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第 26 章 二次函数
26.1 二次函数 = 的图象和性质
1、[2025 庆阳期中]对于抛物线 = 2，当 1 ≤ ≤ 2时， 的取值范围是（ ）
A.1 ≤ ≤ 4 B.0 < ≤ 4 C.0 ≤ ≤ 4 D.1 < < 4
答案：C
解析：∵二次函数 = 2中，1 > 0，∴抛物线开口向上。
∵抛物线的对称轴是 轴，∴当 > 0时， 随 的增大而增大；当 < 0时， 随 的增大而减小。
当 = 0时， 取得最小值，为 0；当 = 1时， = 1；当 = 2时， = 4。
∴当 1 ≤ ≤ 2时，0 ≤ ≤ 4。
2、[2025 湖州月考]在同一平面直角坐标系中，二次函数 = 2( ≠ 0)与一次函数 = +
的图象大致是（ ）
A B C D
答案：B
解析：
通解：当 > 0 时，函数 = 2的图象开口向上，函数 = + 的图象经过第一、第二、第
三象限，所以 A、D 错误，B 正确；
当 < 0 时，函数 = 2的图象开口向下，函数 = + 的图象经过第二、第三、第四象限，
所以 C 错误。
另解：A 项，由一次函数的增减性，知 < 0，由一次函数的图象与 轴的交点，知 > 0，故 A
项不符合题意；
B 项，由二次函数的图象，知 > 0，由一次函数的图象，知 > 0，故 B 项符合题意；
C 项，由二次函数的图象，知 < 0，由一次函数的图象，知 > 0，故 C 项不符合题意；
D 项，由二次函数的图象，知 > 0，由一次函数的图象，知 < 0，故 D 项不符合题意。
3、[2025 北京期中]已知点 ( 1,3)， (3,3)，若抛物线 = 2( ≠ 0)与线段 只有一个公
共点，则 的取值范围是（ ）
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第 26 章 二次函数
1 1 1
A.0 < ≤ B.0 < < 3 C. < < 3 D. ≤ < 33 3 3
答案：D
解析：∵抛物线 = 2的对称轴为 轴，顶点坐标为(0,0)，
∴当 < 0 时，二次函数 = 2有最大值 0，抛物线 = 2与线段 没有交点。
当 > 0 时，∵抛物线 = 2与线段 只有一个公共点，
1 1
∴当 = 1时， = < 3；当 = 3时， = 9 ≥ 3，解得 ≥ ≤ < 33，∴3 。
4、 [2025 吉林月考]如图，正方形的边长为 4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，
作出函数 = 2 2与 = 2 2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：D
解析：由二次函数 = 2 2和 = 2 2的图象关于 轴对称，可知阴影部分的面积是正方形面积
1
的一半，所以阴影部分的面积是 × 42 = 82 。
5、[2025 绍兴三模]已知点( 1, 1)，( 2, 2)为二次函数 = 2的图象上的两点（不为顶点），
则以下判断正确的是（ ）
A. 若 1 > 2，则 1 > 2 B. 若 1 < 2，则 1 < 2
C. 若 21 2 > 2，则 1 > 2 D. 若 1 < 22 2，则 1 < 2
答案：C
解析：∵在 = 2中，1 > 0，对称轴为 轴，
∴在 轴左侧， 随 的增大而减小；在 轴右侧， 随 的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越
远，对应的函数值越大。
A 项，当 1 > 2时， 1不一定大于 2，如当 1 = 1， 2 = 2时， 1 = 1， 2 = 4，此时 1 > 2，
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第 26 章 二次函数
但 1 < 2，故 A 项错误。
B 项，当 1 < 2时， 1不一定小于 2，如当 1 = 2， 2 = 1时， 1 = 4， 2 = 1，此时 1 < 2，
但 1 > 2，故 B 项错误。
C 项，当 21 2 > 2，即 1 2 > 2· 2 > 0时，有 1 < 2 < 0或 1 > 2 > 0。
当 1 < 2 < 0时， 1 > 2；当 1 > 2 > 0时， 1 > 2，所以当 1 2 > 22时， 1 > 2，故 C
项正确。
D 项，当 < 21 2 2时， 1不一定小于 2，如当 1 = 2， 2 = 1时， 1 = 4， 2 = 1，此时 1 2 = 2，
22 = 1， 2 < 1，但 1 > 2，故 D 项错误。
6、[2025 广安月考]如图，已知点 ( 2,4)在抛物线 = 2( ≠ 0)上，过点 且平行于 轴的
直线交抛物线于点 。
(1) 求 的值和点 的坐标；
(2) 若点 是抛物线上一点，当以点 ， ， 为顶点构成的△ 的面积为 2时，求点 的坐标。
答案：(1) = 1，点 的坐标为(2,4)；
(2) 点 的坐标为( 3, 3)、( 3, 3)、( 5, 5)或( 5, 5)。
解析：(1) 把点 ( 2,4)的坐标代入 = 2( ≠ 0)，得 4 = × ( 2)2，解得 = 1，
∴抛物线的解析式为 = 2，∴抛物线的对称轴为 轴。
∵ ∥ 轴，且点 在抛物线上，∴点 和点 关于抛物线的对称轴对称，即关于 轴对称， (2,4)。
1
(2)∵△ 的面积为 2， ∥ 轴，∴ △ = ·| 4| = 22 ，
1
∴ × 4 × | 4| = 22 ，解得
= 3或 = 5。
在 = 2中，当 = 3时， =± 3；当 = 5时， =± 5，
∴点 的坐标为( 3, 3)、( 3, 3)、( 5, 5)或( 5, 5)。
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第 26 章 二次函数
7、[2026 扬州期中]推理能力，在平面直角坐标系中，已知点 在 轴正半轴上。
(1) 如图 1，已知菱形 的顶点 ， ， 在二次函数 = 2的图象上，且 ⊥ 轴，求菱
形 的边长；
(2) 如图 2，已知正方形 的顶点 ， 在二次函数 = 2的图象上，点 ， 在 轴的同侧，
且点 在点 的左侧，设点 ， 的横坐标分别为 ， ，判断 是否为定值，并说明理由。
2 3
答案：(1) 菱形 的边长为 3 ；(2)
为定值。
解析：(1) 设 交 轴于点 ，菱形 的边长为 2 ，则 = = = = 2 。
∵ ⊥ 轴，∴ ∥ 轴。又∵ ∥ ，∴ ∥ 轴， ， 关于 轴对称，∴ = = 。
∴ = 2 2 = 3 ，把点 (2 , 2 + 3 )的坐标代入 = 2，得 2 + 3 = 4 2，
3 2 3
解得 = 或 = 03 （舍去），∴菱形
的边长为 3 。
(2)
为定值。理由如下：如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 。
∵点 ， 的横坐标分别为 ， ，且点 ， 在二次函数 = 2的图象上，
∴ ( , 2)， ( , 2)，∴ = ， = 2， = ， = 2。
∵四边形 是正方形，∴∠ = 90 ， = ，∴∠ = 90 ∠ = ∠ 。
∵∠ = ∠ = 90 ，∴△ ≌△ （一线三垂直全等模型），
∴ = = ， = = ，∴ = 2 2，∴ + = ( )( + )。
∵点 ， 在 轴的同侧，∴ + ≠ 0， = 1。
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26.2 二次函数 = + 的图象和性质
1、[2026新乡期中] 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 2与二次函数 = 2 +
的图象可能是（ ）
A B C D
答案：D
解析：∵二次函数 = 2 + 中，1 > 0，∴抛物线开口向上，排除选项 B。∵选项 A、C、D 中
抛物线与 轴的交点在 轴负半轴上，∴ < 0，∴ > 0。∵ 2 ≥ 0，∴一次函数 = + 2
的图象经过第一、第二、第三象限（当 = 0时，经过第一、第三象限），只有 D 项符合题意。
2、[2025孝感月考] 抛物线 = 2 + 3上有两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，若 1 < 2，则下列结论
正确的是（ ）
A. 0 ≤ 1 < 2 B. 2 < 1 ≤ 0
C. 2 < 1 ≤ 0或 0 ≤ 1 < 2 D. 以上都不对
答案：D
解析：∵抛物线 = 2 + 3上有两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，且 1 < 2，∴| 1| < | 2|（关键点拨：
抛物线的对称轴为 轴，且开口向上，∴点离对称轴越远，函数值越大），∴0 ≤ 1 < 2或 2 < 1 ≤
0或 0 < 1 < 2或 0 < 1 < 2。
1 1
3、如图，两条抛物线 1 = 2 + 1， = 2 12 2 2 ，与分别经过点
( 2,0)，(2,0)且平行于
轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为____
答案：8
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解析：如图，
1 1
过抛物线 2 = 2 1的顶点(0, 1)2 作平行于
轴的直线与抛物线 1 = 2 + 12 围成封闭
1
图形，过点(0, 3)作平行于 轴的直线与抛物线 2 = 2 12 围成封闭图形，则这两个封闭
图形的面积相等，故所求阴影部分的面积为 4 × 2 = 8。
4、[2025苏州期中] 如图，将二次函数 = 2 4位于 轴下方的图象沿 轴翻折，得到一个新
函数的图象（图中的实线）。当新函数中函数值 随 的增大而增大时，自变量 的取值范围是
______________________
答案： 2 < < 0或 > 2
解析：如图，粗线表示 随 的增大而增大的图象，其对应的自变量的取值范围为 2 < < 0
或 > 2。
5、如图，抛物线 = 2 3和 = 2 + 3都经过 轴上的 ， 两点，两条抛物线的顶点分
别为 ， 。当四边形 的面积为 24 时，求 的值。
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第 26 章 二次函数
3
答案： = 16
解析：∵抛物线 = 2 3和 = 2 + 3的顶点分别为 ， ，∴ (0, 3)， (0,3)， = 6。
1 1 1
∵ 四边形 = △ + △ = · + · = · = 24，∴ = 8，∴ ( 4,0)2 2 2 。
3
将点 ( 4,0)的坐标代入 = 2 3，得 16 3 = 0，解得 = 16。
6、 [2026 广州期中]几何直观，如图，已知顶点为 (0, 3)的抛物线 = 2 + ( ≠ 0)与
轴交于 ， 两点，直线 = + 过顶点 和点 。
(1) 求 的值。
答案： = 3
解析：将 (0, 3)的坐标代入 = + ，得 = 3。
(2) 求函数 = 2 + ( ≠ 0)的解析式。
1
答案： = 2 33
解析：将 = 0代入 = 3，得 = 3， (3,0)。
将(0, 3)，(3,0) = 3分别代入 = 2 + ，得 9 + = 0，
1 1
解得 = ， = 3，∴ = 2 33 3 。
(3) 抛物线上是否存在点 ，使得∠ = 15 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由。
答案：存在，点 的坐标为(3 3, 6)或( 3, 2)
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解析：存在，分以下两种情况：
①如图 1，若点 在 上方，设 交 轴于点 ，则∠ = 45 15 = 30 ，∴ = 2 。
在 △ 中，由勾股定理，得 2 + 2 = 2，即 2 + 9 = (2 )2，解得 = 3，
( 3, 0)。
设直线 的解析式为 = 3，将 ( 3, 0)的坐标代入，得 3 3 = 0，解得 = 3，
∴直线 的解析式为 = 3 3。
= 3 3 = 0 = 3 3
联立抛物线的解析式与直线 的解析式得 1 2 ，解得
1 2
= 3 1 = 3
（舍去）， ，
2 = 63
∴ (3 3, 6)。
②如图 2，若点 在 下方，设直线 交 轴于点 ，则∠ = 45 + 15 = 60 ，
∴∠ = 30 ，∴ = 2 = 6，∴ = 2 2 = 62 32 = 3 3，∴ (3 3, 0)。
3
设直线 的解析式为 = 3，将 (3 3, 0)的坐标代入，得 3 3 3 = 0，解得 = 3 ，
3
∴直线 的解析式为 = 33 。
3
= 3
3 1 = 0 2 = 3联立抛物线的解析式与直线 的解析式得 ，解得 = 3（舍去）， ，1 2 1 2 = 2 = 3
3
∴ ( 3, 2)。
综上所述，点 的坐标是(3 3, 6)或( 3, 2)。
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26.3 二次函数 = ( ) 的图象和性质
1、一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 和二次函数 = ( + )2的图象
大致为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
通解：当 > 0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象过第一、第三象限，排除 D 项；
当 < 0 时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象过第二、第四象限，排除 A 项；
当 > 0， > 0 时，二次函数的图象的顶点在 轴负半轴上，一次函数的图象过第一、第二、
第三象限，排除 C 项。故选 B。
另解：A 项，由一次函数的图象，知 > 0， > 0，由二次函数的图象，知 < 0， < 0，故 A
项不符合题意；B 项，由一次函数的图象，知 < 0， > 0，由二次函数的图象，知 < 0， > 0，
故 B 项符合题意；C 项，由一次函数的图象，知 > 0， < 0，由二次函数的图象，知 > 0，
> 0，故 C 项不符合题意；D 项，由一次函数的图象，知 < 0， > 0，由二次函数的图象，
知 > 0， < 0，故 D 项不符合题意。
2、一题多解,若点 ( , )在抛物线 = 2( ≠ 0)上，则下列各点在抛物线 = ( + 1)2上的
是（ ）
A. ( , + 1) B. ( + 1, ) C. ( , 1) D. ( 1, )
答案：D
解析：
通解：由点 ( , )在抛物线 = 2( ≠ 0)上，可得 = 2。将选项中各点的坐标分别代入
= ( + 1)2验证，可知当 = 1时， = ( + 1)2 = ( 1+ 1)2 = 2 = ，即点
( 1, )在抛物线 = ( + 1)2上。
另解：易知将抛物线 = 2向左平移 1 个单位长度得到抛物线 = ( + 1)2，点 ( , )向
左平移 1 个单位长度后得到的点的坐标为( 1, )，∴点( 1, )在抛物线 = ( + 1)2
上。
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第 26 章 二次函数
1
3、已知二次函数 = ( h)2，当自变量 的值满足 1 ≤ ≤ 32 时，与其对应的函数值
的
最大值为 2，则常数 h的值为（ ）
A. 1 或 3 B. 1或 1 C. 3 或 5 D. 1或 5
答案：D
解析：
1
由 = ( h)22 ，得函数图象开口向下，对称轴为直线
= h。
若 h < 1，当 1 ≤ ≤ 3时， 随 的增大而减小。∵当自变量 的值满足 1 ≤ ≤ 3时，与其对
1
应的函数值 的最大值为 2，∴当 = 1时， = 2，即 (1 h)2 = 2，解得 h = 1或 h = 32
（舍去）。
若 1 ≤ h ≤ 3， 的最大值为 0，不符合题意。
若 h > 3，当 1 ≤ ≤ 3时， 随 的增大而增大。∵当自变量 的值满足 1 ≤ ≤ 3时，与其对
1
应的函数值 的最大值为 2，∴当 = 3 时， = 2，即 (3 h)2 = 22 ，解得
h = 1（舍去）
或 h = 5。综上，h的值为 1或 5。
4、[2026 凉州期中] 如图，已知二次函数 = ( + 2)2的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
在对称轴上存在一点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点 的坐
标为____________________。
答案：( 2,4)或( 2, 4)
解析：对于 = ( + 2)2，当 = 0 时， = 4；当 = 0时， = 2，∴ ( 2,0)， (0,4)。
抛物线 = ( + 2)2的对称轴是直线 = 2，∴点 的横坐标为 2。
由平行四边形的性质可得 = 。设 ( 2, )，分两种情况：
①当点 在点 的上方时， = 4；②当点 在点 的下方时， = 4。
综上，点 的坐标为( 2,4)或( 2, 4)。
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第 26 章 二次函数
5、一题多解 如图，抛物线 = ( + 1)2的顶点为 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 = 。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点 ( 3, )在该抛物线上，求△ 的面积。
答案：(1) 抛物线的解析式为 = ( + 1)2；(2) △ 的面积为 3。
解析：(1) 由题意，得 ( 1,0)，∴ = 1，将(0, 1)代入 = ( + 1)2，得 = 1，
∴抛物线的解析式为 = ( + 1)2。
(2) 通解：如图，过点 作 ⊥ 轴于点 。
将( 3, )代入 = ( + 1)2，得 = 4， ( 3, 4)。
由 (1) 知 = = 1， = 2。
1 1 1
△ = 梯形 △ △ = × (4 + 1) × 3 × 4 × 2 × 1 × 1 = 32 2 2 。
另解 1：如图，连接 。
由 (1) 知 = = 1，把( 3, )代入 = ( + 1)2，得 = 4，∴点 的坐标为( 3, 4)。
1 1 1
△ = △ + △ △ = × 1 × 4 + × 1 × 3 × 1 × 1 = 32 2 2 。
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第 26 章 二次函数
另解 2：如图，过点 作 轴的垂线，
交 于点 。将( 3, )代入 = ( + 1)2，得 = 4，∴ ( 3, 4)。
设直线 的解析式为 = + ，将点 (0, 1)， ( 3, 4)的坐标分别代入，
= 1 = 1
得 3 + = 4，解得 = 1，∴ = 1。令 = 1，则 = 2，∴ = 2，
1 1 1 1
∴ △ = △ + △ = × | 2
| + × | | = × 2 × 2 + × 2 × 1 = 32 2 2 。
6、[2026 广东实验月考]推理能力，如图，抛物线 = ( + 1)2的顶点为 ，过点 左侧抛物线
上一点 作 ⊥ 轴于点 ，且 = 2 。
(1) 求 的长；
(2) 若 是抛物线上的一点，且∠ = 45 ，求点 的坐标。
答案：
(1) = 2；
2 25
(2) 点 的坐标是( , 9 )3 。
解析：
(1) 设 = ，∵抛物线 = ( + 1)2的顶点 的坐标是( 1,0)，∴点 的坐标是( 1 , 0)。
当 = 1 时， = ( 1 + 1)2 = 2，∴ = 2。
∵ = 2 ，∴ 2 = 2 ，解得 = 2或 = 0（不符合题意，舍去），
∴ = 2。
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第 26 章 二次函数
(2) 如图，
过点 作 ⊥ ，延长 ，交 于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
∴∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 。
∵ ⊥ 轴，∴∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ，∴∠ = ∠ 。
∵∠ = 45 ，∠ = 90 ，∴△ 是等腰直角三角形，∴ = 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，由 (1) 可知 ( 1,0)， ( 3,4)，∴ = = 4。
=
∵ ( 1,0)，∴ = 1，∴ = = 3。
由 (1) 可知 = 2，∴ = 2，∴ (3,2)。
设直线 的解析式是 = + ( ≠ 0)，
把点 的坐标( 3,4)和点 的坐标(3,2)分别代入 = + ( ≠ 0)，
3 + = 4 1
得 =
1
3 + = 2 ，解得 3，∴直线 的解析式是 = + 3 = 3 3
。
1 2
= + 3 1 = = 3
联立抛物线与直线 的解析式得 3 ，解得 325，
2
= 4（与点 重合，舍去），
= ( + 1)2 1 =
2
9
2 25
∴点 的坐标是( ,3 9
)。
解题思路：由∠ = 45 可联想到作等腰直角三角形，由 ⊥ 轴，联想到一线三垂直全等
模型，故可作 ⊥ ，延长 ，交 于点 ，易知 = ，作 ⊥ 轴于点 ，求出点 ，
的坐标，进而求出直线 的解析式，联立直线 和抛物线的解析式求出点 的坐标。
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第 26 章 二次函数
26.4 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
1、[2026鄞州月考] 已知点 ( , 2)， ( , 2)， ( , 7) 都在抛物线 = ( 1)2 2 上，点
在点 左侧，下列选项正确的是 ( )
A. 若 < 0，则 < < B. 若 < 0，则 < <
C. 若 > 0，则 < < D. 若 > 0，则 < <
答案：D
解析：抛物线 = ( 1)2 2 的对称轴为直线 = 1，开口向上；当 > 1 时， 随 的
增大而增大，当 < 1 时， 随 的增大而减小。
点 ( , 2)、 ( , 2) 纵坐标相同，关于对称轴 = 1 对称，且 在 左侧。
若 < 0，则 < < ，A、B 错误；若 > 0，则 < < ，C 错误，D 正确。
2、[2026杨浦期末]如果将抛物线 = ( + 6)2 + 8 向右平移 10 个单位长度，那么此抛物
线与 轴的交点 在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形？( )
A. 持续向上 B. 持续向下 C. 先向上再向下 D. 先向下再向上
答案：C
解析：原抛物线与 轴交点 (0, 28)。
设向右平移 个单位长度（0 < ≤ 10），解析式为 = ( + 6 )2 + 8，与 轴交点
纵坐标为 (6 )2 + 8。当 = 6 时，纵坐标取得最大值 8，因此点 先向上再向下。
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第 26 章 二次函数
3、一题多解，点 ( 1, 1)， ( , 2) 都在二次函数 = ( 1)2 + 的图象上。若 1 < 2，
则 的取值范围为 ( )
3 3
A. > 2 B. > C. < 1 D. < < 22 2
答案：B
解析： 1 = ( 1 1)2 + = ( 2)2 + ， 2 = ( 1)2 + 。
3
由 1 < 2 得：( 2)2 + < ( 1)2 + ，( 2)2 ( 1)2 < 0， 2 + 3 < 0， > 2
4、[2026广州期末] 长春南湖公园的石拱桥，桥中间的大拱截面 可视为抛物线的一部
分，水面宽 = 8m，桥拱顶点 到水面的距离是 4m。
(1) 按如图所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式。
(2) 打捞船距 点 1m 处，环卫工人身高 1.71m，船底与水面齐平，判断他直立时头顶是
否会触碰到大桥拱。
答案
1
(1) 抛物线解析式为 = ( 4)2 + 4(0 ≤ ≤ 8)4
(2) 环卫工人直立时头顶不会触碰到大桥拱。
解析：(1) 由题意得顶点 (4,4)，设解析式为 = ( 4)2 + 4，
1
将 (0,0) 代入：0 = (0 4)2 + 4，解得 = 4，
1
故解析式为 = ( 4)2 + 4(0 ≤ ≤ 8)4 。
1
(2) 把 = 1 代入解析式： = (1 4)2 + 4 = 1.75，1.75 > 1.714 ，所以头顶不会触碰桥拱。
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第 26 章 二次函数
1
5、[2025厦门期中]在平面直角坐标系中，设二次函数 = ( 2 )2 + 3 2 （
是实数）。
(1) 当 = 2 时，若点 (8, ) 在该函数的图象上，求 的值。
1
(2) 小明说该二次函数图象的顶点在直线 = + 32 上，你认为他的说法对吗？为什么？
13
(3) 已知点 ( + 1, )、 (4 5+ , ) 都在该二次函数的图象上，求证： ≤ 8 。
答案
(1) = 7
(2) 小明的说法正确
13
(3) 证明成立， ≤ 8
1
解析：(1) 当 = 2 时，函数为 = ( 4)2 + 12 ，
1
将 (8, ) 代入： = × (8 4)2 + 1 = 72
1
(2) 函数顶点为 (2 , 3 )，将 = 2 代入直线 = + 32 ：
1
= × 2 + 3 = 3
2 ，与顶点纵坐标一致，故顶点在该直线上。
(3) 点 、 纵坐标相同，关于对称轴对称，
( + 1) + (4 5+ )
对称轴为 = = + 2 22 ，
又抛物线对称轴为 = 2 ，故 + 2 2 = 2 ，得 = 2，即 (3, )，
1 3 5 2 13
代入解析式： = (3 2 )2 + 3 = 2 2 + 5 = 2 +2 2 4 8
5 5 13
因为 ( 4 )
2 ≥ 0，所以 2( 24 ) ≤ 0，故 ≤ 8 。
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第 26 章 二次函数
26.5 二次函数 = + + 的图象和性质
1、[2026 长沙月考]已知一次函数 = 的图象如图所示，则二次函数 = 2 + +
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题中一次函数的图象可知， > 0， < 0。因为二次函数的解析式为 = 2 + + ，
所以抛物线的开口向上，对称轴在 轴右侧，且与 轴交于负半轴，显然只有 C 选项符合题意。
2、[2026天津月考]如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 = 2 2 + 6 上运动，过点
作 ⊥ 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：C
解析： = 2 2 + 6 = ( 1)2 + 5，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(1,5)。当 = 1时，
取最小值，为 5，∴ 的最小值为 5。∵ ， 是矩形 的对角线，∴ = ， 的最
小值为 5。
3、二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的部分图象如图所示，图象过点( 1,0)，对称轴为直线
= 2，给出下列结论：(1) < 0；(2)4 + > 2 ；(3)3 2 > 0；
1 7
(4) 若点 ( 2, 1)， ( , 2)， ( , 2 2 3
)在该函数图象上，则 1 < 3 < 2；
(5)4 + 2 ≥ ( + )( 为常数)。其中正确的结论有（ ）
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
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第 26 章 二次函数
答案：C
解析：

(1) ∵二次函数的图象开口向下，∴ < 0。∵二次函数图象的对称轴为直线 = 2 = 2，∴ > 0。
∵图象与 轴交于正半轴，∴ > 0，∴ < 0。结论正确
(2) 由题图可知，当 = 2时， < 0，即 4 2 + < 0，∴4 + < 2 。结论错误

(3) 由对称轴 = 2得 2 = 2，即 = 4 。∵图象过点( 1,0)，∴ + = 0，∴ = =
4 = 5 ，∴3 2 = 3 2 × ( 5 ) = 13 > 0。结论正确
(4) ∵二次函数的图象开口向下，∴图象上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。∵|
1 5 7 3
2 2| = 4，| 2| = ，| 2| = ，∴ 1 < 2 < 2 2 2 2 3。结论错误
(5) 当 = 2时，二次函数取最大值，为 4 + 2 + ，∴4 + 2 + ≥ 2 + + ，∴4 +
2 ≥ ( + )( 为常数)。结论正确
综上，正确的结论有 (1)(3)(5)，共 3 个。

4、[2025福建中考]新考法，已知二次函数 = 2 2 + ( ≠ 0)的图象经过 ( , 1)2 ，
(3 , 2)两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 1 >
B. 无论实数 取什么值，都有 1 >
C. 可以找到一个实数 ，使得 2 < 0
D. 无论实数 取什么值，都有 2 < 0
答案：C
2
解析：二次函数 = 2 2 + ( ≠ 0)的图象开口向上，且对称轴为直线 = = 2 × 1 ，
顶点坐标为( , 2)。
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第 26 章 二次函数
2 3将 = 代入解析式，得 1 = ( ) 2 · + = 2， ≠ 02 2 2 4 时
1 < ，故 A 项、B 项错
误，不符合题意。
1 1 1
将 = 3 代入解析式，得 2 = (3 )2 2 ·3 + = 3 2 + = 3( + )2 6 12，当 = 6时，
1
2有最小值，为 > 0 > 012，当 时， 2 ，故 C 项符合题意，D 项不符合题意。
2
5、[2026榆树月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 与 轴交于点 (0,2)3 ，
与 轴交于 ( 3,0)， 两点（点 在点 的左侧），抛物线的顶点为 。
(1) 求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2) 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，若 = ，求点 的坐标。
答案：
2 4 8
(1) 抛物线解析式为 = 2 + 2，顶点 3 3 坐标为( 1, 3 )；
3 5
(2) 点 的坐标为( , )2 2 。
解析：
2
(1) 将点 (0,2)， ( 3,0)的坐标分别代入 = 2 + + ，得{ = 2 \ 6 3 + = 03 ，
4
解得{ = 3，
= 2
2 4
∴抛物线的解析式为 = 2 + 23 3 。
2 4 2 8 8
= 2 + 2 =
3 3 3 ( + 1
)2 +
3，∴点 ( 1, 3 )。
2 4 2 4
(2) 对于 = 2 + 2，令 = 0，则 2 + 2 = 0，解得 1 = 13 3 3 3 ， 2
= 3，∴点 (1,0)。
2 4
设点 ( , 0)，其中 3 ≤ ≤ 0，则点 ( , 2 3 3 + 2)。
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第 26 章 二次函数
2 4 3
∵ = ，∴ 2 + 2 = 1 3 3 ，解得 1
= 1（舍去）， 2 = 2，
3 5
∴点 ( , )2 2 。
6、[2025安徽中考]已知抛物线 = 2 + ( 为常数)的顶点横坐标比抛物线 = 2 + 2
的顶点横坐标大 1。
(1) 求 的值。
(2) 点 ( 1, 1)在抛物线 = 2 + 2 上，点 ( 1 + , 1 + h)在抛物线 = 2 + 上。
①若 h = 3 ，且 1 ≥ 0， > 0，求 h的值；
②若 1 = 1，求 h的最大值。
答案：
(1) = 4；
10
(2)①h = 3；②h的最大值为 3 。
解析：
2
(1) ∵ = 1，∴抛物线 = 2 + 2 2 × ( 1) 的顶点横坐标为
1。
∵抛物线 = 2 + ( 为常数)的顶点横坐标比抛物线 = 2 + 2 的顶点横坐标大 1，
∴抛物线 = 2 + ( 为常数)的顶点横坐标为 2，

∴ = 2 = 42 × ( 1) ，∴ 。
(2) 由 (1) 得 = 2 + = 2 + 4 ，
∵点 ( , )在抛物线 = 21 1 + 2 上，点 ( 1 + , 1 + h)在抛物线 = 2 + 4 上，
∴ 1 = 21 + 2 1， 1 + h = ( 1 + )2 + 4( 1 + )，
整理得 h = 2 2 1 + 2 1 + 4 。
①∵h = 3 ，∴3 = 2 2 1 + 2 1 + 4 ，整理得 ( + 2 1) = + 2 1，
∵ 1 ≥ 0， > 0，∴ = 1，∴h = 3。
4 10
②将 1 = 1代入 h = 2 2 + 2 + 4 ，整理得 h = 3 21 1 + 8 2 = 3( )2 +3 3 。
4 1 10
∵ 3 < 0，∴当 = =3，即 1 3时，
h取得最大值，为 3 。
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第 26 章 二次函数
26.6 二次函数与一元二次方程
1、一题多解，已知 > > 0，若关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为 1, 2( 1 < 2)，
关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为 3, 4( 3 < 4)，则下列结论正确的是 ( )
A. 3 < 1 < 2 < 4 B. 1 < 3 < 4 < 2
C. 1 < 2 < 3 < 4 D. 3 < 4 < 1 < 2
答案：B
解析：
关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为抛物线 = 2 + 2 3 与直线 = 的交点
的横坐标，关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为抛物线 = 2 + 2 3 与直线 =
的交点的横坐标。∵ > > 0，∴ 由函数图象可知， 1 < 3 < 4 < 2。
抛物线 = 2 + 2 3 是由抛物线 = 2 + 2 3 向下平移 个单位长度得到的，
抛物线 = 2 + 2 3 是由抛物线 = 2 + 2 3 向下平移 个单位长度得到的，因
为 > > 0，所以抛物线 = 2 + 2 3 向下平移的更多，故 1 < 3 < 4 < 2。
2、[2026 遵义期末]点 (3,2) 在抛物线 = ( 2)2 + ( ≠ 0) 上，则关于 的一元二
次方程 ( 3)2 + + 3 = 5 的解是 ( )
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第 26 章 二次函数
A. 1 = 0, 2 = 2 B. 1 = 2 = 3 C. 1 = 2, 2 = 4 D. 1 = 1, 2 = 5
答案：C
解析：∵ 点 (3,2) 在抛物线 = ( 2)2 + ( ≠ 0) 上，且其对称轴为直线 = 2，∴ 点
(1,2) 也在这个抛物线上。
将抛物线 = ( 2)2 + ( ≠ 0) 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度所
得到的抛物线的解析式为 = ( 2 1)2 + 2，即为 = ( 3)2 + 2。
∴ 抛物线 = ( 3)2 + 2 经过点 (1 + 1,2 2)、(3 + 1,2 2)，即 (2,0)、(4,0)。
∴ 关于 的一元二次方程 ( 3)2 + 2 = 0 的两个解为 1 = 2, 2 = 4，即关于 的一
元二次方程 ( 3)2 + + 3 = 5 的解是 1 = 2, 2 = 4。
另解：
∵ 点 (3,2) 在抛物线 = ( 2)2 + ( ≠ 0) 上，
∴ (3 2)2 + = 2，∴ + = 2，∴ = 2 ，
∴ ( 3)2 + + 3 = ( 3)2 + 2 + 3 = 5，∴ ( 3)2 = 0，
∴ [( 3)2 1] = 0。∵ ≠ 0，∴ ( 3)2 1 = 0，解得 1 = 2, 2 = 4。
3、[2026交大月考]二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的自变量 与函数 的几组对应值
如下表：
… 2 1 2 …
… 0 …
则关于 的方程 2 + + = 的解为________。
答案： 1 = 2, 2 = 4
解析：对于 = 2 + + ，当 = 0 时， = ，∴ 抛物线过点 (0, )。
由题中表格数据可知抛物线过点 (2, )，∴ 抛物线的对称轴为直线 = 1。
∴ 点 ( 2, ) 与 (4, ) 关于抛物线的对称轴对称，∴ 关于 的方程 2 + + = 的
解为 1 = 2, 2 = 4。
4、易错题，已知函数 = 2 + 3 + 1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的
值为________。
4
答案：1 或 5
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第 26 章 二次函数
解析：当 = 0 时， = 1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意。
当 ≠ 0 时，∵ 函数 = 2 + 3 + 1 的图象与坐标轴恰有两个公共点：
① 若一个交点是原点，一个交点在 轴上，则 1 = 0，且 (3 )2 4 ( 1) > 0，
解得 = 1；
4
② 若与 、 轴各一个交点，则 (3 )2 4 ( 1) = 0，解得 = 0（舍去）或 = 5。
4
综上所述， 的值为 1 或 5。
5、 [2025玄武期中]把二次函数 = 2 + 4 + 的图象向上平移 1 个单位长度，再向右平
移 3 个单位长度，如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 应满足
的条件是________。
答案： > 3
解析： = 2 + 4 + = ( + 2)2 + 4，
则平移后的抛物线的解析式为 = ( + 2 3)2 + 4+ 1 = ( 1)2 + 2 = 2 2 +
1。
∵ 平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴ 平移后的抛物线与 轴没有交点，
∴ Δ = ( 2)2 4 × 1 × ( 1) < 0，即 4 4( 1) < 0，解得 > 3。
6、[2025临淄期中]已知二次函数 = 2 + 4 + 5 及一次函数 = + ，将该二次函数
在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，当直
线 = + 与新图象有 4 个交点时， 的取值范围是________。
29
答案： < < 14
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第 26 章 二次函数
解析：
当 = 0 时， 2 + 4 + 5 = 0，解得 1 = 1, 2 = 5，则点 ( 1,0)， (5,0)。
将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方部分的图象的解析式为 = ( +
1)( 5)( 1 ≤ ≤ 5)，即 = 2 4 5( 1 ≤ ≤ 5)。
当直线 = + 经过点 ( 1,0) 时，1 + = 0，解得 = 1；
当直线 = + 与抛物线 = 2 4 5( 1 ≤ ≤ 5) 有唯一一个公共点时，方程
2 4 5 = + 有两个相等的实数根，
29
整理得 2 3 5 = 0，∴ Δ = ( 3)2 4 × 1 × ( 5 ) = 0，解得 = 4 。
29
∴ 当直线 = + 与新图象有 4 个交点时， 的取值范围为 < < 14 。
7、[2026深圳期末]小明为了探究函数 : = 2 + 4| | 3 的性质，他想先画出它的图象，
然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题。
(1) 完成函数图象的作图，并完成填空。
① 列出 与 的几组对应值如下表：
… 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 …
… 8 3 0 1 0 3 0 1 0 8 …
表格中， =________；
② 结合上表，在如图所示的平面直角坐标系 中，画出当 > 0 时函数 的图象；
③ 观察图象，当 =时， 取最大值，为________________。
(2) 若关于 的方程 2 + 4| | 3 = 有 4 个实数根，则 的取值范围是________。
(3) 已知 ( , 1)、 ( + 1, 2) 两点在函数 的图象上，当 1 < 2 时，请直接写出 的
取值范围。
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第 26 章 二次函数
答案：(1)① 3； ③2 或 2；1
(2) 3 < < 1
(3) < 2.5 或 0.5 < < 1.5
解析：
(1)① 根据题中表格数据可知 与 的几组对应值关于直线 = 0 对称， = 4 与 =
4 对应的函数值相等，故 = 3；
③ 观察图象可得，当 = 2 或 = 2 时， 取最大值，为 1。
(2) ∵ 关于 的方程 2 + 4| | 3 = 有 4 个实数根，∴ 函数 = 2 + 4| | 3 的图
象与 = 的图象有 4 个交点，根据图象可得 3 < < 1。
(3) 根据函数图象，可得 的取值范围为 < 2.5 或 0.5 < < 1.5。
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第 26 章 二次函数
26.7 二次函数与面积最值问题
1、 [2026南开期末]如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 12mm， = 24mm。动点 从点
出发，以 2mm/s的速度沿边 向终点 运动；动点 从点 同时出发，以 4mm/s的速度沿边
向终点 运动。设出发的时间为 s。给出下列结论：
①当 = 2时， = ；
②当 1 ≤ ≤ 5时，△ 的最大面积为 36mm2；
1
③ 有两个不同的值满足△ 的面积为四边形 面积的2。
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
解析：由题意得： = 2 mm， = 4 mm，∴ = (12 2 )mm， = (24 4 )mm。
①当 = 2时， = 2 × 2 = 4mm， = 24 4 × 2 = 16mm，∴ ≠ ，结论①错误。
1 1
② △ = = (12 2 ) 4 = 4 2 + 24 = 4( 3)2 + 362 2 。
∵ 4 < 0， = 3在 1 ≤ ≤ 5范围内，∴当 = 3时， 取最大值 36mm2△ ，结论②正确。
1 1
③ △ = = × 12 × 24 = 144mm2， 2 2 四边形
= △ △ 。
1
设 = △ ，则 = (144 )，解得 = 48。∴ 4 2 + 24 = 48，即 2 6 + 12 = 02 。
Δ = ( 6)2 4 × 1 × 12 = 36 48 = 12 < 0，方程无实数解，结论③错误。
综上所述，正确结论个数为 1。
2、跨学科 物理，某校物理兴趣小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变阻器 的滑片从
一端滑到另一端，绘制出变阻器 消耗的电功率 随电流 变化关系的图象，如图所示，该图象
是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率 的最大值为_____W。
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第 26 章 二次函数
答案：220
解析：由抛物线过原点，设解析式为 = 2 + 。
16 + 4 = 0 = 55
由图象得抛物线过点(4,0)，(3,165)，∴ 9 + 3 = 165，解得 = 220。
∴ = 55 2 + 220 = 55( 2)2 + 220。∵ 55 < 0，∴当 = 2A时， 取得最大值 220W。
3、[2025龙湾期中]如图，在矩形 中， = 3， = 4，点 ， ， ， 分别在边 ， ，
， 上，且 = ， = = 2 ，设四边形 的面积为 ， 为 。
(1) 求 关于 的函数解析式及自变量 的取值范围；
(2) 求 的最小值。
23
答案：(1) = 4 2 10 + 12(0 ≤ ≤ 2)，(2) 的最小值为 4
解析：(1) ∵四边形 是矩形，∴ = = 3， = = 4，∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90 。
∵ = ，∴ = = ， = = 2 ，∴ = = 3 ， = = 4 2 。
四边形 = 矩形 △ △ △ △
1 1 1 1
= 3 × 4 × 2 (3 ) (4 2 ) × 2 (3 ) (4 2 )
2 2 2 2
= 12 3 + 2 2 + 2 3 + 2 2 + 2
= 4 2 10 + 12
{ 0 ≤ ≤ 3由 0 ≤ 2 ≤ 4，得 0 ≤ ≤ 2，∴ = 4
2 10 + 12(0 ≤ ≤ 2)。
5 23
(2) = 4 2 10 + 12 = 4( )2 +4 4 ，
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第 26 章 二次函数
5 5
∵ 4 > 0，抛物线开口向上，对称轴为直线 = ，且 在 0 ≤ ≤ 24 4 范围内，
5 23
∴当 = 4时，
取得最小值 4 。
4、[2025佛山期中]某校九年级学生在数学活动课上进行项目式学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择 “素材 1”“素材 2” 设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题。
图 1 图 2
素材 1：利用一个边长为 40cm的正方形硬纸板可以设计成如图 1 所示的无盖纸盒。
素材 2：如图 2，在正方形硬纸板的四角处，各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折
成一个无盖纸盒。
设折成的无盖纸盒的侧面积为 cm2，剪掉的小正方形的边长为 cm。
(1) 求 与 之间的函数解析式。
(2) 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形
的边长；如果没有，请说明理由。
答案：(1) = 8 2 + 160 (0 < < 20)
(2) 有最大值，最大侧面积为 800cm2，此时剪掉的小正方形边长为 10cm
解析：(1) 无盖纸盒四个侧面为全等长方形，长为(40 2 )cm，宽为 cm，
∴ = 4 (40 2 ) = 8 2 + 160 (0 < < 20)。
(2) = 8 2 + 160 = 8( 10)2 + 800，
∵ 8 < 0，∴当 = 10时， 取最大值 800，
即无盖纸盒侧面积有最大值 800cm2，此时剪掉小正方形边长为 10cm。
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第 26 章 二次函数
26.8 二次函数与最大利润问题
1、[2026慈溪期中]某酒店有 150 间标准房，当标准房价格为每间 120 元时，每天都满客。
市场调查表明标准房价格在每间 120～170 元范围内（含 120 元，170 元）浮动时，每提
高 10 元，日均入住数量减少 8 间。如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到每间
_________元时，客房的日营业收入最大。
答案：150
解析：设标准房价格每间提高 个 10 元(0 ≤ ≤ 5)，日营业收入为 元，
则标准房价格为每间(120 + 10 )元，日均入住数量为(150 8 )间。
根据题意，得： = (120 + 10 )(150 8 ) = 80 2 + 540 + 18000
540
该函数图象的对称轴为直线： = = 3.3752 × ( 80)
函数图象开口向下，该函数有最大值，且距离对称轴越远，函数值越小。
0 ≤ ≤ 5，且 为整数， = 3是离对称轴最近的点的横坐标，
∴当 = 3时， 最大，此时标准房价格为每间 120 + 10 × 3 = 150（元）。
2、新考法综合与实践
问题情境，小莹妈妈的花卉超市以 15 元 / 盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，
小莹帮妈妈调查了附近 A，B，C，D，E 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
记录如下： 售价 /（元 / 盆） 日销售量 / 盆
20 50
30 30
A 18 54
B 22 46
C 26 38
数据整理
(1) 请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中。
售价 /（元 / 盆） 18 20 _____ 22 26 30
日销售量 / 盆 54 50 _____ 46 38 30
模型建立
(2) 分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系。
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第 26 章 二次函数
拓展应用
(3) 根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中，
①要想每天获得 400 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
答案
(1)
售价 /（元 / 盆） 18 20 22 22 26 30
日销售量 / 盆 54 50 46 46 38 30
(2) 由 (1) 中表格可知，每盆售价每涨 2 元，日销售量减少 4 盆。
(3)① 当每盆花卉的定价为 25 元或 35 元时，每天可获得 400 元的利润。
② 当售价定为每盆 30 元时，每天能够获得最大利润。
解析
(3)① 设每盆花卉应定价为 元，每天可获得的利润为 元，
18
= ( 15) 54 × 4 = 2 2 + 120 1350
2
当 = 400时，可得： 2 2 + 120 1750 = 0，解得 1 = 25， 2 = 35。
② = 2 2 + 120 1350 = 2( 30)2 + 450，且 2 < 0，
∴当 = 30时， 取得最大值，为 450。
3、[2025新疆中考] 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之
间时，销售额 1（万元）与销售量 （吨）的函数解析式为 1 = 5 ；成本 2（万元）与销售量
1 7
（吨）的函数图象是抛物线的一部分，其中( ， )2 4 是其顶点。
(1) 求出成本 2关于销售量 的函数解析式。
(2) 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3) 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
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第 26 章 二次函数
1
答案：(1) = ( )2
7
2 +2 4
(2) 成本最低时，所获利润为 0.75 万元。
(3) 当销售量为 3 吨时，可获得最大利润，最大利润是 7 万元。
1 7 1 7
解析：(1) ∵( , )2 4 为抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为
2 = ( )2 +2 4，
1 7 1 7
将(2,4)代入 2 = ( )2 + 得：4 = × (2 )2 +2 4 2 4，解得
= 1，
1 7
∴ 2关于 的函数解析式为 2 = ( )2 +2 4。
1 7
(2) ∵ > 0，∴当 = 时， 2 2取最小值，最小值为4。
1 5 5 7 3
1 = 5 ，∴当 = 2时，
1 = 2，此时 1 2
= = = 0.75
2 4 4 。
(3) 设当销售量为 吨时，利润为 万元。
1 2 7
= 5 = 2 + 6 2 = ( 3)22 + 74
∵0.4 ≤ ≤ 3.5，且 1 < 0，∴当 = 3时， 取最大值，最大值是 7。
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第 26 章 二次函数
26.9 生活中的抛物线形问题
1、 [2026 杭州期中]某游乐园要建造一个直径为 30 m 的圆形喷水池，计划在周边安装一圈
喷水头，使喷出的水柱距池中心 6 m 处达到最高，高度为 9 m（示意图如下），以水平方向
为 x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。若要在喷水池中心设计一个装饰物 A，使
各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为________m。
答案：5
解析：由题意，右边喷出的水柱抛物线顶点坐标为(6,9)，且过点 (15,0)。
1
设抛物线解析式为 = ( 6)2 + 9，将 (15,0)代入得：0 = (15 6)2 + 9，解得 = 9，
1 1
则抛物线解析式为 = ( 6)2 + 9。当 = 0 = × 36 + 9 = 59 时， 9 。
2、[2025江西中考]如图，一小球从斜坡 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函
1
数 = 2 + ( < 0)刻画，斜坡可以用一次函数 = 刻画，小球飞行的水平距离 4 （米）
与小球飞行的高度 （米）的变化规律如下表。
/ 米 0 1 2 4 5 6 7
/ 米 0 7 6 15 8 15 7
2 2 2 2
(1)① = _____， = _____；
② 小球的落点是 ，求点 的坐标。
(2) 小球飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）满足关系 = 5 2 + 。
① 小球飞行的最大高度为______米； ② 求 的值。
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第 26 章 二次函数
答案与解析：(1)① 3，6
7
解析：由表中数据， = 1和 = 7时 = 2，可知抛物线对称轴为直线
= 4，
故 = 2与 = 6时 值相等，即 = 6； = 3 与 = 5 时 值相等，即 = 3。
15 15
② 点 的坐标为( 2 , 8 )
= 1 7 1
解析：通解：将 7 = 2 2 + = = = 、 = 6代入 = + ，得 2 ，解得 2，
2 4 + 2 = 6 = 4
1 2
1 = + 4
二次函数解析式为 = 2 + 4 2 。联立
2
1 ，
=
4
1 1 15
得 = 2 + 4 4 2 ，解得
1 = 0（舍去）， 2 = 2，
15 1 15 15 15
将 = 2 代入 = ，得 = 8 ，故点 坐标为( 2 , 8 )4 。
1
另解：设 = ( 4)2 + 8，将(2,6)代入得 (2 4)2 + 8 = 6，解得 = 2，
1 1 15 15
即 = ( 4)2 + 8 = 2 + 4 2 2 ，后续联立求解与通解一致，得点
( 2 , 8 )。
(2)① 8，② = 4 10
2 2
解析：通解： = 5 2 + = 5( )2 + ∵ 5 < 0 ∴ 10 20， ， 有最大值20，
2
由最大高度为 8，得 = 820 ，解得
1 = 4 10， 2 = 4 10，

∵飞行时间 0，对称轴 = > 0，∴ > 0，故 = 4 1010 。
4 2
另解：抛物线顶点纵坐标为 8，由顶点纵坐标公式 = 84 ，
4 × ( 5) × 0 2
得 = 8 = 4 10 = 4 104 × ( 5) ，解得 1 ， 2 ，
当 = 4 10时， = 5 2 4 10 ， 0时 0，不符合题意，舍去，故 = 4 10。
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第 26 章 二次函数
3、模型观念，如图 1，灌溉车在为绿化带浇水。喷水口 离地面的竖直高度为 h（单位：m）。
如图 2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系 中两条抛物线的部分图
象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 = 3m，竖直高度为 的长。下边缘抛
物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 2 m，
高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 为 （单位：m）。
(1) 若 h = 1.5m， = 0.5m
① 求上边缘抛物线的解析式，并求喷出水的最大射程 ；
② 求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围。
(2) 若 = 1m，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 h的最小值。
答案与解析
1
(1)① 上边缘抛物线解析式： = ( 2)2 + 28 ；最大射程
= 6m
解析：由题意得顶点 (2,2)，设上边缘抛物线解析式为 = ( 2)2 + 2，
1
将(0,1.5)代入得 1.5 = 4 + 2，解得 = 8，
1 1
故解析式为 = ( 2)2 + 28 。令
= 0，则 0 = 8 ( 2
)2 + 2，
解得 1 = 6， 2 = 2（舍去），即 = 6m。
② 点 的坐标为(2,0)
解析：上边缘抛物线对称轴为直线 = 2，点(0,1.5)关于直线 = 2的对称点为(4,1.5)，
下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移 4 个单位得到，与 轴正半轴交点 (2,0)。
③2 2 3 1
1
解析：∵ = 0.5m，∴点 纵坐标为 0.5，将 = 0.5代入 = ( 2)2 + 28 ，
1
得 0.5 = ( 2)2 + 2，解得 = 2 + 2 3或 = 2 2 38 （舍去），
当 0 6时， 0.5的范围是 0 2 + 2 3，
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第 26 章 二次函数
∵ = 3，∴ max = 2 + 2 3 3 = 2 3 1；
下边缘抛物线浇灌条件为 ，即 min = 2，综上，2 2 3 1。
65
(2) 的最小值为32
1
解析：上边缘抛物线解析式： = 8 ( 2
)2 + h + 0.5，
1
下边缘抛物线解析式： = ( + 2)2 + h + 0.58 ，
1 2 1设 ( , 8 ( + 2
) + h + 0.5)， ( + 3, 8 ( + 1
)2 + h + 0.5)，
1 1
由 = 1 得： ( + 1)2 + h + 0.5 [ ( + 2)2 + h + 0.5] = 18 8 ，
65 65
解得 = 2.5，点 纵坐标为 h 32，令其为 0，得hmin = 32。
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