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第 28 章 旋转
28.1 旋转及其性质、作图
1、如图，在 △ 中，∠ = 90 ，将△ 绕点 顺时针旋转得到△ ′ ′，使点 的对
应点 ′在 的延长线上，连接 ′。若∠ ′ ′ = 32 ，则∠ 的大小是（ ）
A.64 B.67 C.77 D.87
答案：C
解析：由旋转的性质得 = ′，∠ ′ = 90 ，∴ ∠ ′ = 45 ，∠ ′ ′ = 13 ，
∵ ∠ ′ ′ = 32 ，∴ ∠ = 77 ，∠ = 13 。
另解：由旋转的性质得 = ′，∠ ′ = 90 ，∴ ∠ ′ = 45 ，
∵ ∠ = ∠ ′ ′，∠ ′ ′ = ∠ ′ + ∠ ′ ′ = 77 ，∴ ∠ = 77 。
2、如图，在△ 中，∠ = 45 ， = 3， = 2，将△ 绕点 顺时针旋转 得到△ ，
此时点 落在 的延长线上，连接 ，则 的长为（ ）
4
A. 5 B.2 2 C. 63 D.
10
答案：D
解析：
由旋转的性质，得 = = 3， = = 2，∠ = ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，
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第 28 章 旋转
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 ，∴ = 2 + 2 = 32 + 32 = 3 2。
∵ = 2，∴ = = 2 2， = 2，
∴ = 2 + 2 = (2 2)2 + ( 2)2 = 10。
3、如图，在△ 中， = 8，将△ 绕点 按逆时针方向旋转30 后得到△ 1 1，连接 1，
则阴影部分的面积为_____。
答案：16
解析：如图，过点 作 ⊥ 1 于点 ，由旋转的性质得∠ 1 = 30 ， 1 = ，
△ = △ 1 1，∴ 阴影 = △ 1 + △ 1 1 △ = △ 1。
1
∵ = 8，∴ 1 = 8。∵ ⊥ 1 ，∴ = = 42 ，
1 1
∴ △ 1 = 2 1
= × 8 × 4 = 16
2 ，
∴ 阴影 = 16。
4、如图，在 △ 中，∠ = 90 ， = = 6，将△ 绕点 顺时针旋转 ，得到
△ ，连接 ，交 于点 。
(1) 当 = 60时，求 的长；
(2) 当 ， ， 三点共线时，求此时旋转角的度数。
答案：(1) = 3 + 3 ，(2) 旋转角的度数为90
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第 28 章 旋转
解析：(1) 如图 1，连接 。
由旋转的性质可知 = ，∠ = 60 ，△ 为等边三角形，
∴ = = ，∠ = 60 。
∵ = = 6，△ 为直角三角形，∴ = 2 + 2 = 2 3，∴ = = 2 3。
=
在△ 和△ 中， = ，∴△ △ ( )，
=
1 1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30
2 ，
垂直平分 （三线合一），∴ = = 32 ，
∴ = 2 2 = 3， = 2 2 = 3，∴ = + = 3 + 3。
(2)
当 ， ， 三点共线时，如图 2，连接 。
由旋转的性质知 = ， ⊥ ， = ，△ 为等腰三角形， 为 边上的高，
∠ = ∠ = 90 ， = = ，△ 为等腰直角三角形，∴ ∠ = 45 ，
在等腰直角三角形 中，∠ = ∠ = 45 ，
∴旋转角∠ = ∠ + ∠ = 45 + 45 = 90 。
5、[2026 北京期末] 如图，在平面直角坐标系中，△ 三个顶点的坐标分别为 (1,1)， (4,1)，
(2,3)。将△ 绕原点 逆时针旋转90 得到△ 1 1 1，其中点 ， ， 的对应点分别为点 1，
1， 1。
(1) 在图中画出旋转后的△ 1 1 1；
(2) 点 1的坐标为__________，点 1的坐标为__________；
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(3) 如果 ( , )为△ 边上一点，那么点 的对应点 1的坐标为__________。
答案
(1) 如图，△ 1 1 1即为所求。
(2) 点 1的坐标为( 1,4)，点 1的坐标为( 3,2)。
解析：根据点绕原点逆时针旋转90 的坐标变换规律：点( , )旋转后对应点坐标为( , )。
点 (4,1)旋转后： = 4， = 1，则 1( 1,4)；
点 (2,3)旋转后： = 2， = 3，则 1( 3,2)。
(3) 点 的对应点 1的坐标为( , )。
解析：在△ 边上任取一点 ，点 与点 1的位置如图所示，分别过点 ， 1作 轴的垂线，
垂足分别为 ， ，则∠ = ∠ = 90 1 。
由旋转的性质，得∠ 1 = 90 ， = 1 ，∴ ∠ + ∠ 1 = ∠ 1 + ∠ 1 = 90 ，
∴ ∠ = ∠ 1 ，∴△ △ 1，∴ = 1 ， = 。
设 ( , )，则 = ， = ，故 1 = ， = ，∴点 1的坐标为( , )。
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28.2 中心对称及其性质
1、如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， = 2， = 8，将△ 绕点 旋转180
得到△ ′ ′ ，连接 ′，则 ′的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.7
答案：C
1 1
解析：∵四边形 是菱形，∴ ⊥ ， = = 2 ， 2 。
∵ = 2， = 8，∴ = 1， = 4。∵△ 绕点 旋转180 得到△ ′ ′ ，
∴ ∠ ′ = ∠ = 90 ， ′ = = 1， ′ ′ = = 4，∴ ′ = + ′ = 3，
∴ ′ = ′2 + ′ ′2 = 32 + 42 = 5。
2、如图，直线 ⊥ 于点 ，曲线 与曲线 ′关于点 中心对称，点 的对称点是点 ′， ⊥
于点 ， ′ ⊥ 于点 。若 = 4， = 3，则两块阴影部分的面积之和为_____。
答案：12 解析：
如图，过点 作 ⊥ 于点 ，由题意，得 = = 3。∵曲线 与曲线 ′关于点 中心对
称，∴图形①与图形②关于点 中心对称，面积相等，∴两块阴影部分的面积之和=长方形
的面积= 4 × 3 = 12。
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第 28 章 旋转
3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移 个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋
转 度，这样的图形运动叫作图形的 ( , )变换。现将斜边为 1 的等腰直角三角形 放置在
如图的平面直角坐标系中，△ 经 (1, 180 )变换后得△ 1 1 1为第一次变换，△ 1 1 1
经 (2, 180 )变换得△ 2 2 2为第二次变换…… 经 ( , 180 )变换得△ ，则点 2025的坐
标是_____。
2027 1
答案：( , )2 2
解析：如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
1 1 1 1
∵△ 为斜边为 1 的等腰直角三角形，∴ = = = ，∴ ( , )2 2 2 2 。
1 1
∵ 1是由 ( , )先向右平移 1 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180 2 2 得到的，
1 1
∴ 1( 1, )2 2 ，
1 1 1 1 1 1
同理 2( + 1 2, ) ( 1 + 2 3, ) ( + 1 2 + 3 4, )2 2 ， 3 2 2 ， 4 2 2 ，
1 1 1 1
5( 1 + 2 3 + 4 5, )， ，∴ 2 1( , )2 2 2 2 。
1 1 2027 1
∵ 2025 = 2 × 1013 1，∴ 2025( 1013, )2 2 ，即
2025( , )2 2 。
4、如图，在小正方形组成的网格中，△ 的顶点都在格点上，点 的坐标为(1, 1)，根据
图形解决下列问题。
(1) 将△ 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到△ 1 1 1，请画
出△ 1 1 1；
(2) 以点 ( 1,1)为对称中心，画出与△ 1 1 1中心对称的△ 2 2 2；
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第 28 章 旋转
(3) 如何平移△ ，使得平移后的△ 与△ 2 2 2拼成一个平行四边形？请写出一种平移
方法。
答案：
(1) 图△ 1 1 1 (2) 图△ 2 2 2
(3) 可将△ 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度（答案不唯一）。
5、△ 的 边在直线 上（点 在点 左侧），点 为直线 上一动点，且在点 右侧。
(1) 如图 1，若△ 是等边三角形，其关于点 中心对称的图形是△ 1 1 1，连接 1， 1 ，
补全图形，则四边形 1 1的形状是__________；
(2) 如图 2，若△ 为等腰三角形， = ，△ 与△ 1 1 1关于点 中心对称，当 1
1
在 的右侧且∠ 1 1 = ∠ 时，判断四边形 1 2 1的形状，并说明理由；
(3) 若△ 是任意三角形，△ 关于点 中心对称的图形是△ 1 1 1，连接 1， 1 ，当
∠ 与∠ 1 1满足什么关系时，四边形 1 1是正方形？直接写出答案。
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答案：
(1)
补全的图形如图所示，由中心对称的性质可得 1 = ， 1 = ，
∴四边形 1 1是平行四边形。
(2) 四边形 1 1是矩形。理由如下：∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
1
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ = 90 2 。
1
∵ ∠ 1 1 = ∠ ，∴ ∠ 1 1 + ∠ = 90 ，即∠ 1 = 90 2 。
由中心对称的性质易知四边形 1 1是平行四边形，∴四边形 1 1是矩形。
（3）解：当∠ = ∠ 1 1 = 45 或∠ 1 1 = 3∠ = 135 时，四边形 1 1是正方形.
如图 1，当点 在线段 右侧时，∵ 四边形 1 1 是正方形，∴ ∠ = ∠ 1 1 = 45 .
如图 2，当点 在线段 上时，∵ 四边形 1 1是正方形，∴ ∠ = ∠ 1 = 45 ，
∴ ∠ 1 1 = 135 ，∴ ∠ 1 1 = 3∠ = 135 .
综上所述，当∠ = ∠ 1 1 = 45 或∠ 1 1 = 3∠ = 135 时，四边形 1 1是正方形.
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