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第 26 章 二次函数
26.1 二次函数的概念
知识点 1 二次函数的定义
1.【2026 烟台期中】下列函数中，是二次函数的有 ( )
2
(1) = 3( 1)2 + 1；(2) = 2；(3) = ( + 3)
2 2；(4) = 22 ；

(5) = 2 + + 。
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.【2026 海淀区质检】已知关于 的函数 = 2 + 3 2 + 1是二次函数，则 的取值范围
是______________。
3. 关于 的函数 = ( 2 + 2 + 3) 2 + 3 + 1，甲说：“此函数不是二次函数。” 乙说：“此函
数一定是二次函数。” 丙说：“此函数是不是二次函数与 的取值有关。” 你认为谁的说法正确？
为什么？
知识点 2 二次函数的一般形式
4.【2025 安徽亳州调研】下列二次函数中，二次项系数是 3的是 ( )
A. = 3 2 2 + 5 B. = 2 3 + 2
C. = 3 2 D. = 2 3
5. 把 = (3 2)( + 3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为___________。
知识点 3 实际问题中的二次函数
6.【2025 长沙质检】某工厂七月份生产零件 50 万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件
的增长率为 ，如果第三季度共生产零件 万个，那么 与 满足的函数关系式是 ( )
A. = 50(1 + )2 B. = 50 + 50(1 + ) + 50(1 + )2
C. = 50(1 + ) + 50(1 + )2 D. = 50 + 50(1 + )
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7.【2026 绍兴期中】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一个圆形水池，圆周上的点到正
方形边上的点的最短距离为 3 m。记正方形内除水池外的面积为 m2，圆的半径为 m，则
关于 的函数解析式是 ( )
A. = (2 + 3)2 B. = 4( + 3)2
C. = 4( + 3)2 2 D. = ( + 3)2 2
8. 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和总长为 28 米的
篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形。设大矩形垂直于旧墙的一边长为 米，花圃总面积
为 平方米，则 关于 的函数解析式为_____________________（用二次函数的一般形式表示）。
易错点 用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为 0 的隐含条件致错
9. 当 =________时， = ( 1) | |+1是二次函数。
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26.2 二次函数( = )的图象和性质
知识点 1 二次函数 = 的图象
1. 二次函数 = 2 2的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
2. 【2026 西宁质检】已知抛物线 = 2经过点(2, 8)
(1) 求 的值；
(2) 画出此函数的图象。
知识点 2 二次函数 = 的性质
3. 若二次函数 = 2的图象过点 ( 2,4)，则该图象必经过点（ ）
A. (2,4) B. ( 2, 4) C. ( 4,2) D. (4, 2)
4. 【2026 张家口期中】嘉嘉用软件绘制抛物线 = 2 2时，将 “2” 按成了 “3”，和原图象相
比，发生改变的是（ ）
A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标
5. 已知二次函数 = ( 1) 2，当 > 0时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. > 0 B. > 1 C. ≥1 D. < 1
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6. 已知抛物线 = 2( > 0)过 ( 2, 1)， (1, 2)两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. 1 > 0 > 2 B. 2 > 0 > 1 C. 1 > 2 > 0 D. 2 > 1 > 0
7. 2【2026 武汉质检】已知 = ( + 1) + 是二次函数，且当 > 0时， 随 的增大而减小，
则 的值为_____
8.【2025 郑州质检】已知二次函数 = 2，当 2 ≤ ≤ 3时， 的取值范围是_____
9. 已知二次函数 = 2，当 = 3时， = 3
(1) 当 = 2时，求 的值；
(2) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当 为何值时， 随 的增大而增大。
易错点 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解
10. 已知抛物线 = 2与 = 2 2的形状相同，则 =_____
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26.3 二次函数 ( = + ) 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = + 的图象和性质
1. 二次函数 = 5 2 + 1 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
1
2. 【2026 泸州期中】关于以下四个函数 = 2， = 2， = 2 2， = 2 + 13 的共同
点，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是 轴
C. 有最大值 D. 随 增大而增大
3. 对于二次函数 = 2 2 3，当 1 ≤ ≤ 2 时， 的取值范围是（ ）
A. 1 ≤ ≤ 5 B. 5 ≤ ≤ 5
C. 3 ≤ ≤ 5 D. 2 ≤ ≤ 5
4. 【2026 福建福州期中】同时满足：①图象开口向下；②顶点坐标为 (0,2) 的一个二次函
数的解析式为__________________。
5. 【2026 惠州期中】若点 1( 1, 1)， 2(3, 2)， 3(5, 3) 均在二次函数 = 2 2 + 的
图象上，则 1， 2， 3 的大小关系是__________________（用 “>” 连接）。
6. 已知点 ( 1, 1)，( 2, 2) 均在抛物线 = 2 1 上，下列说法中：①若 1 = 2 则 1 =
2；②若 1 = 2，则 1 = 2；③若 0 < 1 < 2，则 1 > 2；④若 1 < 2 < 0，则 1 > 2。
佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确。请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，
并说明理由。
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7. 已知抛物线 = 2 + (5 ) + 32 与
轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，
与 轴负半轴交于点 ，且 = 。
(1) 求 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 求 △ 的面积。
知识点 2 二次函数 = + 图象的平移
8. 【2026无锡期中】把抛物线 = 2 1 向上平移 3 个单位可得抛物线（ ）
A. = 2 + 3 B. = ( + 3)2 1
C. = 2 + 2 D. = ( 3)2 1
9. 【2026商洛期中】将二次函数 = 2 4 的图象向上平移 个单位长度，使其经过点
( 1,3)，则 的值为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
1
10. 【2025玉林期末】如图，已知抛物线 1 = 2 + 4( 2 ≤ ≤ 2)2 ，将抛物线
1 向下
平移 2 个单位长度后得到抛物线 2，则图中阴影部分的面积 =______。
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26.4 二次函数 = ( ) 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = ( ) 的图象和性质
1. 抛物线 = ( 1)2 一定经过（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
1
2. 【2025 阜阳期中】抛物线 = 3( 4)2 与抛物线 = 22 的相同点是（ ）
A. 对称轴相同 B. 顶点相同
C. 顶点都在 轴上 D. 形状相同
3.【2025义乌质检】若小明将如图所示的两条水平线 ， 中的一条当成 轴，且向右为正
方向；两条铅垂线 ， 中的一条当成 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二
次函数 = 2( 1)2 的图象，则坐标原点可能是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4. 已知二次函数 = 2( + )2，当 < 3时， 随 的增大而增大；当 > 3时， 随 的
增大而减小，则当 = 1时， =（ ）
A. 12 B.12 C.32 D. 32
5. 【2026西城区期中】已知点 ( 1, 1)、 ( + 2, 2)、 ( , )在抛物线 = ( )23 上，
则 1， 2， 3的大小关系是_______________（用 “<” 连接）。
6. 已知二次函数 = 3( 3)2，当 分别取 1， 2( 1 ≠ 2)时，函数值相等，则当 取 3 1 + 3 2
时，函数值为_______________。
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7. 开放性试题 有一个二次函数，三位同学分别说出了它的特点：
A：函数图象的顶点在 轴上；
B：当 > 1时， 随 的增大而减小；
C：该函数图象的形状与函数 = 2 2 的图象相同。
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式：________。
8. 【2026苏州期中】二次函数 = ( + 1)2 的图象与直线 = 2 1 交于点 (1, )。
(1) 求 ， 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3) 直接写出在二次函数 = ( + 1)2 中，当 > 1 时， 的取值范围。
知识点 2 二次函数 = ( ) 图象的平移
9. 把抛物线 = ( 1)2 向左平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A. = ( 1)2 + 2 B. = ( + 3)2
C. = ( + 1)2 D. = ( 3)2
10. 【2025南昌质检】若将抛物线 = ( 3)2 的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的
是（ ）
A. 向上平移 3 个单位长度 B. 向下平移 3 个单位长度
C. 向左平移 3 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度
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26.5 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
知识点 1 二次函数 = ( ) + 的图象和性质
1. 【2026海淀期中】若抛物线 = 2( 1)2 + 2 + 4 的顶点在第二象限，则 的取
值范围是（ ）
A. > 1 B. < 2 C. 1 < < 2 D. 2 < < 1
2. 【2025 南州调研】已知二次函数的图象(0 ≤ ≤ 3)如图所示。下列关于该函数在所给自变
量取值范围内的说法，正确的是（ ）
A. 图象关于直线 = 1 对称
B. 有最小值 1，有最大值 3
C. 值随 值的增大而增大
D. 有最小值 0，有最大值 3
3. 【2026 东城期中】已知 是关于 的二次函数， 与 的部分对应值如表所示，当 0 < < 3
时， 的取值范围是（ ）
… 1 0 1 2 3 …
… 6 3 2 3 …
A.2 < < 6 B.2 ≤ < 6 C.3 < < 6 D.3 ≤ < 6
4. 已知二次函数 = ( 1)2 + 2，当 < < 5时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是
__________________。
5. 如图是二次函数 = ( + 1)2 + 4的图象的一部分（点 为抛物线与 轴的交点，且在网格
线的交点处），根据图象回答下列问题：
(1) 确定 的值；
(2) 设抛物线的顶点是 ， 是 轴上的一个点，若△ 的面积为 6，求点 的坐标。
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知识点 2 二次函数 = ( ) + 图象的平移
6. 【2026 武汉期中】将抛物线 = 2( + 1)2 2先向右平移 3个单位长度，再向下平移 3
个单位长度后的抛物线解析式为____________________________。
7. 【2025 淮安质检】点 ( , 5)在抛物线 ： = ( 3)2 + 6上，将抛物线 进行平移得到
抛物线 ′： = 2 + 2， 的对应点为 ′，则点 移动的最短路程为________。
知识点 3 用待定系数法求二次函数 = ( ) + 的解析式
3
8. 【2026 邯郸期末】某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为2米的喷水管喷水
1
最大高度为 4米，此时距喷水管水平距离为2米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解
析式为_________________________（不需要写出自变量的取值范围）。
易错点 混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错
9. 抛物线的函数解析式为 = 3( 2)2 + 1，若将 轴向上平移 2个单位长度，将 轴向左平移
3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（ ）
A.y = 3(x + 1)2 + 3 B.y = 3(x 5)2 + 3
C.y = 3(x 5)2 1 D.y = 3(x + 1)2 1
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26.6 二次函数( = + + ) 的图象和性质
知识点 1 把二次函数的一般式化为顶点式
1.【2025亳州质检】将二次函数 = 2 + 4 4 化成 = ( + h)2 + 的形式为（ ）
A. = ( + 2)2 8 B. = ( 2)2
C. = ( + 2)2 4 D. = 2 8
1
2.【2025南通质检】把二次函数 = 2 + 3 化为 = ( h)2 + 4 的形式，则
=______。
知识点 2 二次函数 = + + 的图象的平移
3.【2025九江期末】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线 = 1 的抛物线 = 2 +
+ 2( > 2) 向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方
式正确的是（ ）
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向上平移 2 个单位长度
C. 向上平移 3 个单位长度 D. 向上平移 4 个单位长度
4.【2026牡丹江期中】将抛物线 = 2 + + 向左平移一个单位长度后得到的抛物线的
解析式为 = 3 2 2 + 1，则 + + 的值为_______。
知识点 3 二次函数 = + + 的图象和性质
5. 二次函数 = 2 2 + 8 + 7 的图象是（ ）
A. B. C. D.
6.【2026南京期中】当 ≤ ≤ 4 时，函数 = 2 + 4 的 的取值范围是 0 ≤ ≤ 4，
则 的取值范围是（ ）
A. 0 < ≤ 2 B. 0 ≤ < 2 C. 0 < < 2 D. 0 ≤ ≤ 2
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7. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + + ( > 0) 的部分图象如图所示，其
对称轴为直线 = 2，与 轴交于点 (0, 2)，则当 < 2 时， 的取值范围是\\_。
8【. 2025上海期中】已知 ( 1, 1)、(2, 2)、(4, 3) 都是二次函数 = 2 2 + 3 ( ≠ 0)
的图象上的点，当 > 2 时， 随着 的增大而增大，则 1， 2， 3 按从小到大的顺序排
列是___________________。（用 “<” 连接）
9.【2026 泉州期中】已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的自变量 与函数值 之间
满足表格中的数量关系，那么 (4 2 + )( + ) 的值为_______。
1 3 4
2 2 5
知识点 4 二次函数 = + + 的图象与系数的关系
10. 二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，对称轴是直线 = 1。下列结论：① < 0；
②3 + > 0；③( + )2 2 < 0；④ + ≤ ( + )（ 为实数）。其中结论正确的个
数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
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26.7 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题
知识点 1 二次函数的图象与 x 轴的交点情况
1.二次函数 = 2 3 + 2 的图象与 x 轴有两个交点，则 a 可以是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.【2026 湖州期中】若函数 = ( 1) 2 + 3 2 的图象与 x 轴只有一个公共点，则实数
k 的值是___________
3.【2026 武汉期中】已知抛物线： = 2 3 1
(1) 若抛物线与 x 轴只有一个公共点，则 k 的值为__________
(2) 若抛物线交 x 轴于点 ( 1, 0)， ( 2, 0)，当 1 + 2 = 3 时。
①k 的值为___________，抛物线的对称轴为直线__________；
②若直线 = 与该抛物线有公共点，求 n 的取值范围。
知识点 2 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程的求解问题
4【. 2026安阳期末】在平面直角坐标系内，若移动二次函数 = ( 2023)( 2025) + 5 的
图象，使其与 x 轴交于两点，且这两点的距离为 2 个单位，则移动方式可为 ( )
A. 向上平移 5 个单位 B. 向左平移 2 个单位
C. 向下平移 5 个单位 D. 向右平移 2 个单位
5.【2026 和平期中】一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：
1 2 5
m）之间的关系是 = 2 + +12 3 3，则推出铅球的水平距离为
( )
A.12 m B.10 m C.4 m D.3 m
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6.【2026 南昌期中】定义：由两条与 x 轴有相同的交点，组成一个如图所示的 “笑口线”。
1 1
抛物线 1 = ( 1)2 2 与抛物线 2 = 2 + + ( > )2 2
(1) 求出点 M，N 的坐标；

(2) 求 的值。
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26.8 将一元二次方程 (不等式) 问题转化为相应的二次函数问题
知识点 1 用二次函数解一元二次方程
1.【2026 昆明期中】已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)，函数值 与自变量 的部分对应
值如表所示，则一元二次方程 2 + + = 0的根为（ ）
… 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 …
A. 1 = 2 = 3 B. 1 = 3， 2 = 1
C. 1 = 3， 2 = 2 D. 1 = 3， 2 = 3
2.【2026 徐州期中】如图，已知二次函数 = ( + 1)( 3)的图象经过点 (0,3)，则关于
的一元二次方程 2 2 = 3 + 3的根是（ ）
A. 1 = 0， 2 = 2 B. 1 = 1， 2 = 3 C. 1 = 0， 2 = 3 D. 1 = 1， 2 = 3
3【. 2025 浙江杭州期中】二次函数 1 = 2 + （ , 为实数， < 0）图象的对称轴为直线 = 2，
且图象经过点( , )。若二次函数 2 = ( 2)2 + ( 2)的图象经过点( 2, )，则关于
的方程 ( 2)2 + ( 2) = 的解是_________________________。
知识点 2 用二次函数求一元二次方程的近似解
4.【2026 武汉期中】如图，抛物线 = 2 + + 的对称轴为直线 = 1，则一元二次方程
2 + + = 0的一个解的范围是（ ）
A. 4 < < 3 B. 3 < < 2 C. 2 < < 1 D. 1 < < 0
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5.【2025 西城期中】如表是若干组二次函数 = 2 4 + 中的 与 的对应值：
… 0.7 0.8 0.9 1.0 …
… 0.30 0.05 0.18 0.39 …
则关于 的方程 2 4 + = 0 的一个近似根为（ ）
A.3.0 B.3.1 C.3.2 D.3.3
知识点 3 用二次函数解不等式
6. 已知二次函数 = 2 2 3，若 > 3，则自变量 的取值范围是（ ）
A. < 0 或 > 2 B. < 1 或 > 3 C.0 < < 2 D.1 < < 3
7.【2026 长沙质检】若二次函数 = 2 + + （ , , 为常数，且 ≠ 0）的图象如图所示，
则关于 的不等式 ( + 2)2 + ( + 2) + < 0的解集为_________________。
8.【2026 广州质检】如图为二次函数 = 2 2 + 3的图象，观察图象回答下列问题：
(1) 方程 2 2 + 3 = 0的解为 1 = _____， 2 =________；
(2) 当 > 0时， 的取值范围为_____________；
(3) 若方程 2 2 + 3 = 有实数根，则 的取值范围是_____________；
(4) 当 3 < < 3 时， 的取值范围是__________________。
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26.9 最值问题
知识点 1 高度问题
1.羽毛球在空中的运动路线可以看作一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度 （米）与水平距
2 8 10
离 （米）之间的关系式为 = 2 + +9 9 9 ，则羽毛球行进的最大高度为（ ）
A.2 米 B.2.5 米 C.2.8 米 D.3 米
2.【2026 长春期中】公园要建造一个如图（1）的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一
个柱子 ， 高度为 0.8米， 恰在水面中心，安置在柱子顶端 处的喷头（看作一点）向外
喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与 水平距离为 1米
时，达到距水面最大高度 1.44米，那么水池的半径至少为_________米，才能使喷出的水流不落
到池外（不计其他因素）。
图（1） 图（2）
知识点 2 面积问题
3【. 2025 六安期中】如图是一个长 20m、宽 16m的矩形花园，现重建花园，将它的长缩短 m、
宽增加 m，要想使重建后的花园面积最大，则 应为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.4
第 3题图 第 4题图
4.【2025 太原质检】如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 4cm， = 8cm。动点 从点 出
发，沿边 向点 以 1cm/s的速度运动（不与点 重合），同时动点 从点 出发，沿边 向点
以 2cm/s的速度运动（不与点 重合）。当四边形 的面积最小时，运动的时间为（ ）
A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s
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5【. 2025 天津期末】如图，用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m。
设矩形菜园的边 的长为 m，面积为 m2，其中 ≥ 且 ≤ 18m。有下列结论：
① 的取值范围为 5 ≤ ≤ 10；
② 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 100m2；
225
③矩形菜园 的面积的最大值为 m22 。
其中正确的结论有__________。（填序号）
6. 如图，某小区计划用 18m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚 ，为了
方便存车，在 ( > 2m)边上开了一个 2m宽的门 （门不是用铁栅栏做成的），设边
的长为 m，车棚面积为 m2。
(1) 求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2) 当 的值是多少时，车棚面积最大？最大面积是多少？
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26.10 最大利润问题
知识点 最大利润问题
1【. 2026 石家庄质检】某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶。在 “创
建文明城市” 期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶。
已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店某月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）
A.50 元 B.90 元 C.80 元 D.70 元
2. 在 1~7 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬
菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是
（ ）
A.1 月份 B.2 月份 C.5 月份 D.7 月份
3. 【2026 南宁期末】某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的
利润 1（万元）与投资量 （万元）成正比例关系，如图 (1) 所示；种植果树的利润 2（万元）
与投资量 （万元）成二次函数关系，如图 (2) 所示。若这位专业户投入种植茶树及果树资金
共 10 万元（可只投资种植一种），则他能获得的最大总利润是（ ）
A.20 万元 B.32 万元 C.48 万元 D.50 万元
图 (1) 图 (2)
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第 26 章 二次函数
4.【2026 滨州期末】便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 （元）与每件售
价 （元）之间的关系满足 = 2 2 + 80 + 758。由于某种原因，现每件售价需满足 21 ≤ ≤
25，那么此时该店一周可获最大利润是__________元。
5.【2025合肥质检】某商店购入一批进价为 10 元 / 个的纪念徽章进行销售，经市场调查发
现，销售单价不低于进价时，日销售量 （个）与销售单价 （元 / 个）之间满足如下的一次
函数关系：当销售单价为 12 元 / 个时，日销售量为 152 个；当销售单价为 16 元 / 个时，
日销售量为 136 个。若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为
(0 < < 4)元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为 1444 元，
则 的值为_________。
6.【2026南通质检】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 表
示该产品每千克生产成本 1（单位：元）与产量 （单位：kg）之间的函数关系；线段 表示
该产品每千克售价 2（单位：元）与产量 （单位：kg）之间的函数关系，已知 0 < ≤ 120，
≥ 60。
(1) 求线段 所表示的 1与 之间的函数关系式；
(2) 若 = 90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(3) 若 60 < < 70，则销售该产品获得的最大利润是__________元。
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第 26 章 二次函数
26.11 抛物线形问题
知识点 1 实际问题中的轨迹型问题
1.【2026荆州期中】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统。该系统中的喷
灌器从喷水口喷出的水柱成抛物线形。如图是喷灌器 喷水时的截面示意图，喷水口 点离地
高度为 0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 2m处达到最高点，最高点离地高度为 0.45m，
且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点 处，则喷灌器 与围墙的水平距离 为（ ）
A.4m B.4.5m C.5m D.5.5m
2.【2026 莆田期中】某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行
1 2 5
进高度 （单位：米）与水平距离 （单位：米）之间的关系式是 = 2 + +12 3 3。那么该
男生此次投掷实心球的成绩是_______米。
3.【2026沈阳期中】如图（示意图），某跳水运动员进行 10m跳台跳水训练，水面边缘点
3
的坐标为( , 10)2 。运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点
的抛物线。
5
运动员在空中最高处点 的坐标为(1, )4 。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动
21 27
员入水点的正前方有 ， 两点，且 = m， = m2 2 ，该运动员入水后运动路线对应
的抛物线的函数解析式为 = ( h)2 + ，且顶点 距水面 5m，若该运动员出水点 在 ，
之间（包括 ， 两点），则 的取值范围是_______。
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第 26 章 二次函数
知识点 2 实际问题中的拱桥形问题
4【. 2026 乌兰期中】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于 2025 年 7 月 20 日
至 31 日在赤峰市举办。在运动场入口安装了一个充气拱门，拱门呈抛物线形（如图所示）。
数学小组想了解此拱门的高度，先测量拱门底端距离 = 10m，再将两根长度为 3m的标杆 ，
垂直于地面放置且让标杆端点 ， 落在拱门上，再测量出两标杆间的距离 = 8m，则此
拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（ ）
25
A.25m B.20m C. 3 m D.5m
第 4题图 第 5题图
5.【2025 河北石家庄校级期中】某拱桥的主桥拱可近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度
约为 20 米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 =
( 10)2 + 10，则 =________，主桥拱最高点 与其在水中倒影点 ′之间的距离为_______米。
6. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 为 8m，宽 为 2m，隧道最高点
位于 的中央且距地面 6m，建立如图所示的坐标系（1 个单位长度表示 1m）。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 一辆货车高 4m，宽 2m，能否从该隧道内通过？为什么？
(3) 如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？
为什么？
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