资源简介

第 29 章 圆
29.1 圆的有关概念
1、[2026安阳联考]如图，A，B，C三点在⊙ 上，若 ∥ ，∠ = 34 ，则∠ 的度数是( )
A.73 B.74 C.83 D.84
答案：A
解析：
连接 ，∵ = ，∠ = 34 ，∴ ∠ = ∠ = 34 。
1
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 34 。∵ = ，∴ ∠ = (180 ∠ ) = 73 2 。
2、[2026南京月考]已知点 到圆上的最远距离是 5cm，最近距离是 1cm，则此圆的半径长是
______cm。
答案：3或 2
解析：当点 在圆内时，∵点 到圆上的最远距离是 5cm，最近距离是 1cm，
∴圆的直径长是 5 + 1 = 6(cm)，∴半径长是 3cm；
当点 在圆外时，∵点 到圆上的最远距离是 5cm，最近距离是 1cm，
∴圆的直径长是 5 1 = 4(cm)，∴半径长是 2cm。
综上，圆的半径长是 3cm或 2cm。
3、[2026天津月考]如图， 是⊙ 的弦， 是 上一点，且 ⊥ ， = = 1，则∠
的度数为______，⊙ 的半径长为______。
79/129
第 29 章 圆
答案：30 ； 3
解析：连接 ，
∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ 。∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 。在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
即∠ + ∠ + ∠ + 90 = 180 ，解得∠ = 30 。∴在 Rt △ 中，半径长为 3。
4、[2026广州期中]设⊙ 的半径为 2，点 到圆心的距离 = ，且 使关于 的方程 2 2
2 2 + 1 = 0有两个不相等的实数根，则点 在⊙ ______。（填“内”“外”或“上”）
答案：内
解析：∵方程 2 2 2 2 + 1 = 0有两个不相等的实数根，
∴ ( 2 2)2 4 × 2 × ( 1) > 0，解得 < 2。
∵⊙ 的半径为 2，∴点 在⊙ 内。
5、 [2025遵义期末]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = 3， = 4，点 是 边上的一
个动点，以点 为圆心， 长为半径作圆，若点 在⊙ 内且点 在⊙ 外，则⊙ 的半径可以
是_________________。
80/129
第 29 章 圆
答案：3（答案不唯一）
解析： 连接 ，当 = 时，设 = = 。
25
∵ 2 = 2 + 2，∴ 2 = 32 + (4 )2，解得 = 8。
当 = 时， = 4，∴ = 2。
∴当点 在⊙ 内且点 在⊙ 外时，2， ∴⊙ 的半径可以是 3。
6、教材练习变式、如图，△ 和△ 都为直角三角形，且∠ = ∠ = 90 。求证： ， ，
， 四点在同一个圆上。
答案：
证明：
取 的中点 ，连接 ， 。
∵△ 和△ 都为直角三角形，且∠ = ∠ = 90 ，
∴ ， 分别为 Rt △ 和 Rt △ 斜边上的中线，
∴ = = = ，∴ ， ， ， 四点在同一个圆上。
81/129
第 29 章 圆
7、[2026顺义期末]图 1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”。
图 2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的对称中心都是点 ，正方形的边长 = 7 2mm，
是⊙ 上的动点，若 的最小值为 6mm，则⊙ 的面积为______mm2。
答案：169
解析：
连接 ， ， ， ，并延长 交⊙ 于点 。
∵ = 7 2mm，∴ = = 7mm。
当点 与点 重合时， = ；
当点 不与点 重合时，在△ 中，由三角形的三边关系，得 > 。
故当点 与点 重合时， 有最小值。
∵ 的最小值为 6mm，
∴⊙ 的半径 = + 6 = 7 + 6 = 13(mm)，
则⊙ 的面积为132 = 169 (mm2)。
82/129
第 29 章 圆
微专题 一题多变 半径相等的应用
1. 连半径构造等腰三角形 [2026东莞光明中学期中]如图， 是⊙ 的直径， 是 延长线
上一点，点 在⊙ 上，且 = ， 的延长线交⊙ 于点 。若∠ = 20 ，则∠ 的度数
是_____。
答案：60
解析：
连接 ，
∵ = = （同圆的半径相等），∠ = 20 ，∴ ∠ = 20 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 40 。
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 40 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 20 + 40 = 60 。
2. 等圆中连半径构造等腰三角形 如图，点 ， 分别在△ 的边 ， 上，过 ， ，
三点的圆的圆心为点 ，过 ， ， 三点的圆的圆心为点 。如果∠ = 63 ，那么∠ =______。
答案：18
83/129
第 29 章 圆
解析：
连接 ， ，设∠ = ，∴ ∠ = ∠ 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ = ，∴ ∠ =
∠ + ∠ = 2 ，∴ 63 + 63 + 2 + = 180 ，解得 = 18 ，即∠ = 18 。
3. 结合菱形，连半径得直角三角形 [2026温州苍南月考]如图，在菱形 中，过 ， ，
三点的⊙ 交对角线 的延长线于点 ，连接 。若 = = 1，则菱形的边长为______。
答案： 6
解析：
∵ = = 1，
∴ = = + = 1 + 1 = 2， = + = 2 + 1 = 3。
设 与 交于点 ，连接 。
1 3 3 1
∵四边形 是菱形，∴ = = ， ⊥ ， = = 1 =2 2 2 2。
在 Rt △ 中， 2 = 2 2 2
1 2 15= 2 ( ) =
2 4 ，
15 3
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 = + ( )2 = 6，∴ = 64 2 （负值舍去）。
故菱形的边长为 6。
84/129
第 29 章 圆
29.2 过三点的圆
1、用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内
答案：D
2、[2026扬州期中]在平面直角坐标系中，若 (1, 1)， (3,3)， (5, )三点可以确定一个圆，
则 的取值范围是( )
A. ≠ 3 B. ≤ 5 C. > 6 D. ≠ 7
答案：D
解析：设直线 的解析式为 = + ，则{ + = 1 = 23 + = 3，解得{ = 3，
∴直线 的解析式为 = 2 3。当 = 5时， = 2 × 5 3 = 7，∴点(5,7)在直线 上。
∴ ， ， 三点可以确定一个圆时， ≠ 7。
3、[2026淮安期中]如图，在平面直角坐标系中， (1,6)， (5,6)， (7,4)。
(1)在网格中画出经过 ， ， 三点的圆弧所在圆的圆心 ，并写出 的坐标：。
(2)这个圆的半径长为。
(3)直接判断点 (5, 3)与⊙ 的位置关系，点 (5, 3)在⊙ ______。（填“内”“外”“上”）
答案：(1)(3,2)，(2)2 5，(3)外
解析：(1)连接 ， ， ， 垂直平分线的交点即为圆心 ， (3,2)。
(2) (3,2)， (1,6)，∴ = (1 3)2 + (6 2)2 = 2 5，∴圆的半径长为 2 5。
(3)∵ (3,2)， (5, 3)，∴ = (5 3)2 + ( 3 2)2 = 29。
∵ 2 5 = 20， 29 > 20，∴点 (5, 3)在⊙ 外。
85/129
第 29 章 圆
29.3 垂直于弦的直径
1、[2025济宁期中]已知⊙ 的半径为 2，点 为⊙ 内一定点，且 = 1。过点 作⊙ 的弦，
其中最短的弦的长度是( )
A.4 B. 3 C.2 3 D.2
答案：C
解析：当过点 的弦与 垂直时，弦长最短。
连接 ，在 Rt △ 中， = 2， = 1， = 2 2 = 3，∴ = 2 3，
∴最短的弦的长度是 2 3。
2、教材练习变式 如图，在⊙ 中，弦 的长为 8， ⊥ 于点 ，且 = 3，弦 ⊥
于点 。若 = 2，则 的长为( )
A.5 B.10 C.2 21 D.2 15
答案：C
解析：连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 。
∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，∴四边形 是矩形，∴ = = 2。
1
∵ = 8， ⊥ ，∴ = = = 42 。
∵ = 3，∴ = 2 + 2 = 42 + 32 = 5，∴ = = 5，
86/129
第 29 章 圆
∴ = 2 2 = 52 22 = 21，∴ = 2 = 2 21。
3、[2025金华期中]如图，在⊙ 内有折线 ，点 ， 在⊙ 上。若 = 4， = 10，∠ =
∠ = 60 ，则 的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：
延长 交 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，设 = 。
∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = 60 ，△ 为等边三角形，∴ = = = 。
1
∵ = 10， ⊥ ，∴ = = 5，∴ = 52 。
1
∵ = 4，∴ = 4。∵ ⊥ ，∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 ，∴ = 2 ，
1
即 5 = ( 4)，解得 = 6，即 = 62 。
4、如图，在平面直角坐标系中，直径为 10的⊙ 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，且点 ，
的坐标分别为( 2,0)，(4,0)，则圆心 的坐标为______。
答案：(1,4)
87/129
第 29 章 圆
解析：过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
则 = 。∵ ( 2,0)， (4,0)，∴ = 6，∴ = = 3，∴ = 1。
∵⊙ 的直径为 10，∴ = 5。在 Rt △ 中，由勾股定理，得 = 2 2 = 4，
∴圆心 的坐标为(1,4)。
5、[2025北京期末]在半径为 5的圆中，有两条弦的长分别为 6和 8，这两条弦的中点的距离
的取值范围是______。
答案：1 ≤ ≤ 7
解析：
设 = 6， = 8，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，连接 ， ，
1 1
则 = = = 3， = = = 42 2 。
在 Rt △ 中， = 2 2 = 52 32 = 4，
在 Rt △ 中， = 2 2 = 52 42 = 3。
∴点 在以点 为圆心，4为半径的圆上；点 在以 点为圆心，3为半径的圆上。
∵两圆上两点之间的最小距离为 4 3 = 1；两圆上两点之间的最大距离为 4 + 3 = 7，
∴ 的取值范围为 1 ≤ ≤ 7。
6、如图，将一个矩形纸片盖在⊙ 上，矩形的边与圆交于点 ， ， = 4mm，已知⊙ 的
顶端到直线 的距离为 4mm，求⊙ 半径的长。
88/129
第 29 章 圆
5
答案： mm2
解析：
连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，反向延长 交⊙ 于点 ，设⊙ 的半径长为 mm。
由题意得 = 4mm， = 4mm，∵ ⊥ ，∴ = = 2mm， = (4 )mm。
5
在 Rt △ 中，由勾股定理得 2 = 2 + 2，即 2 = (4 )2 + 22，解得 = 2，
5
∴⊙ 的半径长为 mm2 。
7、 一题多解 如图，在⊙ 中， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦， 的中点 在直径 上，
= 8， = 2。
(1)求⊙ 的面积；（结果保留 ）
(2)连接 ，过圆心 向 作垂线，垂足为点 ，求 的长。
答案：(1)25 ，(2) 5
解析：
89/129
第 29 章 圆
(1)
1
连接 ，∵ 是⊙ 的直径，点 为 的中点， = 8，∴ ⊥ ， = = 42 。
设⊙ 的半径为 ，在 Rt △ 中，由勾股定理，得( 2)2 + 42 = 2，解得 = 5，
∴⊙ 的面积= 2 = 25 。
(2)连接 ，由(1)知 ⊥ ， = 4，∴在Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5。
1
∵ ⊥ ，∴ = 。又∵ = ，∴ 是△ 的中位线，∴ = = 52 。
8、推理能力 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 = 20cm，底面直径 =
12cm，球的最高点到瓶底面的距离为 32cm，则球的半径为______cm。（玻璃瓶厚度忽略不计）
答案：7.5
解析：
设球心为点 ，连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 。设球的半径为 cm，
由题意，得 = 12cm， = 32 20 = (12 )cm。
1
由垂径定理，得 = = = 6cm2 。
在 Rt △ 中，由勾股定理，得 2 + 2 = 2，即62 + (12 )2 = 2，解得 = 7.5，
即球的半径为 7.5cm。
90/129
第 29 章 圆
29.4 圆心角

1、 如图， ， 是⊙ 的两段弧，且 = 2 ，则弦 与 之间的关系为( )
A. = 2 B. < 2 C. > 2 D.不能确定
答案：B
解析：

在圆上截取 = ，连接 ， ，

则有 = 2 ， = 。∵ = 2 ，∴ = ，∴ = 。
∵ 2 = + > （三角形任意两边之和大于第三边），∴ < 2 。
2、[2025北京期中]计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。
如图是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为 时，线段 MN
的长度记为 d(x)。下列描述正确的是( )
A.当x1 < x2时，d(x1) < d(x2) B.当 d(x1) < d(x2)时，x1 < x2
C.当x1 = 2x2时，d(x1) = 2d(x2) D.当x1 + x2 = 1时，d(x1) = d(x2)
答案：D
解析：当 1 = 20%， 2 = 80%时， ( 1) = ( 2)，故 A项错误；
91/129
第 29 章 圆
当 1 = 80%， 2 = 50%时，满足 ( 1)，但 1 > 2，故 项错误；当 1 = 100%， 2 =
50%时，满足 1 = 2 2，但 ( 1) = 0， ( 2) = 直径， ( 1) ≠ 2 ( 2)，故 项错误；当 1 +
2 = 1时，此时线段 的长度是一样的，故 ( 1) = ( 2)，故 项正确。
3、如图，点 ， ， 在⊙ 上，分别连接 ， ， 。若 = ，∠ = 40 ，则∠
的度数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
答案：B
解析：连接 ， ，
∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。∵ = = ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ 。
∵ ∠ = 40 ，∴ ∠ = 20 ，∴ ∠ = 20 。

4、[2025武汉中考]如图，四边形 内接于⊙ ， = 2 。若 = 6， = 13，则⊙
的半径是( )
13 7 9
A. 4 B.2 C.2 D.
5
答案：A
92/129
第 29 章 圆
解析：过点 作 ⊥ ，垂足为点 ，交⊙ 于点 ，连接 ， ，
1
则 = ， = = = 3。∵ = 2 ， = 2 ，∴ = ，∴ = = 132 。
在 Rt △ 中， = 13， = 3， = 2 2 = 2。
设半径为 ，在 Rt △ 中， = ， = 2， = 3，
13
由勾股定理，得 2 = 2 + 2，即 2 = ( 2)2 + 32，解得 = 4 。

5、如图， 是半圆 的三等分点， 是 的中点， 是直径 上一动点，⊙ 的半径为 1，
则 + 的最小值为______。
答案： 2
解析：
作点 关于 的对称点 ′，根据圆的对称性，得点 ′必在圆上，
连接 ′交 于点 ′，则此时 + 的值最小，
连接 ′ ，此时 ′ + ′ = ′ ′ + ′ = ′ 。连接 ′， ， ，
93/129
第 29 章 圆
1
∵ = 3 ，∴ ∠
′ = ∠ = 60 。
1
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ ′ = 90 2 。
∴在 Rt △ ′ 中， ′ = ′2 + 2 = 2，即 + 的最小值是 2。

6、已知 ， ， 为⊙ 上的点，且 = ， 为⊙ 的直径， ⊥ 于点 。
(1)求证： = 2 ；
(2)若 = 1， = 4，求 的长。
答案：
1
(1)证明：连接 并延长，交 于点 ，∵ = ，且 过圆心 ，∴ ⊥ ， = = 2 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ，∴△ △ (AAS)，∴ = ，∴ = 2 。
=
(2)设⊙ 的半径为 ，∵ = 1， = 4，∴ = 1， = 2。
在 Rt △ 中，( 1)2 + 22 = 2，解得 = 2.5，∴ = 2 = 5，
则 = = 4。在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 = 42 + 22 = 20，∴ = 2 5。
94/129
第 29 章 圆
7、推理能力 如图，在⊙ 中， ， 是直径 上的两点，且 = ， ⊥ ， ⊥ ，
点 ， 在⊙ 上。

(1)求证： = ；

(2)若 ， 分别为 ， 的中点，则 = = 成立吗？请说明理由。
答案：(1)证明：连接 ， ，
∵ = ， = ，∴ = ，即 = 。
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 。

又∵ = ，∴ Rt △ Rt △ (HL)，∴ ∠ = ∠ ，∴ = 。
(2)成立。
理由：连接 ， ， ， ，
∵点 为 的中点，∴ = 。∵ ⊥ ，∴ = ，
∴ = = ，∴△ 为等边三角形，∴ ∠ = 60 。
同理△ 也为等边三角形，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 60 ，

∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，∴ = = 。
95/129
第 29 章 圆
29.5 圆周角
1、[2026邯郸期中]如图， 是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在 上方的圆弧上，∠1，
∠4的一边分别经过点 ， ，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4的度数为( )
A.45 B.90 C.135 D.180
答案：B
解析：
是圆的直径，∴ 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180 。
1
∵ ∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆，∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = × 180 = 90 2 。

2、[2026广州期末]如图，直径为 的⊙ 上有一点 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转一定

角度得到 ，点 恰好落在直径 上。

(1)若 = ，则 = ；
AB
(2)若 BC与BD相交于点 E，且DE = BE，则 =BC 。
96/129
第 29 章 圆
2 3
答案：(1) 2 ， (2) 3

解析：(1)连接 ，∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 。∵ = ，∴ = ，

∴ = 2 + 2 = 2 ，∴ = 2 。

(2)由旋转的性质可得 和 是等弧，∴ 所对的圆周角度数等于 所对的圆周角度数。

∵ = ，∴ ∠ 的度数等于 所对的圆周角度数的一半。
连接 ，易得∠ = 2∠ = 2∠ 。
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ 2∠ + ∠ = 90 ，
1 3 2 3
∴ ∠ = 30 ，∴ = ，∴ = 2 2 = ，∴ = =2 2 3 。3
2
3、[2025宿迁期中]如图，以△ 的一边 为直径的半圆与其他两边 ， 分别交于点 ，
，且 为 的中点。若 = 8， = 4，则 的长为______。
答案： 15
解析：
连接 ，∵ 是直径，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ ， ⊥ 。
∵ 为 的中点，∴ 垂直平分 ，∴ = = 2，∴ = = 8。
1 1
由面积法得： = ， = 2 2 = 64 4 = 60 = 2 152 2 ，
∴ 8 = 4 × 2 15，解得 = 15。
97/129
第 29 章 圆
4、 [2026越秀期末]如图，⊙ 是△ 的外接圆， 平分∠ ，交 于点 ，交⊙ 于点
， 平分∠ ，交 于点 ，连接 。
(1)求证：∠ = ∠ ；

(2)若点 是 的中点，求证： = 。
答案：(1)证明：∵ ， 分别平分∠ ，∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ 。

∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。

(2)证明：∵点 是 的中点，∴ = ，∴ = 。
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中，{ = ，∴△ △ (ASA)，∴ = 。
∠ = ∠
由(1)知∠ = ∠ ，∴ = ，∴ = 。

5、[2026浙江期中]如图，矩形 的四个顶点均在⊙ 上， 是 上一动点，连接 ， ，
= 8， = 6。
(1)求⊙ 的半径长；
(2)若 = 5 2，求 的长。
答案：(1)5，(2) 2或 7 2
98/129
第 29 章 圆
解析：
(1)连接 ，
∵四边形 是矩形，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ 是⊙ 的直径。
∵ = 8， = = 6，∴ = 2 + 2 = 82 + 62 = 10，∴⊙ 的半径长为 5。
(2)连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，
由(1)知 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 。
由勾股定理可得 = 2 2 = 102 (5 2)2 = 5 2，∴ = = 5 2，
∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴ = 。
设 = = ，则 = = 8 。
在 Rt △ 中，由勾股定理，得 2 + 2 = 2，
即(8 )2 + 2 = (5 2)2，解得 = 1或 = 7，∴ = = 1或 = = 7，
∴ = 2 + 2 = 12 + 12 = 2或 = 2 + 2 = 72 + 72 = 7 2，
∴ 的长为 2或 7 2。
6、模型观念 如图，已知 = = ，∠ = 2∠ ，∠ = 44 ，则∠ 的度数为( )
A.68 B.88 C.90 D.112
答案：B
99/129
第 29 章 圆
解析： ∵ = = ，
∴点 ， ， 在以点 为圆心， 长为半径的圆上。
∵ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
又∵ ∠ = 2∠ ，∴ ∠ = 2∠ 。∵ ∠ = 44 ，∴ ∠ = 88 。
微专题 一题练透 圆的基本性质的相关计算
7、如图 1， 是⊙ 的直径，点 ， 在圆上，连接 ， ， ， ， 与 交于点 。
图 1 图 2
(1)若∠ = 20 ，则∠ = ______ ；
(2)连接 OA，若 OA ∥ CD，且∠BDC = 50 ，则∠OBA = ______ ；
(3)若 = ，则∠ =____________ ；
(4)当 ⊥ 时，如图 2。
①若 = 8， = 2 5，求直径 的长；
②若 = 4， = 2，求直径 的长；
③将题目中“ 是⊙ 的直径”改为“ 是⊙ 的弦”，若 = 4， = 2，求⊙ 的直径。
答案：(1)70，(2)25，(3)60，(4)①10；②2 5；③2 5
解析：(1)∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 70 ，
∴ ∠ = ∠ = 70 。
1
(2)∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 50 ，∴ ∠ = ∠ = 25 2 。
(3)连接 ，∵ = = = ，∴△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = 60 。
100/129
第 29 章 圆
(4)①∵ ⊥ ， = 8，∴ = = 4。
在 Rt △ 中， = 2 5，∴ = 2 2 = 2，∴ = = 2。
连接 ，则 = 。在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2，∴ 2 = ( 2)2 + 42，
∴ = 5，∴ = 2 = 10。
②∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 。∵ ⊥ ，∴ 垂直平分 ，∴ = = 4。
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5。
③连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 ，
∵ 为⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，即∠ + ∠ = 90 。

∵ ⊥ ，∴ ∠ + ∠ = 90 。∵ = ，∴ = ，∴ = = 2。
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，即⊙ 的直径为 2 5。
101/129
第 29 章 圆
29.6 圆内接四边形
1、[2025滨州中考]如图，四边形 内接于⊙ ，若四边形 是菱形，则∠ =______ 。
答案：60
解析：∵四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ + ∠ = 180 。
∵四边形 是菱形，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 180 。
又∵ ∠ = 2∠ ，∴ 3∠ = 180 ，∴ ∠ = 60 。
2、如图，在⊙ 的内接四边形 中， = ，∠ = 130 ，则∠ 的度数为______ 。
答案：100
解析：连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，∠ = 130 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 50 。
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 50 ，∴ ∠ = 80 。
∵四边形 是圆内接四边形，∴ ∠ = 180 ∠ = 100 。
102/129
第 29 章 圆
3、[2026湖州期末]某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形。
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形。
(1)甲同学的说法______，乙同学的说法______。（填“正确”或“错误”）
(2)如图 1，⊙ 的半径为 3，矩形 内接于⊙ 。丙同学发现圆内接矩形有无数个，且当
该矩形为正方形时，其面积最大。请你判断当圆内接矩形的面积最大时，△ 的形状，并求
出圆内接矩形的最大面积。
(3)如图 2，这两个圆是以点 为圆心的同心圆， = 3， = 4，矩形 的两边 和
分别为这两个圆的弦。请你求出矩形 面积的最大值。
答案：(1)正确；错误，(2)△ 是等腰直角三角形，最大面积为 18，(3)24
解析：(1)圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形，即甲正确，乙错误。
(2)
已知矩形 内接于⊙ ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ ∠ = 90 ，∴ 是直径，∴ = ，
1
∴ △ = △ = △ ，∴ 矩形 = 2 2 △
= 4 △ ，
即当△ 的面积最大时，矩形 的面积最大。
1 1 9
∵ △ = × × ， = 3， ≤ 3，∴△ 的最大面积= × 3 × 3 =2 2 2，
∴矩形 的最大面积= 4 △ = 18，此时 为半径，即 与 重合。
∵ ⊥ ， = = 3，∴△ 是等腰直角三角形。
103/129
第 29 章 圆
(3)过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∵四边形 是矩形，∴ ∠ = 90 ，∴四边形 是矩形，∴ = 。
∵ 矩形 = ，∴ 矩形 = 4 △ ，
∴当△ 的面积最大时，矩形 的面积最大。
∵ ， 为两圆的半径，是定值，以 为底时，△ 的高≤ ，
1 1
∴当 ⊥ 时，△ 的面积最大，此时 △ = × × = × 3 × 4 = 62 2 ，
∴ 矩形 = 4 △ = 24。
104/129
第 29 章 圆
29.7 弧长和扇形面积
1、如图，在地球上， ， 两地经度相同，纬度分别为15（ 即∠ = 15 ）和60（ 即∠ = 60 ）。

已知地球的半径约为 6400km，则地球表面两地的距离（即 的长）约为( )
A.4500km B.5000km C.5500km D.6000km
答案：B
解析：∵ ∠ = 15 ，∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 60 15 = 45 ，
45 × 6400
∴地球表面两地的距离（即 的长）约为 = 1600 ≈ 5000(km)180 。

2、[2026河南中考]如图，⊙ 是边长为 4 3的等边三角形 的外接圆， 是 的中点，连
接 ， 。以点 为圆心， 的长为半径在⊙ 内画弧，则阴影部分的面积为( )
8 16
A. B.4 3 C.
16
3 D.
答案：C
解析：连接 ，
∵△ 是等边三角形，∴ = ，∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 120 。
105/129
第 29 章 圆

∵ 为 的中点，∴ = ， 垂直平分线段 ， 经过点 ，∠ = 30 ，
∴ ∠ = 90 ，∴ = 2 。
120 × 42 16
∵ = (2 )2 2 = 4 3，∴ = 4，∴ 扇形 = =360 3 。
3、[2025德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日
常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等。如图，分别以等边三角
形 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），
如果 = 1，那么这个等宽曲线的周长是_________。
答案：
解析：∵△ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 ， = = = 1，
60 × 1 1 1
∴ = = = = ，∴这个等宽曲线的周长为 × 3 = 180 3 3 。
4、[2026无锡期中]如图，已知扇形 ，在其内部作一个菱形 ，其中点 ， 分别在 ，

上，点 在 上，连接 。若 = 4，∠ = 80 ，则图中阴影部分面积的和为______。
16
答案： 9
106/129
第 29 章 圆
解析：连接 ，
1
∵四边形 是菱形，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 40 2 ，
40 × 42 40 × 42 16
阴影部分面积和为扇形 与扇形 的面积和， = + = 360 360 9 。
5、[2025秦皇岛期中]如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 1， = 3，将△ 绕着点
逆时针旋转90 得到△ ，则图中阴影部分的面积是__。

答案：4
解析：由勾股定理，得 = 2 + 2 = 2。
由旋转的性质可得 △ = △ ，∠ = ∠ = 90 ，
90 × 22 90 × ( 3)2
∴ 阴影 = 扇形 扇形 = =360 360 4。
6、如图，以等边三角形 的边 为直径作半圆⊙ ，交 于点 ，交 于点 ， = 6。

(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积。
3 9 3
答案：(1)2 ，(2) 2 4
解析：
107/129
第 29 章 圆
(1)连接 ，
∵以等边三角形 的边 为直径作半圆⊙ ， = 6，∴ ∠ = 60 ， = = 3，
∴△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 120 ，
120 × 3
∴ 的长为 = 2 180 。
(2)连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，
由(1)知∠ = 60 ，△ 是等边三角形，
1 3
∵ ⊥ ，∴ = =2 2，
60 × 32 1 3 3 3 9 3
∴ 阴影 = 扇形 △ = × 3 × = 360 2 2 2 4
。

7、运算能力 如图，在扇形 中，∠ = 60 ， 平分∠ 交 于点 ，点 为半径
上一动点。若 = 2，则阴影部分周长的最小值为________________。

答案：2 2 + 3
108/129
第 29 章 圆
解析：
30 × 2
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ 的长为 =180 3。
作点 关于 的对称点 ′，连接 ′交 于点 ，此时 + 的值最小，即阴影部分的周长
最小。
连接 ′，∵点 ， ′关于 对称，∴ = ′ ，∠ ′ = ∠ = 30 ， ′ = = 2，
∴ ∠ ′ = 60 ，∴ ′ = 22 + 22 = 2 2，∴ + = + ′ = ′ = 2 2，

∴阴影部分周长的最小值为 2 2 + 3。
109/129

展开更多......

收起↑