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第 30 章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆相离、相切、相交
知识点 直线与圆的位置关系的性质与判定
1.已知⊙ 的半径 是一元二次方程 2 5 6 = 0的一个根，圆心 到直线 的距离 = 5，则
直线 与⊙ 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行
答案：A
解析：解 2 5 6 = 0，得 1 = 1， 2 = 6。
∵⊙ 的半径为一元二次方程 2 5 6 = 0的一个根，∴ = 6。
∵ = 5，∴ < ，∴直线 与⊙ 的位置关系是相交，故选 A。
2.【2026镇江质检】已知矩形 中， = ， = ，若以 为直径的圆与边 有交点，
则 与 满足的关系为（ ）
A. 2 B. > 2 C. > D.
答案：A

解析：∵ = ，∴以 为直径的圆的半径为2。

∵以 为直径的圆与边 有交点，∴ ，∴ 2 2 ，故选 A。
3.【2026 南开期中】如图，点 (1,0)， (0,2)， (0,0)，点 为线段 的中点，以点 为圆心，
2 5
5 为半径作
⊙ ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与⊙ 相切 B. 点 在⊙ 上
C. 点 在⊙ 上 D. 点 在⊙ 上
答案：A
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：过 作 ⊥ 于 ，连接 。∵ (1,0)， (0,2)，∴ = 1， = 2。
∵ ∠ = 90 ，∴ = 2 + 2 = 5。
1 5
∵点 为线段 的中点，∠ = 90 ，∴ = =2 2 。
1 1 2 5
∵ △ = = ，∴ 5 × = 1 × 2，∴ =2 2 5 。
2 5
∵⊙ 的半径 = ，∴ = ，∴ 与⊙ 5 相切，故
A 符合题意。
∵ > ， > ， > ，∴ ， ， 在⊙ 外，故 B、C、D 不符合题意。故选 A。
3 1
4.【2026 揭阳期末】已知⊙ 的半径是关于 的方程 2 2
= 1的增根，圆心 到直线
的距离 = 2，则直线 与⊙ 的位置关系是_____________。
答案：相切
3 1
解析：∵关于 的方程 2 = 1的增根是 = 2，∴⊙ 2 的半径是
2。
∵圆心 到直线 的距离 = 2，∴直线 与⊙ 的位置关系是相切。
5.【2025 青浦期末】若点 ( , )在二次函数 = 2 + 2 + 2的图象上，以 为圆心，2为半
径的圆与 轴相交，则 的取值范围是____________。
答案：1 < 10
解析：∵ = 2 + 2 + 2 = ( + 1)2 + 1，
∴二次函数 = 2 + 2 + 2的图象开口向上，顶点坐标为( 1,1)，对称轴是直线 = 1。
∵以 为圆心，2为半径的圆与 轴相交，
∴ ( , )到 轴的距离小于 2，∴ 2 < < 2。
当 = 2时， = ( 2 + 1)2 + 1 = 2；
当 = 2时， = (2 + 1)2 + 1 = 10；
当 = 1时， = 1，
∴ 的取值范围是 1 < 10。
思路分析：由题意可知 2 < < 2，根据 的取值范围，利用二次函数即可确定 的取值范围。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
6.【2025南京质检】如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴负半轴、 轴正半轴
上(OA>OB)， ( , )（ 为常数），以 为圆心、适当的长度为半径作⊙ ，使点 ， 在⊙
上。
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出⊙ 。（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 若 = 8， = 6，直线 = + 与⊙ 有且只有一个公共点，则 =____________。
答案：(1) 如图，⊙ 即为所作。
(2)4或 24
解析：(2) 当直线 = + 与⊙ 有且只有一个公共点时，设公共点为点 ，连接 ， ， ，
则易知 ⊥直线 = + ，且 = = 。
∵ ( , )，∴点 在直线 = 上，∴点 是直线 = 和直线 = + 的交点。
1
= =
联立 = + ，解得
2
1 。
=
2
∵ = 8， = 6，∴ ( 8,0)， (0,6)。
由 = = ，得：
1 2 1( + ) + ( )2 = ( + 8)2 + ( )2 = 2 + ( 6)2
2 2
解得 = 4或 24。
关键点拨：确定直线 = + 与⊙ 的公共点的位置是解题的关键。
7.如图，已知∠ = 30 ， = 3cm，⊙ 的半径为 1cm。若圆心 沿着 方向在直线
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第 30 章 直线与圆的位置关系
上移动。
(1) 当圆心 移动的距离为 1cm时，⊙ 与直线 的位置关系是什么？
(2) 若圆心 的移动距离是 cm，当⊙ 与直线 相交时， 的取值范围是什么？
答案：(1) 相切，(2)1 < < 5
解析：
(1) 如图 (1)， 当圆心 向左移动 1cm时， ′ = ′ = 3 1 =
2(cm)，作 ′ ⊥ 于点 。
1
∵ ∠ = 30 ，∴ ′ = ′ = 1cm2 。
∵⊙ 的半径为 1cm，∴ ′ 为⊙ 的半径，∴⊙ 与直线 的位置关系是相切。
(2) 如图 (2)，
当圆心 由 ′向左继续移动时， 与⊙ 相交；当圆心 移动到点 ″时， 与⊙ 相切，此时
″ = ′ = 2cm。
∵ = 3cm，∴ ″ = + ″ = 3 + 2 = 5(cm)，
∴当⊙ 与直线 相交时，圆心 移动的距离 的取值范围为 1 < < 5。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
易错点 错把圆心到直线上某点的距离与半径作比较来确定直线与圆的位置关系
8.已知⊙ 的半径为 3cm， 为直线 上的一点，若 = 5cm，则直线 与⊙ 的位置关系是（ ）
A. 一定相交 B. 一定相切
C. 一定相离 D. 可能相交，也可能相切或相离
答案：D
解析：因为垂线段最短，圆心到直线的距离 为垂线段的长度，所以此时垂线段的长度和半径
的大小关系不确定，则直线 和⊙ 相交、相切、相离都有可能。
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30.2 切线的判定和性质
知识点 1 切线的性质
1【. 2026 大连期中】如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 切 ⊙
于点 ，若 ∠ = ，则 ∠ 的度数为（ ）
1
A. 45 B. 45 C. 60 2 D.

答案：A
解析：连接 。
∵ 切 ⊙ 于点 ，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 。
∵ ∠ = ，∴ ∠ = 90 ∠ = 90 。
1 1 1
又∵ = ，∴ ∠ = ∠ = (90 ) = 45 2 2 2 ，故选 A。
2.【2026 张家口期末】如图是一个钟表表盘，连接刻度 2 与刻度 10 的 、 两点并延长，
交过刻度 8 的切线于点 ，若表盘的半径长为 3，则线段 长为_______。
答案：2
解析：
设钟表表盘的中心为点 ，连接 、 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
1
由钟表表盘的特性可知点 在 上，∠ = 2 × 30 = 60 ，∠ = ∠ = 30 2 。
1
∵ 与 ⊙ 相切于点 ，∴ ∠ = 90 。∵ ∠ = 30 ，∴ = 2 。
∵ 2 2 = 2，∴ 4 2 2 = (2 3)2，解得 = 2（负值已舍去）。
3.【2025 南京质检】如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 在 ⊙ 上，连接 、 ，
为 ⊙ 外一点，且 ∠ = 90 ， 为 ⊙ 的切线。
(1) 若 ∠ = 30 ， = 2，求 ⊙ 的半径。
(2) 求证：2∠ + ∠ = 180 。
答案：(1)⊙ 的半径为 2；(2) 证明见解析。
解析：
(1) 连接 。∠ = 30 ，∠ = 2∠ = 2 × 30 = 60 。
又 = ，∴ △ 是等边三角形，∴ = = 2，即 ⊙ 的半径为 2。
(2) ∵ ∠ = 2∠ ，∵ 是 ⊙ 的切线，∴ ⊥ ，
∵ ∠ = 90 ，∴ ∥ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ 2∠ + ∠ = 180 。
知识点 2 切线的判定
4.【2026武威质检】如图，在 ⊙ 中， 是半径 上一点，射线 ⊥ ，交 ⊙ 于
， 为 上任意一点，射线 交 ⊙ 于 ， 为射线 上的点，且 = ，
下列结论：① 为 ⊙ 的切线；② > ；③∠ = 2∠ ，其中正确的结论有（ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：B
解析：连接 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。∵ = ，∴ ∠ = ∠ 。
又∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ ⊥ ，
而 是半径，∴ 为 ⊙ 的切线，①正确。
无法确定 和 的长度，②错误。
1
∵ ∠ = 90 ，∠ = ∠ ，∴ 2∠ + ∠ = 180 ，又∵ ∠ = (180 ∠ )2 ，
∴ 180 2∠ = 180 ∠ ，∴ ∠ = 2∠ ，③正确。故选 B。
5. 开放性试题 如图， 是 ⊙ 的直径，要使得直线 是 ⊙ 的切线，需要添加的一
个条件是_______________________________________。（写一个条件即可）
答案：∠ = ∠ = 45 （答案不唯一）
解析：添加条件：∠ = ∠ = 45 。∵ ∠ = ∠ = 45 ，∴ ∠ = 90 ，
又 是 ⊙ 的直径，∴ 是 ⊙ 的半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
6.【2026 江门质检】如图，在平面直角坐标系 中，以点 ( 2, 0) 为圆心，1 为半径画
圆。将 ⊙ 绕点 逆时针旋转 (0 < < 180 ) 得到 ⊙ ′，使得 ⊙ ′ 与 轴相切，
则 的度数是_______________。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：45 或 135
解析：
图 (1)，
点 ′ 在第一象限时，设 ⊙ ′ 与 轴相切于点 ，连接 ′、 ′ ，
则 ⊥ ′ ，∴ ∠ ′ = 90 。∵ ( 2, 0)，∴ = 2，由旋转得 ′ = = 2。
∵⊙ 的半径为 1，∴⊙ ′ 的半径为 1，∴ ′ = 1，
∴ = ′2 ′ 2 = ( 2)2 12 = 1，∴ ′ = ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 45 ，
∴ = ∠ ′ = 90 45 = 45 。
图 (2)，
点 ′ 在第二象限时，设 ⊙ ′ 与 轴相切于点 ，连接 ′、 ′ ，
则 ⊥ ′ ，∴ ∠ ′ = 90 。
∵ ′ = 2， ′ = 1，∴ = ′2 ′ 2 = ( 2)2 12 = 1，
∴ ′ = ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 45 ，∴ = ∠ ′ = 90 + 45 = 135 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
7.【2025郑州期中】如图，⊙ 的直径 = 10，∠ = 30 ， 交 ⊙ 于 ， 是
的中点。
(1) 求 的长；
(2) 连接 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，求证： 是 ⊙ 的切线。
答案：
(1) 连接 。∵ 是 ⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 。
1
∵ ∠ = 30 ， = 10，∴ = = 5，∴ = 2 2 = 5 32 。
∵ 是 的中点，∴ = 2 = 10 3，即 的长为 10 3。
(2) 连接 。
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 。∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ 是 △ 的中位线，∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ 。
∵ 是 ⊙ 的半径，∴ 是 ⊙ 的切线。
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30.3 切线长定理
知识点 1 过圆外一点作圆的切线 (尺规作图)
1.【2026 龙岩质检】如图， 是⊙ 的弦， 是 延长线上一点。
(1) 过点 作⊙ 的切线 ，切点 在直线 的下方；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹)
(2) 在 (1) 的条件下，连接 ， 。求证：∠ = ∠ 。
答案：
(1) 如图，直线 即为所求。
(2) 证明：如图，作直径 ，连接 。
由作图可知 ⊥ ，∴ ∠ + ∠ = 90 。
∵ 是直径，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
知识点 2 切线长定理
2.【2026深圳质检】如图， 是⊙ 的直径，点 为⊙ 外一点， ， 是⊙ 的切线， ，
为切点，连接 ， 。若∠ = 48 ，则∠ 的大小是 ( )
A.32 B.48 C.60 D.66
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第 30 章 直线与圆的位置关系
答案：D
解析：∵ ， 是⊙ 的切线，∴ ⊥ ， = 。
∵ ∠ = 48 ，∴ ∠ = ∠ = 66 。
∵ ⊥ ， 是直径，∴ ∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ = 66 ，故选 D。
3.【2026秦皇岛期末】如图，在四边形 中， ∥ ， ⊥ ，以 为圆心， 为半
径的弧恰好与 相切，切点为 。若 = 1， = 3，则阴影部分的面积是 ( )
5 3 5 5
A.4 5 π 2 5 π4 B. 4 C.
2 5 π D.3 5 π4 4
答案：C
解析：
如图，连接 ， 。∵ ⊥ ，以 为圆心， 为半径的弧恰好与 相切，
∴ ， 是该弧所在圆的切线，∴ = = 1，∠ = ∠ ， ⊥ ，
∴ = = 3 1 = 2。
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = = 3。
在 Rt △ 中， = 32 22 = 5，∴ = = 5，
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第 30 章 直线与圆的位置关系
1 1 5
∴ 阴影部分的面积为 × (1 + 3) × 5 × ( 5)2 = 2 5 2 4 4 。故选 C。
4.【2026德阳期末】如图， ， 是⊙ 的两条切线， ， 是切点， ， 是⊙ 上两点，连
接 ， ， ， 。若∠ = 46 ，∠ = 32 ，则∠ 的度数是_______度。
答案：99
解析：∵ ， 是⊙ 的切线，∴ = ，又∠ = 46 ，∴ ∠ = ∠ = 67 ，
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 (67 + 32 ) = 81 。
∵ 四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = 180 81 = 99 。
5.【2026绵阳期末】如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = = 6，以点 为圆心，2为
半径作⊙ ，过 上的动点 作⊙ 的切线 ， ，过劣弧 上一点 作⊙ 的另一条切线分
别交 ， 于点 ， ，则△ 周长的最小值为__________。
答案：2 14
解析：
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∵ ， ， 是⊙ 的切线，∴ = ， = ， = ，
△ 的周长为 + + = + + + = + = 2 。
连接 ， ，如图，则∠ = 90 ，∴ = 2 2。
∵⊙ 的半径不变，即 长不变，
∴ 长随着 长的变化而变化，即当 长最小时， 长最小，则△ 的周长最小。
∵ 当 ⊥ 时， 长最小，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = = 6，
1
∴ 由勾股定理得 = 2 + 2 = 62 + 62 = 6 2，点 是 的中点，则 = = 3 22 ，
∴ = 2 2 = (3 2)2 22 = 14，∴△ 周长的最小值为 2 14。
6.【2026日照期中】如图，在以点 为圆心的两个同心圆中， 经过圆心 ，且与小圆相交于
，与大圆相交于 ，小圆的切线 与大圆相交于 ， 平分∠ 。
(1) 证明：直线 是小圆的切线；
(2) 证明： + = ；
(3) 若 = 8cm， = 10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积。
答案：
(1) 证明：如图，作 ⊥ 于 。∵ 是小圆的切线，∴ ⊥ 。
∵ 平分∠ ，∴ = 。∵ 在小圆上，∴ 也在小圆上，即 是小圆的半径，
∴ 直线 是小圆的切线。
(2) 证明：如图，连接 。
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∵ ， 是小圆的切线，∴ = 。
在 Rt △ 与 Rt △ = 中， = ，∴ Rt △ Rt △ (HL)，∴ = ，
∴ = + = + 。
(3) 解：由 (2) 可得 = = = 10 2 2 = 10 6 = 4(cm)，
∴ 圆环 = 大圆 小圆 = (
2 2) = 2 = 16 cm2。
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30.4 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆与内心
1.根据尺规作图的痕迹，可以判定点 为△ 的内心的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：三角形的内心是三角形角平分线的交点。由基本作图知选项 C 中尺规作图作的是∠
和∠ 的平分线，所以点 为△ 的内心，故选 C。
2.【2025广州期末】如图，△ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若⊙
的半径为 ，∠ = ，则 + 的值和∠ 的度数分别为（ ）
A. 0，180 2 B. 0，180
C. 2 ，90

2 D. 3 ，90 2
答案：A
解析：连接 ， ， ，如图。
∵△ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ = ， = ， ⊥ ， ⊥ ，
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第 30 章 直线与圆的位置关系
∴ ∠ = ∠ = 90 ， + = + = ，∴ + = = 0。
∵ ∠ = 2∠ = 2 ，∴ ∠ = 360 90 90 2 = 180 2 。
3.【2026宁波质检】已知△ 为等腰三角形， = = 5， = 6，点 为△ 的内心，
点 为△ 的外心，则 的长为（ ）
1 5 7 5
A. B.
2 8
C. D.
8 2
答案：B
解析：
如图，连接 并延长交 于 ，连接 ， 。
∵点 为△ 的内心，点 为△ 的外心， = ，
∴ ∠ = ∠ ， = ，∠ = ∠ = 90 ，即 垂直平分 ，∴点 在 上。
∵ = = 5， = 6，∴ = = 3，∴ = 52 32 = 4。
∵点 是△ 的外心，∴可设 = = ，则 = 4 。
25 25 7
在 △ 中，由勾股定理得(4 )2 + 32 = 2，解得 = 8，∴ = 4 8 = 8。
作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 。∵点 为△ 的内心，∴ = = 。
1 1 1 1
设 = ，∵ △ = + + = × × 2 2 2 2 ，
1 1 1 1
∴ × 5 + × 5 + × 6 = × 6 × 4
2 2 2 2 ，
3 3 3 7 5
即 16 = 24，解得 = ，即 = ，∴ = = =2 2 2 8 8。故选
B。
归纳总结
三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；三角形的外心是三边垂直平
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第 30 章 直线与圆的位置关系
分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。等腰三角形的内心和外心都在底边上的高线上面。
4.【2026淮安期中】在△ 中，∠ = 50 ，点 是△ 的内心，连接 ， ，则∠
的度数为__________
答案：115
解析：如图，⊙ 是△ 的内切圆， 平分∠ ， 平分∠ ，
1 1
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ 2 2 。
∵ ∠ = 50 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 130 ，
1
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = 65
2 ，
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 115 。
5.【2025杭州质检】如图，平面直角坐标系中， (1,1)， (2,4)， (3,1)，则△ 的内切圆
的半径长为_________
10 1
答案： 3
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
设△ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ， ， ，如图。
∵ (1,1)， (2,4)， (3,1)，
1
∴ = 3 1 = 2， = = 12 + 32 = 10， △ = × 2 × 3 = 32 。
连接 ， ， ，设△ 的内切圆⊙ 的半径长为 ，则 = = = 。
∵ ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
1 1 1
∴ △ = △ + △ + △ = + + 2 2 2 ，
1 1 1 10 1
即 × 10 + × 10 + × 2 = 32 2 2 ，解得
=
3 。
6.阅读材料：如图 (1)，△ 的周长为 ，面积为 ，内切圆 的半径为 ，探究 与 ， 之间的
关系。
解：如图 (1)，连接 ， ， 。
1 1 1
∵ △ = 2 ， △
= =
2 ， △ 2 ，
1 1 1 1 2
∴ = + + = ，∴ =2 2 2 2 。
如图 (1) 如图 (2)
解决问题：
(1) 利用探究的结论，计算边长分别为 5，12，13 的三角形内切圆半径。
答案：2
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：∵ 52 + 122 = 132，∴此三角形为直角三角形，
1 2 × 30
∴三角形面积 = × 5 × 12 = 30 ∴ = 22 ， 三角形内切圆半径为5 + 12 + 13 。
(2) 如图 (2)，若四边形 存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为 ，各边长分别为 ，
， ， ，内切圆半径为 ，试推导四边形的内切圆半径公式。
2
答案： = + + +
解析：
设四边形 内切圆的圆心为 ，连接 ， ， ， ，
1 1 1 1
则 = △ + △ + △ + △ = + + + 2 2 2 2
1
= ( + + + )
2 ，
2
∴ =
+ + + 。
(3) 若一个 边形（ 为不小于 3 的整数）存在内切圆，且面积为 ，各边长分别为 1， 2， 3，
， ，内切圆半径为 ，猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。
2
答案： = 1 + 2 + +
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30.5 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的有关概念及计算
1. 对于以下说法:①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各
角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形。正确的有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：B
解析：①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满
足条件，却不是正多边形；④正确。共有 2 个正确.
2.【2026临沂质检】如图，已知五边形 为正五边形，以点 为圆心，以 的长为半径
画弧，分别交 ， 的延长线于点 ， . 连接 ， ，则∠ =( )
A.18 B.24 C.28 D.36
答案：A
解析：
1
如图，连接 ， .∴ ∠ = ∠ 2 .
180 × (5 2) 540
∵五边形 为正五边形，∴ ∠ = ∠ = = = 108 ， = 5 5 ，
180 108
∴ ∠ = ∠ = = 36
2 ，同理可得
∠ = 36 .
∴ ∠ = ∠ ∠ ∠ = 36
1 1
，∴ ∠ = ∠ = × 36 = 18 2 2 ，故选 A.
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第 30 章 直线与圆的位置关系
3.【2025四平期中】如图， 是正五边形 的内切圆，分别切 ， 于点 ， ， 是优
弧 上的一点，则∠ 的度数为 ( )
A.54 B.60 C.66 D.72
答案：D
解析：
如图，连接 ， .∵⊙ 是正五边形 的内切圆，分别切 ， 于点 ， .
(5 2) × 180

∴ ∠ = ∠ = 90 .∵五边形 是正五边形，∴ ∠ = ∠ = = 108 .5
∴ ∠ = (5 2) × 180 90 90 108 108 = 144 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 72
2 . 故选 D.
4.【2026保定期中】如图， ， ， ， 均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦 的长时，
发现 点、 点分别与刻度 1 和 4 对齐，则 ， 两点的距离是 ( )
A.2 2cm B.2 3cm C.3 3cm D.6cm
答案：C
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
如图，设点 为圆心，连接 ， ， ， ，由圆的对称性可知， 是⊙ 的直径，
∴点 在 上.∵点 ， ， ， 是圆周上的十二等分点，
360 1∴ ∠ = × 2 = 60 ， = ， = ，∠ = ∠ = 30 .12 2
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 .
在 Rt △ 中，∠ = 30 ， = 4 1 = 3(cm)，∴ = 6cm，
∴ = 62 32 = 3 3(cm)，∴ = = 3 3cm，故选 C.
5.【2026连云港质检】如图，⊙ 的内接正十二边形的面积为 1，⊙ 的面积为 ，若⊙ 的
半径为 1，则 1 =( )
A. 2 B. 1 C. 3 D.2 3
答案：C
解析：
⊙ 的半径为 1，⊙ 的面积 = .
如图，设 是⊙ 内接正十二边形的一条边，连接 ， ，∴ = = 1.
360
⊙ 的内接正十二边形的中心角为 = 30 ，∴ ∠ = 30 12 .
1 1
过点 作 ⊥ 于点 ，∴ = =2 2，
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第 30 章 直线与圆的位置关系
1 1 1
∴ 1 = 12 △ = 12 × = 12 × × 1 × = 3，∴ 2 2 2 1
= 3. 故选 C.
6.【2026宿迁期中】如图， ， 分别为⊙ 的内接正三角形与内接正四边形的一边，
是圆内接正 边形的一边，则 的值为_______.
答案：12
解析：
连接 ， ， ，如图.
∵ ， 分别为⊙ 的内接正四边形与内接正三角形的一边，
360 360
∴ ∠ = = 90 ，∠ = = 120 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 30 4 3 ，
360
∴ = = 12，即 30 是圆内接正十二边形的一边。故答案为 12.
知识点 2 正多边形的画法
7.【2026东城期中】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙ 上任取点 ，
从点 开始，以⊙ 的半径为半径，在⊙ 上依次截取点，从而把⊙ 六等分。下列可以只用
圆规将圆（已知圆心）等分的是 ( )
①二等分；②三等分；③四等分.
A.② B.①② C.①③ D.①②③
答案：D
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第 30 章 直线与圆的位置关系
解析：
∵只用圆规可完成圆的六等分，∴可以利用六等分点得到二等分点和三等分点，∴①②可以.将
半径为 的⊙ 六等分，依次得到 ， ， ， ， ， 六个等分点；分别以点 ， 为圆心，
长为半径画弧， 是两弧的一个交点；以点 为圆心， 长为半径作弧，交⊙ 于点 ， ，如
图， ， ， ， 就是圆的四等分点，∴③也可以。故选 D.
8.【2025荆门质检】如图，在⊙ 中， 为直径， ⊥ ，圆内接正五边形 的部分
尺规作图步骤如下：
①作出半径 的中点 ；
②以点 为圆心， 长为半径作圆弧，交直径 于点 ；
③ 长即为正五边形的边长，在⊙ 上依次作出各等分点 ， ， ， .
已知⊙ 的半径 = 2，则 2 =_________________.
答案：10 2 5
1 1
解析：连接 .∵ 为 中点，∴ = = × 2 = 12 2 .
在 Rt △ 中，由勾股定理，得 = 2 + 2 = 22 + 12 = 5.
∵ = = 5，∴ = = 5 1.
在 Rt △ 中，由勾股定理得， 2 = 2 + 2 = 22 + ( 5 1)2 = 10 2 5.
∵ = ，∴ 2 = 10 2 5.
故答案为 10 2 5.
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