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第 27 章 反比例函数
27.1 反比例函数的图象和性质
4
1、[2025 河北中考]在反比例函数 = 中，若
2 < < 4，则（ ）
1
A. < < 1 B. 1 < < 2 C. 2 < < 4 D. 4 < < 82
答案：B
4
解析：∵在反比例函数 = = 4 > 0 中， ，∴在每个象限内，
随 的增大而减小，∴当 2 <
4 4
< 4 时， < < ∴ 1 < < 24 2， 。
3
2、[2025 内蒙古中考]已知点 ( , 1)、 ( + 1, 2) 都在反比例函数 = 的图象上，
则下列结论一定正确的是（ ）
A. 1 > 2 B. 1 < 2
C. 当 < 0 时， 1 < 2 D. 当 < 1 时， 1 < 2
答案：D
3
解析：对于反比例函数 = ，在每个象限内，
随 的增大而增大，且第二象限的函数
值大于第四象限的函数值。当 < + 1 < 0，即 < 1 时， 1 < 2；当 0 < < + 1，
即 > 0 时， 1 < 2；当 < 0 < + 1，即 1 < < 0 时， 1 > 2。综上，只有选项
D 正确。
3、[2025承德期末]如图，在边长为 1 的正方形网格上建立平面直角坐标系， 轴、 轴都

在格线上，其中反比例函数 = ( ≠ 0, > 0) 的图象被撕掉了一部分，已知点 ， 在
格点上，则 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
答案：B
解析：观察题中网格，设点 (1, )， (2, 2)，将点 (1, )， (2, 2) 的坐标代入反
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第 27 章 反比例函数
=
比例函数 = ，得 2( 2) = ，整理得
= 4，∴点 (1,4)， = 1 × 4 = 4。
6
4、[2025武威模拟]已知点 ( 1, 1)， ( 2, 2) 都在反比例函数 = 的图象上，若 1 2
=
3，则 1 2 的值为________。
答案： 12
6 6 6
解析：∵点 ( 1, 1)， ( 2, 2) 都在反比例函数 = 的图象上，
∴ 1 = = ， 21
。
2
6 6 36 36
∵ 1 2 = 3，∴ 1 2 = = = = 12 1 2
。
1 2 3

5、已知点 ( 1, 1)， (2, 2)， (3, 3) 均在反比例函数 = 的图象上，若
1 > 2，则
2______ 3。（填 “>”“<” 或 “=”）
答案：<

解析：∵点 ( 1, 1)、 (2, 2)、 (3, 3) 均在反比例函数 = 的图象上， 1 > 2，∴ 1 >
0 > 2，即点 在第二象限，点 在第四象限， < 0，∴在第四象限内， 随 的增大而
增大。又 0 < 2 < 3， 2 < 3。
6、[2025河南中考]如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ，

相交于点 ，反比例函数 = ( > 0) 的图象经过点
。
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点 的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3) 将矩形 向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为
___________。
答案：
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(1) ∵反比例函数 = ( > 0) 的图象经过点 (3,2)，∴ 2 = 3，∴ = 6，∴ 反比例函数的解
6
析式为 = ( > 0)。
(2) 作图如图所示。
9
(3) 2

7、[2025福建中考]如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 = 的图象与
交于 、
两点，且点 ， 都在第一象限。若 (1,2)，则点 的坐标为____________。
答案：(2,1)
解析：

∵点 在 = ∴ 2 = 的图象上， 1，
∴ = 2。如图，连接 ， ，
则 = = 12 + 22 = 5。设 ( , )（其中 > > 0），
则 = 2， 2 + 2 = 5，( )2 = 5 4 = 1，( + )2 = 5 + 4 = 9，
= 1 或 = 1（舍去）， + = 3 或 + = 3（舍去），
= 1 = 2
联立，得 + = 3，解得 = 1，∴ (2,1)。
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27.2 反比例函数的图象和性质的应用
4
1、如图， ， 两点在反比例函数 = ( > 0) 的图象上，分别过
， 两点向坐标轴作
垂线段。若 1 + 2 = 6，则 阴影 =（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
答案：A
4
解析：设阴影部分的面积为 3，根据 = ( > 0)，得 3 + 1 = 4， 3 + 2 = 4，故 3 + 1
+
3 + 2 = 8。∵ 1 + 2 = 6，∴ 2 3 = 2，解得 3 = 1。

2、[2026昌图期中] 如图，反比例函数 = ( < 0) 的图象经过平行四边形
的顶点 ，
在 轴上，若点 ( 1,4)， 平行四边形 = 4，则实数 的值为________。
答案： 8
解析：
通解：如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
∴ 平行四边形 = 矩形 = 4。
∵ ( 1,4)，∴ = 4，∴ = 1，∴ = 2，∴ ( 2,4)，∴ = 8。
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另解：
如图，延长 交 轴于点 ，设 与 交于点 。由题易知 ∥ 轴， ⊥ 。
点 ( 1,4)，∴ = 1， = 4。又 = 1，∴ = 。
又 ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90 ，∴△ △ ，∴ △ = △ ，
∴ 平行四边形 = 四边形 + △ = 四边形 + △ = ′ = 4（辅助矩形推导）。矩形

又∵ 反比例函数 = ( < 0) 的图象在第二象限，
∴ < 0，得 = 8。

3 1、如图，平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，顶点 在 = ( 1 < 0) 的图象
2
上，顶点 在 = ( 2 > 0) 的图象上，则平行四边形 的面积是___________ 。
答案： 2 1
解析：
过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，∴ ∠ = ∠ = 90 。
由四边形 为平行四边形，可得 ∠ = ∠ ， = ，

∴△ △ ，∴ 2△ = △ 。∵ 点 在 = 的图象上，
1 1
∴ △ = △ = | 2|2 ，同理可得，
△ = △ = | 2 1
|，
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1 1
∴ 平行四边形 的面积为 2( | 2| + | |) = | | + | | = 2 2 1 2 1 2 1。

4、[2026 平谷期末]在平面直角坐标系 中，直线 = 2 + 1 与双曲线 = ( ≠ 0, >
0) 的交点是 ( , 3)。
(1) 求 和 的值；

(2) 当 > 3 时，对于 的每个值，函数 = ( 1)( ≠ 0) 既大于函数 = ( ≠
0, > 0) 的值，又小于函数 = 2 + 1 的值，直接写出 的取值范围。
1
答案：(1) = 1， = 3；(2) 22
解析：
(1) 将点 ( , 3) 的坐标代入 = 2 + 1 得 3 = 2 + 1，解得 = 1，

∴ 点 的坐标为 (1,3)。将点 (1,3) 的坐标代入 = 得
3 = 1，解得 = 3。
(2) 对于函数 = ( 1)，当 = 1 时， = 0，∴ 函数 = ( 1) 的图象过点 (1,0)。
3
把 = 3 代入 = 得， = 1 ，
1
把 (3,1) 代入 = ( 1)，得 1 = (3 1)，解得 = 2。
当 = 2 时，直线 = ( 1) 与直线 = 2 + 1 平行，
1
∴ 当 2 时，对于 > 3 的每个值，函数 = ( 1)( ≠ 0)2 既大于函数
1
= ( ≠ 0, > 0)
的值，又小于函数
= 2 + 1 的值，即 的取值范围是 22 。
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5、几何直观，在平面直角坐标系中，反比例函数 = ( ≠ 0, > 0) 的图象经过点
(1,4)。
(1) 求 的值。

(2) 横、纵坐标都是整数的点叫作整点。记直线 : = + 4 与函数 = ( ≠ 0, >
0) 的图象所围成的区域（不含边界）为 。点 ( , 1)( 4， 为整数) 在直线 上。
① 当 = 5 时，求 的值，并写出区域 内的整点个数；
② 当区域 内恰有 5 个整点时，直接写出 和 的值。
答案：
(1) = 4
3 1
(2)① = ，整点个数为 2；② = 7 = 4 ， 2
解析：

(1) 将点 (1,4) 的坐标代入 = ( > 0) ，得
= 1 × 4 = 4。
3
(2)① 当 = 5 时， (5,1)，∵ 点 在直线 上，∴ 1 = 5 + 4，解得 = 4，
3 19
∴ 直线 的解析式为 = +4 4 ，
画出两函数图象，区域 内的整点有 (2,2)，(3,2)，共 2 个。
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② 为整数，
3
当 = 6 时， (6,1)，点 在直线 上，∴ 1 = 6 + 4，解得 = 5，则直线
的解
3 23
析式为 = +5 5 ，区域
内恰有 4 个整点。
1
当 = 7 时， (7,1)，∵ 点 在直线 上，1 = 7 + 4，解得 = 2，则直线
的解
1 9
析式为 = + ，区域 2 2 内恰有
5 个整点。
1
∴ 当区域 内恰有 5 个整点时， = 7， = 2。
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27.3 利用反比例函数的图象解决实际问题
1、[2026 大同月考]单板滑雪 (Snowboard) 是一项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路
上快速回转滑降，在空中完成各种高难度动作的雪上竞技项目，依据对甲、乙、丙三名滑雪爱
好者测试所得数据，在给定的坐标系中分别绘制出滑雪板的压强 (Pa)与受力面积 (m2)的相应

图象，根据图象及物理知识 = ，可判断出甲、乙、丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小关
系为（ ）
A. 甲 < 乙 < 丙 B. 甲 > 乙 > 丙
C. 甲 = 乙 = 丙 D. 乙 < 甲 < 丙
答案：A

解析：由 = 得 = ，由题中图象可得，受力面积
相同时， 甲 < 乙 < 丙，因此 甲 <
乙 < 丙 ，即 甲 < 乙 < 丙。
2、[2026玉田期末]如图 1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段 (测
速区间) 上平均速度的方法。小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的
测速区间 段的平均行驶速度 (km/h)与行驶时间 (h)是反比例函数关系 (如图 2)，已知高
速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 120 km/h，最低车速不得低于 90 km/h，小
聪的爸爸按照此规定通过该限速区间 段的时间可能是（ ）
A. 10 min B. 11 min C. 15 min D. 18 min
答案：C
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解析：由题图 2 得，限速区间 段的总路程为 80 × 0.3 = 24(km)。
24 1
最高车速 120 km/h 下行驶时间： = = = 120 5 (h) = 12(min)；
24 4
最低车速 90 km/h 下行驶时间： = = = 90 15 (h) = 16(min)。
行驶时间范围为 12~16 min，因此 C 选项符合题意。
3、将某海洋公园娱乐设施 “水上滑梯” 的侧面图放在平面直角坐标系中 (如图所示)，其中
为水面，滑梯 段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形 为向上攀爬的梯子，梯子高
为 6 米，宽 为 1 米，出口 点到 的距离 为 4 米。
(1) 求 段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2) 求点 到 轴的距离 的长；
(3) 若滑梯 上有一个小球 ， 距水面 的高度不高于 3 米，求 到 的距离的取值范围。
6
答案：(1) 反比例函数解析式为 = (1 ≤ ≤ 5)；
6
(2) 的长为5米；
(3) 到 的距离取值范围是 1米≤距离≤ 4米。
解析：

(1) 设 段所在反比例函数解析式为 = ，由题意得 (1,6)，代入得 6 = 1，解得
= 6。
6
点到 的距离 = 4米，故 = 4 + 1 = 5米，因此解析式为 = (1 ≤ ≤ 5)。
6 6
(2) 当 = 5时， = ，即点 到 轴的距离 5 长为5米。
6
(3) 由 距水面高度不高于 3 米，得 ≤ 3，即 ≤ 3，解得 ≥ 2 。
结合 1 ≤ ≤ 5，得 2 ≤ ≤ 5。 为直线 = 1， 到 的距离为 1，
当 = 2时，距离为 1米；当 = 5时，距离为 4米，故距离取值范围为 1米≤距离≤ 4米。
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4、[2025大连期中]某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知某次消毒过程中，
消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果 （单位：效力）与时间 （单位：分）呈
现三段函数图象，其中 段是渐消毒阶段， 段为深消毒阶段， 段是反比例函数图象的一
部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题：
(1) 求深消毒阶段和降消毒阶段中 与 之间的函数解析式。
(2) 若消毒效果持续 28 分钟达到 4 效力及以上，即可产生消毒作用，请问，本次消毒是否
有效？
3 3 180
答案：(1) 深消毒阶段： = + =20 2；降消毒阶段： ；(2) 本次消毒有效。
解析：(1) 设深消毒阶段解析式为 = + ，
10 + = 3 3 3 3 3
将(10,3)、(30,6)代入得： 30 + = 6，解得 = 20，
= ，即 = +2 20 2。
180
设降消毒阶段解析式为 = ，将(30,6)代入得 6 = ，解得 = 180 = 30 ，即 。
3 3 50 180
(2) 把 = 4代入 = + ，得 = 3 ；把 = 4 = = 4520 2 代入 ，得 。
50 1 1
持续时间：45 3 = 28 （分），因为 28 > 283 3 ，所以本次消毒有效。
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27.4 建立函数模型解决实际问题
1、 [2026 贵池期末]小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为 2℃时，制冷启动，当温度降低
到设定温度 18℃时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到 2℃时，制冷又启动，开
始下一个周期的运行。她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并
且预测任意时刻冰箱内的温度。于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度 （单位：℃）
及对应时间 （单位：min）的数据如表所示：
/min 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24
/℃ 2 10 14 18 12 9 8 6 4 3
然后以 的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中描出以
表中的数对为坐标的点。请完成下列问题：
(1) 用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来；
(2) 结合表格中的数据，观察 (1) 中作出的图象，求第一个周期内 关于 的函数解析式；
(3) 当冰箱内的温度刚好达到 18℃时，继续运行 120 分钟，求此时冰箱内的温度。
解：(1) 解：
(2) 当 0 ≤ ≤ 4时，设 关于 的函数解析式为 = + ( ≠ 0) ，
= 2, = 4,
由题意知 2 + = 10,解得 = 2,
∴ 当 0 ≤ ≤ 4时， 关于 的函数解析式为 = 4 2 .
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当 > 4时，设 关于 的函数解析式为 = ，
72
由题意知 12 = = 72 = 6，解得 ，此时， 关于 的函数解析式为 ，
72
当 = 2时， 2 = ，解得 = 36 ，∴ 冰箱的一个运行周期时长为
36 ，
4 2(0 ≤ ≤ 4),
∴ = 72
(4 < ≤ 36).

(3) 解：当冰箱温度刚好达到 18℃时，已运行了 4 ，继续运行 120 ，
总共为 124 ，124 冰箱运行 3个周期零 16 ，
72
当 = 16时， = = 4.516 ，
∴ 继续运行 120分钟，此时冰箱内的温度是 4.5 ℃ .
2、 [2026 佛山期末]某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场
以不同速度 (km/h)匀速行驶时，车辆可行驶的时间 (h)会发生变化。大量测试后得到下表（不
完整）：
/(km/h) … 40 50 60 …
/h … 15 12 10 …
(1) 变量 ， 之间的关系恰好满足某一函数模型。请先判断函数类型（说明理由）再求其解析
式。
(2) 一辆充满电的车辆，先以 60km/h的速度在测试场行驶了 2h，再以 km/h速度行驶，若
要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于 4h，则 的最大值是多少？
解：(1) 因为 40 × 15 = 50 × 12 = 60 × 10 = 600，即 与 的乘积为定值，
600
所以变量 、 成反比例函数关系，解析式为 = 。
(2)该车充满电可行驶的总路程为 600 ，根据题意得，
60 × 2 + 4 ≤ 600，解得 ≤ 120，∴ 的最大值为 120.
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