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第 25 章 一元二次方程
25.1 一元二次方程的概念
知识点 1 一元二次方程的定义
1
1【. 2025日照质检】下列方程中: (1) 2 2 = 1 ; (2) 2 2 5 + 2 = 08 ;③
7 2 + 1 = 0 ; (4)
2 + + = 0 ; (5) 2 + 2 = 2 1 ,是一元二次方程的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：A
解析：一元二次方程需要满足的三个条件:(1)是整式方程;(2)化简后只含有一个未知数;(3)化简
后未知数的最高次数是 2。
① 分母中有未知数，不是整式方程 ×
② 含有两个未知数 ×
③ 满足一元二次方程的三个条件 √
④ 当 = 0 时，不含有二次项 ×
⑤ 化简得 2 = 1，不含有二次项 ×
故选 A。
2.关于 x 的方程 2 + + = 0 ,有以下说法,其中正确的是( )
A.当 = 0 时, 2 + = 0 是一元二次方程
B.当 = 0 时, 2 + = 0 是一元二次方程
C.当 = 0 时, + = 0 是一元一次方程
D.以上说法都不对
答案：D
解析：
关于 的方程 2 + + = 0，当 ≠ 0时，方程为一元二次方程；当 = 0 且 ≠ 0时，方程
为一元一次方程。
故 A、B、C选项中的说法都不正确，故选 D。
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第 25 章 一元二次方程
知识点 2 一元二次方程的一般形式
3.【2025孝感质检】一元二次方程 3 2 + 5 = 6 化成一般形式是_____(二次项系数大于
0)，其中一次项系数是_____。
答案： 2 12 + 14 = 0； 12
解析：一元二次方程 3 2 + 5 = 6 化成一般形式是 2 12 + 14 = 0 ,其中一次项系数
是 12。
4.【2026洛阳期中】若关于 x 的一元二次方程 3 2 + 2 = 2 化成一般形式后，
其二次项系数为 1，常数项为 2，则该方程中的一次项系数为___。
答案：5
解析：将方程整理为 3 2 2 + + 2 2 = 0，即 3 2 + 1+ 2 2 = 0，由题意
得 3 = 1，解得 = 2，∴ 该方程中的一次项系数为 1 + 2 = 1 + 2 × 2 = 5。
知识点 3 一元二次方程的根
5.已知 = 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2 = 0 的一个根，则 m 的值是 ( )
A. 1 B.0 C.1 D.0或 1
答案：C
解析：由题意可得 = 2 是方程 2 2 = 0 的一个根，将 = 2 代入方程 2
2 = 0 中，可得 4 2 2 = 0，解得 = 1，故选 C。
6.下表是代数式 2 + 的值的情况，根据数据可知方程 2 + = 6 的根是( )
… 3 2 1 0 1 2 3 4 …
2 + … 12 6 2 0 0 2 6 12 …
A. 1 = 0 , 2 = 1 B. 1 = 1 , 2 = 2
C. 1 = 2 , 2 = 3 D. 1 = 3 , 2 = 4
答案：C
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解析：由题意得当 = 2 时， 2 + = 6，当 = 3 时， 2 + = 6，∴ 方程 2 + = 6
的根是 1 = 2 , 2 = 3，故选 C。
7【. 2026惠州期中】若 a 是方程 2 1 = 0 的一个根，则 3 + 2 + 2020 的值为_______。
答案：2019
解析：∵ 是方程 2 1 = 0 的一个根，∴ 2 1 = 0，即 2 = 1。
原式 = ( 3 2 ) + 2020 = ( 3 2 + 2 ) + 2020 = [ ( 2 ) + 1 ] + 2020
= ( × 1 + 1 ) + 2020 = ( + 1 ) + 2020 = 1 + 2020 = 2019
知识点 4 建立一元二次方程模型
8. 2025年是“全运年”，第十五届全运会于 2025年 11月 9日~21日在粤港澳大湾区举行。为
了激励学生运动，各学校也开展篮球比赛，每两支队都要进行两场比赛，共要比赛 56场，若
有 支队参赛，则可得方程为_____(化成一般形式)。
答案： 2 56 = 0
解析：依题意得共要比赛 1 场，所以 1 = 56，整理得 2 56 = 0。
9.【2026深圳质检】一块正方形纸板，在四个角上分别截去一个边长为 1 cm 的小正方形，然
后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为 32 3，则所用的正方形纸
板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是 ，请列出方程，并把它化成一般形
式(不用解方程)。
答案：方程为 2 2 × 1 = 32，一般形式为 2 4 28 = 0
解析：正方形纸板的边长是 ，则没有盖的长方体盒子的长、宽均为 ( 1 × 2) ，高为
1 cm。根据题意列方程为 1 × 2 1 × 2 × 1 = 32，化为一般形式为 2 4 28 = 0。
易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为 0而出错
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10.【2025新乡期末】如果关于 x 的一元二次方程 3 2 + 3 + | | 3 = 0 有一个解是
= 0，那么 m 的值是( )
A.3 B. 3 C.±3 D.0或 3
答案：B
解析：把 = 0 代入方程 3 2 + 3 + | | 3 = 0 中，得 | | 3 = 0，解得 = 3
或 3。当 = 3 时，原方程二次项系数 3 = 0，不符合一元二次方程的定义，故舍去，
∴ = 3，故选 B。
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25.2 直接开平方法
知识点 1 解形如 = ≥ 的方程
1.【2025安阳质检】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
. 2 4 = 0 . 2 2 = 0 . 2 + 3 = 0 . 2 = 0( > 0)
答案：C
解析：A选项， =± 2 ，有解，故不符合题意;B选项， = 0 ，有解，故不符合题意;C选
项，方程无解，故符合题意;D选项， =± ，有解，故不符合题意. 故选 C.
2.【2026孝感期中】如果关于 x 的方程 2 = 1 可以用直接开平方法求解，那么 m 的
值可能是______
答案：2(答案不唯一)
解析：∵ 关于 x 的方程 2 = 1 可以用直接开平方法求解，∴ 1 ≥ 0 ，解得 ≥ 1 ，
m 的值可能是 2(答案不唯一).

3.若一元二次方程 2 = ( > 0) 的两个根分别是 + 1 与 2 4 ，则 = _______
答案：4

解析：由题意得两根不相等， 2 = ，则 =± ，∴ 方程的两个根互为相反数，
∴ + 1 +

2 4 = 0 ，解得 = 1 ，∴ 一元二次方程 2 = 的两个根分别是 2与 2，∴ = 2 ，

∴ = 4 .故答案为 4.
4.解方程:
1
1 3 2 = 0; 2 2 2 + 3 = 2 2 + 4.
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1 1 1 1
答案：(1) 1 = ， 2 = (2) 1 = ， 2 = 9 9 2 2
解析：
1 1 1
(1) 移项，得 3 2 = 2 =27 ，二次项系数化为 1，得 81 ，根据平方根的意义，得
=±
9 ，
1 1
即 1 = 9 ， 2
=
9。
1
(2) 移项、合并同类项，得 4 2 = 1 .二次项系数化为 1，得 2 = 4 .根据平方根的意义，得
=
1 1 1
± ，即 1 = ， 2 = 2 2 2。
知识点 2 解形如 + = ≠ ≥ 的方程
5.【2025铁岭期末】解一元二次方程 + 1 2 = 16 ，用直接开平方法可转化为两个一元一
次方程，其中一个一元一次方程是 + 1 = 4 ，则另一个一元一次方程是( )
. 1 = 4 . 1 = 4 . + 1 = 4 . + 1 = 4
答案：C
解析： + 1 2 = 16 ， ∴ + 1 =± 4 ，即 + 1 = 4 或 + 1 = 4 ，故选 C。
6.已知三角形的两边长是 4和 6，第三边的长是方程 3 2 = 4 的一个根，则此三角形的周
长为( )
A.17 B.11 C.15 D.11或 15
答案：C
解析： 3 2 = 4 ， 3 =± 2 ，解得 1 = 5 ， 2 = 1 .若 = 5 ，则三角形的三边长
分别为 4，5，6，其周长为 4 + 5 + 6 = 15 ;若 = 1 ， 1 + 4 = 5 < 6 ，则不能构成三角形，
故此三角形的周长是 15.故选 C。
7.【2026长治期末】已知 2 + 2 + 1 2 = 81 ，则 2 + 2 =_____.
答案：8
解析： 2 + 2 + 1 2 = 81 ，∴ 2 + 2 + 1 =± 81 =± 9 ，∴ 2 + 2 = 8 或 2 + 2 = 10
(舍去).故答案为 8.
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第 25 章 一元二次方程
8.【2026海淀质检】对于实数 p ，q ，用符号 { , } 表示 p ，q 两数中较小的数，例
如: { 2,8} = 2 ，若 { 2, 1 2} = 1 ，则 =__________
答案： 1或 2
解析：由题意知，①当 1 2 > 2 时， 2 = 1 ， ∴ = 1 或 = 1 .
∵ = 1 时， 1 2 = 0 < 1 ， = 1 不符合要求，舍去; = 1 时， 1 2 = 4 > 1 ，
∴ = 1 符合要求.
②当 1 2 < 2 时， 1 2 = 1 ， = 2 或 = 0 .
∵ = 2 时， 1 2 = 1 < 4 ， = 2 符合要求;
∵ = 0 时， 1 2 = 1 > 0 ， = 0 不符合要求，舍去.
综上所述， = 1 或 = 2 ，故答案为 1或 2.
9.【2025吕梁期中】解方程:
1 3 1 2 = 12; 2 2 + 3 2 = 81.
答案：(1) 1 = 3， 2 = 1,(2) 1 = 3， 2 = 6
解析：
(1) 整理得 1 2 = 4 ，根据平方根的意义，得 1 =± 2 ，
即 1 = 2 或 1 = 2 ，解得 1 = 3 ， 2 = 1。
(2) 根据平方根的意义，得 2 + 3 =± 9 ，即 2 + 3 = 9或 2 + 3 = 9 ，
解得 1 = 3 ， 2 = 6。
易错点 方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错
10.【2025白城期中】解方程 + 2 2 = 3 1 2
某同学的解题过程：解: + 2 = 3 1 ， 第一步
∴ 2 = 3 ， 第二步
3
=
2 ……第三步
(1)以上解方程的过程中从第____步开始出现错误，错误的原因是_____________________________.
(2)请写出正确的解方程过程.
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第 25 章 一元二次方程
答案：
(1) 一；开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况
(2) 直接开平方，得 + 2 = 3 1 或 + 2 = 3 1 ，
3
解 + 2 = 3 1，得 2 = 3， 1 = 2；
1
解 + 2 = 3 1 ，得 + 2 = 3 + 1，4 = 1， 2 = 4。
3 1
综上， 1 = ， 2 = 2 4。
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25.3 配方法
知识点 1 配方法解二次项系数为 1的一元二次方程
1.【2025河东区期末】一元二次方程 2 4 5 = 0 配方后可化为( )
A. 2 2 = 9 B. 2 2 = 5
C. + 2 2 = 5 D. + 2 2 = 9
答案：A
解析： 2 4 5 = 0，移项得 2 4 = 5，配方得 2 4 + 4 = 5 + 4，即 2 2 = 9。
故选 A。
2.【2025安庆期末】已知方程 2 6 + 4 = □，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配
方成 2 = 7 的形式，则印刷不清楚的数字是( )
A.6 B.9 C.2 D. 2
答案：C
解析：设印刷不清楚的数字为 ，则 2 6 + 4 = ，移项得 2 6 = 4，配方得 3 2 =
+ 5，因为配方后为 2 = 7，所以 + 5 = 7，解得 = 2，即印刷不清楚的数字是 2。
故选 C。
3.【2026南京期中】若关于 的一元二次方程 2 + 2 2 7 = 0 有两个正实数根，则
整数 的最小值是_______
答案：3
解析：对 2 + 2 2 7 = 0配方，得 2 7 = 0，即 2 = 7，开方解得 1 = 7 +
， 2 = 7 + 。
∵原方程有两个正实数根，∴ 7 + > 0，即 > 7。
又∵ 为整数，且 2 < 7 < 3，∴ 的最小值为 3。故答案为 3。
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4.用配方法解方程:
(1) 2 4 + 1 = 0; (2) 2 2 1 = 0
答案：(1) 1 = 2 + 3， 2 = 2 3；(2) 1 = 1 + 2， 2 = 1 2。
解析：
(1) 2 4 + 1 = 0，移项得 2 4 = 1，配方得 2 4 + 4 = 1+ 4，即 2 2 = 3，
开方得 2 =± 3，解得 1 = 2 + 3， 2 = 2 3。
(2) 2 2 1 = 0，移项得 2 2 = 1，配方得 2 2 + 1 = 2，即 1 2 = 2，开方得
1 =± 2，解得 1 = 1 + 2， 2 = 1 2。
知识点 2 配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程
5.用配方法解方程 2 2 12 = 5 时，先把二次项系数化为 1，然后方程的两边都应加上的数
为( )
A.4 B.9 C.25 D.36
答案：B
5
解析：2 2 12 = 5，方程两边同时除以 2，得 2 6 = 2，根据配方法，两边加一次项系
23 23
数一半的平方，即32 = 9，得 2 6 + 9 = ，即 3 2 =2 2 。故选 B。
6.设 1 为一元二次方程 2 2 2 1 = 0 较大的实数根，则( )
A. 3 < 1 < 4 B. 2 < 1 < 3 C. 1 < 1 < 2 D. 0 < 1 < 1
答案：C
解析：对 2 2
1 1
2 1 = 0变形，得 2 2 2 = 1，两边除以 2得 2 = ，配方得 2 + =2 4
1 1 1 2 3 1 3 1 3 1 3
+ ，即 = ，开方得 =±2 4 2 4 2 2 ，解得
1 = + = 2 2 ， 2 2 2 。
1 3
∵1 < 3 < 2，∴1 < + < 2，即 1 < 1 < 22 2 。故选
C。
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第 25 章 一元二次方程
7【. 2026鞍山期中】用配方法解一元二次方程 3 2 + 12 2 = 0 时，将它化为 + 2 =
的形式，则 + 的值为______
4
答案：3
2 2
解析：对 3 2 + 12 2 = 0变形，两边除以 3得 2 4 + = 0，移项得 2 4 = 3 3，
2 10
配方得 2 4 + 4 = + 43 ，即
2 2 =
3。
10 10 4 4
对比 + 2 = ，得 = 2， = ，则 + = 2 + =3 3 3。故答案为3。
8.【2026闵行质检】用配方法解方程:
(1) 2 2 + 4 3 = 0; (2) 3 2 6 + 1 = 0。
10 10 6 6
答案：(1) 1 = 1+ ， 2 = 1 ；(2) 1 = 1 +2 2 3 ，
2 = 1 3 。
解析：
3
(1) 2 2 + 4 3 = 0，移项得 2 2 + 4 = 3，两边除以 2得 2 + 2 = 2 + 2 + 1 =2，配方得
3 2 5 10 10 10+ 1，即 + 1 = 2，开方得 + 1 =±2 2 ，解得
1 = 1+ ， 2 = 1 2 2 。
1
(2) 3 2 6 + 1 = 0，移项得3 2 6 = 1，两边除以3得 2 2 = 3，配方得
2 2 + 1 =
1 2 6 6 6
+ 1，即 1 2 = ，开方得 1 =± ，解得 = 1 + 3 3 3 1 3 ， 2
= 1
3 。
易错点 在配方时忽视等式的性质而致错
9.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容。
解方程: 2 2 8 18 = 0
解:移项，得 2 2 8 = 18。①
两边同时除以 2，得 2 4 = 9。②
配方，得 2 4 + 4 = 9，③
即 2 2 = 9，所以 2 =± 3。④
故 1 = 5， 2 = 1。⑤
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第 25 章 一元二次方程
上述过程中开始出错的步骤是____(填序号)，原因是__________________。
请写出正确的解答过程。
答案：③；配方时等式右边未同时加上一次项系数一半的平方，不符合等式的基本性质
解析：配方的核心是等式两边同时进行相同的变形，步骤③中左边加 4，右边未加 4，违反了
等式的基本性质，因此开始出错的步骤为③。
正确解答过程：移项，得 2 2 8 = 18，
两边同时除以 2，得 2 4 = 9，
配方，得 2 4 + 4 = 9 + 4，
即 2 2 = 13，
开方得 2 =± 13，
解得 1 = 2 + 13， 2 = 2 13。
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第 25 章 一元二次方程
25.4 公式法
知识点 1 一元二次方程根的判别式
1.【2026潍坊质检】若实数 b , c 满足 + 2 = 0 ,则关于 x 的方程 2 + + = 0 根的
情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
答案：B
解析：∵ 实数 b , c 满足 + 2 = 0，∴ = 2，Δ = 2 4 = 2 4 2 =
2 2 + 4 > 0，∴ 方程有两个不相等的实数根，故选 B。
2.【2026南宁期中】如果关于 x 的方程 2 2 + 1 = 0 有实数根，那么 k 的取值范围是
( )
A. ≤ 1 B. ≤ 1且 ≠ 0 C. ≥ 1 D. ≥ 1或 = 0
答案：A
1
解析：当 = 0 时，方程为一元一次方程 2 + 1 = 0，且方程的根为 = 2；当
≠ 0 时，
方程为一元二次方程。∵ 一元二次方程 2 2 + 1 = 0 有实数根，∴ 2 4 = 2 2
4 × 1 = 4 4 ≥ 0，解得 ≤ 1。综上， ≤ 1。故选 A。
3【. 2026宜宾质检】嘉淇在解关于 x 的方程 2 + 4 + = 0 时，解出其中一个根是 = 1。
他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 1，则原方程的根的情况是____________________。
答案：有两个相等的实数根
解析：∵ 关于 x 的方程 2 + 4 + = 0 的一个根是 = 1，∴ 1 2 + 4 × 1 + = 0，
解得 = 3。他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 1，∴ 原方程的 c 值为 3 + 1 = 4，
那么原方程为 2 + 4 + 4 = 0，∴ Δ = 2 4 = 42 4 × 1 × 4 = 16 16 = 0，∴ 原方程有
两个相等的实数根。故答案为有两个相等的实数根。
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第 25 章 一元二次方程
4. 【2025郑州质检】请写出一个关于 x 的一元二次方程，并满足以下两个条件:①二次项系
数为 ≠ 0 ；②方程必须有两个不相等的实数根，这个一元二次方程可以是_______________。
答案： 2 + 4 = 0 ≠ 0 （答案不唯一）
解析：∵ 方程必须有两个不相等的实数根，∴Δ > 0。又∵ 二次项系数为 k，∴ 不妨设 = 4 ，
= ，此时 Δ = 4 2 4 = 20 2 > 0，∴ 满足条件的一元二次方程可以是 2 +
4 = 0 ≠ 0 。故答案为 2 + 4 = 0 ≠ 0 （答案不唯一）。
知识点 2 一元二次方程的求根公式
5【. 2025厦门期中】关于 x 的一元二次方程 2 + = 0 ≠ 0 2 4 0) 的根是( )
± 2 4 2 ± 2 4
A. = 2 B. = 2
± 2 4 ± 2 4
C. = 2 D. = 2
答案：A
2
解析：∵ Δ = 2
± 4
4 = 2 4 > 0，∴ 方程的根是 = 2 ，故选 A。
6 ± 62 4 × 4 × 1
6.【2025信阳质检】用公式法解关于 x 的一元二次方程，得 = 2 × 4 ，则
该一元二次方程是____________________。
答案：4 2 + 6 + 1 = 0
± 2 4
解析：设一元二次方程为 2 + + = 0 ≠ 0 ，则 = 2 ，与 =
6 ± 62 4 × 4 × 1
2 × 4 对比，得
= 4， = 6， = 1，∴ 该一元二次方程为 4 2 + 6 + 1 = 0。
故答案为 4 2 + 6 + 1 = 0。
知识点 3 公式法解一元二次方程
7.【2025张家口期末】利用公式法解一元二次方程 2 2 4 1 = 0，可得两根为 a , b ，若
> ，则 a 的值为( )
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第 25 章 一元二次方程
2 + 6 2 6 2 + 6 2 6
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案：A
解析：2 2 4 1 = 0，∴ = 2， = 4， = 1，∴ Δ = 4 2 4 × 2 × 1 = 24 > 0，
4 ± 24 2 ± 6
∴ = = 。∵ 一元二次方程 2 2 4 1 = 0 的两根为 a , b ， > ，∴ a2 × 2 2 的
2 + 6
值为 2 。故选
A。
8.【2025长春质检】用公式法解一元二次方程:
1
(1) 2 + 3 1 = 0 (2) 2 4 + 2 = 02 。
3+ 13 3 13
答案：(1) 1 = =2 ， 2 2
解析： 2 + 3 1 = 0，∴ = 1， = 3， = 1，∴ Δ = 2 4 = 32 4 × 1 × 1 = 13 > 0，
3 ± 13 3 ± 13 3 + 13
该方程有两个不相等的实数根，∴ = = ，∴ 1 = ， 2 =2 × 1 2 2
3 13
2 。
答案：(2) 1 = 4 + 2 3， 2 = 4 2 3
1
解析： 2 4 + 2 = 02 ，二次项系数化为 1得
2 8 + 4 = 0，∴ = 1， = 8， = 4，
∴ Δ = 2 4 = 8 2 4 × 1 × 4 = 48 > 0，该方程有两个不相等的实数根，∴ =
8 ± 48 8 ± 4 3
= = 4 ± 2 3，∴ 1 = 4 + 2 3 2 × 1 2 ， 2
= 4 2 3。
易错点 在用公式法时未将方程化为一般形式而出错
9.小明在解方程 2 5 = 1 时出现了错误，解答过程如下:
解: = 1， = 5， = 1，(第一步)
2 4 = 5 2 4 × 1 × 1 = 21，(第二步)
5 ± 21
∴ = ，(第三步)2
5 + 21 5 21
∴ 1 = 2 ，
2 = 2 。
(第四步)
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第 25 章 一元二次方程
(1)小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是____________________。
(2)写出此题正确的解答过程。
答案：(1) 一；原方程没有化成一般形式；(2) 见解析
解析：(1) 用公式法解一元二次方程的前提是将方程化为一般形式 2 + + = 0 ≠ 0 ，
才能准确确定 、 、 的值，小明第一步未将方程化为一般形式，导致 的值判断错误。
(2) 正确解答过程：
原方程化成一般形式为 2 5 1 = 0，∴ = 1， = 5， = 1，∴ 2 4 = 5 2 4 ×
5 ± 29 5 + 29 5 29
1 × 1 = 29，∴ = ，∴ 1 = =2 2 ， 2 2 。
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第 25 章 一元二次方程
25.5 因式分解法
知识点 1 用因式分解法解一元二次方程
1.【2025吕梁期中】我们解一元二次方程 2 1 = 0 时，可以运用因式分解法，将此方程化
为 1 + 1 = 0，得到两个一元一次方程： 1 = 0， + 1 = 0，从而得到原方程的解
为 1 = 1， 2 = 1。这种解法体现的数学思想是( )
A.整体思想 B.模型思想 C.函数思想 D.转化思想
答案：D
解析：把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想。故选 D。
2.【2026遵义期中】小聪在解方程 2 = 3 时，只得到一个根 = 3，则被漏掉的一个根是
( )
A. = 3 B. = 0 C. = 1 D. = 2
答案：B
解析： 2 = 3 ， 2 3 = 0， 3 = 0，∴ = 0 或 3 = 0，即 = 0 或 = 3。小
聪只得到 = 3，故被漏掉的根是 = 0。故选 B。
3.【2026太原质检】已知 2 + 2 2 + 2 + 2 8 2 + 2 + 2 = 0，则 2 + 2 的值
为( )
A. 8或 2 B. 2或 8 C.2 D.8
答案：D
解析：令 = 2 + 2，则原方程变为 + 2 8 + 2 = 0。提取公因式 + 2 得 +
2 8 = 0，解得 = 2 或 = 8。由题意可知 2 + 2 > 0，∴ 舍去 = 2， = 8。因
此 2 + 2 的值为 8。故选 D。
4. 【2026无锡期中】请构造一个一元二次方程，使它的一个根为 2，另一个根比 2小，比
4 大，则构造的一元二次方程是________________（答案不唯一）
答案： 2 + 6 = 0
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第 25 章 一元二次方程
解析：∵ 一元二次方程的一个根为 2，另一个根比 2小，比 4 大，则可以设另一个根为 3，
2 + 3 = 0，展开得 2 + 6 = 0。故答案为 2 + 6 = 0（答案不唯一）。
5.【2025西安质检】用因式分解法解方程：
(1) + 2 2 4 3 2 = 0; (2) 3 2 + 1 = 2 3 。
4 3
答案：(1) 1 = ， 2 = 83 ；(2)
1 = 2 = 3 。
解析：
(1) 因式分解，得 + 2 + 2 3 + 2 2 3 = 0，化简得 3 4 + 8 = 0，
4
∴ 3 4 = 0 或 + 8 = 0，解得 1 = = 83， 2 。
2 3
(2) 整理得 3 2 2 3 + 1 = 0，因式分解，得 3 1 = 0，∴ 1 = 2 = 3 。
知识点 2 用合适的方法解一元二次方程
6.【2026南阳质检】下列方程中，最适合用因式分解法解方程的是( )
A. 2 3 = 1 B. 2 2 1 = 0
C. 2 = 2 4 D. 2 3 + 4 = 0
答案：C
解析：A选项，整理得 2 5 + 5 = 0，左边不可以分解因式，故不符合题意；B选项， 2 2
1 = 0，左边不能分解因式，故不符合题意；C选项，移项得 2 4 2 = 0，因式分解
得 + 2 2 2 = 0，提取公因式得 2 + 1 = 0，适合用因式分解法求解，
故符合题意；D选项， 2 3 + 4 = 0，左边不能分解因式，故不符合题意。故选 C。
7.【2025杭州期中】
(1)关于 的方程 1 = 3 1 ，下列解法完全正确的是______（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）
甲：移项得 1 + 3 1 = 0，∴ 1 + 3 = 0，∴ 1 = 0或 + 3 = 0，∴ 1 =
1, 2 = 3
乙：两边同时除以 1 ，得 = 3
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第 25 章 一元二次方程
4 ± 28
丙：整理得 2 4 = 3，∵ = 1, = 4, = 3，∴ = = 2 ± 72 ，
∴ 1 = 2 + 7, 2 =
2 7
丁：整理得 2 4 = 3，配方得 2 4 + 4 = 1，∴ 2 2 = 1，∴ 2 =± 1，∴ 1 = 1, 2 = 3
(2)选择合适的方法解方程:
① 2 + 2 2 8 = 0；
② 3 = 2 6；
③2 2 5 2 = 0；
④ 2 5 2 + 4 2 = 0。
答案：
(1) 丁；
5 41 5 + 41
(2)① 1 = 0, 2 = 4；② 1 = 3, 2 = 2；③ 1 = , 4 2
=
4 ；
1
④ 1 = , 2 = 93 。
解析：
(1) 方程两边不能同时除以 1 ，这样会漏解，故甲错误；移项时符号错误，故乙错误；
计算根的判别式后代入求根公式计算错误，故丙错误；利用配方法解方程，计算正确，故丁正
确。故答案为丁。
(2)① 整理得 + 2 2 = 4，开方得 + 2 =± 2，解得 1 = 0, 2 = 4；
② 3 = 2 6，移项得 3 2 6 = 0，因式分解得 3 2 3 = 0，
即 3 2 = 0，∴ 3 = 0 或 2 = 0，解得 1 = 3, 2 = 2；
③2 2 5 2 = 0，Δ = 5 2
5 ± 41
4 × 2 × 2 = 41 > 0，由求根公式得 = 2 × 2 ，解
5 41 5 + 41
得 1 = , 2 =4 4 ；
④ 因式分解得 2 5 + + 4 2 5 4 = 0，化简得 3 1 9 = 0，∴3 1 =
1
0或 9 = 0，解得 1 = 3， 2
= 9。
易错警示
解一元二次方程时不能随便在方程两边约去含有未知数的代数式，约去的前提是该代数式不为
0，否则会出现漏解现象。
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第 25 章 一元二次方程
25.6 一元二次方程的根与系数的关系
知识点一 一元二次方程根与系数的关系
1 1
1. 若 , 是一元二次方程 2 2018 + 1 = 0的两根，则 + 的值是( )
1 1
A.2017 B.2018 C.2017 D.2018
答案：B
1 1
解析： , 是一元二次方程 2 2018 + 1 = 0的两根，∴ + = 2018， = 1，∴ + =
+ 2018
= = 2018
1 。故选
B。
+ 2 4
2.【2026江苏质检】当 = 1， = ， = 15时，代数式 2 的值为 3，则代数
2 4
式 2 的值为( )
A.5 B. 5 C.1 D. 1
答案：B
+ 2 4
解析：∵ 一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的两个根为 1 = 2 ， 2 =
2 4 15 + 2 4
2 ，∴ 1 2 = = 1 = 15 。代数式 2 的值为
3，∴ 代数式
2 4
2 的值为 5，故选 B。
3.【2025山西质检】已知一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 ，若 2 + = 0，且方程的一
个根大于 2，则另一个根是( )
A.正数 B.负数 C.0 D.无法确定
答案：B

解析：2 + = 0，∴ = 2，即方程 2 + + = 0 ≠ 0 的两根之和为 2。∵ 该方程的一
个根大于 2，∴ 另一个根必是负数。故选 B。
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第 25 章 一元二次方程
4.【2025揭阳期中】请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为 1，且两根之和
为正数，两根之积为负数___________________________。
答案： 2 2 8 = 0（答案不唯一）
解析：∵ 二次项系数为 1，且两根之和为正数，两根之积为负数，∴ 这个方程可以为 2 2
8 = 0。故答案为 2 2 8 = 0（答案不唯一）。
1 1
5【. 2025怀化质检】已知 , 是不为 0的实数，且 ≠ ，若 + = 5， + = 5 + ，则
的值为_______。
答案：23
1 1
解析： , 是不为 0的实数，∴ 由 + = 5， + = 5，得 2 5 + 1 = 0， 2 5 + 1 = 0 。
5
又 ≠ ，∴ , 为一元二次方程 2 5 + 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ + = = 51 ，
= 1。
2 + 2 + 2 2 25 2
∴ + = = = = 23
1
。
6.【2026厦门质检】已知实数 , , + ≠ 0 满足 2 + 4 1 = ， 2 4 = 1。若
, 异号，则 的取值范围为________________。
答案： 5 < < 1
解析： 2 + 4 1 = ， 2 4 = 1， + ≠ 0，整理得 2 + 4 1 = 0， 2 +
4 1 = 0，∴ , 可看作方程 2 + 4 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ Δ =
42 4 1 > 0，解得 > 5。根据根与系数的关系得 = 1，即 = + 1。
∵ , 异号，∴ + 1 < 0，解得 < 1，故 的取值范围为 5 < < 1。
7.【2026遵义期末】已知关于 的一元二次方程 2 4 + = 0有两个实数根。
(1)求 的取值范围。
(2)是否存在实数 的值，使得一元二次方程的两个实数根分别为 1, 2，
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第 25 章 一元二次方程
且满足 2 1 + 2 = 1 2 4？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。
答案：(1) ≤ 4；
(2)不存在实数 的值，使得方程的两个实数根 1, 2满足 2 1 + 2 = 1 2 4。
理由如下：假设满足题意的 的值存在。∵ 2 4 + = 0，∴ 1 + 2 = 4， 1 2 = 。∵2 1 +
2 = 1 2 4，∴ 2 × 4 = 4，解得 = 12。由(1)得 ≤ 4， = 12不在 ≤ 4的范围内，
∴ 不存在实数 的值，使得一元二次方程的两个实数根 1, 2满足 2 1 + 2 = 1 2 4。
易错点 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视Δ ≥ 0而出错
8.关于 的一元二次方程 2 2 1 + 2 = 0的两根为 , ，且 + = 4，求 的值。
嘉佳的解题过程如下：
解: ∵ + = 2 1， = 2， ∴ 2 1 = 2 4，
整理，得 2 2 3 = 0，
解得 1 = 1 ， 2 = 3
嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件 请写出正确的解题过程。
答案：嘉佳漏考虑了Δ ≥ 0这一条件； = 1，正确解题过程见解析。
解析：嘉佳的解题过程漏考虑了Δ ≥ 0这一条件。
正确的解题过程如下：
根据题意得Δ = 2 1 2 4 2 ≥ 0，
展开得 4 2 4 + 1 4 2 ≥ 0，
1
化简得 4 + 1 ≥ 0，解得 ≤ 4。
∵ + = 2 1， = 2，且 + = 4，
∴ 2 1 = 2 4，
整理得 2 2 3 = 0，
因式分解得 3 + 1 = 0，解得 1 = 1， 2 = 3。
1 1
∵ 3 > ，不符合 ≤4 4，舍去，
∴ 的值为 1。
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第 25 章 一元二次方程
25.7 几何图形问题
知识点 1 面积问题
1.【2026连云港期中】如图，把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大
了一倍，则小圆形场地的半径为 ( )
A.5 m B. 5 + 2 C. 5 + 3 2 D. 5 + 5 2
答案：D
2.【2026佳木斯期中】锦绣家园小区在一块长方形空地上建一个停车场，其布局如图所示。
已知停车场的长为 52 米，宽为 34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是宽度相同的通道，
要使停车位占地面积为 880平方米，则通道宽度应为_______米。
答案：6
解析：设通道宽度为 米。由题意，得 52 2 34 2 = 880，解得 = 6 或 = 37 (不
符合题意，舍去)。故答案为 6。
3.【2026泉州期中】某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操
场，学校利用操场最北边的一面长度为 36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为 68米的栏
杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个 2米宽
的小门，方便参加比赛的选手出入。设矩形场地的宽 为 米。
(1) 的长为___________________(用含 的代数式表示)
(2)若围成的矩形场地的面积为 384平方米，求矩形场地的宽 。
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第 25 章 一元二次方程
答案：(1) 72 3 米；(2)16米
解析：
(1)∵ 矩形场地的宽 为 米，∴ = 68 3 + 2 × 2 = 72 3 米，故答案为 72
3 米。
(2)由题意得 72 3 = 384，整理得 2 24 + 128 = 0，解得 = 8 或 = 16。
当 = 8 时，72 3 = 72 3 × 8 = 48 > 36，不符合题意，舍去；
当 = 16 时，72 3 = 72 3 × 16 = 24 < 36，符合题意。
答：矩形场地的宽 为 16米。
知识点 2 存在性问题
4.【2026成都质检】对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是( )
A.至少存在一个钝角三角形 B.至多存在一个直角三角形
C.至少存在一个锐角三角形 D.至多存在一个钝角三角形
答案：A
解析：设三个连续正整数 ， + 1， + 2 为三角形的三边长，则 + 2 < + + 1，∴ > 1。
若所构成的三角形是钝角三角形，则 2 + + 1 2 < + 2 2，即 2 2 3 < 0，∴ +
1 3 < 0。
∵ + 1 > 0，∴ 3 < 0， < 3。又 > 1，∴ = 2，∴ + 1 = 3， + 2 = 4，即至多存在
一个钝角三角形，三边长为 2，3，4，故选项 A符合题意，选项 D不符合题意。
若所构成的三角形是直角三角形，则 2 + + 1 2 = + 2 2，即 2 2 3 = 0，解得
1 = 3， 2 = 1 (不符合题意，舍去)，∴ + 1 = 4， + 2 = 5，即至多存在一个直角三角形，
三边长为 3，4，5，故选项 B不符合题意。
若所构成的三角形是锐角三角形，则 2 + + 1 2 > + 2 2，即 2 2 3 > 0，∴ +
1 3 > 0。
∵ + 1 > 0，∴ 3 > 0， > 3，∴ 至少存在一个锐角三角形，故选项 C不符合题意。故选
A。
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第 25 章 一元二次方程
5.【2026青岛质检】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务。
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，
那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形。
如图，矩形 1 1 1 1 是矩形 的“减半”矩形。
任务：
(1)当一个矩形的长为 40，宽为 4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩形的周长为____，
面积为________。
(2)当矩形的长为 8，宽为 1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，求出“减半”矩形的长和宽；
如果不存在，请说明理由。
9 + 17 9 17
答案：(1)44，80；(2)存在，长为 4 ，宽为 4
解析：
(1)依题意可知，当一个矩形的长为 40，宽为 4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩
1 1
形的周长为 × 2 × 40 + 4 = 44，面积为 × 40 × 4 = 802 2 。故答案为 44，80。
(2)存在。
9
设“减半”矩形的长为 ，则宽为 2 。
9 1 9 9 + 17 9 17
依题意得 = × 8 × 12 2 ，整理得
2 + 4 = 0 = =
2 ，解得 1 4 ， 2 4 。
9 + 17 9 9 17
当 = 时， =4 2 4 ，符合题意；
9 17 9 9 + 17 9 17
当 = 时， = >4 2 4 4 ，不合题意，舍去。
9 + 17 9 17
∴ 长为 8，宽为 1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为 4 ，宽为 4 。
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第 25 章 一元二次方程
25.8 传播问题、平均变化率问题和循环问题
知识点 1 传播问题
1.【2026阜新期中】某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次
教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有 36
名同学会做这个模型。若设 1名同学每次都能教会 名同学，则下列结论错误的是( )
A.第一次后共有( + 1) 名同学会做这个模型
B.第二次又增加( + 1) 名同学会做这个模型
C.依题意可列方程为 1 + + ( + 1) = 36
D.不考虑其他因素，经过三次一共会有 180名同学会做这个模型
答案：D
解析：∵ 第一次后会做这个模型的总人数为 1 + ，∴ 第二次后会做这个模型的总人数为 1 +
+ 1 + = 36，化简得 1 + 2 = 36，解得 = 5 (负值已舍去)，∴ 第三次后会做这个
模型的总人数为 36 + 36 × 5 = 216，∴ 选项 A、B、C均正确，选项 D错误。故选 D。
2.【2026武汉】某种电脑病毒传播非常快，如果有 1台电脑被感染，经过 2轮感染后就会有
81台电脑被感染。
(1)每轮感染中平均 1台电脑会感染几台电脑？
答案：每轮感染中平均 1台电脑会感染 8台电脑。
解析：设每轮感染中平均 1台电脑会感染 台电脑。根据题意得 1 + + 1 + = 81，整
理得 1 + 2 = 81，∴ 1 + =± 9，解得 1 = 8， 2 = 10 (不符合题意，舍去)。
(2)若病毒得不到有效控制，经过 3轮感染后被感染的电脑会不会超过 700台？
答案：经过 3轮感染后被感染的电脑会超过 700台。
解析：81 × 1 + 8 = 81 × 9 = 729 台 > 700 台 。
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第 25 章 一元二次方程
知识点 2 平均变化率问题
3.【2025湖北】一辆新车购买价为 20万元，第一年使用后折旧率为 20%，以后该车的年折旧
率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同。若第三年年末这辆车折旧后价格为 11.56万
元，则第二、三年的年折旧率为( )
A.10% B.15% C.20% D.25%
答案：B
解析：∵ 新车购买价为 20万元，第一年折旧率为 20%，∴ 第一年后价格为 20 × (1
20%) = 16(万元)。设第二、三年的年折旧率为 ，则第二年后价格为 16 1 万元，第
三年后价格为 16 1 2 万元。根据题意，得 16 1 2 = 11.56，解得 x = 0.15 = 15 % 或
= 1.85 (舍去)，故选 B。
4.【2025吕梁质检】为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，
厂长统计了今年 6月份和 8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇
形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________。（6月份线上占比 25%，
8月份线上占比 30.25%）
答案：10%
解析：设线上销售量占比的月平均增长率为 。根据题意，得 25%(1 + )2 = 30.25%，解得
1 = 0.1 = 10%， 2 = 2.1 (不合题意，舍去)，∴ 线上销售量占比的月平均增长率为 10%。
知识点 3 循环问题
5.距期末考试还有 20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其
他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了 30份留言，则该学习
小组共有学生( )
A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
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第 25 章 一元二次方程
答案：C
解析：设该学习小组共有学生 人，则每人需写 1 份拼搏进取的留言。依题意得
1 = 30，整理得 2 30 = 0，解得 1 = 6， 2 = 5 (不合题意，舍去)。故选 C。
6.【2026银川期中】问题: 某次同学聚会，所有到会同学都互相握 1次手，共握手 45次，则
参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 人，则根据题意，可列方程:__________
1
答案： 1 = 452
解析：参加聚会的同学共有 人，对于其中任意一人来说，他需要和除自己之外的 1 人
1 1
握手。∵ 总共有 人，则总共握手的次数是 12 ，∴ 可列方程为
1 = 45
2 。
拓展: 我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如: 四边形的对
角线有 2条，五边形的对角线有 5条。
7. 拓展： 我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如:
四边形的对角线有 2条，五边形的对角线有 5条.
(1)六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有________条。
答案：9；14
解析：∵ 六边形的每个顶点可以与另外 3个顶点连接形成对角线，∴ 每个顶点可以形成 3条
6 × 3
对角线，∴ 六边形的对角线数量为 = 92 (条)。∵ 七边形的每个顶点可以与另外 4个顶点
7 × 4
连接形成对角线，∴ 每个顶点可以形成 4条对角线，∴ 七边形的对角线数量为 = 142 (条)。
(2)多边形的对角线可以有 27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由。
答案：可以，多边形的边数为 9。
解析：∵ 在 边形中，每个顶点可以与 3 个顶点连接形成对角线，∴ 每个顶点可以形
3
成 3 条对角线， 边形的对角线数量为 2 条。当对角线数量为 27条时，可得
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第 25 章 一元二次方程
3
方程 = 27，化简为 2 3 54 = 0，解得 = 9 或 = 62 。∵ 为正整数，∴
= 9，即多边形的边数为 9。
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