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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆相离、相切、相交
1、如图，∠ = 45 ，点 是射线 上一点， = 2，以点 为圆心， 为半径作⊙ 。若
⊙ 与射线 只有 1 个公共点，则半径 的取值范围是_______________。
答案： = 2 或 > 2
解析：
⊙ 与射线 只有 1 个公共点，分两种情况：① 求出⊙ 与射线 相切时的半径；② 求
出⊙ 过点 时的半径（这种情况容易忽略）。
过点 作 ⊥ 于点 ，则∠ = 90 。
∵ ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，∴ = 。
∵ 2 + 2 = 2， = 2，∴ 2 2 = 4，解得 = 2。
当 = 时，⊙ 与射线 相切，此时⊙ 与射线 只有一个公共点；
当 = 时，⊙ 与射线 有两个公共点，若⊙ 与射线 只有 1 个公共点，则 =
或 > ，∴ 半径 的取值范围是 = 2或 > 2。
2、已知 Rt △ 的斜边 = 6，直角边 = 3，以点 为圆心作⊙ 。
(1) 当半径 为______________时，直线 与⊙ 相切；
3 3
答案： 2
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：过点 作 ⊥ 于点 。
在 Rt △ 中，由勾股定理得： = 2 2 = 62 32 = 3 3。
1 1 3 × 3 3 3 3
∵ △ = = 2 2 ，
∴ = = = ，
6 2
3 3
∴ 当 = 2 时，直线
与⊙ 相切。
(2) 当⊙ 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围是_______________；
3 3
答案： = 或 3 < ≤ 3 32
(3) 当⊙ 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围是_______________。
3 3
答案：0 < < 或 > 3 32
5
3、如图，已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，抛物线 = 216 + 与 轴的一个
交点为 ( 8,0)，点 是抛物线的顶点，且⊙ 与 轴相切，点 为⊙ 上一动点。若点 为
的中点，连接 ，则 的最大值是( )
17 15 281
A. 89 B. C.
2 2
D.
2
答案：B
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
作点 关于点 的对称点 ，则 (8,0)。
5 5 5
将 ( 8,0)代入抛物线解析式 = 216 + ，得：0 = 16 × ( 8)
2 + ( 8) ，解得 = 2，
55 5
∴ 抛物线解析式为 = 216 2 。抛物线对称轴为直线 =
2 = 4，
2 × ( 516 )
5 5
当 = 4时， = 216 × ( 4) 2 × ( 4) = 5，∴ 顶点 ( 4,5)。
∵⊙ 与 轴相切，∴⊙ 半径 = 4。
1
∵ 为 中点， 为 中点，∴ 为△ 的中位线，∴ = 2 ，当 最大时，
最大。
的最大值为 + ， = ( 4 8)2 + (5 0)2 = 144 + 25 = 13，
17
∴ max = 13 + 4 = 17，∴ max = 2。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.2 切线的性质和判定
1、如图，直线 与 ⊙ 相切于点 ，且 = ，连接 并延长，与 ⊙ 分别交

于点 和点 ，点 是 的中点，连接 ，则 ∠ 的度数为( )
A. 11.25 B. 11.5 C. 22.25 D. 22.5
答案：A
解析：
如图，连接 ，∵ 直线 与 ⊙ 相切于点 ，∴ ⊥ ，即 ∠ = 90 。
又 = ，∴ ∠ = ∠ = 45 。
1
∵ 点 为 的中点，∴ = ，∴ ∠ = ∠ = (360 ∠ ) = 157.5 2 。
1
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) = 11.25 2 。
2、如图， 与 ⊙ 相切于点 ， 的延长线交 ⊙ 于点 ， ∥ ，且交 ⊙ 于
点 ，若 ∠ = 30 ，则 ∠ 的度数为( )
A. 30 B. 45 C. 60 D. 75
答案：C
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
如图，连接 ， ，∵ 与 ⊙ 相切于点 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 30 = 60 。
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 60 。
∵ = ，∴ △ 为等边三角形，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 60 。
∵ = ，∴ △ 为等边三角形，∴ ∠ = 60 。
3、如图，⊙ 是地球的示意图，其中 表示赤道， 、 分别表示北回归线和南回归
线，∠ = ∠ = 23.5 。夏至日正午时，太阳光线 所在直线经过地心 ，此时点
处的太阳高度角 ∠ （即平行于 的光线 与 ⊙ 的切线 所成的锐角）的大小
为________ 。
答案：43
解析：∵ ∠ = ∠ = 23.5 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 47 。
∵ ∥ ，∴ ∠ = 180 ∠ = 180 47 = 133 。
∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 133 90 = 43 。
4、如图，等边三角形 的边长为 6，⊙ 的半径为 6， 为 边上一动点，过点
作 ⊙ 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为____。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案： 21
解析：
连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，由等边三角形的 “三线合一” 可求出 的长，
利用勾股定理可求出 的长，根据切线的性质得到 ⊥ ，利用勾股定理可表示出
的长，然后根据垂线段最短即可得解。
如图，连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ∠ = 90 。
1 1
∵ △ 是等边三角形，且 ⊥ ，∴ = = × 6 = 3 = 62 32 = 3 32 2 ，∴ 。
∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 。∴ 2 = 2 2，
∴ = 2 2 = 2 6。∴ 当 取最小值时， 取得最小值。
根据垂线段最短可知，当 ⊥ 时， 最小， 取得最小值，此时 = 。
∴ 的最小值为 (3 3)2 6 = 21。
5、如图 1 是马车车厢模型，如图 2 是车轮侧面图，当过圆心 的车架 的一端 落
在地面上时， 与 ⊙ 的另一个交点为点 ，水平地面 与 ⊙ 相切于点 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
(1) 求证：∠ + 2∠ = 90 。
答案：证明：如图，连接 。
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ 。
∵ 水平地面 与 ⊙ 相切于点 ，∴ ⊥ ，即 ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，即 ∠ + 2∠ = 90 。
(2) 若 = 2m， = 3m，求 ⊙ 的半径。
5
答案： m4
解析：连接 ，设 ⊙ 的半径为 m，则 = = m，∴ = + = ( + 2)m。
5
在 △ 中，由勾股定理，得 2 = 2 + 2，即 ( + 2)2 = 32 + 2，解得 = 4，
5
∴⊙ 的半径为 m4 。
6、如图，△ 内接于 ⊙ ， 是 上一点， = ， 是 ⊙ 外一点，∠ = ∠ ，
∠ = ∠ ，连接 。
(1) 若 = 8，求 的长。
答案：8
解析：∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即 ∠ = ∠ 。
又∵ ∠ = ∠ ， = ，∴ △ △ ，∴ = 。∵ = 8，∴ = 8。
(2) 求证： 是 ⊙ 的切线。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：
证明：如图，连接 并延长交 ⊙ 于点 ，连接 。
∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 。
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 。
在 △ 中， = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 2∠ + ∠ = 180 。
由 (1) 知 = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 2∠ + ∠ = 180 。
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，即 ∠ = 90 。
∵ 为半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
微专题 一题多变 切割图
1. 如图，在 ⊙ 中， 是直径，直线 与 ⊙ 相切于点 ， ⊥ ，垂足为点 。若
= 15， = 12，则 的长为__________。
答案：6
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ∠ = ∠ = 90 。
∵ 直线 与 ⊙ 相切于点 ，∴ ⊥ 。
又 ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形。
1 1 15 15 9
∵ = 15，∴ = = = = × 15 = ，∴ = = 12 =2 2 2 2 2，
∴ = = 2 2
15 2 9= ( ) ( )2 = 62 2 ，∴
的长为 6。
2. 如图，在 △ 中，∠ = 90 ，点 是斜边 上一点，以 为圆心， 为半
径作圆，⊙ 恰好与边 相切于点 ，连接 。若 = ，⊙ 的半径为 3，则
的长为_________。
3
答案：2
解析：
如图，连接 ，则 = ，∠ = ∠ 。
∵⊙ 与边 相切于点 ，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 = ∠ ，∴ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 60 。
1 1 3
∵ = 3，∴ = = 3，∴ = = × 3 =2 2 2。
3. 如图，在 △ 中，∠ = 90 ， 是 ∠ 的平分线， 是 上一点，以 为
半径的 ⊙ 经过点 ，与 、 分别交于点 、 。
(1) 求证： 是 ⊙ 的切线。
答案：
证明：如图，连接 ，则 ∠ = 2∠ 。
∵ 是 ∠ 的平分线，∴ ∠ = 2∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 。
∵ 是 ⊙ 的半径，且 ⊥ ，∴ 是 ⊙ 的切线。
(2) 若 = 8， = 5，求 ⊙ 的半径长。
答案： 41
解析：如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ∠ = 90 。
1
∵ = 8，∴ = = = 42 。
∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形，∴ = = 5，
∴ = 2 + 2 = 42 + 52 = 41，∴⊙ 的半径长为 41。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
微专题 一题多变 圆与等腰三角形
1. 如图，⊙ 是 △ 的外接圆， 是 ⊙ 的直径， = ， ∥ ，延长 交
于点 。
求证：(1) ∠ = 2∠ ；
答案：证明：连接 并延长，交 于点 。
∵ = ，⊙ 是 △ 的外接圆，∴ 垂直平分 ， 平分 ∠ ，
∴ ∠ = 2∠ 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 2∠ 。
(2) 是 ⊙ 的切线。
答案：证明见解析
解析：由 (1) 得 垂直平分 ，∴ ∠ = 90 。∵ ∥ ，∴ ∠ = 90 。
又∵ 是 ⊙ 的半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
2. 如图，在 △ 中， = ，点 是 的中点，以 为直径作 ⊙ ，交边 于
点 ，连接 、 。
(1) 求证： 是 ⊙ 的切线。
答案：证明：∵ = ，点 是 的中点，∴ ⊥ 。
∵ 是 ⊙ 的直径，∴ 是 ⊙ 的切线。
(2) 若 是 ⊙ 的切线， = 4，求 的长。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：2 2
解析：
如图，连接 。∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ∠ = 90 。
1
∵ = 4，点 是 的中点，∴ = = = 22 。
∵ 是 ⊙ 的直径，∴ = = 1，∴ = + = 3，
∴ = 2 2 = 32 12 = 2 2。
3. 如图，在 △ 中， = ，以 为直径作 ⊙ 交 于点 ，过点 作 ⊥
，垂足为点 ，延长 交 ⊙ 于点 。
(1) 求证： 是 ⊙ 的切线。
答案：
证法 1：
如图，连接 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∥ 。
∵ ⊥ ，∴ ⊥ 。∵ 是半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
证法 2：如图，连接 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ ⊥ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 180 90 = 90 ，即 ⊥ 。
∵ 是半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
2
(2) 若 = ， = 10，求 ⊙ 3 的半径。
答案：13
解析：如图，连接 、 ，则 ∠ = ∠ = 90 。
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∥ 。
∵ = ， ⊥ ，∴ = ，∴ 是 △ 的中位线，∴ = ， = 2 。
设 = 2 ， = 3 ，则 = 6 。
∵ = 10，∴ = = + = 2 + 10，∴ = = + = 4 + 10。
在 △ 中，由勾股定理，得 2 = 2 + 2，
即 (4 + 10)2 = 102 + (6 )2，解得 = 4 或 = 0（舍去），
∴ = 4 + 10 = 4 × 4 + 10 = 26，∴ = 13，即 ⊙ 的半径为 13。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.3 三角形的内切圆
1、在△ 中， = 6， = 10，点 为△ 的内心。若△ 的面积为 25，则△
的面积为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
答案：C
解析：
过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 。
1 1
∵ △ = = 25， = 10，∴ × 10 × = 25，解得 = 52 2 。
∵点 为△ 的内心， 平分∠ ，∴ = = 5。
1 1
∵ = 6，∴ △ = = × 6 × 5 = 152 2 。
2、如图，⊙ 是△ 的外接圆，且 为⊙ 的直径，点 为△ 的内心， 的延长线交⊙
于点 ，连接 ， 。若 = 5， = 10，则 的长为（ ）
A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 2 10
答案：C
解析：∵点 为△ 的内心，∴ 平分∠ ， 平分∠ ，即∠ = ∠ ，∠ = ∠ 。
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
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第 30 章 直线与圆的位置关系
1
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = 45 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 45 2 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ ，△ 是等腰直角三角形，
2
∴ = = = 5 ∴ = 2 2 = 52 ( 5)2 = 2 5
2 ， 。
3、如图⊙ 的外切四边形 的周长为 32，其相邻的三条边 : : = 3: 4: 5，则
=______。
答案：8
解析：∵相邻的三条边 : : = 3: 4: 5，∴设此三边的长分别为 3 ，4 ，5 。
根据圆外切四边形的性质得， + = + ，则 = 3 + 5 4 = 4 。
∵圆外切四边形的周长为 32，∴ 3 + 4 + 5 + 4 = 16 = 32，
解得 = 2，∴ = 8。
4、如图，⊙ 是 △ 的内切圆，已知∠ = 90 ， = 8， = 6。
(1) 求△ 内切圆的半径；
(2) 求△ 的内心和外心的距离。
答案：2
解析：
设⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ， ， 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， = ， = ， = 。
∵ ∠ = 90 ，∴四边形 为正方形。
设⊙ 的半径为 ，∴ = = = ，
∴ = = = 8 ， = = = 6 。
∵ = 2 + 2 = 82 + 62 = 10，
又 = + ，∴ 8 + 6 = 10，解得 = 2，即△ 内切圆的半径为 2。
(2) 答案： 5
解析：∵ ∠ = 90 ，∴ 为△ 外接圆的直径， = 10。
1
设 的中点为 ，点 即为 △ 的外心，∴ = = 52 。
设⊙ 与 相切于点 ，连接 ， 。
由 (1) 得， = 6 = 4，∴ = = 5 4 = 1。
在 △ 中， = 1， = 2，∴ = 2 + 2 = 12 + 22 = 5
即 △ 的内心 与外心 之间的距离为 5。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.4 正多边形与圆
1、如图，将圆六等分，B，D是其中两个等分点，点 A，C分别在圆上，则∠ : ∠ = ( )
A.2: 5 B.1: 2 C.3: 5 D.2: 3
答案：B
解析：

由题意可知 = = = = = ，∠ 所对弧为 2 ，∠ 所对弧为 4 。根
1 1 1
据圆周角定理，∠ = × 2 ，∠ = × 4 ，故∠ = ∠ ，即∠ : ∠ =2 2 2
1: 2。
2、如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正六边形 的中心与原点 重合， ∥
轴，将正六边形绕点 顺时针旋转，每次旋转45 ，第 1000 次旋转结束时，点 的坐标为( )
A.( 2,2 3) B.( 2, 2 3) C.(2 3, 2) D.(2,2 3)
答案：A
解析：
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第 30 章 直线与圆的位置关系
360
连接 ， ，设 交 轴于点 。正六边形中心角∠ = = 60 ，又 = 6 ，故△
1
为等边三角形。由 ∥ 轴，得 ⊥ ， = = = 2， = = 42 。由勾股定理，

= 2 2
360
= 2 3，故初始时 ( 2,2 3)。每次旋转45 ， = 845 ，即 8 次旋转为一
个循环。1000 ÷ 8 = 125，余数为 0，故第 1000 次旋转后点 坐标为( 2,2 3)。
3、如图，点 为正六边形 的中心，边长 为 2，点 为 的中点，若点 为 边上
的动点，则 + 的最小值为( )
5
A.2 3 B.3 C.1 + 3 D.2
答案：B
解析：
本题为将军饮马模型，作点 关于 的对称点 ′，连接 ′，则 = ′， + = ′ + ，
最小值为 ′的长。连接 ， ， ′， 。正六边形中心角∠ = 60 ， = ，故△
为等边三角形，∠ = 60 ， = = 2。正六边形内角∠ = 120 ，故∠ = ∠
∠ = 60 。由对称得∠ ′ = ∠ = 60 ，故∠ + ∠ + ∠ ′ = 180 ，即 ， ，
′
1
三点共线。 为 中点， = = 1，故 ′ = + ′ = + = 1 + 2 = 32 ，即
+
最小值为 3。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
4、如图，正方形 的边长为 4，⊙ 的半径为 1。若 在正方形 内平移（ 可以与该
正方形的边相切），则点 到 上的点的距离的最大值为________________。
答案：3 2 + 1
解析：
设 为⊙ 上任意一点，连接 ， ， ，由三角形三边关系得 ≤ + ，当 最大时，
最大，最大值为 + 1。当⊙ 与 ， 同时相切时， 最大。设⊙ 与 ， 分别相
切于 ， ，连接 ， ， ， ，四边形 为正方形。正方形对角线 = 2 + 2 = 4 2，
= 2 + 2 = 2，故 = = 4 2 2 = 3 2，点 到⊙ 上点的距离最大值
为 3 2 + 1。
5、如图 1，司南中心为一圆形，圆心为点 ，直径为 20，根据八个方位将圆形八等分（图 2
中点 ～ ），过点 作⊙ 的切线与 的延长线交于点 ，连接 ， 。
图 1 图 2
(1) 相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为___________；
(2) 求 的长；
(3) 求 的长。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：(1)45 ，(2) = 10 2 ，(3) = 20
360
解析：(1) 圆为360 ，八等分后相邻方位圆心角为 = 45 8 。

(2) 为⊙ 直径，故∠ = 90 。由八等分得 = ，故 = 。在 △ 中， 2 +
2 = 2， = 20，即 2 2 = 400，解得 = 10 2。
(3) 为⊙ 切线，故 ⊥ ，∠ = 90 。由 (2) 知△ 为等腰直角三角形，∠ =
45 ，故△ 为等腰直角三角形， = = 20。
6、如图，正三角形的边长为 12 cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内
部任意一点到各边的距离和为________cm。
答案：12 3
解析：
12
剪去三个角后为正六边形，故剪去的三个小三角形为全等正三角形，正六边形边长为 = 43 cm。
1
取正六边形中心 ，过 作边的垂线，由勾股定理得边心距为 2 3 cm，正六边形面积 = ×2
1
4 × 2 3 × 6 = 24 3, cm2。设内部任意一点到各边距离和为 h，由面积法 × 4 × h = 24 32 ，
解得 h = 12 3。
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