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第 28 章 旋转
28.1 旋转的定义及其性质
知识点 1 旋转的概念
1.【2025淮安质检】下列现象中:①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；
④钟摆的运动；⑤荡秋千，属于旋转的有 ( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
答案：B
解析：①地下水位逐年下降是平移；②传送带的移动是平移；③方向盘的转动是旋转；④钟
摆的运动是旋转；⑤荡秋千是旋转。故属于旋转的有③④⑤，共 3 个。故选 B。
2.【2026嘉峪关质检】如图，在△ 中，∠ = ∠ = 75 ，将△ 绕点 旋转，得到
△ ，若点 的对应点 恰好在 的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为 ( )
A. 顺时针，105 B. 逆时针，105 C. 顺时针，30 D. 逆时针，75
答案：A
解析：∠ = 180 ∠ = 180 75 = 105 ，∴当旋转角不大于360 时，若旋转方向为
顺时针，则旋转角为105 ；若为逆时针，则旋转角为360 105 = 255 。故选 A。
知识点 2 旋转的性质
3.【2026厦门期中】如图，在△ 中， = 5， = 8，∠ = 120 ，将△ 绕点
顺时针旋转60 得到△ 。下列结论错误的是 ( )
A. = 5 B. ⊥
C. ， 两点之间的距离为 8 D. ， ， 三点共线
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第 28 章 旋转
答案：B
解析：
∵△ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ，∴ = = 5，A 选项正确，不符合题意。
如图，连接 。∵△ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ，
∴ = ，∠ = 60 ，△ 为等边三角形， = = 8，即 ， 两点之间的距离为 8，
故 C 选项正确，不符合题意。∵∠ = 120 ，∠ = 60 ，∴∠ = ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ， ， 三点共线，故 D 选项正确，不符合题意。
由已知条件可知，∠ ≠ 30 ，∠ ≠ 30 ，∴易得 与 不垂直，故 B 选项错误，符合
题意。故选 B。
4. 【2026大兴区期中】我国数学家赵爽用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，
并用它证明了勾股定理，这个图被称为 “赵爽弦图”。这一证法是中国古代数学家以形证数、
形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响。已知点 是大正方形 对角线的交点，
以点 为旋转中心，将△ 顺时针旋转 得到△ ，则 =___________。
答案：90
解析：
如图，连接 ， 。∵点 是大正方形 对角线的交点，∠ = 90 ，将△ 绕点 顺
时针旋转 得到△ ， = 90 。故答案为 90。
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5.【2026东莞期末】如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 3cm， = 4cm，将△ 绕
顶点 按顺时针方向旋转到△ 1 1处，此时线段 1与 的交点 恰好为 的中点，则线段
1 的长度为__________。
3
答案： cm ， 解析：在△ 中，∠ = 90 ， = 3cm， = 4cm2 ，
1 5
∴ = 2 + 2 = 9+ 16 = 5(cm)。∵点 是 的中点，∴ = = cm2 2 。
∵将△ 绕顶点 按顺时针方向旋转到△ 1 1处，
5 3 3
∴ = 1 = 4cm，∴ 1 = 1 = 4 = cm2 2 ，故答案为
cm
2 。
易错点 旋转时忽略旋转方向而出错
3
6. 如图，数轴上点 对应实数 2，线段
垂直于数轴，线段 的长为 2，现将线段 绕点
旋转90 得到线段 ′，求 ′对应的实数。莉莉看完题目后，写出来如下的解题过程：
解：∵将线段 绕点 旋转90 得到线段 ′，∴点 ′在点 的右边。
3 1
又 = 2，∴ ′对应的实数为 + 2 =2 2。
请问莉莉的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程。
答案：莉莉的解题过程不正确。
3 1
解析：此题分两种情况：一：点 ′在点 的右边，此时 ′对应的实数为 + 2 =2 2；
′ 3 7 1 7二：点 在点 的左边，此时 ′对应的实数为 2 = 2 2。综上
′对应的实数为 2或 2。
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28.2 旋转作图
知识点 1 旋转作图
1. 如图，在方格纸中，将 △ 绕点 按顺时针方向旋转90 后得到 △ ′ ′ ，则下列四
个图形中正确的是 ( )
A B C D
答案：B
解析：A 选项由对称得到，错误；B 选项绕点 B 按顺时针方向旋转90 ，正确；C 选项由旋
转不能得到，错误；D 选项绕点 B 按逆时针方向旋转90 ，错误。
2.【2026厦门质检】如图，在 △ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6
(1) 尺规作图：将△ 绕点 B 按顺时针方向旋转得到△ ，使得点 C 的对应点 E 恰好
落在线段 上；(不写作法，保留作图痕迹)
答案：如图 (1)，△ 即为所求。
(2) 在 (1) 的条件下，连接 ，∠ 的平分线 交 于点 F，连接 。求 的长。
答案：
在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 82 + 62 = 10。
由旋转性质得： = ， = = 8， = = 6，∠ = ∠ = 90 ，
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∴ = = 10 6 = 4，∠ = 90 。
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 82 = 4 5。
1
∵ 平分∠ ， = ，∴ = = 2 。
1
又∵ ∠ = 90 ，∴ = = 2 52 。
知识点 2 平面直角坐标系中的旋转
3【. 2025 许昌期中】如图，等腰△ 的顶点 在 轴上，顶点 在 轴上，已知 (0,2)， ( 5, 2)，
= ，将△ 绕点 顺时针旋转，每次旋转90 ，旋转后点 的对应点 ′的坐标为(2 + 5,
2)，则旋转的次数可能是 ( )
答案：D
解析：∵ (0,2)， ( 5, 2)，∴ = 2， = 5，∵ = ，∴ = 5，
由勾股定理得： = 2 2 = ( 5)2 22 = 1，∴ (1,0)。
由旋转可知：第 1 次旋转后，点 1(3, 5 + 1)；
第 2 次旋转后，点 2( 5 + 2, 2)；
第 3 次旋转后，点 3( 1, 5 1)；
第 4 次旋转后，点 4( 5, 2)； ∴每旋转 4 次为一个循环。
若旋转后点 的对应点 ′的坐标为(2 + 5, 2)，则旋转次数为 4 + 2（ 为自然数）。
1 1
当 4 + 2 = 71时， = 17 （舍去）；当 4 + 2 = 72时， = 174 2（舍去）；
3
当 4 + 2 = 73时， = 17 4（舍去）；当
4 + 2 = 74时， = 18，符合题意。故选 D。
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4.【2026 东城区质检】如图，在平面直角坐标系 中， ( 2,4)， ( 2,0)，将△ 绕
原点 顺时针旋转90 得到△ ′ ′（ ′， ′分别是 ， 的对应点）。
(1) 点 ′的坐标是_________，点 ′的坐标是_________。
答案：(4,2)；(0,2)
解析：由旋转的性质可得，点 ′的坐标为(4,2)，点 ′的坐标是(0,2)。
(2) 若点 ( , 2)位于△ 内（不含边界），点 ′为点 绕原点 顺时针旋转90 后的对应点，
求 ′的纵坐标 的取值范围，并画出△ ′ ′。
答案：
由题意得，点 ( , 2)在△ 内（不含边界），则 2 < < 1。
点 绕原点 顺时针旋转90 后，对应点 ′在线段 上，且不与点 、 重合，∴ 1 < < 2。
知识点 3 利用旋转设计图案
5.【2026 盐城期末】很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个基本图案
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连续旋转45 得到的是 ( )
A B C D
答案：B
解析：只有 B 选项中的图案可以由一个基本图案连续旋转45 得到。
6.【2026铜仁期末】如图是贵州苗族刺绣纹样，该纹样的图形是由一个基本图形 绕某
点顺时针旋转一定的角度形成的，则每次旋转的度数至少为_________，旋转次数为_________。
答案：90 ；3
解析：每次将基本图形绕正方形对角线的交点旋转的角度至少为360 ÷ 4 = 90 ，旋转 3次可
形成该纹样。
7. 下列图案中可以由旋转得到的是__________（填序号）。
答案：①②④
解析：①②④可以通过旋转得到，③⑤不能通过旋转得到。
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28.3 中心对称及其性质
知识点 1 中心对称的概念及性质
1.【2026晋中期中】如图，△ 与△ ′ ′ ′关于点 成中心对称，下列结论中不一定成立的
是（ ）
A. = ′ B. ∥ ′ ′
C. 点 的对称点是点 ′ D. ∠ = ∠ ′ ′ ′
答案：D
解析：∵△ 与△ ′ ′ ′关于点 成中心对称，∴ = ′，点 的对称点是点 ′， ∥ ′ ′，
∠ 与∠ ′ ′ ′相等，与∠ ′ ′ ′不一定相等，故 A、B、C 正确，D 不正确。故选 D。
2【. 2026杭州质检】在平面直角坐标系中，△ 与△ ′ ′ ′关于点 成中心对称。若点 ( 2,4)
的对应点为 ′(2,0)，则点 ( 1,1)的对应点 ′的坐标为（）
A. (1,3) B. ( 1, 3) C. ( 1,3) D. (1, 3)
答案：A
2 + 2
解析：∵点 ( 2,4)的对应点为 ′(2,0)，△ 与△ ′ ′ ′关于点 成中心对称， = 02 ，
4 + 0 1 + 1
= 2，∴ (0,2)。设 ′( , )。∵ ( 1,1)，∴ = 0， = 2，解得 = 12 2 2 ，
= 3，
∴ ′(1,3)，故选 A。
3.【2025泰州期中】如图，在 4 × 4的方格纸中，画△ 1 1 1（顶点均在格点上）与△
（顶点均在格点上）关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△ 1 1 1有_________个。
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答案：2
解析：如图所示，
这样的△ 1 1 1有 2 个。故答案为 2。
4.【2026 甘肃白银校级期末】如图，直线 ， 垂直相交于点 ，曲线 和曲线 关于点 成中
心对称，点 的对称点是点 ′， ⊥ 于点 ， ′ ⊥ 于点 。若 = 4， = 3，则阴影部
分的面积之和为_________。
答案：12
解析：如图，
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过点 ′作 ′ ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 。∵ ′ ⊥ 于点 ，∴ ∠ ′ = ∠ = ∠ ′ =
90 ，∴四边形 ′ 是矩形，∴ ′ = = 3，同理可知，四边形 是矩形，∴ = = 4。
∵曲线 和曲线 关于点 成中心对称，点 的对称点是点 ′，∴ = ′ = = 4， = ′ =
3，图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和 = 矩形 的面积= 3 × 4 = 12。故
答案为 12。
5. 如图，在四边形 中， ∥ ， 是 上一点，点 与点 关于点 成中心对称，连接
并延长，与 延长线交于点 。
(1) 填空： 是线段 的__________，点 与点 关于点 成中心对称，若 = + ，则△
是__________三角形。
(2) 四边形 的面积为 12，求△ 的面积。
答案：(1)中点；等腰
解析：∵点 与点 关于点 成中心对称，∴ 是线段 的中点， = 。
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ 。
∠ = ∠
在△ 与△ 中， = ，∴△ △ ( )，∴ = ， = ，∴点
∠ = ∠
与点 关于点 成中心对称。
∵ = + ，∴ = + = ，∴△ 是等腰三角形。故答案为中点，等腰。
答案：(2) 12
解析：∵△ △ ，∴△ 与△ 的面积相等，∴△ 的面积等于四边形 的面
积。∵四边形 的面积为 12，∴△ 的面积为 12。
知识点 2 中心对称作图
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6.【2026济南期末】如图，在△ 中，点 是边 的中点，已知 = 6， = 4。
(1) 画出与△ 关于点 成中心对称的图形；
(2) 根据 (1) 中的图形说明线段 长的取值范围。
答案：(1)如图，
△ 即为所求。（2）1 < < 5
解析：由中心对称的性质可得，点 ， ， 共线， = ， = = 4，
∴ = + = 2 。
∵ | | < < + ，∴ |6 4| < 2 < 6 + 4，∴ 1 < < 5。
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28.4 中心对称图形
知识点 1 中心对称图形的概念
1.【2025新乡期中】观察下列图形，在 “？” 处可以填入的图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：观察图形可知从左至右的四个图形都是中心对称图形，A 选项中的图形是中心对称图
形，此选项符合题意；B、C、D 选项中的图形都是轴对称图形，均不符合题意。故选 A。
2. 【2025长春期末】下列 3 个函数：(1) = 3 1；(2) = 2 2；(3) = 2 ( 1 ≤ ≤ 1)，
其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有________个。
答案：1
解析：(1) = 3 1的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意；(2) =
2 2的图象不是中心对称图形，故②不符合题意；(3) = 2 ( 1 ≤ ≤ 1)的图象是关于原点
对称的中心对称图形，故③符合题意。综上，图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共
有 1 个。故答案为 1。
3.【2025绍兴期末】如图是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一
个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的方法有______种。
答案：2
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第 28 章 旋转
解析：如图所示， 共有 2 种方法。故答案为 2。
4. 如图，△ 中， 是 上一点， ∥ 交 于 ， ∥ 交 于
(1) 求证：四边形 是中心对称图形。
答案：
证明：∵ ∥ ， ∥ ，∴四边形 是平行四边形，∴四边形 是中心对称图形。
(2) 若 平分∠ ，求证：点 ， 关于直线 对称。
答案：证明：连接 。
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ 。又∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = 。又∵四边形 是平行四边形，∴四边形 是菱形，
∴ 垂直平分 ，∴点 ， 关于直线 对称。
知识点 2 中心对称图形的性质
5.【2025郑州期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 和 分别落在 轴与 轴的
正半轴上， = 6， = 8。若直线 = 2 + 把矩形 的面积二等分，则 的值等于（ ）
A.5 B.2 C. 2 D. 5
答案：D
解析：连接 。∵ = 6， = 8，∴ (0,6)， (8,0)，∴ 中点的坐标为(4,3)。
把(4,3)代入 = 2 + ，得 2 × 4 + = 3，解得 = 5。故选 D。
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6. 在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 ， ， 的位置如图所示，它们的坐
标分别是( 1,1)，(0,0)和(1,0)，在其他点处添加一颗棋子 ，使 ， ， ， 四颗棋子能构成
一个中心对称图形，请写出棋子 所在位置的坐标________________（写出 1 个即可）。
答案：(0,1)（答案不唯一）
解析：如图所示， 此时 ， ， ， 四颗棋子能构成一个中心对称图形，
点 (0,1)。故答案为(0,1)（答案不唯一）。
知识点 3 作中心对称图形
7.【2025南昌期中】如图，在正方形网格中，点 ， ， 是格点，请用无刻度的直尺按要求在
网格中作图，并标明字母。
(1) 作四边形 ，使四边形 为中心对称图形，且 为格点；
答案：如图 (1)， 四边形 即为所求。
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(2) 以 为边作四边形 ，使四边形 既是中心对称图形，又是轴对称图形，且 ，
均为格点。
答案：如图 (2)， 四边形 即为所求（答案不唯一）。
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28.5 关于原点对称的点的坐标
知识点 1 关于原点对称的点的坐标
1. 在平面直角坐标系中，若点 ( , )与点 (2,1) 关于原点对称，则点 ( , )在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案：C
解析：∵ 点 ( , ) 与点 (2,1) 关于原点对称，
∴ = 2， = 1，解得 = 1，∴ ( 2, 1) 在第三象限，故选 C。
2.【2025鞍山质检】已知点 1( 1,1) 和 2(2, 1) 关于原点对称，则 ( + )2024 的值
为（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. ( 3)2024
答案：A
解析：∵ 点 1( 1,1) 和 2(2, 1) 关于原点对称，∴ 1 = 2， 1 = 1，
解得 = 1， = 0，∴ ( + )2024 = ( 1 + 0)2024 = 1，故选 A。
3.在平面直角坐标系中，有 (5, 3)， (0,4)， ( 4,0)， ( 5,3) 四点，其中关于原点对
称的两点为（ ）
A. 点 A 和点 B B. 点 B 和点 C C. 点 C 和点 D D. 点 D 和点 A
答案：D
解析：根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数可得，点 (5, 3) 与 ( 5,3)
关于原点对称，故选 D。
4.【2026扬州质检】已知点 的坐标为 ( , )，且 + 2 + 2 2 + 1 = 0，则点 关
于原点的对称点的坐标为_________________
1
答案：( 1, )2
1
解析：由条件可知 + 2 + ( 1)2 = 0，∴ + 2 = 0， 1 = 0，解得 = 1， = 2，
1 1
∴ 点 的坐标为 (1, )，∴ 点 2 关于原点的对称点的坐标为
( 1, )
2 。
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第 28 章 旋转
5. 如图，已知矩形 的两边 ， 分别在 x 轴、y 轴上，且 ( 1,0)， (0,2)，
将矩形沿 x 轴向右平移 2 个单位长度得到矩形 1 1 1 1，然后作矩形 1 1 1 1 关于坐标
原点 的中心对称图形，得到矩形 2 2 2 2，则点 2 的坐标是___________
答案：( 1, 2)
解析：∵ ( 1,0)， (0,2)，∴ 由题意可得 ( 1,2)，
沿 x 轴向右平移 2 个单位长度后可得 1(1,2)，
1(1,2) 关于原点的对称点 2 的坐标为 ( 1, 2)。
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ 是由 △ 经过某种变换得到的，观察点 A 与点 P，
点 B 与点 Q，点 C 与点 R 的坐标之间的关系。在这种变换下，如果 △ 中任意一点
的坐标为 ( , )，那么它在 △ 中的对应点 的坐标是___________
答案：( , )
解析：由题图可知 (4,3)， (3,1)， (1,2)， ( 4, 3)， ( 3, 1)， ( 1, 2)，
A、P 关于原点对称，B、Q 关于原点对称，C、R 关于原点对称，
∴ △ 和 △ 关于原点对称。
∵ 点 ( , ) 是 △ 中任意一点，它在 △ 中的对应点 的坐标为 ( , )。
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知识点 2 作已知图形关于原点对称的图形
7.【2025西安期中】下列各图中把 △ 各点的横、纵坐标都乘 1 后，得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵ 把 △ 各点的横、纵坐标都乘 1，∴得到的图形是关于原点对称的图形，故选 C。
8. 【2026兰州期末】如图，在平面直角坐标系中，△ 的三个顶点分别是 (1,3)， (4,4)，
(2,1)。
(1) 把 △ 向左平移 4 个单位长度后得到对应的 △ 1 1 1，请画出平移后的 △ 1 1 1；
(2) 画出 △ 关于原点 对称的 △ 2 2 2；
(3) 观察图形可知，△ 1 1 1 与 △ 2 2 2 关于点_____________成中心对称。（写出坐标）
答案：
(1) 如图，△ 1 1 1 即为所求。(2) 如图，△ 2 2 2 即为所求。(3) ( 2,0)
解析：连接 1 2， 1 2， 1 2，相交于点 ，则 △ 1 1 1 与 △ 2 2 2 关于点 ( 2,0)
成中心对称。
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