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第 29 章 圆
29.1 圆的有关概念
知识点 1 圆的定义
1.【2026绥化期末】车轮为什么都做成圆形？下面解释最合理的是 ( )
A. 圆形是轴对称图形
B. 圆形特别美观大方
C. 圆形是曲线图形
D. 圆心到圆上任意一点的距离都相等
答案：D
解析：车轮都做成圆形，利用了圆心到圆上任意一点的距离都相等，即车轮在平坦的地面上滚
动时，车轮中心到地面的距离不变，这样车子才会平稳。故选 D。
知识点 2 点和圆的位置关系
2.【2026郑州质检】⊙ 的半径为 5，圆心 的坐标为(0,0)，点 的坐标为 (3,4)，则点
与 ⊙ 的位置关系是 ( )
A. 点 在 ⊙ 内 B. 点 在 ⊙ 上
C. 点 在 ⊙ 外 D. 点 在 ⊙ 上或外
答案：B
解析：∵点 的坐标为(3,4)，∴点 到圆心 的距离为 32 + 42 = 5。又 ⊙ 的半径为 5，
∴点 在 ⊙ 上，故选 B。
3.【2026丹东期末】如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 的中点 处建一个 5G 基
站，其覆盖半径为 300 m，则这三栋楼中在该 5G 基站覆盖范围内的是 ( )
A. ， ， 都不在 B.
C. ， D. ， ，
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答案：D
解析：∵ = 300m， = 400m， = 500m，∴ 2 + 2 = 2，△ 是直角三角形，
1
∠ = 90 。连接 。∵点 是 的中点，∴ = = 250m， = = 250m2 。
∵ 250 < 300，∴这三栋楼中在该 5G 基站覆盖范围内的是 ， ， 。故选 D。
4.【2026烟台期末】已知点 为平面内一点，若点 到 ⊙ 上的点的最大距离为 5，最
小距离为 1，则 ⊙ 的半径为_________________
答案：2 或 3
解析：当点 在圆内时，⊙ 的直径为 5 + 1 = 6，因此半径是 3；当点 在圆外时，⊙
的直径为 5 1 = 4，因此半径是 2。所以 ⊙ 的半径为 2 或 3。故答案为 2 或 3。
5. 如图， ， 是 △ 的高， 为 的中点。试说明：点 ， ， ， 在以点
为圆心的同一个圆上。
答案：
解：如图，连接 ， 。
∵ ， 是 △ 的高， 为 的中点，
1
∴ = = = =
2 ，
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∴ 点 ， ， ， 在以点 为圆心的同一个圆上。
知识点 3 与圆有关的概念
6.【2026 邯郸期中】下列说法中，正确的有 ( )
①直径是弦，但弦不一定是直径；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆；
④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧；
⑤长度相等的两条弧是等弧。
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：C
解析：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径是圆中最长的弦，直径
是弦，但弦不一定是直径，故①说法正确，符合题意；圆上任意两点间的部分叫作弧，半圆
是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意；半径决定圆的大小，半径相等的两个
圆是等圆，故③说法正确，符合题意；弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径
时，直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，故④说法不正确，不符合题意；只有
在同圆或等圆中长度相等的两条弧才是等弧，故⑤说法不正确，不符合题意。综上所述，正
确的说法有①②③，共 3 个，故选 C。
7.【2026南京质检】如图， 是 ⊙ 的直径，半径 ⊥ ，点 是弧 上的动点
（不与 ， ， 重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是 ， ，则在点 从 运动到
的过程中， 的长度 ( )
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定
答案：C
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解析：连接 ，如图。
∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴四边形 为矩形，
= 。∵ 是 ⊙ 的半径，长度是定值，∴ 的长度不变。故选 C。
8. 如图，圆 的周长为 4 ， 是弦 上任意一点（与 ， 不重合），过 作 的
平行线交 于点 ，则 + 的值为_________
答案：2
解析：∵圆 的周长为 4 ，∴ = 2。∵ = ，∴ ∠ = ∠ （等边对等角）。∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ （平行线的性质），∴ ∠ = ∠ （等量代换），∴ = （等角对等边），∴ +
= = 2。故答案为 2。
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29.2 过三点的圆
知识点 1 圆的确定
1.【2026大庆期中】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，只用一块
碎片去配镜子，则三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 ( )
A.① B.② C.③ D. 均不可能
答案：A 解析：①中有圆的两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交
点就是圆心，进而可得到半径的长。故选 A。
2.【2025 南京质检】若过平面直角坐标系中的三个点 (1,0)， (0,2)， ( 1, )能确定一个
圆，则 ≠________
答案：4 ， 解析：∵ (1,0)， (0,2)，∴易得直线 的解析式为 = 2 + 2，∴当 = 1
时， = 2 × ( 1) + 2 = 4，∴当 ≠ 4时，过平面直角坐标系中的三个点 (1,0)， (0,2)， (
1, )能确定一个圆。故答案为 4。
3【. 2026金华期中】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点 (0,2)，
(4,2)， (6,0)，解答下列问题：
(1) 请在图中确定该圆弧所在圆的圆心 点的位置，则 点坐标为_______。
(2) 在 (1) 的条件下，连接 ， ，求∠ 的度数。
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答案：(1)(2, 2)
解析：(1) 如图所示，连接 ，作线段 的垂直平分线，其与线段 的垂直平分线的交点即
为点 ，由图可知 (2, 2)。故答案为(2, 2)。
(2) 如图所示，连接
知识点 2 三角形的外接圆
4. 如图，在 4 × 4的正方形网格中， ， ， 是三个格点，其中每个小正方形的边长为 1，△
的外心可能是 ( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
答案：D
解析：由题图可知，△ 是锐角三角形，∴△ 的外心只能在其内部，由此排除 A、B 选
项。连接 ， ，由勾股定理得， = = 2 ≠ ，∴排除 C 选项，故选 D。
5.【2026绍兴期中】在 △ 中， = 6， = 8，那么这个三角形的外接圆半径是 ( )
A.5 B.10 C.5 或 4 D.10 或 8
答案：C
解析：①斜边是 ，即外接圆直径是 8，则半径为 4；②斜边是 ，即外接圆直径是
2 + 2 = 62 + 82 = 10，则半径为 5。故选 C。
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6.【2026平顶山期中】 是等腰三角形 的外接圆，圆心 到底边 的距离为 2cm， 的半
径为 6 cm，则腰 的长为 ( )
A.4 6 cm B.2 26 cm C.2 14 cm 或 2 26 cm D.4 6 cm 或 4 3 cm
答案：D
解析：连接 ， ，作 ⊥ 于 ，则可知 ， ， 共线。
如图 (1)，
∵ = 2 cm， = = 6 cm，∴ = 8 cm，
= 2 2 = 62 22 = 4 2 (cm)，
∴ = 2 + 2 = 82 + (4 2)2 = 4 6 (cm)。
如图 (2)
同 (1) 得 = 6 2 = 4 (cm)， = 2 + 2 = 42 + (4 2)2 = 4 3 (cm)。
综上，腰长 = 4 6 cm 或 4 3 cm。故选 D。
7.【2026武汉质检】已知锐角△ 中， = 5， = 2 5，高 = 4，能完全覆盖△
的圆的半径的最小值为______________
5 5
答案： 4
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解析：
= 5， = 2 5，高 = 4， = 2 2 = 3， = 2 2 = 2，
= + = 5， = = 5。
如图，过点 作 ⊥ 于点 ，作 的垂直平分线，与 交于点 ，与 交于点 ，连接 ，
1
点 即为△ 的外接圆圆心， = ，∠ = 90 ， = = = 52 ，
∴ = 2 2 = 52 ( 5)2 = 2 5。
5 5
∵ (2 5 )2 + ( 5)2 = 2，解得 = 4 。
5 5
∴能完全覆盖△ 的圆的半径的最小值为 4 。
知识点 3 反证法
8. 要运用反证法证明 “若 > > 0，则 > ”，首先应该假设 ( )
A. < B. = C. < D.
答案：D
解析：要运用反证法证明 “若 > > 0，则 > ”，首先应该假设 。故选 D。
9.【2026闵行区期中】用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个直角” 的过程可以归纳为
以下三个步骤，其正确的顺序应为 ( )
①∠ + ∠ + ∠ = 90 + 90 + ∠ > 180 ，这与三角形内角和为180 相矛盾，所以∠ = ∠ =
90 不成立。
②所以一个三角形中不能有两个直角。
③假设三角形的三个内角∠ ，∠ ，∠ 中有两个直角，不妨设∠ = ∠ = 90 。
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
答案：D
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29.3 垂直于弦的直径
知识点 1 圆的对称性
1. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：C ，解析：如图，由图可知，该图形有 6 条对称轴。故选 C。
知识点 2 垂径定理
2.【2026唐山质检】如图，某同学测量一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为 5
cm，假设球的截面与水面交于 A，B 两点， = 8cm。若从目前所处位置到完全落入水中的
时间为 4 s，则球体下落的平均速度为 ( )
A.0.5 cm/s B.0.75 cm/s C.1 cm/s D.2 cm/s
答案：A
解析：如图 ，
设圆心为 O，连接 ，过点 O 作 ⊥ ，交⊙ 于点 C，交 于点 D，则 = = 5cm，
1
= = 4cm。在 Rt △ 中， = 52 42 = 3(cm)，∴ = = 5 3 =2
2(cm)，∴球体下落的平均速度为 2 ÷ 4 = 0.5(cm/s)。故选 A。
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3. 如图，⊙ 的半径为 5，弦 = 8，点 M 是弦 上的动点，则 ( )
A.4 ≤ ≤ 5 B.3 ≤ < 5 C.3 < ≤ 5 D.3 ≤ ≤ 5
答案：D
解析：
当点 M 与点 A 或点 B 重合时， 最大，为 5。当 ⊥ 时，可得出 M 为 的中点，
1
此时 最小。连接 ，如图。在 Rt △ 中， = 5， = = 42 ，根据勾股定理得
=
52 42 = 3，∴ 3 ≤ ≤ 5。故选 D。
思路分析：当点 M 与点 A 或点 B 重合时， 最大，当 ⊥ 时， 最小，由此即可
求出 的取值范围。
4. 【2026哈尔滨质检】如图，在半径为 1 的扇形 中，∠ = 90 ，点 P 是弧 上任
意一点（不与点 A，B 重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 C，D，则 的长为_______
2
答案： 解析：连接 2 ，如图。
∵ = = 1，∠ = 90 ，∴ = 2 + 2 = 2。∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，
1 2 2
= ，∴ 为△ 的中位线，∴ = =2 2 。故答案为 2 。
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知识点 3 垂径定理的推论
5.【2026扬州质检】已知⊙ 的半径为 5， 是⊙ 的一条弦，E 是 的中点，过点 E 作
直径 ，若 = 8，则 的长是 ( )
A.8 B.2 C.2 或 8 D.3 或 7
答案：C
解析：当点 E 在 上时，如图 (1)，
1
连接 。∵ 是 的中点， 是⊙ 的直径，∴ ⊥ ， = = 4，∴ ∠ = 90 2 。
∵ = = 5，∴ = 2 2 = 52 42 = 3，∴ = + = 3 + 5 = 8。当点 E
在 上时，如图 (2)，
1
连接 。∵ 是 的中点， 是⊙ 的直径，∴ ⊥ ， = = 4，∴ ∠ = 90 2 。
∵ = = 5，∴ = 2 2 = 52 42 = 3，∴ = = 5 3 = 2。综上，
的长为 2 或 8，故选 C。
6. 【2026荆州期中】如图， 是⊙ 的直径，弦 交 于点 E，点 B 是劣弧 的中点，
连接 ， 。
(1) 求证： = 。
(2) 若∠ = 60 ，⊙ 的半径为 1，求弦 的长。
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答案：
(1) 证明：∵点 B 是劣弧 的中点， 是⊙ 的直径，∴ = ， ⊥ ，∴ = 。
(2) 解：如图， 连接 。∵ = ， ⊥ ，∠ = 60 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 30 ，∠ = 60 。∵ = 2 ，
1 1
∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ = 30 。∵ = 1，∴ = =2 2，
1 3
∴ = 12 ( )2
2 = 2 ，
∴ = 2 = 3。
7. 【2025龙岩期中】在⊙ 中，点 C 为弦 的中点，过点 C 的直径交⊙ 于点 D，E，如
果 = 8cm， = 5cm，那么 的长为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.2 cm 或 8 cm D.3 cm 或 8 cm
答案：C
解析：当点 D 在优弧 上时，如图 (1)，连接 。
1
∵点 C 为弦 的中点， 是⊙ 的直径， = 8cm，∴ ⊥ ， = = 4cm。又∵ =2
= 5cm，∴ = 2 2 = 52 42 = 3(cm)。∴ = + = 5 + 3 = 8(cm)。
当点 D 在劣弧 上时，如图 (2)，
同理， = = 5 3 = 2(cm)。综上， 的长为 2 cm 或 8 cm，故选 C。
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29.4 圆心角
知识点 1 圆心角的定义及计算
1.下列图形中的角是圆心角的是 ( )
A B C D
答案：B
解析：顶点在圆心的角叫作圆心角，4 个选项中只有 B 符合要求。
2.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：C
解析：如图，∵ = = ，∴△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 。故选 C。
知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系
3.下列说法中，正确的是 ( )
A. 等弦所对的弧相等
B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，所对的弦相等
D. 等弦所对的圆心角相等
答案：B
解析：A 选项，如图 (1)，
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弦 =弦 ，但是 ≠ ，故本选项不符合题意；
B 选项，在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C 选项，如图 (2)，
∠ = ∠ ，但是弦 和弦 不相等，故本选项不符合题意；
D 选项，如图 (3)，
弦 =弦 ，但是圆心角∠ 和∠ 不相等，故本选项不符合题意。故选 B。
3.【2026西安期末】如图， ， 是⊙ 的弦，且 = ，若∠ = 84 ，则∠ 的度
数为 ( )
A.42° B.44° C.46° D.48°
答案：D
解析：如图，连接 。

∵ = ，∴ = ，∴ = ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ = 84 。
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∵ = ，∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) = × (180 84 ) = 48 2 2 ，
故选 D。
5.【2025温州期中】如图， 为⊙ 的直径，点 是弧 的中点。过点 作 ⊥ 于点 ，
交⊙ 于点 ，若 = 8， = 3，则⊙ 的半径长是 ( )
25 25
A.4 B.5.5 C. 6 D. 3
答案：C
解析：连接 ，如图。设⊙ 的半径长为 。

∵ ⊥ ， 为⊙ 的直径，∴ = ， = 。∵点 是 的中点，∴ = ，
1
∴ = ，∴ = = 8，∴ = = 42 。
∵ = 3，∴ = 3。
在 Rt △ 中， 2 + 2 = 2，∴ 42
25
+ ( 3)2 = 2，解得 = 6，
25
∴⊙ 的半径长为 6 。故选 C。
6.【2026 哈尔滨质检】如图，已知锐角∠ ，在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为

半径作 ，交射线 于点 ，连接 ；分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，
；连接 ， 。下列四个结论：① = ；②∠ = ∠ ；③ ∥ ；④ = 3 ，
其中正确的结论是 ( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
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答案：C
解析：连接 ， ， ，如图。
由作图得， = = ， = = = ，①正确；

∴ = = ，∴ ∠ = ∠ ，②正确；

作 ⊥ 交 于 ，则 = ，∴ = ， ⊥ ，∴ ∥ ，③正确；
∵ = = ，∴ ≠ 3 ，④不正确。故选 C。
7. 某酒店的圆形旋转门，可看成如图所示由外围的⊙ 和 3 翼隔风玻璃组成，外围圆有通道
弧 和弧 ，且它们关于圆心 中心对称，圆内的 3 翼隔风玻璃可绕圆心 转动，且所成的
夹角∠ = ∠ = ∠ = 120 ，3 翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，
起到对大厅内保温的作用。例如：当隔风玻璃转到如图位置时，大厅内外空气被隔风玻璃 ，
隔离。则通道弧 所对圆心角的度数的最大值为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案：B
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解析：连接 ， ， ， 。∵ ∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
∴ ∠ 与∠ 的最小值为120 ，∴ ∠ 与∠ 最大值的和为120 。

∵弧 和弧 关于圆心 中心对称，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴弧 所对圆心角度数的最大值为60 ，故选 B。
8.【2026毕节期末】如图，已知 是⊙ 的直径，弦 与弦 交于点 ，且 ⊥ ，垂足

为点 ，若 是 的中点。
(1) 求∠ 的度数； (2) 若 = 8，求 的长。
答案：解：

如图，连接 。∵ 是 的中点，∴ = 。∵ ⊥ ，∴ = ，∴ = = ，
1
∴ ∠ = × 180 = 60
3 。
(2)如图，连接 。∵ 是⊙ 的直径， = 8，∴ = = 4。
1
∵ ∠ = 60 ，∴△ 是等边三角形。∵ ⊥ ，∴ = = 22 。
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29.5 圆周角
知识点 1 圆周角的定义
1.下列图形中，∠ 是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：圆周角的两个基本特征：①顶点在圆周上；②两边都与圆相交。由题图可知，∠ 是
圆周角的只有 B 选项，故选 B。
知识点 2 圆周角定理

2.如图， 是半圆 的直径，点 ， 将 分成相等的三段弧，点 在 上。已知点 在 上
且∠ = 115 ，则点 所在的弧是（ ）

A. B. C. D.
答案：D

解析：连接 ， 。∵ ∠ = 115 ，∠ 对应优弧 ，∴根据圆周角定理易知优弧

所对圆心角为230 ，则劣弧 所对圆心角∠ = 130 。∵ ， 为 的三等分点，∴ ∠ =

120 ，故点 应位于 上。
3.【2026 邯郸期中】如图，在⊙ 中，∠ = 18 ，∠ = 24 ，则∠ 的度数为（ ）
A. 40 B. 42 C. 66 D. 84
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答案：D
解析：如图，连接 。
∵ ∠ = 18 ，∠ = 24 ，∴ ∠ = 2∠ = 36 ，∠ = 2∠ = 48 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 48 + 36 = 84 。故选 D。
4.【2026黄石质检】如图，半径为 2 的⊙ 的弦 = ，且 ⊥ 于点 ，连接 ， ，
则 的长为（ ）
A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1
答案：A
解析：如图，连接 ， 。
由题意可得∠ = 90 ， = = 2，∴ = 2 + 2 = 22 + 22 = 2 2。故选 A。
5.如图，弦 所对的圆心角为80 ，则弦 所对的圆周角的度数为________。
答案：40 或140
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解析：如图， ∠ 和∠ 为弦 所对的圆周角。
1 1
∠ 和∠ 都对应 ，∠ = ∠ = × 80 = 40 2 2 。
易知∠ + ∠ = 180 ，∠ = 180 40 = 140 ，
即弦 所对的圆周角的度数为40 或140 。
知识点 3 圆周角定理的推论
6.如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在圆上且在直径 的两侧，若∠ = 25 ，则∠ 的度数
为（ ）
A. 40 B. 45 C. 65 D. 75
答案：C
解析：如图，连接 。
∵ 为⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 90 25 = 65 ，
∴ ∠ = ∠ = 65 。故选 C。
7.【2025南京质检】在每个小正方形的边长均为 1 的网格图中，一段圆弧经过格点 ， ， ，
格点 ， 的连线交圆弧于点 ，则 的长为_______。
26
答案： 2
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第 29 章 圆
解析：如图，连接 ， ， 。
每个小正方形的边长均为 1，
∴ = 12 + 52 = 26， = 22 + 32 = 13， = 22 + 32 = 13，
∴ 2 + 2 = 2， = ，∴ ∠ = 90 ，△ 是等腰直角三角形。
1 26
∵ ∠ = 90 ，∴ 是圆弧所在圆的直径，∴ ∠ = 90 ，即 ⊥ ，∴ = =2 2 。
8.已知 是⊙ 上一点，在⊙ 上作两点 ， ，使得∠ 分别满足以下条件：
(1) 在图 (1) 中，∠ = 90 ；（只用无刻度的直尺作图）
(2) 在图 (2) 中，∠ = 30 。（只用圆规作图）
（保留作图痕迹，不写作法）
图 (1) 图 (2)
答案：
(1) 如图 (1)，点 ， 即为所求。
(2) 如图 (2)，点 ， 即为所求 。
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29.6 圆内接四边形
知识点 1 圆内接四边形的定义
1.如图，四边形 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上，连接 ， ，小明通过
连接 ，得到圆内接四边形___________，小丽通过连接 ，得到圆内接四边形__________。
答案：连接 ，得到圆内接四边形 ；连接 ，得到圆内接四边形 。
解析：连接 ，如图 (1) ，如图 (2)，
知识点 2 圆内接四边形的性质
2.如图，在圆内接四边形 中，若∠ ，∠ ，∠ 的度数之比为 4: 3: 5，则∠ 的度数是（ ）
A.80 B.100 C.110 D.120
答案：D
解析：设∠ 的度数为 4 ，则∠ 的度数为 3 ，∠ 的度数为 5 。
∵四边形 为圆内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∠ + ∠ = 180 ，
∴ 4 + 5 = 180 ，解得 = 20 ，∴ ∠ = 3 = 60 ，∠ = 180 60 = 120 。故选 D。
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3.【2026杭州期中】如图，已知四边形 内接于⊙ ，连接 ，记∠ 的度数为 ，∠
的度数为 。若 = ， ∥ ，则（ ）
A.3 + 2 = 180 B.3 + 4 = 360 C.2 + 3 = 180 D.4 + 3 = 360
答案：A
解析：∠ = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = + 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
由三角形内角和定理得∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
1
∴ 2∠ + = 180 ，∴ ∠ = 90 2 。
1 1
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 + = 90 + 2 2 。
∵四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
1
∴ 90 + + + = 180 3 + 2 = 180
2 ，整理得 。故选 A。
4【. 2025大庆期末】如图，点 ， ， 在⊙ 上，四边形 是平行四边形，若对角线 = 2 3，
则 的长为_______。
答案：2
解析：
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第 29 章 圆
在⊙ 上找一点 ，连接 ， ， ， 交 于点 ，则∠ = 2∠ 。
∵四边形 是平行四边形，∴ ∠ = ∠ = 2∠ 。
∵四边形 是⊙ 的内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ + 2∠ = 180 ，∠ = 60 ，∠ = 120 。
∵四边形 是平行四边形， = ，∴四边形 是菱形，
1 1
∴ = = = × 2 3 = 3，∠ = 90 ，∴ ∠ = 30 2 2 ，
= 2 ，
∴ (2 )2 = 2 + ( 3)2，解得 = 1，∴ = 2 = 2。
5【. 2026徐州质检】如图，四边形 是⊙ 的内接四边形，∠ = 90 ，∠ = 120 ， = 4，
= 5，则⊙ 的面积为_______。
答案：7
解析：延长 ， 交于点 ，连接 。
由条件可知∠ = 180 120 = 60 ，∠ = 180 90 = 90 ，
∴ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∠ = 30 ，∴ = 2 。
∵ = 4，∴ = 2 = 8。∵ = 5，∴ = 3。∵ 2 2 = 2，∴ = 3，
∴ = 2 + 2 = 52 + ( 3)2 = 2 7，∴⊙ 的半径为 7，
∴⊙ 的面积为 × ( 7)2 = 7 。
6【. 2026宁波期末】如图，四边形 内接于⊙ ，∠ = 60 ，∠ = ∠ = 45 ， +
= 6，则⊙ 的半径长为__________。
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第 29 章 圆
答案： 6
解析：
过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 。
则∠ = 90 ，∵ ∠ = 45 ，∴△ 是等腰直角三角形， = ，∠ = 45 ，
∴ ∠ = ∠ = 45 。∵四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ = ∠ 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ， ∴△ △ ( )，∴ = 。
=
∵ + = 6，∴ = + = + = 6。
在 △ 中， = ，由勾股定理得 = 2 + 2 = 2 ，∴ = 3 2。
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 。
1
在 △ 中，∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 ， = 2 。
1
由勾股定理得 2 2 = 2，∴ 2 ( )2 = (3 2)2，解得 = 2 62 （负值已舍去），
∴⊙ 的半径长为 6。

7.如图，四边形 内接于⊙ ，△ 是等边三角形，⊙ 的半径为 2，点 在劣弧 上运
动（不与点 ， 重合）。

(1) 当点 在劣弧 中点时，四边形 的面积是___________；
(2) 求四边形 的面积 与线段 的长 之间的函数关系式。
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第 29 章 圆
3
答案：(1) 4 3 , (2) = 24
解析：(1)
∵△ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = 60 ，

∠ = ∠ = 60
1
。∵点 是劣弧 的中点，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30 2 ，
∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ 是⊙ 的直径， = 4，易得四边形 的面积为 4 3。
(2)
将△ 绕点 逆时针旋转60 ，得到△ ，则 = ，∠ = ∠ 。
∵四边形 是圆内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴点 ， ， 共线。∵ = ，∠ = 60 ，∴△ 是等边三角形，
3 3
∴四边形 的面积 = △ + 2 2△ = △ = = 4 ，即 4 。
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第 29 章 圆
29.7 弧长和扇形面积
知识点 1 与弧长有关的计算
1. “轮动发石机” 是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图 (1) 是陈列在
展览馆的仿真模型，图 (2) 是模型驱动部分的示意图，其中⊙ ，⊙ 的半径分别是 1 cm 和
10 cm，当⊙ 顺时针转动 2 周时，⊙ 上的点 随之旋转 ，则 =( )
A.120 B.108 C.90 D.72
图 (1) 图 (2)
答案：D
解析：⊙ 的半径为 1 cm，∴⊙ 的周长为 2 cm，∴⊙ 顺时针转动 2 周时，点 转动的
× 10
弧长为 4 cm，由弧长公式 = 4 = = 72180得： 180 ，解得 。
2.【2026广安质检】如图，在△ 中，∠ = 30 ，点 是 上一点，以 为直径的半圆

经过△ 的顶点 ，交 于点 ，若 = ， = 10，则 的长为 ( )
5 5 20 25
A.3 B.6 C. D.18 9
答案：C
解析：连接 ， 。
∵ = ， = ， = ，∴△ △ (SSS)，∴ ∠ = ∠ 。
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 2∠ 。
在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，即 3∠ + 30 = 180 ，
∴ ∠ = 50 ，∴ ∠ = 180 50 50 = 80 。
80 × 5 20
∵ = 10，∴半径 = = 5，∴ 的长为 =180 9 。
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第 29 章 圆
3.跨学科综合,一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10 cm， 是滑轮的一条半径，当
绕轴心 按逆时针方向旋转180 时，重物上升的高度为_________。
答案：10 cm
180 × × 10
解析：重物上升的高度等于旋转180 对应的弧长，由弧长公式得： = 10 180 （cm）。
4.如图，将矩形 绕着点 逆时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 落在边 上，若 =

6， = 3，则 （ 是旋转过程中 的运动轨迹）的长为_________。
3
答案： 4
解析：
连接 ， ，过点 作 ⊥ 于 ，则 = = 3。
由旋转的性质可知， = = 6， = 。
在 Rt △ 中， = ( 6)2 + ( 3)2 = 3。
在 Rt △ 中， = ( 6)2 ( 3)2 = 3，∴ = ，∴ ∠ = 45 。
45 3 3
由旋转可得，∠ = ∠ = 45 ，∴ 的长为 =180 4 。
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第 29 章 圆
知识点 2 与扇形面积有关的计算
5.如图，四边形 内接于半径为 3 的⊙ ， 是直径，若∠ = 110 ，则扇形 的面
积为 ( )
3
A. B. 2 C. 2 D.
2
答案：B

解析：∵ ∠ = 110 ，∴优弧 所对的圆心角的度数为110 × 2 = 220 。
∵ 是直径，∴ ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ = 220 ，∴ ∠ = 40 。
40 × × 32
∵⊙ 的半径为 3，∴扇形 的面积为 = 360 。
6. 如图 (1) 是边长为 1 的等边三角形铁丝框 ，按图 (2) 方式变形成以 为圆心， 长
为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形 的面积为_________。
1
答案：2
解析：设∠ = 。
∵等边三角形铁丝框 的边长为 1，∴ = = 1，∴ = 1，

180
× 1 180 × 12 1
由弧长公式得： = 1，解得 = ，∴所得扇形 =180 的面积为 360 2。
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第 29 章 圆

7. 如图，边长为 1 的正方形 的顶点 在扇形 的半径 上，点 ， 在 上，点 在
上，若∠ = 45 ，则扇形 的面积为_________。
5
答案：8
解析：连接 。∵ ∠ = 45 ，四边形 是正方形，
∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 45 = ∠ ，
∴ = = = = 1，∴ = 2。在 Rt △ 中，
= 2 + 2 = 12 + 22 = 5，
45 × × ( 5)2 5
∴扇形 的面积为 = 360 8 。

8.【2026 阳泉期末】如图， 是半圆 的直径，点 是 的中点，连接 ， ， ⊥
于点 。若∠ = 22.5 ， = 1，求阴影部分的面积。
2
答案： 阴影 = 4 2
解析：连接 ， 。

∵ ∠ = 22.5 ，∴ ∠ = 2∠ = 45 。∵点 是 的中点，∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴△ 为等腰直角三角形，∴ = 2。
45 × ( 2)2 1 1 2
扇形 = = ， △ = = × 2 × 1 =360 4 2 2 2
，
2
∴ 阴影 = 扇形 △ = 4 2 。
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第 29 章 圆
29.8 圆锥的侧面积和全面积
知识点 1 圆锥的相关面积计算
1.【2025南通期中】某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥形工艺品。若这种圆锥形
工艺品的母线长为 90 cm，底面圆的直径为 80 cm，则该圆锥形工艺品的全面积为 ( )
A. 3600 cm2 B. 5200 cm2 C. 7200 cm2 D. 8800 cm2
答案：B
解析：∵ 底面圆直径为 80 cm，∴ 底面圆半径 = 40cm。
底面积： 底 =
2 = × 402 = 1600 cm2。
侧面积： 侧 = = × 40 × 90 = 3600 cm
2。
全面积： 全 = 底 + 侧 = 1600 + 3600 = 5200 cm
2。
2.【2026三明期中】小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗，若漏斗的底面
圆的直径为 6 cm，高为 4 cm，则扇形卡纸的面积是_________ cm2。
答案：15
解析：∵ 底面圆直径为 6 cm，∴ 底面半径 = 3cm，高 h = 4cm。
母线长： = 2 + h2 = 32 + 42 = 5cm。扇形面积： = = × 3 × 5 = 15 cm2。
知识点 2 圆锥的侧面展开图及相关计算
3.【2025 青岛期中】为了响应乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人
也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 10 ，侧面积为 75 的圆
锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角度数为 ( )
A. 150 B. 120 C. 180 D. 100
答案：B
1
解析：设扇形半径为 ，由侧面积公式 ×底面周长 × = 75 2 ，
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第 29 章 圆
1
得 × 10 × = 75 ，解得 = 152 。
× 15设圆心角度数为 ，由弧长公式 = 10 180 ，得 180
= 10 ，解得 = 120。
4. 如图，将扇形 纸片沿着半径剪成两个扇形，∠ = 164 ，其中较小的扇形的圆心角
为 ，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为 甲；较大的扇形的圆心角为(164 )
，
围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为 乙。若 乙 = 9 甲，则 的值为 ( )
A. 41 B. 45 C. 36 D. 40
答案：A
2 2
解析：设 = ，圆锥甲底面半径： 2甲 = =180 × 2 360， 甲 = ( ) = 。360 3602
(164 ) (164 ) (164 ) (164 )2 2
圆锥乙底面半径： 乙 = ( )
2
180 × 2 = 360 ， 乙 = 360 = 。3602
(164 )2 2 2 2
由 乙 = 9 甲，得： 2 = 9 × 2，即(164 )
2 = 9 2，
360 360
开方得 164 = 3 （舍去负根），解得 = 41。
5.【2026 营口期末】如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆（圆与
扇形及正方形纸片的两边相切），圆的圆心 2与扇形的圆心 1在正方形纸片对角线上，用扇形
围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长 16 cm，则这张正
方形纸片的边长是 ( )
A. 16 2cm B. (10 2 + 4)cm C. 20cm D. 18 2cm
答案：B
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第 29 章 圆
解析：
90 × 16
设圆锥底面半径为 ，扇形圆心角为90 ，由弧长等于底面周长：2 = ，解得 = 4180 。
过 2作正方形两边垂线，四边形 2 为正方形， 2 = 2 = 4 2cm。
2
对角线长：16 + 4 + 4 2 = (20 + 4 2)cm，边长： × (20 + 4 2) = (10 2 + 4)cm2 。
6【. 2025呼和浩特期中】如图是平行四边形纸片 ， = 36cm，∠ = 110 ，∠ = 50 ，
点 M为 BC的中点，若以 M为圆心，MC为半径画弧交对角线 BD于点 N，则∠NMC = _________ ；
将扇形 MCN纸片剪下来围成一个无底的圆锥（无重叠且无缝隙），则这个圆锥的底面半径为 cm。
答案：40；2
解析：∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ∠ = 180 ∠ = 70 ，∠ = ∠ ∠ = 20 。
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 20 。∵ 是 中点，∴ = ，又 = ，
∴ = = ，∠ = 2∠ = 40 。
40 × 18
∵ = 36cm，∴ = 18cm，弧 长： = 4 180 。
设底面半径为 ，则 2 = 4 ，解得 = 2。
7.【2025苏州质检】如图，在△ 中， = 2，∠ = 30 ，∠ = 45 ，将△ 绕点
逆时针旋转一定的角度至△ ，若用扇形 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径

为 11；用扇形 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径为 2，则 =_________ 。（结果2
保留根号）
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第 29 章 圆
答案： 3 1
解析：
过 作 ⊥ 于 ，在 Rt △ 中，∠ = 30 ， = 2，
∴ = 1， = 2 2 = 3。
在 Rt △ 中，∠ = 45 ，∴ = = 1， = + = 3 + 1。
× 2 × ( 3 + 1)设∠ = ∠ = ，2 1 = 180 ，
2 2 = 180 ，
( 3 + 1) 1 2∴ 1 = ， 2 = ， = = 3 1180 360 。2 3 + 1
8.【2026 宜昌期末】已知等腰三角形的周长为 8 dm，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成
一个圆锥（如图所示）。试确定旋转形成的圆锥的侧面积的取值范围，并写出对应腰长的取值
范围。
答案：
腰长取值范围：2 < < 4；
圆锥侧面积取值范围：0 < < 4 。
解析：设等腰三角形腰长为 dm，圆锥侧面积为 dm2，底面周长为 8 2 ，
1
侧面积： = (8 2 ) = ( 2)2 + 4 2 。
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第 29 章 圆
由三角形三边关系： < 8 2 < + ，得 2 < < 4。
∵ < 0，抛物线开口向下，对称轴 = 2，
当 2 < < 4时， 随 增大而减小， = 2时， = 4 ； = 4 时， = 0，∴ 0 < < 4 。
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