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第 29 章 圆
29.1 圆的有关概念
1、[2026安阳联考]如图，A，B，C三点在⊙ 上，若 ∥ ，∠ = 34 ，则∠ 的度数是( )
A.73 B.74 C.83 D.84
2、[2026南京月考]已知点 到圆上的最远距离是 5cm，最近距离是 1cm，则此圆的半径长是
______cm。
3、[2026天津月考]如图， 是⊙ 的弦， 是 上一点，且 ⊥ ， = = 1，则∠
的度数为______，⊙ 的半径长为______。
4、[2026广州期中]设⊙ 的半径为 2，点 到圆心的距离 = ，且 使关于 的方程 2 2
2 2 + 1 = 0有两个不相等的实数根，则点 在⊙ ______。（填“内”“外”或“上”）
5、 [2025遵义期末]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = 3， = 4，点 是 边上的一
个动点，以点 为圆心， 长为半径作圆，若点 在⊙ 内且点 在⊙ 外，则⊙ 的半径可以
是_________________。
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第 29 章 圆
6、教材练习变式、如图，△ 和△ 都为直角三角形，且∠ = ∠ = 90 。求证： ， ，
， 四点在同一个圆上。
7、[2026顺义期末]图 1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”。
图 2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的对称中心都是点 ，正方形的边长 = 7 2mm，
是⊙ 上的动点，若 的最小值为 6mm，则⊙ 的面积为______mm2。
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微专题 一题多变 半径相等的应用
1. 连半径构造等腰三角形 [2026东莞光明中学期中]如图， 是⊙ 的直径， 是 延长线
上一点，点 在⊙ 上，且 = ， 的延长线交⊙ 于点 。若∠ = 20 ，则∠ 的度数
是_____。
2. 等圆中连半径构造等腰三角形 如图，点 ， 分别在△ 的边 ， 上，过 ， ，
三点的圆的圆心为点 ，过 ， ， 三点的圆的圆心为点 。如果∠ = 63 ，那么∠ =______。
3. 结合菱形，连半径得直角三角形 [2026温州苍南月考]如图，在菱形 中，过 ， ，
三点的⊙ 交对角线 的延长线于点 ，连接 。若 = = 1，则菱形的边长为______。
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29.2 过三点的圆
1、用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内
2、[2026扬州期中]在平面直角坐标系中，若 (1, 1)， (3,3)， (5, )三点可以确定一个圆，
则 的取值范围是( )
A. ≠ 3 B. ≤ 5 C. > 6 D. ≠ 7
3、[2026淮安期中]如图，在平面直角坐标系中， (1,6)， (5,6)， (7,4)。
(1)在网格中画出经过 ， ， 三点的圆弧所在圆的圆心 ，并写出 的坐标：。
(2)这个圆的半径长为。
(3)直接判断点 (5, 3)与⊙ 的位置关系，点 (5, 3)在⊙ ______。（填“内”“外”“上”）
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29.3 垂直于弦的直径
1、[2025济宁期中]已知⊙ 的半径为 2，点 为⊙ 内一定点，且 = 1。过点 作⊙ 的弦，
其中最短的弦的长度是( )
A.4 B. 3 C.2 3 D.2
2、教材练习变式 如图，在⊙ 中，弦 的长为 8， ⊥ 于点 ，且 = 3，弦 ⊥
于点 。若 = 2，则 的长为( )
A.5 B.10 C.2 21 D.2 15
3、[2025金华期中]如图，在⊙ 内有折线 ，点 ， 在⊙ 上。若 = 4， = 10，∠ =
∠ = 60 ，则 的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4、如图，在平面直角坐标系中，直径为 10的⊙ 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，且点 ，
的坐标分别为( 2,0)，(4,0)，则圆心 的坐标为______。
5、[2025北京期末]在半径为 5的圆中，有两条弦的长分别为 6和 8，这两条弦的中点的距离
的取值范围是______。
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6、如图，将一个矩形纸片盖在⊙ 上，矩形的边与圆交于点 ， ， = 4mm，已知⊙ 的
顶端到直线 的距离为 4mm，求⊙ 半径的长。
7、 一题多解 如图，在⊙ 中， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦， 的中点 在直径 上，
= 8， = 2。
(1)求⊙ 的面积；（结果保留 ）
(2)连接 ，过圆心 向 作垂线，垂足为点 ，求 的长。
8、推理能力 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 = 20cm，底面直径 =
12cm，球的最高点到瓶底面的距离为 32cm，则球的半径为______cm。（玻璃瓶厚度忽略不计）
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29.4 圆心角

1、 如图， ， 是⊙ 的两段弧，且 = 2 ，则弦 与 之间的关系为( )
A. = 2 B. < 2 C. > 2 D.不能确定
2、[2025北京期中]计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。
如图是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为 时，线段 MN
的长度记为 d(x)。下列描述正确的是( )
A.当x1 < x2时，d(x1) < d(x2) B.当 d(x1) < d(x2)时，x1 < x2
C.当x1 = 2x2时，d(x1) = 2d(x2) D.当x1 + x2 = 1时，d(x1) = d(x2)
3、如图，点 ， ， 在⊙ 上，分别连接 ， ， 。若 = ，∠ = 40 ，则∠
的度数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
第 3题图 第 4题图

4、[2025武汉中考]如图，四边形 内接于⊙ ， = 2 。若 = 6， = 13，则⊙
的半径是( )
13 7 9
A. 4 B.
5
2 C.2 D.
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5、如图， 是半圆 的三等分点， 是 的中点， 是直径 上一动点，⊙ 的半径为 1，
则 + 的最小值为______。

6、已知 ， ， 为⊙ 上的点，且 = ， 为⊙ 的直径， ⊥ 于点 。
(1)求证： = 2 ；
(2)若 = 1， = 4，求 的长。
7、推理能力 如图，在⊙ 中， ， 是直径 上的两点，且 = ， ⊥ ， ⊥ ，
点 ， 在⊙ 上。

(1)求证： = ；

(2)若 ， 分别为 ， 的中点，则 = = 成立吗？请说明理由。
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29.5 圆周角
1、[2026邯郸期中]如图， 是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在 上方的圆弧上，∠1，
∠4的一边分别经过点 ， ，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4的度数为( )
A.45 B.90 C.135 D.180

2、[2026广州期末]如图，直径为 的⊙ 上有一点 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转一定

角度得到 ，点 恰好落在直径 上。

(1)若 = ，则 = ；
AB
(2)若 BC与BD相交于点 E，且DE = BE，则 =BC 。
3、[2025宿迁期中]如图，以△ 的一边 为直径的半圆与其他两边 ， 分别交于点 ，
，且 为 的中点。若 = 8， = 4，则 的长为______。
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4、 [2026越秀期末]如图，⊙ 是△ 的外接圆， 平分∠ ，交 于点 ，交⊙ 于点
， 平分∠ ，交 于点 ，连接 。
(1)求证：∠ = ∠ ；

(2)若点 是 的中点，求证： = 。

5、[2026浙江期中]如图，矩形 的四个顶点均在⊙ 上， 是 上一动点，连接 ， ，
= 8， = 6。
(1)求⊙ 的半径长；
(2)若 = 5 2，求 的长。
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6、模型观念 如图，已知 = = ，∠ = 2∠ ，∠ = 44 ，则∠ 的度数为( )
A.68 B.88 C.90 D.112
微专题 一题练透 圆的基本性质的相关计算
7、如图 1， 是⊙ 的直径，点 ， 在圆上，连接 ， ， ， ， 与 交于点 。
图 1 图 2
(1)若∠ = 20 ，则∠ = ______ ；
(2)连接 OA，若 OA ∥ CD，且∠BDC = 50 ，则∠OBA = ______ ；
(3)若 = ，则∠ =____________ ；
(4)当 ⊥ 时，如图 2。
①若 = 8， = 2 5，求直径 的长；
②若 = 4， = 2，求直径 的长；
③将题目中“ 是⊙ 的直径”改为“ 是⊙ 的弦”，若 = 4， = 2，求⊙ 的直径。
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29.6 圆内接四边形
1、[2025滨州中考]如图，四边形 内接于⊙ ，若四边形 是菱形，则∠ =______ 。
第 1题图 第 2题图
2、如图，在⊙ 的内接四边形 中， = ，∠ = 130 ，则∠ 的度数为______ 。
3、[2026湖州期末]某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形。
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形。
(1)甲同学的说法______，乙同学的说法______。（填“正确”或“错误”）
(2)如图 1，⊙ 的半径为 3，矩形 内接于⊙ 。丙同学发现圆内接矩形有无数个，且当
该矩形为正方形时，其面积最大。请你判断当圆内接矩形的面积最大时，△ 的形状，并求
出圆内接矩形的最大面积。
(3)如图 2，这两个圆是以点 为圆心的同心圆， = 3， = 4，矩形 的两边 和
分别为这两个圆的弦。请你求出矩形 面积的最大值。
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29.7 弧长和扇形面积
1、如图，在地球上， ， 两地经度相同，纬度分别为15（ 即∠ = 15 ）和60（ 即∠ = 60 ）。

已知地球的半径约为 6400km，则地球表面两地的距离（即 的长）约为( )
A.4500km B.5000km C.5500km D.6000km
第 1题图 第 2题图

2、[2026河南中考]如图，⊙ 是边长为 4 3的等边三角形 的外接圆， 是 的中点，连
接 ， 。以点 为圆心， 的长为半径在⊙ 内画弧，则阴影部分的面积为( )
8 16
A. B.4 3 C. 3 D.
16
3、[2025德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日
常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等。如图，分别以等边三角
形 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），
如果 = 1，那么这个等宽曲线的周长是_________。
第 3题图 第 4题图
4、[2026无锡期中]如图，已知扇形 ，在其内部作一个菱形 ，其中点 ， 分别在 ，

上，点 在 上，连接 。若 = 4，∠ = 80 ，则图中阴影部分面积的和为______。
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5、[2025秦皇岛期中]如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 1， = 3，将△ 绕着点
逆时针旋转90 得到△ ，则图中阴影部分的面积是________。
6、如图，以等边三角形 的边 为直径作半圆⊙ ，交 于点 ，交 于点 ， = 6。

(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积。

7、运算能力 如图，在扇形 中，∠ = 60 ， 平分∠ 交 于点 ，点 为半径
上一动点。若 = 2，则阴影部分周长的最小值为________________。
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