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第 25 章 一元二次方程
25.1 直接开平方法
1、已知方程 ( 2 + 2 1)2 = 16，则 2 + 2 的值为______。

2、若一元二次方程 2 = ( > 0)的两个根分别是 + 1与 2 4，则 的值为______。

3、新趋势，下列是小明解方程 ( 1)2 = 4( 9)2 的过程。
解： 1 = 2( 9)，………… 第一步
1 = 2 18，………… 第二步
解得 = 17。………… 第三步
(1) 以上解方程的过程中从第______步开始出现错误，错误的原因是
___________________________。
(2) 写出正确的解答过程。
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第 25 章 一元二次方程
25.2 配方法
1、[2026 邢台期中] 已知方程 2 4 + 1 = ★，等号右侧的数印刷不清楚。若可以将其配
方成 ( )2 = 5 的形式，则印刷不清楚的数是 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
2、[2025 滨州二模] 对于实数 ， 定义一种新运算“ ”如下： = 2 。例如 4 3 =
4 × 32 4 × 3 = 24，则关于 的方程 1 = 2 的解为______。
3、[2026 中山期中] 若方程 2 2 4 10 = 0 能配成 ( + )2 = 的形式，则直线 =
+ 不经过第_______象限。
4、[2026 天津月考] 若方程 2 4104676 = 0 的两根为±2026，
则方程 2 2 4104675 = 0 的两根为______。
5、用配方法解下列方程：
(1) (2 3)(2 1) = 5； (2) (2 1)2 = 4 + 9。
6、[2025 广州期末]《代数学》中记载，形如 2 + 8 = 33 的方程，可用几何方法求其正数
解：先构造一个面积为 2 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 2 的长方
形，得到大正方形的面积为 33 + 16 = 49，即 ( + 4)2 = 49，则该方程的正数解为 7 4 = 3。
小聪按此方法解关于 的方程 2 + 10 + = 0 时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分
的面积为 50，则该方程的正数解为 ( )
3
A. 6 B. 5 3
2
C. 5 3 2 D. 5 3 5
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7、利用配方法求二次三项式的最值
(1) 当 =时，代数式 2( 1)2 + 33 取得最（填 “大” 或 “小”）值，为______；
(2) 当 =时，代数式 2 2 + 4 + 33 取得最（填 “大” 或 “小”）值，为______；
(3) 已知实数 ， 均满足 2 = 1，求代数式 2 + 2 2 4 + 5 的最小值。
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25.3 公式法
1、[2025 内江中考] 对于实数 ， 定义运算 “ ” 为 = 2 ，例如：3 2 = 22
3 × 2 = 2，则关于 的方程 ( 3) = 1 的根的情况，下列说法正确的是 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
2、[2026 南京期中] 对于一元二次方程 2 + + = 0（ ， ， 为常数，且 ≠ 0），给
出下列条件：(1) < 0；(2) > 0；(3)2 + = 0。若只添加一个条件就可以判定方
程有实数根，则所有正确条件的序号是 ( )
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
3、[2025 广东] 已知关于 的一元二次方程 2 2( 2) + 4 = 0( > 0)，设方程的两
个实数根分别为 1， 2（其中 1 > 2），若 是关于 的函数，且 = 1 2( > 0)，则 ( )
A. 0 < < 3 B. 0 < < 5
C. > 3 D. > 5
4、[2026 海淀期中] 已知关于 的一元二次方程 2 + + 1 = 0
(1) 求证：无论 为何值，方程总有实数根。
(2) 若方程有一个根大于 3，求 的取值范围。
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5、[2025 珠海联考] 已知关于 的一元二次方程 ( + ) 2 + 2 + ( ) = 0，
其中 ， ， 分别为△ 三边的长。
(1) 如果 = 1是方程的根，试判断△ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断△ 的形状，并说明理由。
6、定义：两根都为整数的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0) 称为 “全整根方程”，
4 2
代数式 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 ( , , )表示，
4
4 2
即 ( , , ) = 。
4
(1) “全整根方程” 2 3 + 2 = 0 的 “最值码” 是______；
(2) 关于 的一元二次方程 2 (2 1) + 2 2 3 = 0（ 为整数，且 4 < < 15）
是 “全整根方程”，请求出该方程的 “最值码”。
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25.4 因式分解法
1、[2026 咸阳月考] 如图，在菱形 中，对角线 的长是方程
2 7 = 0 的一个根，对角线 的长为 4，则菱形 的面积为 ( )
A. 28 B. 24 C. 18 D. 14
2、[2026 武汉月考]关于 的方程 2 2 + 2 4 = 0 的两个根 1， 2满足 1 = 2 2 + 1，
且 1 > 2，则 的值为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
3、[2026 福州期中] 将关于 的一元二次方程 2 + = 0 变形为 2 = ，就可以
将 2表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 3 = 2 = ( ) = ，
这种方法称为 “降次法”。根据 “降次法”，若 2 1 = 0，且 > 0，则 4 2 3
的值为 ( )
A. 1 5 B. 1 5 C. 1 + 5 D. 1+ 5
4、用因式分解法解方程 2 + 6 = 0，将左边分解因式后有一个因式是 3，则 的值是
______。
5、一题多解，若关于 的方程 2 2 + 3 = 0 的两根分别是 3和 5，则多项式 2 2
4 + 6 可以分解为______。
6、阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 —— 转化，
把未知转化为已知。用 “转化” 的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次
方程 3 2 2 3 = 0 通过因式分解可以把它转化为 ( 2 2 3) = 0，解方程 = 0和
2 2 3 = 0，可得方程的解。
(1) 方程 3 2 2 3 = 0 的解是__________________________；
(2) 求方程 3 = 6 2 + 16 的解；
(3) 求方程 2 3 6 + 3 = 1 的解。
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7、利用 “十字相乘法” 解一元二次方程
【阅读材料】解方程 2 + 2 35 = 0 ，我们可以按下面的方法解答：#1
（1）分解因式 2 + 2 35 .
①分解二次项与常数项： 2 = ， 35 = ( + 7) × ( 5) .
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式： 2 + 2 35 = ( + 7)( 5)，这种分解因式的方法称为“十字相乘法”.
（2）若 = 0，则 = 0或 = 0 .
（3）故此方程可以这样写出求解过程：
2 + 2 35 = 0，左边分解因式，得( + 7)( 5) = 0，∴ 原方程的解为 1 = 7， 2 = 5
【解决问题】试用上述方法和原理解决下列问题：
(1) 二次项系数为 1
① 2 10 + 21 = 0；② 2 + 5 + 4 = 0；③ 2 6 7 = 0。
(2) 二次项系数不为 1：2 2 + 10 = 0。
(3) 整体思想：(2 1)2 8(2 1) + 12 = 0。
(4) 求字母的值：已知关于 的方程 3 2 ( 3) = 0( > 0)，若方程有一个根大于 2，
求 的取值范围。

(5)求分式的值：已知 ≠ 0，且 2 6 2 = 0，求 的值。
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25.5 一元二次方程的根与系数的关系
1、[2026 天津期末] 若关于 的一元二次方程 2 = 0 的两个实数根都是正数，则
点( , )在平面直角坐标系中位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、[2025 绥化中考] 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中
写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，
因而得到方程的两个根是 2和 5。则原来的方程是 ( )
A. 2 + 6 + 5 = 0 B. 2 7 + 10 = 0
C. 2 5 + 2 = 0 D. 2 6 10 = 0
3、[2025 成都中考] 若 ， 是一元二次方程 2 5 + 2 = 0 的两个实数根，则 + ( 2)2
的值为______。
4、[2026 浦东月考] 若 ， 是关于 的方程 2 + + 2 + 2 1 = 0 的两个实数根，且 2
+ 2 = 1，则 =______。

5、[2026九江月考]已知关于 的方程 2 + ( + 1) + = 0有实数根。
4
(1) 求 的取值范围。
(2) 是否存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为 1？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由。
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6、[2026 上海期中]我们知道若 1， 2是一元二次方程 2 + + = 0 的两个实数根，则我
们可以把该方程写为 ( 1)( 2) = 0 ，展开后得 2 ( 1 + 2) + 1 2 = 0 ，比较
两个方程的对应系数，不难发现 = ( 1 + 2)， = 1 2 .由此我们也能得到一元二次

方程的根与系数的关系： 1 + 2 = , 1 = . 2
(1) 利用材料推导一元三次方程的根与系数的关系。
若 1， 2， 3 23是方程 + + + = 0( ≠ 0) 的三个实数根，则 1 + 2 + 3 =_____，
1 2 + 2 3 + 3 1 =_____， 1 2 3 = _____。
(2) 若一元三次方程 3 2 3 10 = 0 的三个实数根分别为 ， ， ，且 = + + 。
① 试说明 + 2 = 1；
② 直接写出一个新的一元三次方程且使得该方程的三个实数根分别为 + + ， + ，
+ 。
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25.6 几何图形问题
1、[2026 淮安期中]某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的胜场数是一个两位数，且这个
两位数的个位上的数字与十位上的数字之和为 5，且胜场数比它个位上的数字的平方小 2，则
该班级在联赛中的胜场数为______。
2、如图，为便于游客在一块长为 40 米，宽为 30 米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园
管理处拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花
面积不少于 1064 平方米，则修建时观景廊桥宽度最大只能是____米。
3、[2026 武汉联考]综合与实践 —— 用矩形硬纸片制作无盖纸盒。如图 1，有一张长 30 cm，
宽 16 cm 的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成如图 2 所示的无
盖纸盒。（硬纸片厚度忽略不计）
(1) 若纸盒的底面积为 240cm2，求剪去的小正方形的边长。
(2) 如图 3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的小正方形（阴影部分），
经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒。若折成的
有盖长方体纸盒的表面积为 412cm2，求剪去的小正方形的边长。
4、无门围墙问题，如图，要利用一面墙（墙长 25 m）建羊圈，
用 100 m 的围栏围成总面积为 400m2的三个大小相同的矩形羊圈，
则羊圈的边长 为_____m。
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5、单门围墙问题，如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5 m）
的矩形鸭舍，其面积为 15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门（由其他材料制成），
则 长为____m。
第 5题图 第 6题图
6、双门围墙问题，小明发现某农场有一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为 22 m，
养鸡场的面积是 160m2。为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如
图所示，围成养鸡场的板材共用去 40 m，在板材上有两处各开了一扇宽为 2 m 的门，养鸡
场的面积不变，则重建后的养鸡场的宽 为________m。
7、一题练透 利用方程解决动点问题
如图，在矩形 中， = 15cm， = 5cm，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 沿
以 3 cm/s 的速度向点 移动，到点 停止移动，点 沿 以 2 cm/s 的速度向点 移动（点
停止移动时，点 也停止移动）。设移动时间为 s。
(1) 当 为何值时， ， 两点间的距离为 15 cm？
(2) 当 为何值时，四边形 的面积为 30cm2？
(3) 四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由。
(4) 当△ 为等腰三角形时，求出 的值。
(5) 在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠ = 90 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由。
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25.7 循环问题与销售问题
1、[2026 鹿邑月考]某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各
比赛 1 场）。下面是小米和小诚对比赛总场数的统计。
小米：我发现本次比赛一共进行了 32 场。
小诚：你说得不对，按这个赛制不应该进行了 32 场。
(1) 小诚的说法有道理吗？请通过计算说明。
(2) 赛后经查询，小米的统计正确。因为有一人身体不适，参与 4 场比赛后中途退赛，求原
来有多少人参加比赛。
2、[2025辽宁中考]某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示。
每件售价 / 元 … 45 55 65 …
日销售量 / 件 … 55 45 35 …
(1) 求 与 之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）。
(2) 该商品日销售额能否达到 2600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由。
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3、应用意识【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局 “打造数字化教学” 的号召，鼓
励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两
个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，
如何求全班 50 名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点 1， 2， 3，…， 50分别表示第 1，2，3，…，50 名同学，把该班级人
数 与视频通话次数 之间的关系用如图模型表示。
【问题解决】
(1) 通过探索发现，视频通话次数 与该班级人数 之间的关系式为_________。
(2) 如图中第 5 个图中 的值为_________，则当 = 50时，对应的 =_________。
(3) 若该班全体女生相互之间共通话 190 次，求该班共有多少名女生。
【问题拓展】
(4) 若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信
110 条，求该班数学兴趣小组共有多少人。
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