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第六章 平行四边形 北师大版(2024)
6.1 平行四边形的性质
一、教学目标
1.经历从生活实例中抽象平行四边形的过程，理解平行四边形的定义及相关概念（对角线、表示方法），能准确识别平行四边形，建立对图形的直观认知.
2.通过观察、猜想、验证、证明的探究过程，能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，理解平行四边形是中心对称图形，发展几何直观与逻辑推理能力.
3.能运用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，规范书写推理过程，体会“将四边形问题转化为三角形问题”的几何转化思想，提升分析和解决几何问题的能力.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形的定义；平行四边形对边相等、对角相等的性质.
难点：通过添加对角线辅助线，将平行四边形问题转化为三角形全等问题，证明平行四边形的性质；规范几何证明的推理过程.
三、教学过程
【探究新知】
探究：平行四边形的概念.
教师提问：同学们，观察图片中的伸缩门、木地板纹理、楼梯扶手，这些图形中都含有一种特殊的四边形——平行四边形．请大家仔细观察，它们有哪些共同的特点？
【师生活动】学生独立观察图形，小组内交流讨论；尝试用自己的语言描述图形特征，如“对边看起来是平行的”“形状像‘斜着的长方形’”．
教师引导学生聚焦核心特征，结合学生发言，引出本节课的主题：平行四边形及其性质．
教师讲解平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形 ABCD记作“ ABCD”.
教师提问：结合图形，说说平行四边形的对边、对角、对角线分别指什么？
【学生活动】学生结合图形，区分对边、对角、邻边、邻角，理解对角线的定义，并与同伴进行交流.
教师讲解：
1.平行四边形中相对的边称为对边，相对的角称为对角；
2.平行四边形中相邻的边称为邻边，相邻的角称为邻角；
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线，如上图：AC、BD.
设计意图：由直观到抽象，建构平行四边形的定义与相关概念，规范几何术语与表示方法，为后续性质探究奠定基础.
【探究新知】
探究：平行四边形的性质.
教师提问：1.平行四边形是轴对称图形吗？如果不是，它是中心对称图形吗？
2.如果平行四边形是中心对称图形，你能找到它的对称中心吗？如何验证你的结论？
3.你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴进行交流.
【学生活动】学生小组合作动手操作：将平行四边形纸片绕对角线交点旋转 180°，观察旋转后的图形与原图形是否重合；小组交流讨论，得出结论：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
教师讲解：平行四边形ABCD 绕中心 O 旋转 180°后与自身重合，
所以我们说平行四边形ABCD 是中心对称图形，两条对角线的交点 O 是它的对称中心.
教师提问：由平行四边形的中心对称性，你猜想平行四边形的对边有什么数量关系？
学生猜想：平行四边形的对边相等.
教师：我们写出这个证明条件如下.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形；
求证：AB＝CD，BC＝DA.
证明两条线段相等，我们常用什么方法？在平行四边形中，如何构造出可以使用这种方法的图形？
【师生活动】学生思考证明思路，尝试连接对角线 AC，构造三角形，利用三角形全等证明线段相等；小组内交流证明过程，口述证明步骤．教师引导学生规范书写证明过程．
答案预设：
证明：如图，连接 AC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥DA (平行四边形的定义).
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB＝CD，BC＝DA.
教师提问：由平行四边形的对边平行，我们还能得到对角之间的什么关系？
学生猜想：平行四边形的对角相等.
教师提问：请你证明平行四边形ABCD的对角相等（即∠A＝∠C，∠B＝∠D）.
除了利用平行线的性质，还有其他证明方法吗？
【师生活动】学生独立思考证明思路，尝试利用平行线的性质（同角的补角相等）或三角形全等证明对角相等；小组内交流不同的证明方法，对比哪种方法更简洁．教师引导学生完成证明过程并板书．
答案预设：
证明：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥DA (平行四边形的定义).
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.
∴∠A＝∠C.
同理可得：∠B＝∠D.
教师讲解：
定理：平行四边形的对边相等；
定理：平行四边形的对角相等．
设计意图：经历“猜想—转化—证明”的几何探究过程，体会转化思想，掌握用三角形全等证明线段相等的方法，规范推理格式，提升逻辑推理能力.
【典型例题】
例1. 已知：如图，在 ABCD中，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且AE＝CF.
求证：BE＝DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD (平行四边形的对边相等)，
AB∥CD (平行四边形的定义).
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF (SAS)
∴BE＝DF.
设计意图：通过典型例题，让学生运用平行四边形的性质进行推理证明，巩固所学知识，提升几何应用能力和规范表达能力，同时培养学生的发散思维.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
3.平行四边形的性质：
定理 平行四边形的对边相等；
定理 平行四边形的对角相等．

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