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第 29 章 圆
29.1 圆的有关概念
知识点 1 圆的定义
1.【2026绥化期末】车轮为什么都做成圆形？下面解释最合理的是 ( )
A. 圆形是轴对称图形
B. 圆形特别美观大方
C. 圆形是曲线图形
D. 圆心到圆上任意一点的距离都相等
知识点 2 点和圆的位置关系
2.【2026郑州质检】⊙ 的半径为 5，圆心 的坐标为(0,0)，点 的坐标为 (3,4)，则点
与 ⊙ 的位置关系是 ( )
A. 点 在 ⊙ 内 B. 点 在 ⊙ 上
C. 点 在 ⊙ 外 D. 点 在 ⊙ 上或外
3.【2026丹东期末】如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 的中点 处建一个 5G 基
站，其覆盖半径为 300 m，则这三栋楼中在该 5G 基站覆盖范围内的是 ( )
A. ， ， 都不在 B.
C. ， D. ， ，
4.【2026烟台期末】已知点 为平面内一点，若点 到 ⊙ 上的点的最大距离为 5，最
小距离为 1，则 ⊙ 的半径为_________________
5. 如图， ， 是 △ 的高， 为 的中点。试说明：点 ， ， ， 在以点
为圆心的同一个圆上。
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第 29 章 圆
知识点 3 与圆有关的概念
6.【2026 邯郸期中】下列说法中，正确的有 ( )
①直径是弦，但弦不一定是直径；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆；
④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧；
⑤长度相等的两条弧是等弧。
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
7.【2026南京质检】如图， 是 ⊙ 的直径，半径 ⊥ ，点 是弧 上的动点
（不与 ， ， 重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是 ， ，则在点 从 运动到
的过程中， 的长度 ( )
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定
8. 如图，圆 的周长为 4 ， 是弦 上任意一点（与 ， 不重合），过 作 的
平行线交 于点 ，则 + 的值为_________
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29.2 过三点的圆
知识点 1 圆的确定
1.【2026大庆期中】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，只用一块
碎片去配镜子，则三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 ( )
A.① B.② C.③ D. 均不可能
2.【2025南京质检】若过平面直角坐标系中的三个点 (1,0)， (0,2)， ( 1, )能确定一个
圆，则 ≠________
3【. 2026金华期中】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点 (0,2)，
(4,2)， (6,0)，解答下列问题：
(1) 请在图中确定该圆弧所在圆的圆心 点的位置，则 点坐标为_______。
(2) 在 (1) 的条件下，连接 ， ，求∠ 的度数。
知识点 2 三角形的外接圆
4. 如图，在 4 × 4的正方形网格中， ， ， 是三个格点，其中每个小正方形的边长为 1，△
的外心可能是 ( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
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5.【2026绍兴期中】在 △ 中， = 6， = 8，那么这个三角形的外接圆半径是 ( )
A.5 B.10 C.5 或 4 D.10 或 8
6.【2026平顶山期中】 是等腰三角形 的外接圆，圆心 到底边 的距离为 2cm， 的半
径为 6 cm，则腰 的长为 ( )
A.4 6 cm B.2 26 cm C.2 14 cm 或 2 26 cm D.4 6 cm 或 4 3 cm
7.【2026武汉质检】已知锐角△ 中， = 5， = 2 5，高 = 4，能完全覆盖△
的圆的半径的最小值为______________
知识点 3 反证法
8. 要运用反证法证明 “若 > > 0，则 > ”，首先应该假设 ( )
A. < B. = C. < D.
9.【2026闵行区期中】用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个直角” 的过程可以归纳为
以下三个步骤，其正确的顺序应为 ( )
①∠ + ∠ + ∠ = 90 + 90 + ∠ > 180 ，这与三角形内角和为180 相矛盾，所以∠ = ∠ =
90 不成立。
②所以一个三角形中不能有两个直角。
③假设三角形的三个内角∠ ，∠ ，∠ 中有两个直角，不妨设∠ = ∠ = 90 。
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
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29.3 垂直于弦的直径
知识点 1 圆的对称性
1. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
知识点 2 垂径定理
2.【2026唐山质检】如图，某同学测量一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为 5
cm，假设球的截面与水面交于 A，B 两点， = 8cm。若从目前所处位置到完全落入水中的
时间为 4 s，则球体下落的平均速度为 ( )
A.0.5 cm/s B.0.75 cm/s C.1 cm/s D.2 cm/s
3. 如图，⊙ 的半径为 5，弦 = 8，点 M 是弦 上的动点，则 ( )
A.4 ≤ ≤ 5 B.3 ≤ < 5 C.3 < ≤ 5 D.3 ≤ ≤ 5
4. 【2026哈尔滨质检】如图，在半径为 1 的扇形 中，∠ = 90 ，点 P 是弧 上任
意一点（不与点 A，B 重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 C，D，则 的长为_______
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知识点 3 垂径定理的推论
5.【2026扬州质检】已知⊙ 的半径为 5， 是⊙ 的一条弦，E 是 的中点，过点 E 作
直径 ，若 = 8，则 的长是 ( )
A.8 B.2 C.2 或 8 D.3 或 7
6. 【2026荆州期中】如图， 是⊙ 的直径，弦 交 于点 E，点 B 是劣弧 的中点，
连接 ， 。
(1) 求证： = 。
(2) 若∠ = 60 ，⊙ 的半径为 1，求弦 的长。
7. 【2025龙岩期中】在⊙ 中，点 C 为弦 的中点，过点 C 的直径交⊙ 于点 D，E，如
果 = 8cm， = 5cm，那么 的长为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.2 cm 或 8 cm D.3 cm 或 8 cm
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29.4 圆心角
知识点 1 圆心角的定义及计算
1.下列图形中的角是圆心角的是 ( )
A B C D
2.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系
3.下列说法中，正确的是 ( )
A. 等弦所对的弧相等
B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，所对的弦相等
D. 等弦所对的圆心角相等
3.【2026西安期末】如图， ， 是⊙ 的弦，且 = ，若∠ = 84 ，则∠ 的度
数为 ( )
A.42° B.44° C.46° D.48°
第 4题图 第 5题图
5.【2025温州期中】如图， 为⊙ 的直径，点 是弧 的中点。过点 作 ⊥ 于点 ，
交⊙ 于点 ，若 = 8， = 3，则⊙ 的半径长是 ( )
25 25
A.4 B.5.5 C. 6 D. 3
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6.【2026 哈尔滨质检】如图，已知锐角∠ ，在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为

半径作 ，交射线 于点 ，连接 ；分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，
；连接 ， 。下列四个结论：① = ；②∠ = ∠ ；③ ∥ ；④ = 3 ，
其中正确的结论是 ( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
第 6题图 第 7题图
7. 某酒店的圆形旋转门，可看成如图所示由外围的⊙ 和 3 翼隔风玻璃组成，外围圆有通道
弧 和弧 ，且它们关于圆心 中心对称，圆内的 3 翼隔风玻璃可绕圆心 转动，且所成的
夹角∠ = ∠ = ∠ = 120 ，3 翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，
起到对大厅内保温的作用。例如：当隔风玻璃转到如图位置时，大厅内外空气被隔风玻璃 ，
隔离。则通道弧 所对圆心角的度数的最大值为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
8.【2026毕节期末】如图，已知 是⊙ 的直径，弦 与弦 交于点 ，且 ⊥ ，垂足

为点 ，若 是 的中点。
(1) 求∠ 的度数； (2) 若 = 8，求 的长。
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29.5 圆周角
知识点 1 圆周角的定义
1.下列图形中，∠ 是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
知识点 2 圆周角定理

2.如图， 是半圆 的直径，点 ， 将 分成相等的三段弧，点 在 上。已知点 在 上
且∠ = 115 ，则点 所在的弧是（ ）

A. B. C. D.
第 2题图 第 3题图
3.【2026 邯郸期中】如图，在⊙ 中，∠ = 18 ，∠ = 24 ，则∠ 的度数为（ ）
A. 40 B. 42 C. 66 D. 84
4.【2026黄石质检】如图，半径为 2 的⊙ 的弦 = ，且 ⊥ 于点 ，连接 ， ，
则 的长为（ ）
A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1
第 4题图 第 5题图
5.如图，弦 所对的圆心角为80 ，则弦 所对的圆周角的度数为________。
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第 29 章 圆
知识点 3 圆周角定理的推论
6.如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在圆上且在直径 的两侧，若∠ = 25 ，则∠ 的度数
为（ ）
A. 40 B. 45 C. 65 D. 75
7.【2025南京质检】在每个小正方形的边长均为 1 的网格图中，一段圆弧经过格点 ， ， ，
格点 ， 的连线交圆弧于点 ，则 的长为_______。
8.已知 是⊙ 上一点，在⊙ 上作两点 ， ，使得∠ 分别满足以下条件：
(1) 在图 (1) 中，∠ = 90 ；（只用无刻度的直尺作图）
(2) 在图 (2) 中，∠ = 30 。（只用圆规作图）
（保留作图痕迹，不写作法）
图 (1) 图 (2)
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29.6 圆内接四边形
知识点 1 圆内接四边形的定义
1.如图，四边形 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上，连接 ， ，小明通过
连接 ，得到圆内接四边形___________，小丽通过连接 ，得到圆内接四边形__________。
知识点 2 圆内接四边形的性质
2.如图，在圆内接四边形 中，若∠ ，∠ ，∠ 的度数之比为 4: 3: 5，则∠ 的度数是（ ）
A.80 B.100 C.110 D.120
3.【2026杭州期中】如图，已知四边形 内接于⊙ ，连接 ，记∠ 的度数为 ，∠
的度数为 。若 = ， ∥ ，则（ ）
A.3 + 2 = 180 B.3 + 4 = 360
C.2 + 3 = 180 D.4 + 3 = 360
第 3题图 第 4题图
4【. 2025大庆期末】如图，点 ， ， 在⊙ 上，四边形 是平行四边形，若对角线 = 2 3，
则 的长为_______。
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第 29 章 圆
5【. 2026徐州质检】如图，四边形 是⊙ 的内接四边形，∠ = 90 ，∠ = 120 ， = 4，
= 5，则⊙ 的面积为_______。
6【. 2026宁波期末】如图，四边形 内接于⊙ ，∠ = 60 ，∠ = ∠ = 45 ， +
= 6，则⊙ 的半径长为__________。

7.如图，四边形 内接于⊙ ，△ 是等边三角形，⊙ 的半径为 2，点 在劣弧 上运
动（不与点 ， 重合）。

(1) 当点 在劣弧 中点时，四边形 的面积是___________；
(2) 求四边形 的面积 与线段 的长 之间的函数关系式。
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29.7 弧长和扇形面积
知识点 1 与弧长有关的计算
1. “轮动发石机” 是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图 (1) 是陈列在
展览馆的仿真模型，图 (2) 是模型驱动部分的示意图，其中⊙ ，⊙ 的半径分别是 1 cm 和
10 cm，当⊙ 顺时针转动 2 周时，⊙ 上的点 随之旋转 ，则 =( )
A.120 B.108 C.90 D.72
图 (1) 图 (2)
2.【2026广安质检】如图，在△ 中，∠ = 30 ，点 是 上一点，以 为直径的半圆

经过△ 的顶点 ，交 于点 ，若 = ， = 10，则 的长为 ( )
5 5 20 25
A.3 B.6 C. D.9 18

3.跨学科综合,一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10 cm， 是滑轮的一条半径，当
绕轴心 按逆时针方向旋转180 时，重物上升的高度为_________。
第 3题图 第 4题图
4.如图，将矩形 绕着点 逆时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 落在边 上，若 =

6， = 3，则 （ 是旋转过程中 的运动轨迹）的长为_________。
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第 29 章 圆
知识点 2 与扇形面积有关的计算
5.如图，四边形 内接于半径为 3 的⊙ ， 是直径，若∠ = 110 ，则扇形 的面
积为 ( )
3
A. B. C. D.2 2 2
第 5题图 第 6题图
6. 如图 (1) 是边长为 1 的等边三角形铁丝框 ，按图 (2) 方式变形成以 为圆心， 长
为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形 的面积为_________。

7. 如图，边长为 1 的正方形 的顶点 在扇形 的半径 上，点 ， 在 上，点 在
上，若∠ = 45 ，则扇形 的面积为_________。

8.【2026 阳泉期末】如图， 是半圆 的直径，点 是 的中点，连接 ， ， ⊥
于点 。若∠ = 22.5 ， = 1，求阴影部分的面积。
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第 29 章 圆
29.8 圆锥的侧面积和全面积
知识点 1 圆锥的相关面积计算
1.【2025南通期中】某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥形工艺品。若这种圆锥形
工艺品的母线长为 90 cm，底面圆的直径为 80 cm，则该圆锥形工艺品的全面积为 ( )
A. 3600 cm2 B. 5200 cm2 C. 7200 cm2 D. 8800 cm2
2.【2026三明期中】小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗，若漏斗的底面
圆的直径为 6 cm，高为 4 cm，则扇形卡纸的面积是_________ cm2。
知识点 2 圆锥的侧面展开图及相关计算
3.【2025 青岛期中】为了响应乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人
也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 10 ，侧面积为 75 的圆
锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角度数为 ( )
A. 150 B. 120 C. 180 D. 100
4. 如图，将扇形 纸片沿着半径剪成两个扇形，∠ = 164 ，其中较小的扇形的圆心角
为 ，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为 甲；较大的扇形的圆心角为(164 )
，
围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为 乙。若 乙 = 9 甲，则 的值为 ( )
A. 41 B. 45 C. 36 D. 40
5.【2026 营口期末】如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆（圆与
扇形及正方形纸片的两边相切），圆的圆心 2与扇形的圆心 1在正方形纸片对角线上，用扇形
围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长 16 cm，则这张正
方形纸片的边长是 ( )
A. 16 2cm B. (10 2 + 4)cm
C. 20cm D. 18 2cm
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第 29 章 圆
6【. 2025呼和浩特期中】如图是平行四边形纸片 ， = 36cm，∠ = 110 ，∠ = 50 ，
点 M为 BC的中点，若以 M为圆心，MC为半径画弧交对角线 BD于点 N，则∠NMC = _________ ；
将扇形 MCN纸片剪下来围成一个无底的圆锥（无重叠且无缝隙），则这个圆锥的底面半径为 cm。
7.【2025苏州质检】如图，在△ 中， = 2，∠ = 30 ，∠ = 45 ，将△ 绕点
逆时针旋转一定的角度至△ ，若用扇形 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径

为 1；用扇形
1
围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面半径为 2，则 =_________ 。（结果2
保留根号）
8.【2026 宜昌期末】已知等腰三角形的周长为 8 dm，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成
一个圆锥（如图所示）。试确定旋转形成的圆锥的侧面积的取值范围，并写出对应腰长的取值
范围。
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