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第 25 章 一元二次方程
25.1 直接开平方法
1、已知方程 ( 2 + 2 1)2 = 16，则 2 + 2 的值为______。
答案：5
解析：将方程 ( 2 + 2 1)2 = 16 的两边直接开平方，得 2 + 2 1 =± 4，即 2 + 2 = 5
或 2 + 2 = 3。∵ 2 + 2 ≥ 0，∴ 2 + 2 的值为 5。
2、若一元二次方程 2 = ( > 0) 的两个根分别是 + 1 2 4 与 ，则 的值为______。

答案：4

解析：解方程 2 = ( > 0)，得 =± ，两个根互为相反数，

∴ + 1 + 2 4 = 0，解得 = 1，∴ + 1 = 2，2 4 = 2，即 =± 2。
由 2 2

= 得 = ， ∴ = ( ± 2)2 = 4。

3、新趋势，下列是小明解方程 ( 1)2 = 4( 9)2 的过程。
解： 1 = 2( 9)，………… 第一步
1 = 2 18，………… 第二步
解得 = 17。………… 第三步
(1) 以上解方程的过程中从第______步开始出现错误，错误的原因是
___________________________。
(2) 写出正确的解答过程。
答案：(1) 一；开平方时忽略平方根有两个
(2) 两边直接开平方，得 1 =± 2( 9)，∴ 1 = 2( 9) 或 1 = 2( 9)，
19
解得 1 = 17， 2 = 3 。
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第 25 章 一元二次方程
25.2 配方法
1、[2026 邢台期中] 已知方程 2 4 + 1 = ★，等号右侧的数印刷不清楚。若可以将其配
方成 ( )2 = 5 的形式，则印刷不清楚的数是 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
答案：
解析：
通解（倒推）：( )2 = 5 变形，得 2 2 + 2 = 5，
由题意得 2 = 4，解得 = 2，
∴ 2 4 + 22 = 5，即 2 4 + 1 = 2，印刷不清楚的数是 2。
另解（正推）：设印刷不清楚的数是 ，则 2 4 + 1 = ，
移项得 2 4 = 1，配方得 ( 2)2 = + 3，则 + 3 = 5，解得 = 2。
2、[2025 滨州二模] 对于实数 ， 定义一种新运算“ ”如下： = 2 。例如 4 3 =
4 × 32 4 × 3 = 24，则关于 的方程 1 = 2 的解为______。
答案： 1 = 2， 2 = 1
解析：∵ = 2 ，∴ 1 = 2 可变为 2 = 2，
1 9
配方得 ( )2 = ，解得 1 = 2， 2 4 2
= 1。
3、[2026 中山期中] 若方程 2 2 4 10 = 0 能配成 ( + )2 = 的形式，则直线 =
+ 不经过第_______象限。
答案：三
解析：2 2 4 10 = 0 化简为 2 2 5 = 0，
移项得 2 2 = 5，配方得 2 2 + 1 = 6，即 ( 1)2 = 6，
∴ = 1， = 6，直线解析式为 = + 6，
该直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限。
4、[2026 天津月考] 若方程 2 4104676 = 0 的两根为±2026，则方程
2 2 4104675 = 0 的两根为______。
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第 25 章 一元二次方程
答案： 1 = 2027， 2 = 2025
解析： 2 2 4104675 = 0 移项得 2 2 = 4104675，
配方得 2 2 + 1 = 4104676，即 ( 1)2 = 4104676，
∵ 2 4104676 = 0 的两根为±2026，∴ 1 =± 2026，解得 1 = 2027， 2 = 2025。
5、用配方法解下列方程：
(1) (2 3)(2 1) = 5； (2) (2 1)2 = 4 + 9。
答案与解析：
6 6
(1) 1 = 1 + ， 2 = 1 。(2) 1 = 1 + 3， 2 = 1 3。2 2
6、[2025 广州期末]《代数学》中记载，形如 2 + 8 = 33 的方程，可用几何方法求其正数
解：先构造一个面积为 2 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 2 的长方
形，得到大正方形的面积为 33 + 16 = 49，即 ( + 4)2 = 49，则该方程的正数解为 7 4 = 3。
小聪按此方法解关于 的方程 2 + 10 + = 0 时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分
的面积为 50，则该方程的正数解为 ( )
3
A. 6 B. 5 3 C. 5 3 2 D. 5 3 5
2
答案：
5
解析：大正方形的面积为 50 + ( )2 × 4 = 75，
2
∴ ( + 5)2 = 75，该方程的正数解为 75 5 = 5 3 5。
7、利用配方法求二次三项式的最值
(1) 当 =时，代数式 2( 1)2 + 33 取得最（填 “大” 或 “小”）值，为______；
(2) 当 =时，代数式 2 2 + 4 + 33 取得最（填 “大” 或 “小”）值，为______；
(3) 已知实数 ， 均满足 2 = 1，求代数式 2 + 2 2 4 + 5 的最小值。
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第 25 章 一元二次方程
答案与解析：
(1) 1；小；33
(2) 1；大；35
解析： 2 2 + 4 + 33 = 2( 2 2 ) + 33 = 2( 1)2 + 35，
∵ ( 1)2 ≥ 0，∴ 2( 1)2 ≤ 0，∴ 2( 1)2 + 35 ≤ 35，
当 = 1时，代数式取得最大值 35。
(3) ∵ 2 = 1，∴ 2 = 1 ≥ 0，∴ ≥ 1，
∴ 2 + 2 2 4 + 5 = 2 + 2( 1) 4 + 5 = 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2，
∵ ≥ 1，∴ 当 = 1 时，代数式取得最小值 2。
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第 25 章 一元二次方程
25.3 公式法
1、[2025 内江中考] 对于实数 ， 定义运算 “ ” 为 = 2 ，例如：3 2 = 22
3 × 2 = 2，则关于 的方程 ( 3) = 1 的根的情况，下列说法正确的是 ( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
答案：
解析：∵ ( 3) = 1，∴ 2 ( 3) = 1，
整理得 2 ( 3) + 1 = 0，Δ = [ ( 3)]2 4 × 1 × ( + 1) = ( 1)2 + 4 > 0，
∴ 方程有两个不相等的实数根。
2、[2026 南京期中] 对于一元二次方程 2 + + = 0（ ， ， 为常数，且 ≠ 0），给
出下列条件：(1) < 0；(2) > 0；(3)2 + = 0。若只添加一个条件就可以判定方
程有实数根，则所有正确条件的序号是 ( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
答案：
解析：一元二次方程有实数根的条件是Δ = 2 4 ≥ 0。
① < 0，则 4 > 0，又 2 ≥ 0，∴ Δ > 0，方程有实数根；
② > 0，举反例： = 1， = 1， = 1，Δ = 1 4 = 3 < 0，无实数根；
③ 2 + = 0，则 = 2 + ，Δ = (2 + )2 4 = 4 2 + 2 > 0，方程有实数根。
综上，正确序号为①③。
3、[2025 广东] 已知关于 的一元二次方程 2 2( 2) + 4 = 0( > 0)，设方程的两
个实数根分别为 1， 2（其中 1 > 2），若 是关于 的函数，且 = 1 2( > 0)，则 ( )
A. 0 < < 3 B. 0 < < 5 C. > 3 D. > 5
答案：
2( 2) ± 4 4
解析：由求根公式得 = ， ∴ = 1或 = 1 ，
2
4
∵ > 0， 1 > 2， ∴ 1 = 1， 2 = 1 ，
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第 25 章 一元二次方程
4
= 1 2 = 1 (1 ) = 5 > 0，解得 < 5，又 > 0， ∴ 0 < < 5。
4、[2026 海淀期中] 已知关于 的一元二次方程 2 + + 1 = 0
(1) 求证：无论 为何值，方程总有实数根。
(2) 若方程有一个根大于 3，求 的取值范围。
答案与解析：
(1) Δ = 2 4 × 1 × ( 1) = 2 4 + 4 = ( 2)2 ≥ 0，
∴ 无论 为何值，方程总有实数根。
2 ± | 2|(2)由 (1)知Δ = ( 2) ， ∴ = ，解得 1 = 1， 2 2
= 1 ，
∵ 方程有一个根大于 3，∴ 1 > 3，解得 < 2。
5、[2025 珠海联考] 已知关于 的一元二次方程 ( + ) 2 + 2 + ( ) = 0，其中 ， ，
分别为△ 三边的长。
(1) 如果 = 1是方程的根，试判断△ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断△ 的形状，并说明理由。
答案与解析：
(1) △ 是等腰三角形。
理由： = 1是方程的根，代入得 ( + ) 2 + ( ) = 0，
整理得 2 2 = 0，即 = ，∴△ 是等腰三角形。
(2) △ 是直角三角形。
理由：方程有两个相等的实数根，∴ Δ = (2 )2 4( + )( ) = 0，
整理得 4 2 4 2 + 4 2 = 0，即 2 = 2 + 2，∴△ 是直角三角形。
6、定义：两根都为整数的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0) 称为 “全整根方程”，
4 2
代数式 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 ( , , )表示，
4
4 2
即 ( , , ) = 。
4
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第 25 章 一元二次方程
(1) “全整根方程” 2 3 + 2 = 0 的 “最值码” 是______；
(2) 关于 的一元二次方程 2 (2 1) + 2 2 3 = 0（ 为整数，且 4 < < 15）
是 “全整根方程”，请求出该方程的 “最值码”。
答案与解析：
4 × 1 × 2 ( 3)2 1
(1) = 1， = 3， = 2， (1, 3,2) = = 4 × 1 。4
(2) Δ = (2 1)2 4( 2 2 3) = 4 + 13，
∵ 方程是 “全整根方程”，∴ 4 + 13是完全平方数，
又 4 < < 15， 为整数，∴ 29 < 4 + 13 < 73，
符合条件的完全平方数为 49，即 4 + 13 = 49，解得 = 9，
4 × 1 × 60 ( 17)2 49
此时方程为 2 17 + 60 = 0， (1, 17,60) = = 4 。4
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第 25 章 一元二次方程
25.4 因式分解法
1、[2026 咸阳月考] 如图，在菱形 中，对角线 的长是方程 2 7 = 0 的一个根，
对角线 的长为 4，则菱形 的面积为 ( )
A. 28 B. 24 C. 18 D. 14
答案：
解析： 2 7 = 0 因式分解得 ( 7) = 0，解得 1 = 0， 2 = 7，∵ > 0，∴ = 7，
1 1
菱形面积 = × × = × 7 × 4 = 14。
2 2
2、[2026 武汉月考] 关于 的方程 2 2 + 2 4 = 0 的两个根 1， 2满足 1 = 2 2 + 1，
且 1 > 2，则 的值为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
答案：
解析：方程变形为 ( )2 4 = 0，因式分解得 ( + 2)( 2) = 0，
∴ 1 = + 2， 2 = 2，代入 1 = 2 2 + 1 得 + 2 = 2( 2) + 1，解得 = 5。
3、[2026 福州期中] 将关于 的一元二次方程 2 + = 0 变形为 2 = ，就可以
将 2表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 3 = 2 = ( ) = ，
这种方法称为 “降次法”。根据 “降次法”，若 2 1 = 0，且 > 0，则 4 2 3
的值为 ( )
A. 1 5 B. 1 5 C. 1 + 5 D. 1+ 5
答案：
解析：∵ 2 1 = 0，∴ 2 = + 1， 3 = 2 = ( + 1) = 2 + 1， 4 = 3 = 3 + 2，
∴ 4 2 3 = (3 + 2) 2(2 + 1) = 2 ，
1 ± 5 1 + 5
解方程 2 1 = 0得 = ， ∵ > 0， ∴ = ， ∴ 2 = 1 5。
2 2
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第 25 章 一元二次方程
4、用因式分解法解方程 2 + 6 = 0，将左边分解因式后有一个因式是 3，则 的值是
______。
答案： 1
解析：设 2 + 6 = ( 3)( + )，展开得 2 + 6 = 2 + ( 3) 3 ，
∴ 6 = 3 ，解得 = 2，∴ = 3 = 1。
5、一题多解，若关于 的方程 2 2 + 3 = 0 的两根分别是 3和 5，则多项式 2 2
4 + 6 可以分解为______。
答案：2( + 3)( 5)
解析：由题意得 2 2 + 3 = ( + 3)( 5)，
∴ 2 2 4 + 6 = 2( 2 2 + 3 ) = 2( + 3)( 5)。
6、阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 —— 转化，
把未知转化为已知。用 “转化” 的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次
方程 3 2 2 3 = 0 通过因式分解可以把它转化为 ( 2 2 3) = 0，解方程 = 0和
2 2 3 = 0，可得方程的解。
(1) 方程 3 2 2 3 = 0 的解是__________________________；
(2) 求方程 3 = 6 2 + 16 的解；
(3) 求方程 2 3 6 + 3 = 1 的解。
答案与解析：
(1) 1 = 0， 2 = 3， 3 = 1
解析： ( 2 2 3) = 0，即 ( 3)( + 1) = 0，解得 1 = 0， 2 = 3， 3 = 1。
(2) 3 6 2 16 = 0，因式分解得 ( 2 6 16) = 0，
∴ = 0 或 2 6 16 = 0，解方程 2 6 16 = 0 得 = 8 或 = 2，
综上， 1 = 0， 2 = 8， 3 = 2。
(3) 两边平方得 2 3 6 + 3 = ( 1)2，
整理得 2 3 2 4 + 2 = 0，因式分解得 (2 1)( 2 2) = 0，
解得 = 2， = 2， = 1，∵ 2 31 2 3 6 + 3 = 1 ≥ 0，∴ = 2。2
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第 25 章 一元二次方程
7、利用 “十字相乘法” 解一元二次方程
【阅读材料】解方程 2 + 2 35 = 0 ，我们可以按下面的方法解答：#1
（1）分解因式 2 + 2 35 .
①分解二次项与常数项： 2 = ， 35 = ( + 7) × ( 5) .
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式： 2 + 2 35 = ( + 7)( 5)
这种分解因式的方法称为“十字相乘法”.
（2）若 = 0，则 = 0或 = 0 .
（3）故此方程可以这样写出求解过程：
2 + 2 35 = 0，左边分解因式，得( + 7)( 5) = 0，∴ 原方程的解为 1 = 7， 2 = 5
【解决问题】试用上述方法和原理解决下列问题：
(1) 二次项系数为 1
① 2 10 + 21 = 0；② 2 + 5 + 4 = 0；③ 2 6 7 = 0。
(2) 二次项系数不为 1：2 2 + 10 = 0。
(3) 整体思想：(2 1)2 8(2 1) + 12 = 0。
(4) 求字母的值：已知关于 的方程 3 2 ( 3) = 0( > 0)，若方程有一个根大于 2，
求 的取值范围。

(5)求分式的值：已知 ≠ 0，且 2 6 2 = 0，求 的值。
答案与解析：
(1) ① 1 = 3， 2 = 7；② 1 = 1， 2 = 4；③ 1 = 7， 2 = 1。
5
(2) (2 + 5)( 2) = 0， ∴ 1 = ， 2 = 2。2
3 7
(3) (2 1 2)(2 1 6) = 0，即 (2 3)(2 7) = 0， ∴ 1 = ， = 。2 2 2

(4)因式分解得 (3 )( + 1) = 0， ∴ 1 = ， 2 = 13 ，

∵ 有一个根大于 2， ∴ > 2 > 63 ，解得 。
1 1
(5)因式分解得 ( 3 )( + 2 ) = 0， ∴ = 3 或 = 2 ， ∴ = 3 或 2。
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第 25 章 一元二次方程
25.5 一元二次方程的根与系数的关系
1、[2026 天津期末] 若关于 的一元二次方程 2 = 0 的两个实数根都是正数，则
点( , )在平面直角坐标系中位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案：
解析：设两根为 1， 2， 1 > 0， 2 > 0，由根与系数关系得 1 + 2 = > 0，
1 2 = > 0，∴ > 0， < 0，点( , )在第四象限。
2、[2025 绥化中考] 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中
写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，
因而得到方程的两个根是 2和 5。则原来的方程是 ( )
A. 2 + 6 + 5 = 0 B. 2 7 + 10 = 0
C. 2 5 + 2 = 0 D. 2 6 10 = 0
答案：
解析：设原方程为 2 + + = 0，小影写错常数项，∴ = 6 + 1 = 7，即 = 7；
小冬写错一次项系数，∴ = ( 2) × ( 5) = 10，∴ 原方程为 2 7 + 10 = 0。
3、[2025 成都中考] 若 ， 是一元二次方程 2 5 + 2 = 0 的两个实数根，则 + ( 2)2
的值为______。
答案：7
解析：由题意得 + = 5， 2 5 + 2 = 0，即 2 = 5 2，
+ ( 2)2 = + 2 4 + 4 = + 5 2 4 + 4 = + + 2 = 5 + 2 = 7。
4、[2026 浦东月考] 若 ， 是关于 的方程 2 + + 2 + 2 1 = 0 的两个实数根，且 2
+ 2 = 1，则 =______。
答案： 1
解析：由题意得 2 + = 2 2 + 1， + = 1，∵ 2 + 2 = 1，∴ 2 + ( +
) + 2 = 1，代入得 2 2 + 1 + 1 + 2 = 1，整理得 2 = 1，解得 =± 1，
当 = 1时，方程无实数根，舍去；当 = 1时，方程有实数根，∴ = 1。
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第 25 章 一元二次方程

5、[2026九江月考]已知关于 的方程 2 + ( + 1) + = 0有实数根。
4
(1) 求 的取值范围。
(2) 是否存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为 1？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由。
答案与解析：(1) 当 = 0时，方程为 = 0，有实数根；
1 1
当 ≠ 0时，Δ = ( + 1)2 4 ≥ 0，解得 ≥ ，综上， ≥ 。
4 2 2
+ 1 1
(2)不存在。理由：设两根为 ， ，则 + = ， = ，
4
1 1 + + 1 1 4
+ = = 1，即 = ，解得 = ，
4 5
4 1
∵
5 < 2，不满足
的取值范围， ∴ 不存在。
6、[2026 上海期中]我们知道若 1， 2是一元二次方程 2 + + = 0 的两个实数根，则我
们可以把该方程写为 ( 1)( 2) = 0 ，展开后得 2 ( 1 + 2) + 1 2 = 0 ，比较
两个方程的对应系数，不难发现 = ( 1 + 2)， = 1 2 .由此我们也能得到一元二次

方程的根与系数的关系： 1 + 2 = , 1 2 = .
(1) 利用材料推导一元三次方程的根与系数的关系。
若 1， 2， 3是方程 3 + 2 + + = 0( ≠ 0) 的三个实数根，则 1 + 2 + 3 =_____，
1 2 + 2 3 + 3 1 =_____， 1 2 3 = _____。
(2) 若一元三次方程 3 2 3 10 = 0 的三个实数根分别为 ， ， ，且 = + + 。
① 试说明 + 2 = 1；
② 直接写出一个新的一元三次方程且使得该方程的三个实数根分别为 + + ， + ，
+ 。
答案与解析：

(1) ； ；

解析：方程可写为 ( 1)( 2)( 3) = 0，展开对比系数得结果。
(2) ① ∵ + + = 1， = + + ，∴ + 2 = + + = 1。
② 3 2 13 + 93 = 0
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第 25 章 一元二次方程
25.6 几何图形问题
1、[2026 淮安期中]某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的胜场数是一个两位数，且这个
两位数的个位上的数字与十位上的数字之和为 5，且胜场数比它个位上的数字的平方小 2，则
该班级在联赛中的胜场数为______。
答案：14
解析：设该班级在联赛中的胜场数的十位上的数字为 ，则个位上的数字为 5 。
由题意，得 10 + 5 = (5 )2 2，整理，得 2 19 + 18 = 0，
解得 1 = 1， 2 = 18（不符合题意，舍去），所以 5 = 4，
所以该班级在联赛中的胜场数为 1 × 10 + 4 = 14。
2、如图，为便于游客在一块长为 40 米，宽为 30 米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园
管理处拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花
面积不少于 1064 平方米，则修建时观景廊桥宽度最大只能是____米。
答案：2
解析：设修建时观景廊桥宽度是 米。由题意，得(40 )(30 ) = 1064，
解得 1 = 2， 2 = 68（不符合题意，舍去），
即若要使得能观赏的荷花面积不少于 1064 平方米，修建时观景廊桥宽度最大只能是 2 米。
3、[2026 武汉联考]综合与实践 —— 用矩形硬纸片制作无盖纸盒。如图 1，有一张长 30 cm，
宽 16 cm 的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成如图 2 所示的无
盖纸盒。（硬纸片厚度忽略不计）
(1) 若纸盒的底面积为 240cm2，求剪去的小正方形的边长。
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第 25 章 一元二次方程
答案：剪去的小正方形的边长为 3cm
解析：设剪去的小正方形的边长为 cm，则纸盒底面长方形的长为(30 2 )cm，宽为(16
2 )cm。
由题意，得(30 2 )(16 2 ) = 240，解得 1 = 3， 2 = 20。
当 = 3时，30 2 = 24，16 2 = 10，符合题意；
当 = 20时，30 2 = 10 < 0，16 2 = 24 < 0，不符合题意，舍去。
答：剪去的小正方形的边长为 3cm。
(2) 如图 3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的小正方形（阴影部分），
经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒。若折成的
有盖长方体纸盒的表面积为 412cm2，求剪去的小正方形的边长。
答案：剪去的小正方形的边长为 2cm
解析：设剪去的小正方形的边长为 cm，
30 2 30 2
由题意，得 (16 2 ) × 2 + ( ) × 2 + (16 2 ) × ( ) × 2 = 412，
2 2
解得 1 = 2， 2 = 17（不符合题意，舍去）。
答：剪去的小正方形的边长为 2cm。
4、无门围墙问题，如图，要利用一面墙（墙长 25 m）建羊圈，用 100 m 的围栏围成总面积
为 400m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 为_____m。
答案：20
解析：设 的长为 m，则 的长为(100 4 )m。
根据题意，得(100 4 ) = 400，解得 1 = 20， 2 = 5。
当 = 20时，100 4 = 20 < 25，符合题意；
当 = 5时，100 4 = 80 > 25，不符合题意，舍去。
故羊圈的边长 为 20 m。
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第 25 章 一元二次方程
5、单门围墙问题，如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5 m）
的矩形鸭舍，其面积为 15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门（由其他材料制成），
则 长为____m。
答案：5
1
解析：设 = m，则 = (10 + 1 )m。
2
1
根据题意，得 (10 + 1 ) = 15，解得 1 = 5， 2 = 6。2
6 > 5.5，5 < 5.5，且 的长不超过墙的长度， = 5，即 = 5m。
6、双门围墙问题，小明发现某农场有一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为 22 m，
养鸡场的面积是 160m2。为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如
图所示，围成养鸡场的板材共用去 40 m，在板材上有两处各开了一扇宽为 2 m 的门，养鸡
场的面积不变，则重建后的养鸡场的宽 为____m。
答案：8
解析：设 = m，则 = (40 + 2 × 2 3 )m。
20
根据题意，得 (40 + 2 × 2 3 ) = 160，解得 1 = 8， 2 = 3 。
当 = 8时，40 + 2 × 2 3 = 40 + 4 24 = 20 < 22，符合题意；
20
当 = 时，40 + 2 × 2 3 = 40 + 4 20 = 24 > 223 ，不符合题意，舍去。
故重建后的养鸡场的宽 为 8 m。
7、一题练透 利用方程解决动点问题
如图，在矩形 中， = 15cm， = 5cm，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 沿
以 3 cm/s 的速度向点 移动，到点 停止移动，点 沿 以 2 cm/s 的速度向点 移动（点
停止移动时，点 也停止移动）。设移动时间为 s。
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第 25 章 一元二次方程
(1) 当 为何值时， ， 两点间的距离为 15 cm？
答案：当 = 3 2 2时， ， 两点间的距离为 15 cm
解析：过点 作 ⊥ 于点 ，则 = |15 5 |cm， = 5cm，
所以 = 2 + 2 = (15 5 )2 + 52(cm)，
当 = 15cm时， (15 5 )2 + 52 = 15，即 2 6 + 1 = 0，
解得 1 = 3 2 2， 2 = 3 + 2 2（舍去），
故当 = 3 2 2时， ， 两点间的距离为 15 cm。
(2) 当 为何值时，四边形 的面积为 30cm2？
答案：当 = 3时，四边形 的面积为 30cm2
1
解析：由题意得， × (15 3 + 2 ) × 5 = 30，解得 = 3，
2
故当 = 3时，四边形 的面积为 30cm2。
(3) 四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由。
答案：可能，此时 的值为 3
解析：可能。当四边形 为矩形时， = ，则 15 2 = 3 ，解得 = 3，
故四边形 可能为矩形，此时 的值为 3。
(4) 当△ 为等腰三角形时，求出 的值。
15 ± 5 5 15
答案： 的值为 、9 41或
8 7
解析：由 (1) 和题意，知 2 = (15 3 )2， 2 = (15 5 )2 + 52， 2 = (2 )2 + 52。
15 ± 5 5
当 = 时，(15 3 )2 = (15 5 )2 + 52，解得 = ；
8
15
当 = 时，(15 5 )2 + 52 = (2 )2 + 52，解得 1 = 7 ， 2 = 5（舍去）；
当 = 时，(15 3 )2 = (2 )2 + 52，解得 1 = 9 41， 2 = 9 + 41（舍去）。
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第 25 章 一元二次方程
15 ± 5 5 15
故当△ 为等腰三角形时， 的值为 、9 41或 。
8 7
(5) 在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠ = 90 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由。
答案：不存在
解析：不存在。理由如下：若∠ = 90 ，则应有 2 + 2 = 2，化简，得 2 2 6 + 5 = 0。
因为Δ = ( 6)2 4 × 2 × 5 = 4 < 0，所以此方程没有实数根，
所以不存在一个时刻，使得∠ = 90 。
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第 25 章 一元二次方程
25.7 循环问题与销售问题
1、[2026 鹿邑月考]某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各
比赛 1 场）。下面是小米和小诚对比赛总场数的统计。
小米：我发现本次比赛一共进行了 32 场。
小诚：你说得不对，按这个赛制不应该进行了 32 场。
(1) 小诚的说法有道理吗？请通过计算说明。
(2) 赛后经查询，小米的统计正确。因为有一人身体不适，参与 4 场比赛后中途退赛，求原
来有多少人参加比赛。
(1) 答案：小诚的说法有道理。
解析：设有 人报名参赛。
( 1) 1 + 257 1 257
由单循环赛制总场数公式得： = 32，解得： 1 = ， =2 2 2 2
因为 表示参赛人数，必须为正整数，而方程的解均不是整数，不符合实际，所以小诚的说法
有道理。
(2) 答案：原来有 9 人参加比赛。
解析：设原来有 人参加比赛。
一人中途退赛，剩余 1人完成完整单循环，加上该人已赛 4场，
( 1)( 2)
得方程： + 4 = 32，解得： 1 = 9， 2 = 6（人数不能为负，舍去）2
故原来有 9 人参加比赛。
2、[2025辽宁中考]某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示。
每件售价 / 元 … 45 55 65 …
日销售量 / 件 … 55 45 35 …
(1) 求 与 之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）。
(2) 该商品日销售额能否达到 2600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由。
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第 25 章 一元二次方程
(1) 设 与 之间的函数解析式为 = + ( ≠ 0)。
将(45,55) (55,45) 45 + = 55、 代入解析式得： 55 + = 45 ，解得 = 1， = 100。
所以 与 之间的函数解析式为 = + 100。
(2) 日销售额 = 每件售价 × 日销售量，依题意得： ( + 100) = 2600
整理得： 2 100 + 2600 = 0
判别式Δ = 2 4 = ( 100)2 4 × 1 × 2600 = 10000 10400 = 400 < 0
所以该一元二次方程无实数根，即日销售额不能达到 2600 元。
3、应用意识【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局 “打造数字化教学” 的号召，鼓
励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两
个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，
如何求全班 50 名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点 1， 2， 3，…， 50分别表示第 1，2，3，…，50 名同学，把该班级人
数 与视频通话次数 之间的关系用如图模型表示。
【问题解决】
(1) 通过探索发现，视频通话次数 与该班级人数 之间的关系式为_________。
(2) 如图中第 5 个图中 的值为_________，则当 = 50时，对应的 =_________。
(3) 若该班全体女生相互之间共通话 190 次，求该班共有多少名女生。
【问题拓展】
(4) 若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信
110 条，求该班数学兴趣小组共有多少人。
( 1)
(1)答案： =
2
解析：单循环通话次数公式为总人数与人数减一乘积的二分之一。
(2) 答案：15；1225
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第 25 章 一元二次方程
5 × (5 1) 5 × 4
解析：当 = 5时， = = = 15；
2 2
50 × (50 1) 50 × 49
当 = 50时， = = = 1225。
2 2
(3) 答案：该班共有 20 名女生。
( 1)
解析：设该班共有 名女生。根据单循环通话公式得： = 190
2
解得： 1 = 20， 2 = 19（人数不能为负，舍去）
答：该班共有 20 名女生。
(4) 答案：该班数学兴趣小组共有 11 人。
解析：设该班数学兴趣小组共有 人。
每两人互发一条微信，发送总条数为 ( 1)，得方程： ( 1) = 110
解得： 1 = 11， 2 = 10（人数不能为负，舍去）
答：该班数学兴趣小组共有 11 人。
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