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第 26 章 二次函数
26.1 二次函数 = 的图象和性质
1、[2025 庆阳期中]对于抛物线 = 2，当 1 ≤ ≤ 2时， 的取值范围是（ ）
A.1 ≤ ≤ 4 B.0 < ≤ 4 C.0 ≤ ≤ 4 D.1 < < 4
2、 [2025 湖州月考]在同一平面直角坐标系中，二次函数 = 2( ≠ 0)与一次函数 = +
的图象大致是（ ）
A B C D
3、[2025 北京期中]已知点 ( 1,3)， (3,3)，若抛物线 = 2( ≠ 0)与线段 只有一个公
共点，则 的取值范围是（ ）
1 1 1
A.0 < ≤ B.0 < < 33 C.
< < 3 ≤ < 3
3 D.3
4、 [2025 吉林月考]如图，正方形的边长为 4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，
作出函数 = 2 2与 = 2 2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
5、[2025 绍兴三模]已知点( 21, 1)，( 2, 2)为二次函数 = 的图象上的两点（不为顶点），
则以下判断正确的是（ ）
A. 若 1 > 2，则 1 > 2 B. 若 1 < 2，则 1 < 2
C. 若 1 2 > 22，则 1 > 2 D. 若 1 22 < 2，则 1 < 2
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第 26 章 二次函数
6、[2025 广安月考]如图，已知点 ( 2,4)在抛物线 = 2( ≠ 0)上，过点 且平行于 轴的
直线交抛物线于点 。
(1) 求 的值和点 的坐标；
(2) 若点 是抛物线上一点，当以点 ， ， 为顶点构成的△ 的面积为 2时，求点 的坐标。
7、[2026 扬州期中]推理能力，在平面直角坐标系中，已知点 在 轴正半轴上。
(1) 如图 1，已知菱形 的顶点 ， ， 在二次函数 = 2的图象上，且 ⊥ 轴，求菱
形 的边长；
(2) 如图 2，已知正方形 的顶点 ， 在二次函数 = 2的图象上，点 ， 在 轴的同侧，
且点 在点 的左侧，设点 ， 的横坐标分别为 ， ，判断 是否为定值，并说明理由。
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第 26 章 二次函数
26.2 二次函数 = + 的图象和性质
1、[2026新乡期中] 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 2与二次函数 = 2 +
的图象可能是（ ）
A B C D
2、[2025孝感月考] 抛物线 = 2 + 3上有两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，若 1 < 2，则下列结论
正确的是（ ）
A. 0 ≤ 1 < 2 B. 2 < 1 ≤ 0
C. 2 < 1 ≤ 0或 0 ≤ 1 < 2 D. 以上都不对
1 1
3、如图，两条抛物线 1 = 2 + 12 ，
2 = 2 12 ，与分别经过点
( 2,0)，(2,0)且平行于
轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______________
4、[2025苏州期中] 如图，将二次函数 = 2 4位于 轴下方的图象沿 轴翻折，得到一个新
函数的图象（图中的实线）。当新函数中函数值 随 的增大而增大时，自变量 的取值范围是
______________________
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第 26 章 二次函数
5、如图，抛物线 = 2 3和 = 2 + 3都经过 轴上的 ， 两点，两条抛物线的顶点分
别为 ， 。当四边形 的面积为 24 时，求 的值。
6、 [2026 广州期中]几何直观，如图，已知顶点为 (0, 3)的抛物线 = 2 + ( ≠ 0)与
轴交于 ， 两点，直线 = + 过顶点 和点 。
(1) 求 的值。
(2) 求函数 = 2 + ( ≠ 0)的解析式。
(3) 抛物线上是否存在点 ，使得∠ = 15 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由。
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第 26 章 二次函数
26.3 二次函数 = ( ) 的图象和性质
1、一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 和二次函数 = ( + )2的图象
大致为（ ）
A. B. C. D.
2、若点 ( , )在抛物线 = 2( ≠ 0)上，则下列各点在抛物线 = ( + 1)2上的是（ ）
A. ( , + 1) B. ( + 1, ) C. ( , 1) D. ( 1, )
1
3、已知二次函数 = ( h)22 ，当自变量
的值满足 1 ≤ ≤ 3时，与其对应的函数值 的
最大值为 2，则常数 h的值为（ ）
A. 1 或 3 B. 1或 1 C. 3 或 5 D. 1或 5
4、如图，已知二次函数 = ( + 2)2的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在对称轴上存在
一点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点 的坐标为_______。
第 4题图 第 5题图
5、一题多解 如图，抛物线 = ( + 1)2的顶点为 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 = 。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点 ( 3, )在该抛物线上，求△ 的面积。
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第 26 章 二次函数
6、[2026 广东实验月考]推理能力，如图，抛物线 = ( + 1)2的顶点为 ，过点 左侧抛物线
上一点 作 ⊥ 轴于点 ，且 = 2 。
(1) 求 的长；
(2) 若 是抛物线上的一点，且∠ = 45 ，求点 的坐标。
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第 26 章 二次函数
26.4 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
1、[2026鄞州月考] 已知点 ( , 2)， ( , 2)， ( , 7) 都在抛物线 = ( 1)2 2 上，点
在点 左侧，下列选项正确的是 ( )
A. 若 < 0，则 < < B. 若 < 0，则 < <
C. 若 > 0，则 < < D. 若 > 0，则 < <
2、[2026杨浦期末]如果将抛物线 = ( + 6)2 + 8 向右平移 10 个单位长度，那么此抛物
线与 轴的交点 在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形？( )
A. 持续向上 B. 持续向下 C. 先向上再向下 D. 先向下再向上
3、一题多解，点 ( 1, 1)， ( , 22) 都在二次函数 = ( 1) + 的图象上。若 1 < 2，
则 的取值范围为 ( )
3 3
A. > 2 B. > C. < 12 D.
< < 2
2
4、[2026广州期末] 长春南湖公园的石拱桥，桥中间的大拱截面 可视为抛物线的一部
分，水面宽 = 8m，桥拱顶点 到水面的距离是 4m。
(1) 按如图所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式。
(2) 打捞船距 点 1m 处，环卫工人身高 1.71m，船底与水面齐平，判断他直立时头顶是
否会触碰到大桥拱。
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第 26 章 二次函数
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5、[2025厦门期中]在平面直角坐标系中，设二次函数 = ( 2 )2 + 3 2 （
是实数）。
(1) 当 = 2 时，若点 (8, ) 在该函数的图象上，求 的值。
1
(2) 小明说该二次函数图象的顶点在直线 = + 32 上，你认为他的说法对吗？为什么？
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(3) 已知点 ( + 1, )、 (4 5+ , ) 都在该二次函数的图象上，求证： ≤ 8 。
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第 26 章 二次函数
26.5 二次函数 = + + 的图象和性质
1、[2026 长沙月考]已知一次函数 = 的图象如图所示，则二次函数 = 2 + +
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2、[2026天津月考]如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 = 2 2 + 6 上运动，过点
作 ⊥ 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
第 2题图 第 3题图
3、二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的部分图象如图所示，图象过点( 1,0)，对称轴为直线
= 2，给出下列结论：(1) < 0；(2)4 + > 2 ；(3)3 2 > 0；
1 7
(4) 若点 ( 2, 1)， ( , 2)， ( , 3)在该函数图象上，则 2 2 1
< 3 < 2；
(5)4 + 2 ≥ ( + )( 为常数)。其中正确的结论有（ ）
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

4、[2025福建中考]新考法，已知二次函数 = 2 2 + ( ≠ 0)的图象经过 ( , 2 1
)，
(3 , 2)两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 1 >
B. 无论实数 取什么值，都有 1 >
C. 可以找到一个实数 ，使得 2 < 0
D. 无论实数 取什么值，都有 2 < 0
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第 26 章 二次函数
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5、[2026榆树月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + (0,2)3 与 轴交于点 ，
与 轴交于 ( 3,0)， 两点（点 在点 的左侧），抛物线的顶点为 。
(1) 求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2) 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，若 = ，求点 的坐标。
6、[2025安徽中考]已知抛物线 = 2 + ( 为常数)的顶点横坐标比抛物线 = 2 + 2
的顶点横坐标大 1。
(1) 求 的值。
(2) 点 ( 1, 1)在抛物线 = 2 + 2 上，点 ( 1 + , 1 + h)在抛物线 = 2 + 上。
①若 h = 3 ，且 1 ≥ 0， > 0，求 h的值；
②若 1 = 1，求 h的最大值。
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第 26 章 二次函数
26.6 二次函数与一元二次方程
1、一题多解，已知 > > 0，若关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为 1, 2( 1 < 2)，
关于 的方程 2 + 2 3 = 0 的解为 3, 4( 3 < 4)，则下列结论正确的是 ( )
A. 3 < 1 < 2 < 4 B. 1 < 3 < 4 < 2
C. 1 < 2 < 3 < 4 D. 3 < 4 < 1 < 2
2、[2026 遵义期末]点 (3,2) 在抛物线 = ( 2)2 + ( ≠ 0) 上，则关于 的一元二
次方程 ( 3)2 + + 3 = 5 的解是 ( )
A. 1 = 0, 2 = 2 B. 1 = 2 = 3 C. 1 = 2, 2 = 4 D. 1 = 1, 2 = 5
3、[2026交大月考]二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的自变量 与函数 的几组对应值
如下表：
… 2 1 2 …
则关于 的方程 2 + + =
… 0 …
的解为________。
4、易错题，已知函数 = 2 + 3 + 1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的
值为________。
5、 [2025玄武期中]把二次函数 = 2 + 4 + 的图象向上平移 1 个单位长度，再向右平
移 3 个单位长度，如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 应满足
的条件是________。
6、[2025临淄期中]已知二次函数 = 2 + 4 + 5 及一次函数 = + ，将该二次函数
在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，当直
线 = + 与新图象有 4 个交点时， 的取值范围是________。
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第 26 章 二次函数
7、[2026深圳期末]小明为了探究函数 : = 2 + 4| | 3 的性质，他想先画出它的图象，
然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题。
(1) 完成函数图象的作图，并完成填空。
① 列出 与 的几组对应值如下表：
… 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 …
… 8 3 0 1 0 3 0 1 0 8 …
表格中， =________；
② 结合上表，在如图所示的平面直角坐标系 中，画出当 > 0 时函数 的图象；
③ 观察图象，当 =时， 取最大值，为________________。
(2) 若关于 的方程 2 + 4| | 3 = 有 4 个实数根，则 的取值范围是________。
(3) 已知 ( , 1)、 ( + 1, 2) 两点在函数 的图象上，当 1 < 2 时，请直接写出 的
取值范围。
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第 26 章 二次函数
26.7 二次函数与面积最值问题
1、 [2026南开期末]如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 12mm， = 24mm。动点 从点
出发，以 2mm/s的速度沿边 向终点 运动；动点 从点 同时出发，以 4mm/s的速度沿边
向终点 运动。设出发的时间为 s。给出下列结论：
①当 = 2时， = ；
②当 1 ≤ ≤ 5时，△ 的最大面积为 36mm2；
1
③ 有两个不同的值满足△ 的面积为四边形 面积的2。
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
第 1题图 第 2题图
2、跨学科 物理，某校物理兴趣小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变阻器 的滑片从
一端滑到另一端，绘制出变阻器 消耗的电功率 随电流 变化关系的图象，如图所示，该图象
是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率 的最大值为_____W。
3、[2025龙湾期中]如图，在矩形 中， = 3， = 4，点 ， ， ， 分别在边 ， ，
， 上，且 = ， = = 2 ，设四边形 的面积为 ， 为 。
(1) 求 关于 的函数解析式及自变量 的取值范围；
(2) 求 的最小值。
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第 26 章 二次函数
4、[2025佛山期中]某校九年级学生在数学活动课上进行项目式学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择 “素材 1”“素材 2” 设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题。
图 1 图 2
素材 1：利用一个边长为 40cm的正方形硬纸板可以设计成如图 1 所示的无盖纸盒。
素材 2：如图 2，在正方形硬纸板的四角处，各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折
成一个无盖纸盒。
设折成的无盖纸盒的侧面积为 cm2，剪掉的小正方形的边长为 cm。
(1) 求 与 之间的函数解析式。
(2) 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形
的边长；如果没有，请说明理由。
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第 26 章 二次函数
26.8 二次函数与最大利润问题
1、[2026慈溪期中]某酒店有 150 间标准房，当标准房价格为每间 120 元时，每天都满客。
市场调查表明标准房价格在每间 120～170 元范围内（含 120 元，170 元）浮动时，每提
高 10 元，日均入住数量减少 8 间。如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到每间
_________元时，客房的日营业收入最大。
2、新考法综合与实践
问题情境，小莹妈妈的花卉超市以 15 元 / 盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，
小莹帮妈妈调查了附近 A，B，C，D，E 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
记录如下： 售价 /（元 / 盆） 日销售量 / 盆
20 50
30 30
A 18 54
B 22 46
C 26 38
数据整理
(1) 请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中。
售价 /（元 / 盆） 18 20 _____ 22 26 30
日销售量 / 盆 54 50 _____ 46 38 30
模型建立
(2) 分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系。
拓展应用
(3) 根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中，
①要想每天获得 400 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
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第 26 章 二次函数
3、[2025新疆中考] 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之
间时，销售额 1（万元）与销售量 （吨）的函数解析式为 1 = 5 ；成本 2（万元）与销售量
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（吨）的函数图象是抛物线的一部分，其中( ， )2 4 是其顶点。
(1) 求出成本 2关于销售量 的函数解析式。
(2) 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3) 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
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第 26 章 二次函数
26.9 生活中的抛物线形问题
1、 [2026 杭州期中]某游乐园要建造一个直径为 30 m 的圆形喷水池，计划在周边安装一圈
喷水头，使喷出的水柱距池中心 6 m 处达到最高，高度为 9 m（示意图如下），以水平方向
为 x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。若要在喷水池中心设计一个装饰物 A，使
各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为________m。
2、[2025江西中考]如图，一小球从斜坡 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函
1
数 = 2 + ( < 0)刻画，斜坡可以用一次函数 = 4 刻画，小球飞行的水平距离
（米）
与小球飞行的高度 （米）的变化规律如下表。
/ 米 0 1 2 4 5 6 7
/ 米 0 7 6 15 8 15 7
2 2 2 2
(1)① = _____， = _____；
② 小球的落点是 ，求点 的坐标。
(2) 小球飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）满足关系 = 5 2 + 。
① 小球飞行的最大高度为______米； ② 求 的值。
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第 26 章 二次函数
3、模型观念，如图 1，灌溉车在为绿化带浇水。喷水口 离地面的竖直高度为 h（单位：m）。
如图 2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系 中两条抛物线的部分图
象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 = 3m，竖直高度为 的长。下边缘抛
物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 2 m，
高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 为 （单位：m）。
(1) 若 h = 1.5m， = 0.5m
① 求上边缘抛物线的解析式，并求喷出水的最大射程 ；
② 求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围。
(2) 若 = 1m，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 h的最小值。
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