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第六章 平行四边形 北师大版(2024)
6.2 平行四边形的判定
一、教学目标
1.经历从平行四边形的性质逆推、猜想并证明判定方法的过程，理解平行四边形两种判定定理的推导逻辑，掌握其证明方法.
2.能规范运用上述两种判定定理，结合平行四边形的定义，完成平行四边形的判定证明，解决相关几何问题，提升逻辑推理与规范表达能力.
3.体会“性质与判定的互逆关系”，通过观察、猜想、证明的探究过程，提升几何问题的分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：熟练运用平行四边形的两种判定定理；利用判定定理判定四边形为平行四边形.
难点：理解判定定理证明思路，通过添加对角线辅助线将四边形问题转化为三角形全等问题；灵活选择合适的判定方法解决综合问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：上节课我们学行四边形的性质，请从边、角、对角线、对称性四个方面回顾.【学生活动】独立思考，口答补充.
教师板书梳理：
边：平行四边形的对边平行，对边相等；
角：平行四边形的对角相等，邻角互补；
对角线：平行四边形的对角线互相平分；
对称性：平行四边形是中心对称图形.
【探究新知】
探究：从角的关系判定平行四边形.
教师提问：如图，要画出一个以线段 AB、AD 为邻边的平行四边形 ABCD，你有哪些方法？
【学生活动】独立思考，尝试画图并与同伴交流想法.
教师：根据平行四边形的定义我们知道，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
教师提问：请大家独立思考，可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
我们一起来验证一下. 请看这个命题：
已知：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 大家能尝试证明这个命题吗？
【学生活动】学生独立思考证明思路，尝试在练习本上写出证明过程. 小组内交流讨论，互相启发，完善证明步骤.
教师点拨：可以想一想利用“四边形内角和为 360°”以及“同旁内角互补，两直线平行”的知识点.
答案预设：
证明：∵∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，
又∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2∠A＋2∠B＝360°，
即∠A＋∠B＝180°.
∴AD∥BC. 同理得AB∥CD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
教师讲解：
定义拓展判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
【探究新知】
探究：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
教师提问：取四根细木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？
说说你的理由，并与同伴交流.
学生猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
教师：那么这个猜想正确吗？请尝试证明.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
【师生活动】学生小组讨论，得出思路：连接对角线 BD，构造△ABD 和△CDB，通过证明三角形全等，得到对应角相等，进而推出对边平行，教师带领学生规范书写证明过程．
答案预设：
证明：如图，连接 BD.
在△ABD 和 △CDB 中，
∴△ABD ≌△CDB (SSS).
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）.
教师讲解：
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
【探究新知】
探究：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
教师提问：我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
(1) 取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？
(2) 如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它称为平行四边形？与同伴交流.
学生猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
教师：那么这个猜想正确吗？请尝试证明.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
教师点拨：表示平行且相等，读作“平行且等于”.
【师生活动】学生独立思考，尝试连接对角线 AC，利用 SAS 证明△ABC≌△CDA，从而得到 BC＝DA，再用判定定理证明. 教师引导学生完成证明过程.
答案预设：
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA (SAS).
∴BC＝DA.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
教师提问：你还有其他证法吗？与同伴进行交流.
【学生活动】学生小组思考，由△ABC≌△CDA，得出对应角∠ACB=∠CAD；再利用“内错角相等，两直线平行”的定理，推导出 AD∥BC，从而判定平行四边形.
答案预设：
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA (SAS).
∴∠ACB＝∠CAD. ∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形. (平行四边形的定义)
教师归纳：
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ABCD（或ADBC），
∴四边形ABCD是平行四边形.
设计意图：类比对边的探究方法，让学生自主完成“一组对边平行且相等”判定定理的证明，巩固三角形全等的证明方法，同时体会解决问题方法的多样性.
【课堂互动】
教师提问：
（1）“一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？”请举反例说明.
（2）“两组边相等的四边形一定是平行四边形吗？”
【学生活动】小组讨论，画图举反例（如等腰梯形），理解判定条件的严谨性.
教师强调：判定定理的条件必须是同一组对边平行且相等，“一组对边平行，另一组对边相等” 不能判定平行四边形.
答案预设：（1）不一定，如左图．（2）不一定，如右图．
【典型例题】
例1. 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 CB 的中点.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB (平行四边形的对边相等)，
AD∥CB (平行四边形的定义).
∵E，F 分别是 AD 和 CB 的中点，
∴，.
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形 BFDE 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
设计意图：通过典型例题，让学生综合运用平行四边形的性质与判定定理进行推理证明，巩固所学知识，提升几何应用能力和规范表达能力.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.从角的关系判定平行四边形：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
2.判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3.判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

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