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第四章 因式分解 北师大版(2024)
4.2 提公因式法
一、教学目标
1.经历从具体多项式中寻找公因式的探索过程，理解提公因式法的意义，掌握公因式的定义，能准确确定多项式的公因式.
2.能规范运用提公因式法完成多项式的因式分解，同时会处理首项系数为负的多项式分解问题.
3.体会＂化归＂与＂整体代换＂的数学思想，提升代数变形与推理能力，为后续学习更复杂的因式分解方法奠定基础.
二、教学重点及难点
重点：理解公因式的概念，能确定多项式的公因式；掌握提公因式法进行因式分解的步骤.
难点：准确识别多项式中复杂的公因式（如整体形式的公因式），灵活运用提公因式法解决综合变形问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：公因式与提公因式法.
教师：观察多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？我们通过下面的图片进行探究.
提问：如上图，两个长和宽分别是 b 和 a、b 和 c 的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？
学生1：看成一个大的长方形，由长方形的面积公式得b(a＋c)；
学生2：可以看成两个小长方形面积相加，得到ab＋bc.
教师：很好！既然这两个式子表示同一个图形的面积，那我们就可以写成ab＋bc＝b(a＋c)，
观察等式的左边，你发现了什么？
学生回答：等式左边ab+bc的两项都含有相同的因式b.
教师讲解公因式的概念：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
提问：例如，3x2＋x 和 mb2＋nb－b 的公因式分别是多少呢？
学生回答：多项式3x2＋x中，两项都含有因式x，所以它的公因式是x.
多项式mb2＋nb－b中，三项都含有因式b，所以它的公因式是b.
设计意图：通过长方形面积的两种表示方法，直观建立多项式和差与整式乘积的等量关系，让学生在数形结合中感知“相同因式”的存在，自然引出公因式概念；再通过具体实例引导学生能识别公因式，为后续学习提公因式法做好铺垫，感受知识的迁移与联系.
【课堂互动】
教师提问：（1）多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
【学生活动】学生独立观察系数、字母、指数，小组讨论确定公因式.
答案预设：
公因式是2x2，先找系数最大公约数 2，再找相同字母x的最低次幂x2.
教师点拨：确定公因式的三步法：
定系数：取各项系数的最大公因数；
定字母：取各项都含有的相同字母；
定指数：取相同字母的最低次幂.
（2）你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同伴进行交流.
教师点拨：把公因式“2x2”提出来试试！
【学生活动】学生先在练习本上尝试将公因式2x2从多项式的每一项中提取出来，把每一项拆成公因式与另一个因式相乘的形式；随后同桌之间互相检查拆分是否正确，小组内进行交流.
答案预设：
2x2＋6x3＝2x21＋2x23x＝2x2(1＋3x).
教师总结提公因式法的概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法.
注：提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.
【典型例题】
把下列各式因式分解：
(1) 2mn＋4m2； (2) 7p2－21p； (3) 8a3b2－12ab3c＋ab； (4) －24x3＋12x2－28x.
解：(1) 2mn＋4m2＝2mn＋2m2m＝2m(n＋2m)；
(2) 7p2－21p＝7pp－7p3＝7p(p－3)；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab8a2b－ab12b2c＋ab1
＝ab(8a2b－12b2c＋1)；
(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)
＝－(4x6x2－4x3x＋4x7)
＝－4x(6x2－3x＋7).
教师点拨：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数. 在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
例2. 把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3)； (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
教师点拨：把“x－3”“x＋1”都看作一个整体进行因式分解.
解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)a＋(x－3)2b＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)1＋y(x＋1)y(x＋1)
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
例3 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
教师点拨：“x－y”与“y－x”互为相反数，“m－n”与“n－m”互为相反数.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)；
(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝6(m－n)2(m－n－2).
注意：当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是 1 或 －1，而不是 0.
设计意图：通过梯度递进的例题组，全方位巩固提公因式法的应用. 从基础多项式入手，夯实确定公因式的方法与首项负号的处理规范；逐步拓展至整体公因式与互为相反数型因式的识别与变形，渗透整体代换与化归的数学思想，引导学生从基础提取过渡到复杂变形，全面突破符号处理、整体识别等难点，形成规范的因式分解步骤与严谨的运算习惯.
教师拓展：提公因式法因式分解的注意事项：
1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；
2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；
3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开.
【课堂互动】
教师提问：如图，有三张不同型号的长方形卡片.
（1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？
（2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？
（3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？
【师生活动】学生先独立尝试拼长方形，小组内交流拼法；随后各组代表上台展示拼法，写出对应面积的两种表达式；最后结合拼图结果，归纳写出对应的因式分解式子，交流变形依据.
答案预设：
（1）能，选择卡片①和②，可以拼成一个长方形，长为 a＋b，宽为 n.
（2）能，拼成的长方形长为 a＋b，宽为 m＋n.
（3）an＋bn＝n(a＋b)，m(a＋b)＋an＋bn＝(m＋n)(a＋b).
设计意图：通过直观拼图操作，将抽象的多项式因式分解转化为具象的面积拼接，让学生在“形”的变化中感知“式的变形”；引导学生从面积和的等量关系中，自然写出因式分解的式子，进一步巩固提公因式法的本质.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法.

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