别适合运用平方差公式、完全平方公式因式分解的多项式，规范完成因式分解.
2.掌握提公因式法与公式法的综合运用技巧，能先提取公因式再运用公式法分解因式，会处理首项系数为负及含整体因式的综合变形问题.
3.体会“互逆”“化归”及“整体代换”的数学思想，提升代数推理与综合变形能力.
二、教学重点及难点
重点：掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能熟练运用公式法进行因式分解.
难点：准确识别公式的结构特征，尤其是含负系数、整体因式的平方差、完全平方式；综合运用两种方法解决复杂变形问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：平方差公式法.
教师提问：请计算下列三组整式乘法，观察结果的形式，说说它们有什么共同特征？
(1) (x+5)(x－5)；(2) (3x+y)(3x－y)；(3) (3m+2n)(3m－2n).
【师生活动】学生独立快速计算，将结果写在练习本上；小组内交流对比三个结果，讨论共同特点；教师巡视课堂，引导学生聚焦“平方差”结构.
答案预设：
(1) x2－25；(2) 9x2－y2；(3) 9m2－4n2.
只有两项，符号一正一负，结果都是两个单项式（或数）的平方差.
教师追问：现在请把这三个结果逆过来变形，写成两个整式乘积的形式，你能完成吗？完成后观察左右两边的结构关系.
x2－25=___________；9x2－y2=___________；9m2－4n2=___________.
【学生活动】学生根据整式乘法逆运算独立填空，同桌之间相互核对答案、讲解思路；在小组内总结“两项式、平方差、可分解”的规律，用自己的语言描述变形依据.
教师：观察这些式子有什么共同特征？
学生回答：左边：是两数的平方差的形式；右边：是两数之和与两数之差的积.
教师总结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
a2－b2=(a+b)(a－b).
注意：“两个数”指的是 a，b，而不是 a2，b2，其中 a，b 可以是单项式，也可以是多项式. 如 (x＋2)2－4y2＝(x＋2)2－(2y)2＝(x＋2＋2y)(x＋2－2y).
设计意图：从正向计算到逆向变形，让学生自主探究、归纳平方差公式的结构特征，自然理解概念，深度渗透互逆思想，让学生理解公式来源而非死记硬背.
【典型例题】
例1. 把下列各式因式分解：
（1）； （2）.
解：（1）；
（2）.
例2. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）.
解：（1）
；
教师点拨：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
（2）
.
设计意图：通过因式分解例题，引导学生熟练掌握平方差公式的结构特征与直接应用，强化“先提公因式、再用公式、分解彻底”的解题规范.
【课堂互动】
教师提问：如图，在一张边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 当 a＝3.6，b＝0.8 时，剩余部分的面积是多少？
【学生活动】学生独立分析图形，用两种方法表示剩余面积并建立平方差等式；代入数值时选择因式分解形式简便计算，同桌核对结果并交流简便算法的优势.
答案预设：
根据题意，得剩余部分的面积为 (a2－4b2) cm2.
当 a＝3.6，b＝0.8 时，
a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8)
＝5.2×2
＝10.4.
即此时面积为 10.4 cm2.
【探究新知】
探究：完全平方公式法.
教师提问：先完成下列整式乘法计算，再根据结果进行逆变形填空，对比两组式子，观察完全平方式的结构特征.
1.计算下列各式：
(1) (x＋2)2＝___________，
(2) (2x＋1)2＝__________，
(3) (x－3)2＝____________，
(4) (3x－1)2＝____________.
2.根据上边算式填空：
(1) x2＋4x＋4＝____________，
(2) 4x2＋4x＋1＝____________，
(3) x2－6x＋9＝____________，
(4) 9x2－6x＋1＝_____________.
【师生活动】学生独立完成计算与逆变形两组练习；小组内对比讨论，归纳完全平方式的特征；教师引导学生区分和与差的形式，完善公式结构.
答案预设：
1.(1) x2＋4x＋4；(2) 4x2＋4x＋1；(3) x2－6x＋9；(4) 9x2－6x＋1.
2.(1) (x＋2)2；(2) (2x＋1)2；(3) (x－3)2；(4) (3x－1)2.
教师总结：两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
设计意图：通过互逆变形练习，让学生自主建构完全平方公式，直观理解公式结构，降低识别难度，强化“因式分解与整式乘法互逆”的核心认知.
【典型例题】
例3. 把下列各式因式分解：
（1）；（2）.
解：（1）；
（2）
例4. 把下列各式因式分解：
（1）；（2）.
解：（1）；
（2）
设计意图：依托由浅入深的因式分解题型，帮助学生精准把握完全平方公式的结构特点，熟练掌握公式法的直接应用与综合运用；强化提公因式、符号处理、分解彻底等关键步骤，培养学生规范运算、严谨推理的代数素养.
教师拓展：因式分解的一般步骤：
一提——看有无公因式，若有，则提取公因式；
二套——考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
（注：若不能直接套用公式，则可经适当变形后整理成能用公式法的形式，再进行因式分解）
三检查——检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.完全平方公式法：两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
3.公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.

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