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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆相离、相切、相交
知识点 直线与圆的位置关系的性质与判定
1.已知⊙ 的半径 是一元二次方程 2 5 6 = 0的一个根，圆心 到直线 的距离 = 5，则
直线 与⊙ 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
2.【2026镇江质检】已知矩形 中， = ， = ，若以 为直径的圆与边 有交点，
则 与 满足的关系为（ ）
A. 2 B. > 2 C. > D.
3.【2026 南开期中】如图，点 (1,0)， (0,2)， (0,0)，点 为线段 的中点，
2 5
以点 为圆心， 5 为半径作
⊙ ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与⊙ 相切 B. 点 在⊙ 上
C. 点 在⊙ 上 D. 点 在⊙ 上
3 1
4.【2026 揭阳期末】已知⊙ 的半径是关于 的方程 2 2
= 1的增根，圆心 到直线
的距离 = 2，则直线 与⊙ 的位置关系是_____________。
5.【2025 青浦期末】若点 ( , )在二次函数 = 2 + 2 + 2的图象上，以 为圆心，2为半
径的圆与 轴相交，则 的取值范围是____________。
6【. 2025南京】如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴负半轴、 轴正半轴上(OA>OB)，
( , )（ 为常数），以 为圆心、适当的长度为半径作⊙ ，使点 ， 在⊙ 上。
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出⊙ 。（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 若 = 8， = 6，直线 = + 与⊙ 有且只有一个公共点，则 =____________。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
7.如图，已知∠ = 30 ， = 3cm，⊙ 的半径为 1cm。若圆心 沿着 方向在直线
上移动。
(1) 当圆心 移动的距离为 1cm时，⊙ 与直线 的位置关系是什么？
(2) 若圆心 的移动距离是 cm，当⊙ 与直线 相交时， 的取值范围是什么？
易错点 错把圆心到直线上某点的距离与半径作比较来确定直线与圆的位置关系
8.已知⊙ 的半径为 3cm， 为直线 上的一点，若 = 5cm，则直线 与⊙ 的位置关系是（ ）
A. 一定相交 B. 一定相切
C. 一定相离 D. 可能相交，也可能相切或相离
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30.2 切线的判定和性质
知识点 1 切线的性质
1【. 2026 大连期中】如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 切 ⊙
于点 ，若 ∠ = ，则 ∠ 的度数为（ ）
A. 45
1
B. 45 C. 60 2 D.

2.【2026 张家口期末】如图是一个钟表表盘，连接刻度 2 与刻度 10 的 、 两点并延长，
交过刻度 8 的切线于点 ，若表盘的半径长为 3，则线段 长为_________。
3.【2025 南京质检】如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 在 ⊙ 上，连接 、 ，
为 ⊙ 外一点，且 ∠ = 90 ， 为 ⊙ 的切线。
(1) 若 ∠ = 30 ， = 2，求 ⊙ 的半径。
(2) 求证：2∠ + ∠ = 180 。
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知识点 2 切线的判定
4.【2026武威质检】如图，在 ⊙ 中， 是半径 上一点，射线 ⊥ ，交 ⊙ 于
， 为 上任意一点，射线 交 ⊙ 于 ， 为射线 上的点，且 = ，
下列结论：① 为 ⊙ 的切线；② > ；③∠ = 2∠ ，其中正确的结论有（ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
第 4题图 第 5题图
5. 开放性试题 如图， 是 ⊙ 的直径，要使得直线 是 ⊙ 的切线，需要添加的一
个条件是_______________________________________。（写一个条件即可）
6.【2026 江门质检】如图，在平面直角坐标系 中，以点 ( 2, 0) 为圆心，1 为半径画
圆。将 ⊙ 绕点 逆时针旋转 (0 < < 180 ) 得到 ⊙ ′，使得 ⊙ ′ 与 轴相切，
则 的度数是_______________。
第 6题图 第 7题图
7.【2025郑州期中】如图，⊙ 的直径 = 10，∠ = 30 ， 交 ⊙ 于 ， 是
的中点。
(1) 求 的长；
(2) 连接 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，求证： 是 ⊙ 的切线。
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30.3 切线长定理
知识点 1 过圆外一点作圆的切线 (尺规作图)
1.【2026 龙岩质检】如图， 是⊙ 的弦， 是 延长线上一点。
(1) 过点 作⊙ 的切线 ，切点 在直线 的下方；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹)
(2) 在 (1) 的条件下，连接 ， 。求证：∠ = ∠ 。
知识点 2 切线长定理
2.【2026深圳质检】如图， 是⊙ 的直径，点 为⊙ 外一点， ， 是⊙ 的切线， ，
为切点，连接 ， 。若∠ = 48 ，则∠ 的大小是 ( )
A.32 B.48 C.60 D.66
第 2题图 第 3题图
3.【2026秦皇岛期末】如图，在四边形 中， ∥ ， ⊥ ，以 为圆心， 为半
径的弧恰好与 相切，切点为 。若 = 1， = 3，则阴影部分的面积是 ( )
5 3 5 5
A.4 5 π B.2 5 π C.2 5 π D.3 5 π4 4 4 4
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4.【2026德阳期末】如图， ， 是⊙ 的两条切线， ， 是切点， ， 是⊙ 上两点，连
接 ， ， ， 。若∠ = 46 ，∠ = 32 ，则∠ 的度数是_______度。
第 4题图 第 5题图
5.【2026绵阳期末】如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = = 6，以点 为圆心，2为
半径作⊙ ，过 上的动点 作⊙ 的切线 ， ，过劣弧 上一点 作⊙ 的另一条切线分
别交 ， 于点 ， ，则△ 周长的最小值为__________。
6.【2026日照期中】如图，在以点 为圆心的两个同心圆中， 经过圆心 ，且与小圆相交于
，与大圆相交于 ，小圆的切线 与大圆相交于 ， 平分∠ 。
(1) 证明：直线 是小圆的切线；
(2) 证明： + = ；
(3) 若 = 8cm， = 10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积。
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30.4 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆与内心
1.根据尺规作图的痕迹，可以判定点 为△ 的内心的是（ ）
A. B. C. D.
2.【2025广州期末】如图，△ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若⊙
的半径为 ，∠ = ，则 + 的值和∠ 的度数分别为（ ）
A. 0，180 2 B. 0，180

C. 2 ，90 2 D. 3 ，90 2
第 2题图 第 3题图
3.【2026宁波质检】已知△ 为等腰三角形， = = 5， = 6，点 为△ 的内心，
点 为△ 的外心，则 的长为（ ）
1 5 7 5
A. B. 8 C. D.2 8 2
4.【2026淮安期中】在△ 中，∠ = 50 ，点 是△ 的内心，连接 ， ，则∠
的度数为__________
第 4题图 第 5题图
5.【2025杭州质检】如图，平面直角坐标系中， (1,1)， (2,4)， (3,1)，则△ 的内切圆
的半径长为_________
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第 30 章 直线与圆的位置关系
6.阅读材料：如图 (1)，△ 的周长为 ，面积为 ，内切圆 的半径为 ，探究 与 ， 之间的
关系。
1 1 1
解：如图 (1)，连接 ， ， 。∵ △ = ， △ = 2 2 ，
△ = 2 ，
1 1 1 1 2
∴ = + + =
2 2 2 2 ，
∴ =
。
如图 (1) 如图 (2)
解决问题：
(1) 利用探究的结论，计算边长分别为 5，12，13 的三角形内切圆半径。
(2) 如图 (2)，若四边形 存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为 ，各边长分别为 ，
， ， ，内切圆半径为 ，试推导四边形的内切圆半径公式。
(3) 若一个 边形（ 为不小于 3 的整数）存在内切圆，且面积为 ，各边长分别为 1， 2， 3，
， ，内切圆半径为 ，猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。
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30.5 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的有关概念及计算
1. 对于以下说法:①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各
角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形。正确的有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.【2026临沂质检】如图，已知五边形 为正五边形，以点 为圆心，以 的长为半径
画弧，分别交 ， 的延长线于点 ， . 连接 ， ，则∠ =( )
A.18 B.24 C.28 D.36
第 2题图 第 3题图
3.【2025四平期中】如图， 是正五边形 的内切圆，分别切 ， 于点 ， ， 是优
弧 上的一点，则∠ 的度数为 ( )
A.54 B.60 C.66 D.72
4.【2026保定期中】如图， ， ， ， 均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦 的长时，
发现 点、 点分别与刻度 1 和 4 对齐，则 ， 两点的距离是 ( )
A.2 2cm B.2 3cm C.3 3cm D.6cm
第 4题图 第 5题图
5.【2026连云港质检】如图，⊙ 的内接正十二边形的面积为 1，⊙ 的面积为 ，若⊙ 的
半径为 1，则 1 =( )
A. 2 B. 1 C. 3 D.2 3
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第 30 章 直线与圆的位置关系
6.【2026宿迁期中】如图， ， 分别为⊙ 的内接正三角形与内接正四边形的一边，
是圆内接正 边形的一边，则 的值为_______.
知识点 2 正多边形的画法
7.【2026东城期中】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙ 上任取点 ，
从点 开始，以⊙ 的半径为半径，在⊙ 上依次截取点，从而把⊙ 六等分。下列可以只用
圆规将圆（已知圆心）等分的是 ( )
①二等分；②三等分；③四等分.
A.② B.①② C.①③ D.①②③
8.【2025荆门质检】如图，在⊙ 中， 为直径， ⊥ ，圆内接正五边形 的部分
尺规作图步骤如下：
①作出半径 的中点 ；
②以点 为圆心， 长为半径作圆弧，交直径 于点 ；
③ 长即为正五边形的边长，在⊙ 上依次作出各等分点 ， ， ， .
已知⊙ 的半径 = 2，则 2 =_________________.
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