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第六章 平行四边形 北师大版(2024)
6.1 平行四边形的性质
一、教学目标
1.经历“观察—猜想—证明”的探究过程，理解平行四边形对角线互相平分的性质，能通过三角形全等完成性质的证明，深化对几何证明逻辑的理解.
2.能结合平行四边形的定义、对边相等／对角相等的性质，灵活运用对角线互相平分的性质进行线段计算与几何推理，规范书写证明过程，提升逻辑推理能力.
3.了解梯形、等腰梯形的定义，通过动手操作与交流，探索并掌握等腰梯形的性质，体会几何图形的对称性，感受平行四边形与梯形的联系与区别.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形对角线互相平分；等腰梯形的定义与性质.
难点：通过添加辅助线，结合三角形全等证明平行四边形对角线的性质；灵活运用平行四边形的多种性质解决综合几何问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：同学们，上一节课我们已经学行四边形的定义和部分性质，谁能从对称性、边、角三个方面帮大家回顾一下？
【学生活动】独立思考，举手回答，互相补充完善.
教师根据学生的回答，在黑板上梳理：
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
边的性质：两组对边分别平行，且对边相等.
角的性质：对角相等，邻角互补.
教师追问：我们已经研究了平行四边形的边和角，那它的对角线之间又存在怎样的数量关系呢？这就是我们这节课要重点探究的问题.
设计意图：通过复习旧知，搭建新旧知识的桥梁，自然引出本节课的探究主题，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
【探究新知】
探究：平行四边形对角线的性质.
教师提问：在上一课的“思考 交流”中，我们发现平行四边形的对角线似乎有特殊的关系.
请大家观察图形，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，你能猜想一下OA与OC、OB 与 OD 的数量关系吗？
【学生活动】观察图形，大胆猜想：OA=OC，OB=OD，即对角线互相平分.
教师追问：这个猜想一定正确吗？我们该如何证明它？
已知：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，
求证：OA=OC，OB=OD.
【师生活动】学生独立思考证明思路，小组内交流讨论，尝试利用三角形全等进行证明.
教师引导学生分析证明思路，并带领学生共同完成规范的证明过程.
答案预设：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD (平行四边形的对边相等)，
AB∥CD (平行四边形的定义).
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA＝OC，OB＝OD.
教师提问：还有其他的证明方法吗？
【学生活动】尝试用△AOD ≌ △COB（AAS）来证明，从不同角度巩固推理思路.
答案预设：
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝CB (平行四边形的对边相等)，
AD∥CB (平行四边形的定义).
∴∠OAD＝∠OCB. (两直线平行，内错角相等)
又∵∠AOD＝∠COB，(对顶角相等)
∴△AOD ≌△COB(AAS).
∴OA＝OC，OB＝OD.
教师讲解：通过严谨的证明，我们得到了平行四边形的又一条重要性质：
定理：平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
教师拓展：我们还可以从这个结论中延伸出一些重要的推论：
1.如上图，对角线将平行四边形分成了四个小三角形，
其中△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
2.△AOB，△AOD，△COD，△COB的面积都相等，都等于平行四边形面积的1/4.
设计意图：遵循“猜想—证明—归纳—拓展”的几何探究路径，让学生亲历知识的形成过程，培养严谨的逻辑推理能力，并通过拓展结论深化对平行四边形结构的理解.
【典型例题】
例2. 已知：如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线与 AD，BC 分别相交于点 E，F.
求证：OE＝OF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DO＝BO (平行四边形的对角线互相平分)，
AD∥BC (平行四边形的定义).
∴∠ODE＝∠OBF，
∵∠DOE＝∠BOF.
∴△DOE≌△BOF.
∴OE＝OF.
设计意图：通过典型例题，让学生综合运用平行四边形的多种性质进行推理证明，巩固所学知识，提升几何应用能力和规范表达能力.
【探究新知】
探究：梯形与等腰梯形.
教师提问：同学们，我们刚刚研究了“两组对边分别平行”的四边形——平行四边形. 那小学学过的梯形，它和平行四边形有什么不同？请大家画一画梯形，并尝试给它下一个定义.
【学生活动】动手画图，对比平行四边形，归纳梯形的定义.
教师讲解：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
平行的两边叫作梯形的底（较短的为上底，较长的为下底）.
不平行的两边叫作梯形的腰.
两腰相等的梯形叫作等腰梯形.
教师提问：等腰梯形是轴对称图形吗？请大家拿出准备好的等腰梯形纸片，折一折，看看有什么发现？
【学生活动】动手折叠等腰梯形纸片，观察得出结论：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过上下底中点的直线.
教师总结等腰梯形的性质：
等腰梯形是轴对称图形；等腰梯形在同一底上的两个角相等.
设计意图：通过动手操作，建立梯形与等腰梯形的概念，感受图形的对称性，完善四边形的知识体系.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
2.梯形：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形．
两腰相等的梯形叫作等腰梯形．
3.等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形；等腰梯形在同一底上的两个角相等.

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