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第 26 章 二次函数
26.1 二次函数的概念
知识点 1 二次函数的定义
1.【2026 烟台期中】下列函数中，是二次函数的有 ( )
2 2(1) = 3( 1) + 1；(2) = ；(3) = ( + 3)2 2；(4) = 22 ；
2
(5) = 2 + + 。
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：A
解析：(1) = 3( 1)2 + 1 = 3 2 6 + 4，是二次函数，符合题意；
2 2
(2) = 2，由于 2不是整式，所以该函数不是二次函数，不符合题意；
(3) = ( + 3)2 2 = 6 + 9，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
(4) = 22 ，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
(5) = 2 + + ，当 = 0时， = + 不是二次函数，不符合题意。
故是二次函数的有 1 个，故选 A。
2.【2026 海淀区质检】已知关于 的函数 = 2 + 3 2 + 1是二次函数，则 的取值范围
是______________。
答案： ≠ 1
解析： = 2 + 3 2 + 1 = ( 1) 2 + 3 + 1是二次函数，根据二次函数的定义可知
1 ≠ 0，∴ ≠ 1。
3. 关于 的函数 = ( 2 + 2 + 3) 2 + 3 + 1，甲说：“此函数不是二次函数。” 乙说：“此函
数一定是二次函数。” 丙说：“此函数是不是二次函数与 的取值有关。” 你认为谁的说法正确？
为什么？
答案：乙的说法正确。
解析： 2 + 2 + 3 = ( + 1)2 + 2，因为无论 取何值，( + 1)2 ≥ 0，则( + 1)2 + 2 ≥ 2，所
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第 26 章 二次函数
以 2 + 2 + 3 ≥ 2 ≠ 0，故无论 取何值，此函数一定是二次函数。
知识点 2 二次函数的一般形式
4.【2025 安徽亳州调研】下列二次函数中，二次项系数是 3的是 ( )
A. = 3 2 2 + 5 B. = 2 3 + 2
C. = 3 2 D. = 2 3
答案：C
解析：A 选项， = 3 2 2 + 5的二次项系数是 3，不合题意；
B 选项， = 2 3 + 2的二次项系数是 1，不合题意；
C 选项， = 3 2 的二次项系数是 3，符合题意；
D 选项， = 2 3的二次项系数是 1，不合题意。故选 C。
5. 把 = (3 2)( + 3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为___________。
答案：1
解析： = (3 2)( + 3) = 3 2 + 7 6，∴一次项系数为 7，常数项为 6，∴一次项系数与
常数项的和为 7 + ( 6) = 1。
知识点 3 实际问题中的二次函数
6.【2025 长沙质检】某工厂七月份生产零件 50 万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件
的增长率为 ，如果第三季度共生产零件 万个，那么 与 满足的函数关系式是 ( )
A. = 50(1 + )2 B. = 50 + 50(1 + ) + 50(1 + )2
C. = 50(1 + ) + 50(1 + )2 D. = 50 + 50(1 + )
答案：B
解析：已知该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为 ，则八月份生产零件 50(1 + )万个，
九月份生产零件 50(1 + )2万个，∴ = 50 + 50(1 + ) + 50(1 + )2。故选 B。
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7.【2026 绍兴期中】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一个圆形水池，圆周上的点到正
方形边上的点的最短距离为 3 m。记正方形内除水池外的面积为 m2，圆的半径为 m，则
关于 的函数解析式是 ( )
A. = (2 + 3)2 B. = 4( + 3)2
C. = 4( + 3)2 2 D. = ( + 3)2 2
答案：C
解析：由题意可知正方形的边长为 2( + 3) = (2 + 6)m，则 = (2 + 6)2 2 = 4( +
3)2 2，故选 C。
8. 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和总长为 28 米的
篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形。设大矩形垂直于旧墙的一边长为 米，花圃总面积
为 平方米，则 关于 的函数解析式为_____________________（用二次函数的一般形式表示）。
答案： = 3 2 + 28
解析：∵篱笆的总长为 28 米，且 = 米，∴ = (28 3 )米，∴花圃总面积为 =
(28 3 ) = 3 2 + 28 平方米，∴ 关于 的函数解析式为 = 3 2 + 28 。
易错点 用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为 0 的隐含条件致错
9. 当 =________时， = ( 1) | |+1是二次函数。
答案： 1
解析：由题意，得| | + 1 = 2， 1 ≠ 0，解得 = 1，所以当 = 1时， = ( 1) | |+1
是二次函数。
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26.2 二次函数( = )的图象和性质
知识点 1 二次函数 = 的图象
1. 二次函数 = 2 2的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析： = 2 2的图象是一条过原点，且开口向上的抛物线，故选 A。
2. 【2026 西宁质检】已知抛物线 = 2经过点(2, 8)
(1) 求 的值；
(2) 画出此函数的图象。
答案：(1) = 2,解析：将点(2, 8)代入 = 2，得 8 = 22，解得 = 2。
(2) 图象如图所示。
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知识点 2 二次函数 = 的性质
3. 若二次函数 = 2的图象过点 ( 2,4)，则该图象必经过点（ ）
A. (2,4) B. ( 2, 4) C. ( 4,2) D. (4, 2)
答案：A
解析：∵二次函数 = 2图象的对称轴为 轴，∴若图象经过点 ( 2,4)，则该图象必经过点
(2,4)。故选 A。
4. 【2026 张家口期中】嘉嘉用软件绘制抛物线 = 2 2时，将 “2” 按成了 “3”，和原图象相
比，发生改变的是（ ）
A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标
答案：B
解析：根据二次函数的性质可知，抛物线 = 2 2的开口比抛物线 = 3 2的开口大，∴和原图
象相比，发生改变的是开口大小，故选 B。
5. 已知二次函数 = ( 1) 2，当 > 0时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. > 0 B. > 1 C. ≥1 D. < 1
答案：B
解析：∵二次函数 = ( 1) 2的图象的对称轴为 轴，当 > 0 时， 随 的增大而增大，∴二
次函数 = ( 1) 2的图象开口向上，∴ 1 > 0，即 > 1，故选 B。
6. 已知抛物线 = 2( > 0)过 ( 2, 1)， (1, 2)两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. 1 > 0 > 2 B. 2 > 0 > 1 C. 1 > 2 > 0 D. 2 > 1 > 0
答案：C
解析：∵抛物线 = 2( > 0)的对称轴为 轴，∴ ( 2, 1)关于对称轴对称的点的坐标为
(2, 1)。又 > 0，0 < 1 < 2，∴0 < 2 < 1。故选 C。
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7. 2【2026 武汉质检】已知 = ( + 1) + 是二次函数，且当 > 0时， 随 的增大而减小，
则 的值为_____
答案： 2
解析： = ( + 1) 2+ 是二次函数，∴ 2 + = 2，且 + 1 ≠ 0，解得 = 1或 = 2。∵
当 > 0时， 随 的增大而减小，∴ + 1 < 0， < 1， = 2，故答案为 2。
易错警示：根据二次函数的定义可求出两个 的值，注意要结合增减性对 的值进行取舍。
8.【2025 郑州质检】已知二次函数 = 2，当 2 ≤ ≤ 3时， 的取值范围是_____
答案：0 ≤ ≤ 9
解析：∵二次函数 = 2，1 > 0，∴该函数图象的对称轴为直线 = 0，抛物线开口向上，∴当 < 0
时， 随 的增大而减小；当 = 0时， 取得最小值，为 0；当 > 0时， 随 的增大而增大。
∵当 = 2时， = 4；当 = 3时， = 9，∴当 2 ≤ ≤ 3时，0 ≤ ≤ 9，故答案为 0 ≤ ≤ 9。
9. 已知二次函数 = 2，当 = 3时， = 3
(1) 当 = 2时，求 的值；
(2) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当 为何值时， 随 的增大而增大。
答案：
4
(1) = 3
1
解析：∵把 = 3， = 3代入 = 2得 32 = 3，解得 = 3，∴这个二次函数的解析式为
=
1 1 4
2。当 = 23 时，
= × ( 2)2 =3 3。
(2) 开口向上；对称轴是 轴；顶点坐标是(0,0)；当 > 0时， 随 的增大而增大。
1 1
解析： = 2， > 03 3 ，∴该函数图象开口向上，对称轴是
轴，顶点坐标是(0,0)，当 > 0 时，
随 的增大而增大。
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易错点 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解
10. 已知抛物线 = 2与 = 2 2的形状相同，则 =_____
答案：±2
解析：∵抛物线 = 2与 = 2 2的形状相同，∴| | = 2，∴ =± 2。故答案为±2。
易错警示：抛物线的形状与二次项系数的绝对值有关，二次项系数的正负性与抛物线的开口方
向有关。
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26.3 二次函数 ( = + ) 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = + 的图象和性质
1. 二次函数 = 5 2 + 1 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵ 二次函数 = 5 2 + 1， = 5 > 0，∴ 图象的开口向上，对称轴是 轴，与 轴
的交点坐标是 (0,1)。故选 C。
1
2. 【2026 泸州期中】关于以下四个函数 = 2， = 2， = 2 2， = 2 + 13 的共同
点，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是 轴
C. 有最大值 D. 随 增大而增大
答案：B
1
解析：A 选项， = 2 和 = 2 中， < 0，图象的开口向下； = 2 2 和 = 2 + 13
中， > 0，图象的开口向上，不符合题意。
B 选项，四个函数图象的对称轴都是 轴，符合题意。
1
C 选项， = 2 2 和 = 2 + 1 中， > 0，抛物线开口向上，有最小值； = 2 和 = 23
中， < 0，抛物线开口向下，有最大值，不符合题意。
D 选项， = 2 2 和 = 2 + 1 中， > 0，故当 > 0 时， 随 增大而增大，当 < 0
1
时， 随 增大而减小； = 2 和 = 23 中，
< 0，故当 > 0 时， 随 增大
而减小，当 < 0 时， 随 增大而增大，不符合题意。故选 B。
3. 对于二次函数 = 2 2 3，当 1 ≤ ≤ 2 时， 的取值范围是（ ）
A. 1 ≤ ≤ 5 B. 5 ≤ ≤ 5
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C. 3 ≤ ≤ 5 D. 2 ≤ ≤ 5
答案：C
解析：∵ 二次函数的解析式为 = 2 2 3，∴ 抛物线的对称轴为直线 = 0。∵ = 2 > 0，
∴ 抛物线开口向上。∵ 1 ≤ ≤ 2，∴ 当 = 0 时， 取得最小值 3；当 = 1 时， = 1；
当 = 2 时， = 5。∴ 当 1 ≤ ≤ 2 时， 的取值范围是 3 ≤ ≤ 5，故选 C。
4. 【2026 福建福州期中】同时满足：①图象开口向下；②顶点坐标为 (0,2) 的一个二次函
数的解析式为__________________。
答案： = 2 + 2（答案不唯一）
解析：∵ 函数图象的顶点坐标为 (0,2)，∴ 该函数的解析式为 = 2 + 2。又∵ 二次函数的
图象开口向下，∴ < 0，∴ 这个二次函数的解析式可以为 = 2 + 2。
5. 【2026 惠州期中】若点 1( 1, 1)， 2(3, 2)， 3(5, 3) 均在二次函数 = 2 2 + 的
图象上，则 1， 2， 3 的大小关系是__________________（用 “>” 连接）。
答案： 1 > 2 > 3
解析：由解析式可知函数图象的开口向下，且对称轴为直线 = 0。点 1( 1, 1) 到对称轴
的距离为 | 1| = 1，点 2(3, 2) 到对称轴的距离为 |3| = 3，点 3(5, 3) 到对称轴的距离
为 |5| = 5。点 1( 1, 1)， 2(3, 2)， 23(5, 3) 均在二次函数 = 2 + 的图象上，1 <
3 < 5，∴ 1 > 2 > 3。
6. 已知点 ( 1, 1)，( 2, 22) 均在抛物线 = 1 上，下列说法中：①若 1 = 2 则 1 =
2；②若 1 = 2，则 1 = 2；③若 0 < 1 < 2，则 1 > 2；④若 1 < 2 < 0，则 1 > 2。
佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确。请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，
并说明理由。
答案：李华的判断正确，佳佳的判断错误。
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第 26 章 二次函数
解析：
说法①，若 1 = 2，则 1 = 2 或 1 = 2；
说法②，若 1 = 2，则 1 = 2；
说法③，若 0 < 1 < 2，则在对称轴的右侧， 随 的增大而增大，则 1 < 2；
说法④，若 1 < 2 < 0，则在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，则 1 > 2。
故②④说法正确。
1
7. 已知抛物线 = 2 + (5 ) + 32 与
轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，
与 轴负半轴交于点 ，且 = 。
(1) 求 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 求 △ 的面积。
答案：
(1) = 5
1
解析：∵ 抛物线 = 2 + (5 ) + 3与 轴有两个交点 ， ， 在 2 轴正半轴上，
在 轴负半轴上，且 = ，∴ 抛物线的对称轴为直线 = 0，5 = 0，∴ = 5。
(2) 顶点坐标为 (0,2)
1
解析： = 5，∴ = 2 + 22 ，∴ 抛物线的顶点坐标是
(0,2)。
(3) △ = 4
1
解析：令 = 0，即 2 + 2 = 0，解得 1 = 2， 2 = 2，∴ (2,0)， ( 2,0)，∴ = 42 。
1 1
又∵ 易得 (0,2)，∴ = 2，∴ △ = = × 4 × 2 = 42 2 。
知识点 2 二次函数 = + 图象的平移
8. 【2026无锡期中】把抛物线 = 2 1 向上平移 3 个单位可得抛物线（ ）
A. = 2 + 3 B. = ( + 3)2 1
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第 26 章 二次函数
C. = 2 + 2 D. = ( 3)2 1
答案：C
解析：由题知，把抛物线 = 2 1 向上平移 3 个单位可得抛物线 = 2 1+ 3 = 2 + 2。
故选 C。
9. 【2026商洛期中】将二次函数 = 2 4 的图象向上平移 个单位长度，使其经过点
( 1,3)，则 的值为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
答案：B
解析：∵ 将二次函数 = 2 4 的图象向上平移 个单位长度，∴ 平移后的抛物线的解析
式为 = 2 4+ 。将点 ( 1,3) 代入 = 2 4+ 得，3 = ( 1)2 4+ ，即 3 =
1 4 + ， = 6，故选 B。
1
10. 【2025玉林期末】如图，已知抛物线 = 21 + 4( 2 ≤ ≤ 2)2 ，将抛物线
1 向下
平移 2 个单位长度后得到抛物线 2，则图中阴影部分的面积 =______。
答案：8
解析：根据题意知，题图中阴影部分的面积可以转化成矩形的面积，且矩形的长为 4，宽为 2，
∴ = 2 × 4 = 8。
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26.4 二次函数 = ( ) 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = ( ) 的图象和性质
1. 抛物线 = ( 1)2 一定经过（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
答案：D
解析：抛物线 = ( 1)2 开口向下，顶点坐标为(1,0)，对称轴为直线 = 1，与 轴交于
点(0, 1)，∴抛物线经过第三、四象限。故选 D。
1
2. 【2025 阜阳期中】抛物线 = 3( 4)2 与抛物线 = 22 的相同点是（ ）
A. 对称轴相同 B. 顶点相同
C. 顶点都在 轴上 D. 形状相同
答案：C
解析：抛物线 = 3( 4)2 开口向下，对称轴为直线 = 4，顶点坐标为(4,0)；抛物线 =
1
2
2 开口向上，对称轴为
轴，顶点坐标为(0,0)。∴两条抛物线对称轴不同、顶点不同，顶点
1
都在 轴上。∵| 3| ≠ | |2 ，∴两条抛物线形状不同。故选 C。
3.【2025义乌质检】若小明将如图所示的两条水平线 ， 中的一条当成 轴，且向右为正
方向；两条铅垂线 ， 中的一条当成 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二
次函数 = 2( 1)2 的图象，则坐标原点可能是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
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第 26 章 二次函数
答案：C
解析： = 2( 1)2，∴二次函数图象的顶点坐标是(1,0)，∴坐标原点可能是点 ，故选 C。
4. 已知二次函数 = 2( + )2，当 < 3时， 随 的增大而增大；当 > 3时， 随 的
增大而减小，则当 = 1时， =（ ）
A. 12 B.12 C.32 D. 32
答案：D
解析：∵当 < 3时， 随 的增大而增大；当 > 3时， 随 的增大而减小，∴抛物线的对称
轴为直线 = 3， = 3，∴抛物线的解析式为 = 2( + 3)2，∴当 = 1 时， = 2 × (1 +
3)2 = 32。故选 D。
5. 【2026西城区期中】已知点 ( 1, 1)、 ( + 2, 2)、 ( , 3)在抛物线 = ( )2 上，
则 1， 2， 3的大小关系是_______________（用 “<” 连接）。
答案： 3 < 1 < 2
解析：因为抛物线的解析式为 = ( )2，所以抛物线开口向上，且对称轴为直线 = 。又
因为点 ( 1, 1)、 ( + 2, 2)、 ( , 3)在该抛物线上， ( 1) = 1， + 2 = 2，
= 0，且 0 < 1 < 2，所以 3 < 1 < 2。
6. 已知二次函数 = 3( 3)2，当 分别取 1， 2( 1 ≠ 2)时，函数值相等，则当 取 3 1 + 3 2
时，函数值为_______________。
答案：675
解析：∵二次函数 = 3( 3)2，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 = 3。当 分别取 1，
+
2( ≠ )
1 2
1 2 时，函数值相等，∴ = 32 ，
1 + 2 = 6，∴3 1 + 3 2 = 3( 1 + 2) = 18，∴
当 取 3 1 + 3 2时，函数值为 3 × 152 = 675。
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第 26 章 二次函数
7. 开放性试题 有一个二次函数，三位同学分别说出了它的特点：
A：函数图象的顶点在 轴上；
B：当 > 1时， 随 的增大而减小；
C：该函数图象的形状与函数 = 2 2 的图象相同。
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式：________。
答案： = 2( 1)2（答案不唯一）
解析：根据 A 的描述可设二次函数解析式为 = ( h)2，根据 C 的描述可知| | = | 2| =
2，再结合 B 的描述可得出 h ≤ 1，且 = 2，所以满足上述所有性质的二次函数解析式可以
是 = 2( 1)2。
8. 【2026苏州期中】二次函数 = ( + 1)2 的图象与直线 = 2 1 交于点 (1, )。
(1) 求 ， 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3) 直接写出在二次函数 = ( + 1)2 中，当 > 1 时， 的取值范围。
答案：
1
(1) = 4，
= 1
解析：由条件可得 = 2 × 1 1 = 1，则 (1,1)。把 (1,1)代入 = ( + 1)2，得 1 = × (1 +
1
1)2，解得 = 4。
(2) 顶点坐标为( 1,0)，对称轴为直线 = 1
1 1
解析：由 (1) 得 = ，则 = ( + 1)24 4 ，∴顶点坐标为
( 1,0)，对称轴为直线 = 1。
(3) < 3或 > 1
1 1
解析：令 = 1，则 1 = ( + 1)2，∴( + 1)2 = 4，解得 1 = 3， 2 = 14 。抛物线
= ( + 1)2
4
开口向上，∴当 > 1时， 的取值范围为 < 3或 > 1。
知识点 2 二次函数 = ( ) 图象的平移
9. 把抛物线 = ( 1)2 向左平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
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第 26 章 二次函数
A. = ( 1)2 + 2 B. = ( + 3)2
C. = ( + 1)2 D. = ( 3)2
答案：C
解析：把抛物线 = ( 1)2向左平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式为 = ( 1 +
2)2，即 = ( + 1)2，故选 C。
10. 【2025南昌质检】若将抛物线 = ( 3)2 的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的
是（ ）
A. 向上平移 3 个单位长度 B. 向下平移 3 个单位长度
C. 向左平移 3 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度
答案：C
解析：∵抛物线 = ( 3)2的顶点坐标为(3,0)，原点坐标为(0,0)，将(3,0)向左平移 3 个单位
长度得到(0,0)，∴平移方法为向左平移 3 个单位长度。故选 C。
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26.5 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
1. 【2026海淀期中】若抛物线 = 2( 1)2 + 2 + 4 的顶点在第二象限，则 的取
值范围是（ ）
A. > 1 B. < 2
C. 1 < < 2 D. 2 < < 1
答案：D
解析：抛物线 = 2( 1)2 + 2 + 4 的顶点坐标为 ( + 1,2 + 4)。
∵ ∴ + 1 < 0顶点在第二象限， 2 + 4 > 0，解得 2 < < 1，故选 D。
2. 【2025 南州调研】已知二次函数的图象(0 ≤ ≤ 3)如图所示。下列关于该函数在所给自变
量取值范围内的说法，正确的是（ ）
A. 图象关于直线 = 1 对称 B. 有最小值 1，有最大值 3
C. 值随 值的增大而增大 D. 有最小值 0，有最大值 3
答案：B
解析：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故 A 选项错误。
根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为 3，最小值为 1，故 B 选项正确，D 选
项错误。
当 0 ≤ ≤ 1时， 值随 值的增大而减小；当 1 < ≤ 3时， 值随 值的增大而增大，故 C 选
项错误。故选 B。
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第 26 章 二次函数
3. 【2026 东城期中】已知 是关于 的二次函数， 与 的部分对应值如表所示，当 0 < < 3
时， 的取值范围是（ ）
… 1 0 1 2 3 …
… 6 3 2 3 …
A.2 < < 6 B.2 ≤ < 6 C.3 < < 6 D.3 ≤ < 6
答案：B
解析：∵ = 0或 2时， 的值为 3，∴抛物线的对称轴是直线 = 1，∴当 = 3 时， = = 6。
易知抛物线开口向上，∴当 0 < < 3时，2 ≤ < 6。故选 B。
4. 已知二次函数 = ( 1)2 + 2，当 < < 5时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是
__________________。
答案：1 ≤ < 5
解析：由 = ( 1)2 + 2可知抛物线的对称轴为直线 = 1。
∵ = 1 < 0，∴抛物线开口向下，∴当 > 1时， 值随 值的增大而减小。
∵ < < 5 时， 随 的增大而减小，∴1 ≤ < 5。
5. 如图是二次函数 = ( + 1)2 + 4的图象的一部分（点 为抛物线与 轴的交点，且在网格
线的交点处），根据图象回答下列问题：
(1) 确定 的值；
(2) 设抛物线的顶点是 ， 是 轴上的一个点，若△ 的面积为 6，求点 的坐标。
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第 26 章 二次函数
4
答案：(1) = ，(2) 点 的坐标为( 1,0)或( 7,0)9
解析：
(1) 由图象可知 点坐标为( 4,0)。∵二次函数 = ( + 1)2 + 4，
4
∴0 = ( 4 + 1)2 + 4，解得 = 9。
4
(2) ∵二次函数 = ( + 1)2 + 4，∴ ( 1,4)9 。
设 的坐标为( , 0)，则 = | + 4|。
1
∵△ 的面积为 6，∴ × 4 × | + 4| = 6，解得 = 12 或
7，
∴点 的坐标为( 1,0)或( 7,0)。
知识点 2 二次函数 = ( ) + 图象的平移
6. 【2026 武汉期中】将抛物线 = 2( + 1)2 2先向右平移 3个单位长度，再向下平移 3
个单位长度后的抛物线解析式为____________________________。
答案： = 2( 2)2 5
解析：将抛物线 = 2( + 1)2 2先向右平移 3个单位长度，再向下平移 3个单位长度后的
抛物线解析式为 = 2( + 1 3)2 2 3，即 = 2( 2)2 5。
7. 【2025 淮安质检】点 ( , 5)在抛物线 ： = ( 3)2 + 6上，将抛物线 进行平移得到
抛物线 ′： = 2 + 2， 的对应点为 ′，则点 移动的最短路程为________。
答案：5
解析：∵抛物线 ： = ( 3)2 + 6，∴抛物线 的顶点坐标为(3,6)。
∵抛物线 ′： = 2 + 2，∴抛物线 ′的顶点坐标为(0,2)。
∵将抛物线 进行平移得到抛物线 ′，∴点 移动的最短路程为 32 + (6 2)2 = 5。
关键点拨：根据抛物线平移前后的顶点坐标及两点之间线段最短，求出点 移动的最短路程。
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第 26 章 二次函数
知识点 3 用待定系数法求二次函数 = ( ) + 的解析式
3
8. 【2026 邯郸期末】某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为2米的喷水管喷水
1
最大高度为 4米，此时距喷水管水平距离为2米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解
析式为_________________________（不需要写出自变量的取值范围）。
1
答案： = 10( )2 + 42
1 3 1 3
解析：根据题意可设函数解析式为 = ( )2 + 42 ，把
(0, )
2 代入可得，
+ 4 =
4 2，
1
解得 = 10，所以函数解析式为 = 10( )2 + 42 。
易错点 混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错
9. 抛物线的函数解析式为 = 3( 2)2 + 1，若将 轴向上平移 2个单位长度，将 轴向左平移
3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（ ）
A.y = 3(x + 1)2 + 3 B.y = 3(x 5)2 + 3
C.y = 3(x 5)2 1 D.y = 3(x + 1)2 1
答案：C
解析：根据题意知，将 轴向上平移 2个单位长度，将 轴向左平移 3个单位长度相当于将抛
物线 = 3( 2)2 + 1向下平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度，则所得抛物线的解
析式为 = 3( 5)2 1。故选 C。
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第 26 章 二次函数
26.6 二次函数( = + + ) 的图象和性质
知识点 1 把二次函数的一般式化为顶点式
1.【2025亳州质检】将二次函数 = 2 + 4 4 化成 = ( + h)2 + 的形式为（ ）
A. = ( + 2)2 8 B. = ( 2)2
C. = ( + 2)2 4 D. = 2 8
答案：A
解析： = 2 + 4 4 = 2 + 4 + 4 8 = ( + 2)2 8。
4 2
一题多解：除了可以用配方法化一般式为顶点式外，也可用顶点的坐标公式 ( , )2 4
化一般式为顶点式。
1
2.【2025南通质检】把二次函数 = 2 + 3 化为 = ( h)2 + 4 的形式，则
=______。
答案：2
知识点 2 二次函数 = + + 的图象的平移
3.【2025九江期末】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线 = 1 的抛物线 = 2 +
+ 2( > 2) 向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方
式正确的是（ ）
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向上平移 2 个单位长度
C. 向上平移 3 个单位长度 D. 向上平移 4 个单位长度
答案：B

解析：∵抛物线的对称轴为直线 = 1，∴ = 1，∴ = 2 2 。
= 2 + + 2 = 2 2 + 2 = ( 1)2 2，
∴抛物线的顶点坐标为 (1, 2)。
∵ > 2，∴抛物线与 轴交于正半轴。
∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，∴平移后的抛物线顶点在 轴上，
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第 26 章 二次函数
∴抛物线应向上平移 2 个单位长度，故选 B。
4.【2026牡丹江期中】将抛物线 = 2 + + 向左平移一个单位长度后得到的抛物线的
解析式为 = 3 2 2 + 1，则 + + 的值为_______。
答案：1
解析：将抛物线 = 2 + + 向左平移一个单位长度后，所得抛物线的解析式为 =
( + 1)2 + ( + 1) + ，即 = 2 + (2 + ) + ( + + )。
又∵平移后所得抛物线的解析式为 = 3 2 2 + 1，∴ + + = 1。
知识点 3 二次函数 = + + 的图象和性质
5. 二次函数 = 2 2 + 8 + 7 的图象是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析： = 2 > 0，∴抛物线开口向上。
∵二次函数的解析式为 = 2 2 + 8 + 7 = 2( + 2)2 1，
∴抛物线的顶点坐标为 ( 2, 1)，对称轴为直线 = 2。故选 C。
6.【2026南京期中】当 ≤ ≤ 4 时，函数 = 2 + 4 的 的取值范围是 0 ≤ ≤ 4，
则 的取值范围是（ ）
A. 0 < ≤ 2 B. 0 ≤ < 2 C. 0 < < 2 D. 0 ≤ ≤ 2
答案：D
解析：因为二次函数解析式为 = 2 + 4 = ( 2)2 + 4，所以抛物线的对称轴为直线
= 2，顶点坐标为 (2,4)，且开口向下。
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第 26 章 二次函数
由 2 + 4 = 0 得 = 0 或 4，所以抛物线与 轴的交点为 (0,0)，(4,0)，
所以当 0 ≤ ≤ 4 时，0 ≤ ≤ 4。
又因为 ≤ ≤ 4 时，0 ≤ ≤ 4，所以 0 ≤ ≤ 2。故选 D。
7. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + ( > 0) 的部分图象如图所示，其
对称轴为直线 = 2，与 轴交于点 (0, 2)，则当 < 2 时， 的取值范围是\\_。
答案：0 < < 4
解析：∵抛物线对称轴为直线 = 2，抛物线经过点 (0, 2)，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点 (4, 2)，∴当 0 < < 4 时， < 2。
8【. 2025上海期中】已知 ( 1, 1)、(2, 2)、(4, 3) 都是二次函数 = 2 2 + 3 ( ≠ 0)
的图象上的点，当 > 2 时， 随着 的增大而增大，则 1， 2， 3 按从小到大的顺序排
列是___________________。（用 “<” 连接）
答案： 2 < 1 < 3
2
解析：∵ = 2 2 + 3 ( ≠ 0)，∴图象的对称轴是直线 = = 12 。
∵当 > 2 时， 随着 的增大而增大，∴ > 0。点 ( 1, 1) 关于直线 = 1 的对称点
是 (3, 1)。∵2 < 3 < 4，∴ 2 < 1 < 3。
9.【2026 泉州期中】已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的自变量 与函数值 之间
满足表格中的数量关系，那么 (4 2 + )( + ) 的值为_______。
1 3 4
2 2 5
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第 26 章 二次函数
答案：10
解析：由所给表格可知，当 = 1 时， = 2，所以 + = 2。
1+ 3
当 = 1 和 = 3 时，函数值相等，所以抛物线的对称轴为直线 = = 12 ，
则当 = 2 和 = 4 时函数值相等，所以 4 2 + = 5，
所以 (4 2 + )( + ) = 5 × 2 = 10
知识点 4 二次函数 = + + 的图象与系数的关系
10. 二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，对称轴是直线 = 1。下列结论：① < 0；
②3 + > 0；③( + )2 2 < 0；④ + ≤ ( + )（ 为实数）。其中结论正确的个
数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：①∵抛物线开口向下， < 0，抛物线的对称轴在 轴右侧，∴ > 0。抛物线与 轴
交于正半轴，∴ > 0， < 0，∴①正确。

②当 = 1 时， < 0，∴ + < 0。对称轴为直线 = 2 = 1，∴ = 2 。把 = 2
代入 + < 0，得 3 + < 0，∴②错误。
③当 = 1 时， < 0，∴ + < 0，当 = 1 时， > 0，∴ + + > 0，
∴ ( + )( + + ) = ( + )2 2 < 0，∴③正确。
④∵抛物线的对称轴为直线 = 1，开口向下，∴ = 1 时，函数有最大值，为 + + ，
∴ + + ≥ 2 + + ，即 + ≥ ( + )，∴④错误。
故选 B。
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第 26 章 二次函数
26.7 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题
知识点 1 二次函数的图象与 x 轴的交点情况
1.二次函数 = 2 3 + 2 的图象与 x 轴有两个交点，则 a 可以是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
9
解析：根据题意，得 Δ = ( 3)2 4 × 2 > 0 且 ≠ 0，解得 < 且 ≠ 08 ，故选 B。
2.【2026 湖州期中】若函数 = ( 1) 2 + 3 2 的图象与 x 轴只有一个公共点，则实数
k 的值是___________
1
答案：1 或 8
解析：当 1 = 0，即 = 1 时，函数为 = 3 2，此时函数的图象与 x 轴只有一个公
共点， = 1 满足题意；当 1 ≠ 0 时，∵函数 = ( 1) 2 + 3 2 的图象与 x 轴只
1
有一个公共点，∴ Δ = 32 4( 1) × ( 2) = 0，解得 = 8。综上所述，实数 k 的值是
1
1
或 8。
3.【2026 武汉期中】已知抛物线： = 2 3 1
(1) 若抛物线与 x 轴只有一个公共点，则 k 的值为__________
9
答案： 4
9
解析：根据题意得 ≠ 0 且 Δ = ( 3)2 4 × ( 1) = 0，解得 = 4。
(2) 若抛物线交 x 轴于点 ( 1, 0)， ( 2, 0)，当 1 + 2 = 3 时。
①k 的值为___________，抛物线的对称轴为直线__________；
3
答案： 1； = 2
解析：∵抛物线交 x 轴于点 ( 1, 0)， ( , 0)，∴一元二次方程 22 3 1 = 0 的两个根
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第 26 章 二次函数
3 3 3
为 1, 2。∵ 1 + 2 = = 3， = 1 ，∴抛物线的对称轴为直线 =
=
2 2。
②若直线 = 与该抛物线有公共点，求 n 的取值范围。
5
答案： ≤ 4
解析：∵抛物线 = 2 3 1 与直线 = 有公共点，∴一元二次方程 2 3 1 =
5
有实数解，整理得 2 + 3 + + 1 = 0，Δ = 32 4( + 1) ≥ 0，解得 ≤ 4，即 n 的取值
5
范围为 ≤ 4。
知识点 2 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程的求解问题
4【. 2026安阳期末】在平面直角坐标系内，若移动二次函数 = ( 2023)( 2025) + 5 的
图象，使其与 x 轴交于两点，且这两点的距离为 2 个单位，则移动方式可为 ( )
A. 向上平移 5 个单位 B. 向左平移 2 个单位
C. 向下平移 5 个单位 D. 向右平移 2 个单位
答案：C
解析：把二次函数 = ( 2023)( 2025) + 5 的图象向下平移 5 个单位得 = (
2023)( 2025)，当 = 0 时， ( 2023)( 2025) = 0，解得 1 = 2023， 2 = 2025，
∴平移后的抛物线 = ( 2023)( 2025) 与 x 轴的交点坐标为 (2023,0)，(2025,0)，∴
抛物线与 x 轴的两交点之间的距离为 2025 2023 = 2，∴移动方式为向下平移 5 个单位。
故选 C。
5.【2026 和平期中】一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：
1 2 5
m）之间的关系是 = 2 + +12 3 3，则推出铅球的水平距离为
( )
A.12 m B.10 m C.4 m D.3 m
答案：B
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第 26 章 二次函数
1
解析：令 = 0，得 2
2 5
+ + 3 = 0，则
2 8 20 = 0，即 ( 10)( + 2) = 012 3 ，
解得 1 = 10， 2 = 2（舍去），∴推出铅球的水平距离为 10 m，故选 B。
6.【2026 南昌期中】定义：由两条与 x 轴有相同的交点，组成一个如图所示的 “笑口线”。
1 1
抛物线 1 = ( 1)2 2 与抛物线 = 22 + + ( > )2 2
(1) 求出点 M，N 的坐标；
答案： ( 1,0)， (3,0)
1
解析：当 1 = 0 时， ( 1)2 2 = 0 = 1 = 32 ，解得 1 ， 2 ，即
( 1,0)， (3,0)。

(2) 求 的值。
1
答案： 3
1
解析：∵抛物线 = 22 + + ( > ) 与 x 轴的交点为 ( 1,0)， (3,0)2 ，∴一元二次
1
方程 2 + + = 0 的两根为 1 = 1， 2 = 3。∵ 1 2 = ，∴ = 1 × 3 = 3，∴ = 3。
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第 26 章 二次函数
26.8 将一元二次方程 (不等式) 问题转化为相应的二次函数问题
知识点 1 用二次函数解一元二次方程
1.【2026 昆明期中】已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)，函数值 与自变量 的部分对应
值如表所示，则一元二次方程 2 + + = 0的根为（ ）
… 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 …
A. 1 = 2 = 3 B. 1 = 3， 2 = 1
C. 1 = 3， 2 = 2 D. 1 = 3， 2 = 3
答案：B
解析：观察表格可知抛物线对称轴为直线 = 1，当 = 3时， = 0，根据抛物线对称性，
= 1时， = 0，∴一元二次方程 2 + + = 0的根是 1 = 3， 2 = 1。
2.【2026 徐州期中】如图，已知二次函数 = ( + 1)( 3)的图象经过点 (0,3)，则关于
的一元二次方程 2 2 = 3 + 3的根是（ ）
A. 1 = 0， 2 = 2 B. 1 = 1， 2 = 3 C. 1 = 0， 2 = 3 D. 1 = 1， 2 = 3
答案：A
2
解析：∵抛物线 = ( + 1)( 3) = 2 2 3 的对称轴为直线 = = 12 ，∴点
(0,3)关于抛物线对称轴对称的点为(2,3)，∴抛物线 = 2 2 3 与直线 = 3的交点横
坐标为 0，2，∴关于 的一元二次方程 2 2 = 3 + 3的根为 1 = 0， 2 = 2。
3【. 2025 浙江杭州期中】二次函数 1 = 2 + （ , 为实数， < 0）图象的对称轴为直线 = 2，
且图象经过点( , )。若二次函数 22 = ( 2) + ( 2)的图象经过点( 2, )，则关于
的方程 ( 2)2 + ( 2) = 的解是_________________________。
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第 26 章 二次函数
答案： 1 = 2， 2 = 6
解析：由题意可得，二次函数 2 = ( 2)2 + ( 2)的图象是由二次函数 = 21 + （ ,
为实数， < 0）的图象向右平移 2个单位得到的，∴当点( , )在 1的图象上时，有( + 2, )
在 2的图象上，且平移后的抛物线的对称轴是直线 = 4。点( 2, )在 2的图象上，∵ 2 =
2+ + 2
( 2)2 + ( 2)的对称轴是直线 = = 4，∴点(2, )，(6, )在 2 = ( 2
2)2 + ( 2)的图象上，∴方程 ( 2)2 + ( 2) = 的解是 1 = 2， 2 = 6。
知识点 2 用二次函数求一元二次方程的近似解
4.【2026 武汉期中】如图，抛物线 = 2 + + 的对称轴为直线 = 1，则一元二次方程
2 + + = 0的一个解的范围是（ ）
A. 4 < < 3 B. 3 < < 2 C. 2 < < 1 D. 1 < < 0
答案：B
解析：∵抛物线的对称轴为直线 = 1，抛物线与 轴的一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴抛物线
与 轴的另一个交点在( 2,0)和( 3,0)之间，∴一元二次方程 2 + + = 0的解的范围为
3 < < 2或 0 < < 1。
5.【2025 西城期中】如表是若干组二次函数 = 2 4 + 中的 与 的对应值：
… 0.7 0.8 0.9 1.0 …
… 0.30 0.05 0.18 0.39 …
则关于 的方程 2 4 + = 0 的一个近似根为（ ）
A.3.0 B.3.1 C.3.2 D.3.3
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第 26 章 二次函数
答案：C
解析：∵二次函数 = 2 4 + ，∴图象的对称轴为直线 = 2。观察表格得方程 2 4 + = 0
0.8 +
的一个近似根是 0.8。设另一个近似根为 ，则另一个近似根满足 = 2，解得 = 3.22 。
知识点 3 用二次函数解不等式
6. 已知二次函数 = 2 2 3，若 > 3，则自变量 的取值范围是（ ）
A. < 0 或 > 2 B. < 1 或 > 3 C.0 < < 2 D.1 < < 3
答案：A
解析：∵二次函数 = 2 2 3 = ( 1)2 4，∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线 = 1，
令 = 0，则 = 3，∴抛物线与 轴的交点是(0, 3)，∴点(0, 3)关于对称轴的对称点为(2,
3)，∴当 > 3时，自变量 的取值范围是 < 0或 > 2。
7.【2026 长沙质检】若二次函数 = 2 + + （ , , 为常数，且 ≠ 0）的图象如图所示，
则关于 的不等式 ( + 2)2 + ( + 2) + < 0的解集为_________________。
答案： < 1或 > 1
解析：由图象可得，当 < 1或 > 3时， 2 + + < 0，当 ( + 2)2 + ( + 2) + < 0
时， + 2 < 1或 + 2 > 3，解得 < 1或 > 1。
8.【2026 广州质检】如图为二次函数 = 2 2 + 3的图象，观察图象回答下列问题：
(1) 方程 2 2 + 3 = 0的解为 1 = _____， 2 =________；
(2) 当 > 0时， 的取值范围为_____________；
(3) 若方程 2 2 + 3 = 有实数根，则 的取值范围是_____________；
(4) 当 3 < < 3 时， 的取值范围是__________________。
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第 26 章 二次函数
答案：
(1) = 3或 1。
(2) 3 < < 1
解析：从图象看，当 > 0时， 的取值范围为 3 < < 1。
(3) ≤ 4
解析： = 2 2 + 3 = ( + 1)2 + 4，则抛物线的顶点为( 1,4)，∴若方程 2 2 + 3 =
有实数根，则 的取值范围是 ≤ 4。
(4) 12 < ≤ 4
解析：当 = 3时， = 2 2 + 3 = 0；当 = 3时， = 2 2 + 3 = 12，抛物线顶
点的纵坐标为 4，则当 3 < < 3时， 的取值范围是 12 < ≤ 4。
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第 26 章 二次函数
26.9 最值问题
知识点 1 高度问题
1.羽毛球在空中的运动路线可以看作一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度 （米）与水平距
2 8 10
离 （米）之间的关系式为 = 2 + +9 9 9 ，则羽毛球行进的最大高度为（ ）
A.2 米 B.2.5 米 C.2.8 米 D.3 米
答案：A
2 2 8 10 2解析： = + + = )2 + 29 9 9 9 ( 2
2
∵ < 0，∴当 = 2 时， 取得最大值 2，∴9 羽毛球行进的最大高度为
2米，故选 A。
2.【2026 长春期中】公园要建造一个如图（1）的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一
个柱子 ， 高度为 0.8米， 恰在水面中心，安置在柱子顶端 处的喷头（看作一点）向外
喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与 水平距离为 1米
时，达到距水面最大高度 1.44米，那么水池的半径至少为_________米，才能使喷出的水流不落
到池外（不计其他因素）。
图（1） 图（2）
答案：2.5
解析：设 轴右侧的抛物线解析式为 = ( 1)2 + 1.44。
将 (0,0.8)代入，得 × (0 1)2 + 1.44 = 0.8，解得 = 0.64，
∴ 轴右侧的抛物线解析式为 = 0.64( 1)2 + 1.44。
当 = 0时， 0.64( 1)2 + 1.44 = 0，解得 1 = 2.5， 2 = 0.5（舍去），
∴水池的半径至少为 2.5米。
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第 26 章 二次函数
知识点 2 面积问题
3【. 2025 六安期中】如图是一个长 20m、宽 16m的矩形花园，现重建花园，将它的长缩短 m、
宽增加 m，要想使重建后的花园面积最大，则 应为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.4
答案：C
解析：设重建后的花园面积为 m2。由题意可得： = (20 )(16 + ) = ( 2)2 + 324，
∴当 = 2时， 取得最大值 324，故选 C。
4.【2025 太原质检】如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 4cm， = 8cm。动点 从点 出
发，沿边 向点 以 1cm/s的速度运动（不与点 重合），同时动点 从点 出发，沿边 向点
以 2cm/s的速度运动（不与点 重合）。当四边形 的面积最小时，运动的时间为（ ）
A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s
答案：B
解析：设运动时间为 s，四边形 的面积为 cm2，
1 1
则 = cm， = 2 cm， = (4 )cm。 = △ △ = 2 2 ，
1 1
即 = × 8 × 4 × 2 (4 ) = 2 4 + 16 = ( 2)2 + 122 2 ，
∴当 = 2时， 有最小值，为 12，故选 B。
5【. 2025 天津期末】如图，用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m。
设矩形菜园的边 的长为 m，面积为 m2，其中 ≥ 且 ≤ 18m。有下列结论：
① 的取值范围为 5 ≤ ≤ 10；
63/169
第 26 章 二次函数
② 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 100m2；
225
③矩形菜园 的面积的最大值为 m22 。
其中正确的结论有__________。（填序号）
答案：③
解析： 的长为 m， 的长为(30 2 )m，则 = (30 2 )m，
30 2 ≥ ≤ 10
∵ ≥ 且 ≤ 18m，∴ > 0 ，解得 > 0 ，
30 2 ≤ 18 ≥ 6
∴ 的取值范围为 6 ≤ ≤ 10，故①错误。
根据题意得 (30 2 ) = 100，解得 1 = 5， 2 = 10，
∵ 6 ≤ ≤ 10，∴ = 10， 的长有一个值满足该矩形菜园的面积为 100m2，故②错误。
15 225
根据题意得 = (30 2 ) = 2 2 + 30 = 2( )2 +2 2 ，
15 225
∵ 2 < 0，6 ≤ ≤ 10，∴当 = 2时， 有最大值，最大值为 2 ，故③正确。
6. 如图，某小区计划用 18m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚 ，为了
方便存车，在 ( > 2m)边上开了一个 2m宽的门 （门不是用铁栅栏做成的），设边
的长为 m，车棚面积为 m2。
(1) 求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2) 当 的值是多少时，车棚面积最大？最大面积是多少？
答案：
(1) = = 18 + 2 = 20 ，∴ = × = (20 ) = 2 + 20 (0 < < 18)。

(2) 当 = 22 = 10时， 最大 = 100，∴当 = 10时，车棚面积最大，最大面积是 100
m 。
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第 26 章 二次函数
26.10 最大利润问题
知识点 最大利润问题
1【. 2026 石家庄质检】某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶。在 “创
建文明城市” 期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶。
已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店某月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）
A.50 元 B.90 元 C.80 元 D.70 元
答案：D
解析：设该商店每月获得的利润为 元，每顶头盔的售价为 元。
= ( 50)[200 + (80 ) × 20]
由题意可得： = 20( 70)2 + 8000
∴当 = 70时， 取得最大值，故选 D。
2. 在 1~7 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬
菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是
（ ）
A.1 月份 B.2 月份 C.5 月份 D.7 月份
答案：C
解析：设 月份出售该种蔬菜时，每千克利润为 元，每千克售价为 1元，每千克成本为 2元。
根据题图设 1 = + ，将(3,5)，(6,3)
3 + = 5
代入： 6 + = 3
2 2
解得 = 3，即 1 = + 7。
= 7 3
根据题图设 2 = ( 6)2 + 1，将(3,4)代入：4 = (3 6)2 + 1
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第 26 章 二次函数
1 1
∴ = ，即 2 =3 3 ( 6
)2 + 1。
2 1
= + 7 ( 6)2 + 1
3 3
∵ = 1 2， 1 10 1= 2 + 6 = ( 5)2
7
+
3 3 3 3
∴ = 5时， 有最大值，即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是 5 月份。故选 C。
3. 新考法
【2026 南宁期末】某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利
润 1（万元）与投资量 （万元）成正比例关系，如图 (1) 所示；种植果树的利润 2（万元）
与投资量 （万元）成二次函数关系，如图 (2) 所示。若这位专业户投入种植茶树及果树资金
共 10 万元（可只投资种植一种），则他能获得的最大总利润是（ ）
A.20 万元 B.32 万元 C.48 万元 D.50 万元
图 (1) 图 (2)
答案：D
解析：设 1 = ，把 (1,2)代入 1 = 中得 = 2，∴ 1 = 2 。
1 1
设 = 22 ，把 (2,2)代入 2 = 2中得 2 = 4 ，解得 = ，∴ 2 = 22 2 。
设这位专业户投入种植果树的资金为 万元，投入种植茶树的资金为(10 )万元，他获得的
利润为 万元。
由题意得：当 = 0时， = 20；当 = 10时， = 50，50 > 20，
∴他能获得的最大总利润是 50 万元，故选 D。
4.【2026 滨州期末】便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 （元）与每件售
价 （元）之间的关系满足 = 2 2 + 80 + 758。由于某种原因，现每件售价需满足 21 ≤ ≤
25，那么此时该店一周可获最大利润是__________元。
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第 26 章 二次函数
答案：1556
= 2 2 + 80 + 758
解析：
= 2( 20)2 + 1558
∴抛物线对称轴为直线 = 20，开口向下，∴当 > 20时， 随 的增大而减小。
∵21 ≤ ≤ 25， = 21时， 取最大值，
此时 = 2 × (21 20)2 + 1558 = 1556。
5.【2025合肥质检】某商店购入一批进价为 10 元 / 个的纪念徽章进行销售，经市场调查发
现，销售单价不低于进价时，日销售量 （个）与销售单价 （元 / 个）之间满足如下的一次
函数关系：当销售单价为 12 元 / 个时，日销售量为 152 个；当销售单价为 16 元 / 个时，
日销售量为 136 个。若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为
(0 < < 4)元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为 1444 元，
则 的值为_________。
答案：2
解析：设一次函数解析式为 = + ( ≠ 0) 12 + = 152，根据题意得： 16 + = 136
= 4
解得 = 200，∴ = 4 + 200。
每个徽章的利润为( 10)元，赠送礼品后每个徽章的利润为( 10 )元，
= ( 10 )( 4 + 200)
设日销售利润为 元， = 4 2 + 4(60 + ) (2000 + 200 )
∵ 4 < 0，∴ 有最大值。
又∵该种徽章日销售获得的最大利润为 1444 元，
4 × ( 4) × [ (2000 + 200 )] [4(60 + )]2
= 1444
4 × ( 4)
整理得 2 80 + 156 = 0，则( 2)( 78) = 0，
解得 1 = 2， 2 = 78，∵0 < < 4，∴ 的值为 2。
6.【2026南通质检】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 表
示该产品每千克生产成本 1（单位：元）与产量 （单位：kg）之间的函数关系；线段 表示
该产品每千克售价 2（单位：元）与产量 （单位：kg）之间的函数关系，已知 0 < ≤ 120，
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第 26 章 二次函数
≥ 60。
(1) 求线段 所表示的 1与 之间的函数关系式；
(2) 若 = 90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(3) 若 60 < < 70，则销售该产品获得的最大利润是__________元。
1
答案：(1) 1 = 6 + 60(0 < ≤ 120)
(2) 产量为 90kg 时利润最大，最大利润 1350 元
(3) 1200
解析：
(1) 设线段 所表示的 1与 之间的函数关系式为 1 = 1 + 1(0 < ≤ 120)，
= 60 11 1 = 根据题意，得 120 + = 40，解得 6，1 1 1 = 60
1
∴线段 所表示的 1与 之间的函数关系式为 1 = 6 + 60(0 < ≤ 120)。
(2)∵ = 90，∴设 2与 之间的函数关系式为 2 = 2 + 90(0 < ≤ 120)，
1 1
根据题意，得 50 = 120 2 + 90，解得 2 = 3，∴
2 = 3 + 90(0 < ≤ 120)。
设产量为 kg时，获得的利润为 元，
1 1
= + 90 + 60
3 6
1
= 2 + 30
6
1
= ( 90)2 + 1350
6
∴当 = 90时， 取得最大值，最大值为 1350 元，
∴该产品产量为 90kg 时，获得的利润最大，最大利润是 1350 元。
(3) 设线段 的解析式为 2 = 3 + (0 < ≤ 120)，获得的利润为 ′元。
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第 26 章 二次函数
50
由题意得 120 3 + = 50，解得 3 = 120 ，
50 1
50 ' = + + 60
∴ = 120 62 120 + ， 70 = 2 + ( 60)
120
70
∵60 < < 70，∴ > 0 60 > 0120 ， ，∴该抛物线开口向上，且对称轴在
轴左侧，
∴当 0 < ≤ 120时， ′随 的增大而增大，∴当 = 120时， ′的值最大， ′ = 1200，
最大
∴60 < < 70时，该产品产量为 120kg 时，获得的利润最大，最大利润为 1200 元。
69/169
第 26 章 二次函数
26.11 抛物线形问题
知识点 1 实际问题中的轨迹型问题
1.【2026荆州期中】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统。该系统中的喷
灌器从喷水口喷出的水柱成抛物线形。如图是喷灌器 喷水时的截面示意图，喷水口 点离地
高度为 0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 2m处达到最高点，最高点离地高度为 0.45m，
且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点 处，则喷灌器 与围墙的水平距离 为（ ）
A.4m B.4.5m C.5m D.5.5m
答案：C
解析：
以 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴建立平面直角坐标系。
设该抛物线的解析式为 = ( 2)2 + 0.45。
点(0,0.25)在该抛物线上，∴ 0.25 = (0 2)2 + 0.45，
1 1
解得 = 20，
∴ = ( 2)2 + 0.4520 。
1
当 = 0时，0 = 20 ( 2
)2 + 0.45，解得 1 = 5， 2 = 1（不符合题意，舍去），
∴ = 5m。
2.【2026 莆田期中】某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行
1 2 5
进高度 （单位：米）与水平距离 （单位：米）之间的关系式是 = 2 + +12 3 3。那么该
男生此次投掷实心球的成绩是_______米。
答案：10
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第 26 章 二次函数
1 2 5
解析：令 = 0，得 0 = 2 + + 3，整理得
2 8 20 = 0，∴ ( 10)( + 2) = 012 3 ，
解得 1 = 10， 2 = 2（舍去），∴该男生此次投掷实心球的成绩是 10米。
3.【2026沈阳期中】如图（示意图），某跳水运动员进行 10m跳台跳水训练，水面边缘点
3
的坐标为( , 10)2 。运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点
的抛物线。
5
运动员在空中最高处点 的坐标为(1, )4 。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动
21 27
员入水点的正前方有 ， 两点，且 = m， = m2 2 ，该运动员入水后运动路线对应
的抛物线的函数解析式为 = ( h)2 + ，且顶点 距水面 5m，若该运动员出水点 在 ，
之间（包括 ， 两点），则 的取值范围是_______。
5 4
答案：16 5
21 27 3
解析：∵ = m， = m，点 的坐标为( , 10)2 2 2 ，
∴点 ， 的坐标分别为(9, 10)，(12, 10)。
5 5
∵ (1, )
4 ，可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为
= ( 1)2 +
4。
5 5
又∵抛物线过(0,0)，∴ + = 0 = 4 ，解得 4，
5 5
∴运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为 = ( 1)2 +4 4。
5 5
令 = 10，∴ 10 = ( 1)2 + ，解得 = 4或 2（舍去），∴ (4, 10)4 4 。
∵入水后抛物线解析式为 = ( h)2 + ，顶点 距水面 5m，即顶点纵坐标为 15。
当抛物线过点 (9, 10)时，顶点为(6.5, 15)，解析式为 = ( 6.5)2 15，
4 5
代入 (9, 10)得 = ；当抛物线过点 (12, 10)时， =5 16。
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第 26 章 二次函数
5 4
由点 在 ， 之间（包括 ， 两点）得 的取值范围为16 5。
知识点 2 实际问题中的拱桥形问题
4【. 2026 乌兰期中】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于 2025 年 7 月 20 日
至 31 日在赤峰市举办。在运动场入口安装了一个充气拱门，拱门呈抛物线形（如图所示）。
数学小组想了解此拱门的高度，先测量拱门底端距离 = 10m，再将两根长度为 3m的标杆 ，
垂直于地面放置且让标杆端点 ， 落在拱门上，再测量出两标杆间的距离 = 8m，则此
拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（ ）
25
A.25m B.20m C. 3 m D.5m
答案：C
解析：
以 的中点 为原点，以直线 为 轴，以过点 且与直线 垂直的直线为 轴建立平面直角
坐标系。
由题意得 ( 5,0)， (5,0)， (4,3)，
设经过 ， ， 三点的抛物线的解析式为 = ( + 5)( 5)( ≠ 0)，
1 1
∴ 3 = (4 + 5)(4 5)，解得 = ，∴3 抛物线解析式为
=
3 ( + 5)( 5)。
1 25 25
当 = 0时， = × (0 + 5) × (0 5) =3 3 ，
∴此拱门的高度为 3 m。
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第 26 章 二次函数
5.【2025 河北石家庄校级期中】某拱桥的主桥拱可近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度
约为 20 米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 =
( 10)2 + 10，则 =________，主桥拱最高点 与其在水中倒影点 ′之间的距离为_______米。
1
答案： ；2010
1
解析：由题意可得 (20,0)，∴ (20 10)2 + 10 = 0，解得 = 10，
1
∴ = ( 10)2 + 10，∴ (10,10)，点 ′的坐标为(10, 10)10 ，
∴主桥拱最高点 与其在水中倒影点 ′之间的距离为 10 ( 10) = 20（米）。
6. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 为 8m，宽 为 2m，隧道最高点
位于 的中央且距地面 6m，建立如图所示的坐标系（1 个单位长度表示 1m）。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 一辆货车高 4m，宽 2m，能否从该隧道内通过？为什么？
(3) 如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？
为什么？
答案
1
(1) 抛物线解析式为 = ( 4)2 + 64
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第 26 章 二次函数
解析：由题意可知抛物线的顶点坐标为 (4,6)，设抛物线的解析式为 = ( 4)2 + 6。
1
∵点 (0,2)在抛物线上，∴ 2 = (0 4)2 + 6，解得 = 4，
1
∴抛物线的解析式为 = ( 4)2 + 64 。
(2) 能通过
1
解析：令 = 4，则 4 = ( 4)2 + 6，解得 1 = 4 + 2 2， 2 = 4 2 24 ，
∴ | 1 2| = 4 2 > 2，∴货车能从该隧道内通过。
(3) 可以同时顺利通过
解析：由 (2) 可知| 1 2| = 4 2 > 2 × 2，∴两辆相对而行的货车可以同时在隧道内顺利通
过。
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