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一题一课期末复习1--平行线的判定和性质
一．例1.
1．如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：∠3＝∠B．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平角的定义和平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠2+∠CDE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠CDE＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）∵CE∥BG，
∴∠B＝∠CEA，
∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠3，
∴∠3＝∠B．
二．基础练习
2．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义进行选择即可．
【解答】解：只有两直线相交时，才产生对顶角
∴∠1与∠2是对顶角的是C，
故选：C．
3．如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝64°，则∠1＝　32　 度．
【答案】32．
【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠1＝32°，
故答案为：32．
4．如图，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【答案】C
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可．
【解答】解；A．∠1与∠2是同旁内角，所以此选项正确，不符合题意；
B．∠1与∠6是内错角，所以此选项正确，不符合题意；
C．∠2、∠5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误，符合题意；
D．∠3与∠5是同位角，所以此选项正确，不符合题意，
故选：C．
5．如图，下列结论中正确的是（　　）
A．∠2与∠6是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠4与∠5是同位角
【答案】B
【分析】利用同位角、内错角和同旁内角的概念即可解答本题．
【解答】解：A．∠2与∠6是邻补角，故该选项不符合题意；
B．∠1与∠6是内错角，故该选项符合题意；
C．∠2与∠5不是内错角，故该选项不符合题意；
D．∠4与∠5是同旁内角，故该选项不符合题意．
故选：B．
6．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上（如图所示），则下列关于∠1与∠2的等式中一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．2∠1＝∠2
C．∠2﹣∠1＝45° D．∠2﹣∠1＝90°
【答案】D
【分析】根据两条直线平行，同旁内角互补，即可得∠1与∠2的关系．
【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴∠2＝∠3，∠1+∠4＝90°，
∵直尺的两边平行，
∴∠3+∠4＝180°，
∴∠2+90°﹣∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1＝90°．
故选：D．
7．如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【答案】（1）证明见解析过程；（2）∠B的度数为70°．
【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）∵AC∥DE，
∴∠C＝∠1，
又∵∠AFD＝∠1，
∴∠C＝∠AFD，
∴DF∥BC．
（2）∵∠1＝70°，DF∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝70°，
又∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝70°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝70°．
故∠B的度数为70°．
8．如图，下列说法正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则BC∥DE
B．若∠2＝∠4，则BC∥DE
C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE
D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定BC∥DE，
故A不符合题意；
由∠2＝∠4，不能判定BC∥DE，
故B不符合题意；
如图，
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴BC∥DE，
故C符合题意；
由∠1+∠3＝180°，不能判定BC∥DE，
故D不符合题意；
故选：C．
9．如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　35　 度．
【答案】35．
【分析】先证明AB∥CD，然后利用平行线的性质求出∠BDC＝125°，在结合垂直的定义求解即可．
【解答】解：∵∠3+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠1+∠BDC＝180°，
又∠1＝55°，
∴∠BDC＝125°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝35°，
故答案为：35．
10．如图，直线AB和CD交于点O，∠AOC＝70°．∠BOC＝2∠EOB，则∠BOE的度数为 　55°　 ．
【答案】55°．
【分析】先运用邻补角的定义求得∠BOC的度数，再利用∠BOC＝2∠EOB即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°．
∵∠BOC＝2∠EOB，
∴．
故答案为：55°．
11．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．
【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线，
∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线，
∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线．
故选：A．
12．在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可．
【解答】解：若a∥b，且a与c相交，
∴b与c相交，
故选：B．
13．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
三．提高练习
14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　）
A．60° B．120° C．130° D．80°
【答案】B
【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3＝60°，
∴∠4＝120°，
故选：B．
15．如图，将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若∠CFE＝52°，则∠FAE的度数是（　　）
A．18° B．19° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】由平角定义汽车∠AFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°，由平行线的性质推出∠BAF＝∠AFD＝38°，得到∠FAE38°＝19°．
【解答】解：∵∠CFE＝52°，
∴∠AFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°，
∵CD∥AB，
∴∠BAF＝∠AFD＝38°，
由折叠的性质得到∠BAE＝∠FAE，
∴∠FAE38°＝19°．
故选：B．
16．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
C、如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，符合题意；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意，
故选：C．
17．如图，将长方形ABCD的一角折叠，以CE（点E在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到∠CB′E，连结AB′，设∠DCB′，∠AB′E的度数分别为α，β，若AB′∥EC，则α，β之间的关系是（　　）
A．β＝2α B． C．β＝45°+α D．β＝90°﹣α
【答案】B
【分析】先由折叠性质，得∠B′CE＝∠BCE，∠B′EC＝∠BEC，再结合两直线平行，内错角相等，即可作答．
【解答】解：∵以CE（点E在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到∠CB′E，
∴∠B′CE＝∠BCE，∠B′EC＝∠BEC，
∵设∠DCB′，∠AB′E的度数分别为α，β，且四边形ABCD是长方形，
∴，
∵AB′∥EC，
∴，
故选：B．
18．如图，ABCD为一条长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE＝70°，则∠BEA′的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】如图，由折叠的性质可知∠3＝∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1＝∠4＝40°，从而可得答案．
【解答】解：如图，由折叠的性质可知∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∠CFE＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠3＝∠4＝70°，
∴∠2＝180°﹣2×70°＝40°，即∠BEA′＝40°；
故选：C．
19．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角
【答案】C
【分析】根据对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角的特征判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A不符合题意；
B．∠1与∠3是同位角，故B不符合题意；
C．∠1与∠4不是内错角，故C符合题意；
D．∠B与∠D是同旁内角，故D不符合题意；
故选：C．
20．已知直线a，b被直线c所截，则下列选项正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则a∥b B．若∠1＝∠3，则a∥b
C．若∠1＝∠4，则a∥b D．若∠1＝∠5，则a∥b
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，相等不能得到两直线平行，不符合题意；
B、∠1和∠3是内错角，内错角相等，两直线平行，正确，符合题意；
C、∠1和∠4是同旁内角，相等不能得到两直线平行，不符合题意；
D、∵∠1＝∠5，∠5＝∠4，∴∠1＝∠4，而∠1和∠4是同旁内角，相等不能得到两直线平行，不符合题意．
故选：B．
21．如图，在下列四组条件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD．不能判定AD∥BC的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理依次排除选项即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到AD∥BC，所以结论①错误，不符合题意；
当∠3＝∠4时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到AD∥BC，所以结论②错误，不符合题意；
当∠BAD+∠ABC＝180°时，则根据“同旁内角互补，两直线平行”得到AD∥BC，所以结论③错误，不符合题意；
当∠BAC＝∠ACD时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到AB∥DC，所以结论④正确，符合题意；
综上所述：不能判定AD∥BC的是④，
故选：D．
22．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠1+∠D＝90°，求证：ED∥AB．
【答案】（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
∴，，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴，
∴OC⊥OD；
（2）由（1）知，OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠DOB＝90°，
∵∠D+∠1＝90°，
∴∠D＝∠DOB，
∴ED∥AB．
【分析】（1）根据OC平分∠AOF，OD平分∠BOF可知，，据此可得出结论；
（2）由（1）知∠COD＝90°，故可得出∠1+∠DOB＝90°，再由∠D+∠1＝90°可知∠D＝∠DOB，故可得出结论．
【解答】证明：（1）∵OD平分∠BOF，OC平分∠AOF，
∴，，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴，
∴OC⊥OD；
（2）由（1）知，OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠DOB＝90°，
∵∠D+∠1＝90°，
∴∠D＝∠DOB，
∴ED∥AB．一题一课期末复习1--平行线的判定和性质
一．例1.
1．如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：∠3＝∠B．
知识点： 解题思路：
二．基础练习
2．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A．B． C． D．
3．如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝64°，则∠1＝　 　 度．
4．如图，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
5．如图，下列结论中正确的是（　　）
A．∠2与∠6是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠4与∠5是同位角
6．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上（如图所示），则下列关于∠1与∠2的等式中一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．2∠1＝∠2
C．∠2﹣∠1＝45° D．∠2﹣∠1＝90°
7．如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
8．如图，下列说法正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则BC∥DE
B．若∠2＝∠4，则BC∥DE
C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE
D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE
9．如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　 　 度．
10．如图，直线AB和CD交于点O，∠AOC＝70°．∠BOC＝2∠EOB，则∠BOE的度数为 　 　 ．
11．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
12．在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
13．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
三．提高练习
14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　）
A．60° B．120° C．130° D．80°
15．如图，将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若∠CFE＝52°，则∠FAE的度数是（　　）
A．18° B．19° C．30° D．45°
16．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
17．如图，将长方形ABCD的一角折叠，以CE（点E在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到∠CB′E，连结AB′，设∠DCB′，∠AB′E的度数分别为α，β，若AB′∥EC，则α，β之间的关系是（　　）
A．β＝2α B． C．β＝45°+α D．β＝90°﹣α
18．如图，ABCD为一条长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE＝70°，则∠BEA′的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
19．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角
20．已知直线a，b被直线c所截，则下列选项正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则a∥b B．若∠1＝∠3，则a∥b
C．若∠1＝∠4，则a∥b D．若∠1＝∠5，则a∥b
21．如图，在下列四组条件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD．不能判定AD∥BC的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
22．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠1+∠D＝90°，求证：ED∥AB．一题一课期末复习2--平移与点到直线距离
一．例题
1．如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平移的性质得出∠2的度数，据此求出∠A的度数即可．
（2）根据平移的性质得出CF＝BE，再结合BC和EC的长度即可解决问题．
【解答】解：（1）因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到，
所以∠2＝∠F＝32°．
又因为∠B＝80°，
所以∠A＝180°﹣32°﹣80°＝68°．
（2）由平移可知，
EF＝BC，
所以EF﹣EC＝BC﹣EC，
即CF＝BE．
又因为BC＝5，EC＝3，
所以BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
所以CF＝BE＝2．
2．如图，在边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'图中标出了点B的对应点B′．
（1）请补全△A'B'C'；
（2）求线段BC平移过程中扫过的面积S．
【答案】（1）见解答；
（2）20．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）求出平行四边形BCC'B'的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）在平移过程中，线段BC扫过的面积为4×5＝20．
二．基础练习（共4小题）
3．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到，
故选：A．
4．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为　560　 m2．
【答案】560．
【分析】将小路平移后绿化部分即是长（30﹣2）m，宽（22﹣2）m的长方形，根据长方形的面积求解即可．
【解答】解：∵小路的宽为2m，
∴（30﹣2）×（22﹣2）＝560（m2），
故答案为：560．
5．下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
【答案】B
【分析】根据平移的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、足球在草坪上滚动，属于旋转，故不符合题意；
B、货物在传送带上移动，属于平移，故符合题意；
C、小朋友在荡秋千，属于旋转，故不符合题意；
D、汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故不符合题意；
故选：B．
6．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，CE＝6，则BE的长是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得BE＝CF，然后列式其解即可．
【解答】解：由条件可知BE＝CF，
∴BE（BF﹣EC），
∵BF＝14，EC＝6，
∴BE（14﹣6）＝4．
故选：B．
三．提高练习（共8小题）
7．如图，将△ABC沿BC方向平移8cm得到△DEF，若BF＝7CE，则BC的长为 　6　 cm．
【答案】6
【分析】根据平移的性质得出BE＝CF＝AD，进而解答即可．
【解答】解：由平移可得，BE＝CF＝AD＝8cm，
∵BF＝BE+EF＝8+（CF﹣CE）＝8+8﹣CE＝7CE，
∴CE＝2cm，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6（cm），
故答案为：6．
8．如图，△ABC中，∠B＝90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB＝8，BE＝6，PE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．33 B．38 C．40 D．42
【答案】A
【分析】先根据平移的性质得出△ABC≌△DEF，故可得出S阴影＝S梯形ABEP，据此得出结论．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，
∴△ABC≌△DEF，
∵AB＝8，BE＝6，PE＝3，
∴S阴影＝S梯形ABEP（PE+AB） BE（3+8）×6＝33．
故选：A．
9．如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 　48　 平方米．
【答案】48．
【分析】根据平移现象，可阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，
则其面积为：12×（6﹣2）＝48（平方米）．
故答案为：48．
10．如图，把三角形ABC沿直线AB向右平移4cm，得三角形DEF（点D在边AB上）．连接CF，若四边形AEFC的周长为21cm，则两块阴影部分的周长之和为　13　 cm．
【答案】13．
【分析】先根据图形平移的性质得出△ABC≌△DEF，CF＝AD＝BE＝4cm，再由四边形AEFC的周长为21cm可得出△ABC的周长，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC沿直线AB向右平移4cm，得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，CF＝AD＝BE＝4cm，
∴AC＝DF，BC＝EF，
∵四边形AEFC的周长为21cm，
∴AC+AD+BD+BE+EF+CF＝21cm，
∴AC+AB+4+EF+4＝21cm，
∴AC+AB+BC＝13cm，
∴两块阴影部分的周长之和＝BC+DF+（CF+BD）＝BC+AC+AB＝13cm．
故答案为：13．
11．如图，将图形A平移到图形B，下列平移方法正确的是（　　）
A．将图形A先向下平移5格，再向左平移2格
B．将图形A先向下平移4格，再向左平移3格
C．将图形A先向下平移3格，再向左平移5格
D．将图形A先向下平移5格，再向左平移3格
【答案】D
【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论．
【解答】解：由图形可知，将图形A先向下平移5格，再向左平移3格即可得到图形B．
故选：D．
12．如图，在直角△ABC中，BC＝9，把△ABC沿点A到点E方向平移至△EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝3，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　2　 ．
【答案】2．
【分析】首先可知四边形面积AEMC ＝梯形面积BFGM＝15，然后根据平移的性质得到BM＝6，进而根据梯形面积求解即可．
【解答】解：由平移性质可知四边形面积AEMC ＝梯形面积BFGM＝15，
∵BC＝GF＝9，CM＝3，
∴BM＝9﹣3＝6，
∴，解得：BF＝2，
故答案为：2．
13．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移，得到△DEF．若△ABC的周长是19，四边形ABFD的周长是24，则平移的距离是 　2.5　 ．
【答案】2.5．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝AD+AB+BC+CF+AC即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为12的△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△DEF，
∴AD＝CF，BF＝BC+CF，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝19，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝AD+AB+BC+CF+AC＝2AD+19＝24，
∴AD＝2.5．
∴平移的距离为2.5．
故答案为：2.5
14．如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小帆船，若小帆船先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）．
（1）请在网格中补全平移后的船帆；
（2）m+n＝　6　 ．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）根据平移性质，图形平移时，对应点的平移方向和距离相同，所以找到原船帆顶点，按照“先向右平移m个单位，再向上平移n个单位”的规则确定对应点，再连接对应点即可．
（2）通过观察原船身与平移后船身的对应点，确定平移的水平距离m（向右平移的单位数）和垂直距离n（向上平移的单位数），然后计算m+n的值．
【解答】解：（1）依据题意可得，这些顶点向右平移4个单位、再向上平移2个单位，补全平移后的船帆如下，
（2）原顶点到平移后顶点，水平方向向右移动的格数就是m，经观察m＝4；垂直方向向上移动的格数就是n，经观察n＝2．
∵m＝4，n＝2，
∴m+n＝4+2＝6．
故答案为：6．
四．培优（共3小题）
15．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　15　 °，∠β＝　150　 °．
（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；
（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．
【答案】（1）15，150；
（2）135°；
（3）t的值为2或6或8．
【分析】（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠DEA＝α+∠BAC，可得结论；
（2）如图2中，同法可证∠EHB＝∠PEH+∠MBH．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论；
（3）分五种情形：如图3﹣1，当BC∥DE时．如图3﹣2，当BC∥EF时．如图3﹣3，当BC∥DF时．如图3﹣4，当AB∥DF时．如图3﹣5中，当AB∥DE时，分别求出∠MBA的度数，
【解答】解：（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，
∵PQ∥MN，PQ∥EJ，
∴EJ∥MN，
∴∠α＝∠DEJ，∠JEA＝∠BAC＝45°，
∴∠DEF＝α+∠BAC，
∵∠DEF＝60°，
∴α＝60°﹣45°＝15°，
∵∠DFE＝30°，
∴β＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：15，150；
（2）如图2中，同法可证∠EHB＝∠PEH+∠MBH．
∵PQ∥MN，
∴∠QEA＝∠BAC＝45°，
∴∠AEP＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CBA＝45°，
∴∠CBM＝180°﹣45°＝135°，
∵HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM，
∴∠PEH∠PEA＝67.5°，∠MBH∠CBM＝67.5°，
∴∠EHB＝∠PEH+∠MBH＝135°；
（3）如图3﹣1，当BC∥DE时，
此时∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°，
∴t＝2；
如图3﹣2，当BC∥EF时，
此时∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
∴t＝6；
如图3﹣3，当BC∥DF时，
此时，AC∥DE，∠CAN＝∠DEG＝15°，
∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°．
∴t＝8．
满足条件的t的值为2或6或8．
16．如图，直线MN∥PQ，直线l与MN，PQ分别交于点G，H，∠GHP＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板ABC按如图1放置，使点B，C在直线l上，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，直线AB与直线MN交于点D．
（1）如图1，∠MDB＝ 　90°﹣α　 ．（用含α的式子表示）；
（2）直线AC分别与直线MN，PQ交于点F，E．
①如图2，作∠CFN的平分线FK交直线PQ于点K，若恰有FK∥GH，求a的度数；
②从图1的位置开始，将三角板ABC沿直线l平移，直接写出∠GDB与∠AEH的数量关系：　∠BDG+∠AEH＝150°或∠AEH﹣∠BDG＝30°　 ．
【答案】（1）90°﹣α；
（2）①α＝60°；
②∠BDG+∠AEH＝150°或∠AEH﹣∠BDG＝30°．
【分析】（1）过点B作BL∥PQ，即可得到BL∥PQ∥MN，进而得到∠HBL＝∠BHP＝α，∠ABL＝∠GDB，燃弧根据角的和差解答即可；
（2）①过点A作AJ∥MN，可以得到AJ∥MN∥PQ，进而得到∠GDB＝∠JAD＝90°α，∠JAF+∠AFG＝180°，然后解答即可；
②分为点E在H的左侧和点E在H的右侧两种情况，过点A作A∥MN，即可得到A∥MN∥PQ，然后根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）过点B作BL∥PQ，
∵MN∥PQ，
∴BL∥PQ∥MN，
∴∠HBL＝∠BHP＝α，∠ABL＝∠GDB，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠MDB＝∠ABL＝∠ABC﹣∠HBL＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α；
（2）①过点A作A∥MN，
∵MN∥PQ，
∴AJⅡMN∥PQ，若∠GDB＝∠JAD＝90°﹣α．
∠JAF+∠AFG＝180°，
∴∠JAF＝∠JAB+∠BAC＝90°﹣α+30°＝120°﹣α．
∴∠NFE＝∠AFD＝180°﹣∠JAB＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α，
又∵FK平分∠NFE，
∴∠NFK∠NFE＝30°α．
∵FK∥GH，
∴∠NGH＝∠NFK，即α＝30°，
解得α＝60°；
②当点E在H的左侧时，如图，过点A作AJ∥MN，则AJⅡMN∥PQ，
∴∠JAD＝∠BDG，∠JAF＝∠AEH，
∴∠AEH﹣∠BDG＝∠JAF﹣∠JAD＝∠DAE＝30°；
当点E在点H的右侧时，如图，过点A作AⅡMN，则AⅡMN∥PQ，
∴∠JAD＝∠BDG，∠JAF+∠AEH＝180°，
∴∠JAF＝∠JAD+∠BAC＝30°+∠JAD＝30°+∠BDG，
∴30°+∠BDG+∠AEH＝180°，即∠BDG+∠AEH＝150°，
故答案为：∠BDG+∠AEH＝150°或∠AEH﹣∠BDG＝30°．
17．已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M，N，∠AMN＝120°，ME平分∠BMN交CD于点E．将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线PQ与射线ME交于点K，连接NK．（1）当点K在线段ME上时．
①请在图1中补全图形，求∠PKE的值；
②已知NK⊥ME，求证：NK平分∠MND．
（2）在线段MN平移的过程中，当∠EKN＝2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为　130°或70°　 ．
【答案】（1）①∠PKE的值为30°；
②证明：∵AB∥CD，
∴∠MND+∠AMN＝180°，
∴∠MND＝180°﹣120°＝60°，
∵NK⊥ME，
∴∠MKN＝90°，
在△MNK中，∠EMN＝30°，
∴∠MNK＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MNK＝∠MND，
∴NK平分∠MND；
（2）130°或70°．
【分析】（1）先求∠BMN＝60°，ME平分得∠BME＝30°；由PQ∥MN，AB∥CD，得∠PKE＝∠BME＝30°；②先证∠MNE＝∠BME＝30°，得∠MND＝120°；由NK⊥ME，证∠KNM＝60°，得∠KND＝60°，故NK平分∠MND；（2）根据点K在射线ME上的不同位置（在线段ME上或延长线上）进行分类讨论．
【解答】解：（1）①如图，补全图形，
∵AB∥CD，∠AMN＝120°，
∴∠BMN＝180°﹣120°＝60°，
∵ME平分∠BMN，
∴∠EMN∠BMN＝30°，
∵线段PQ是由线段MN平移得到的，
∴PQ∥MN，
∴∠PKE＝30°，
答：∠PKE的值为30°；
②证明：∵AB∥CD，
∴∠MND+∠AMN＝180°，
∴∠MND＝180°﹣120°＝60°，
∵NK⊥ME，
∴∠MKN＝90°，
在△MNK中，∠EMN＝30°，
∴∠MNK＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MNK＝∠MND，
∴NK平分∠MND；
（2）由（1）知∠MEN＝30°，
分两种情况讨论：当点K在线段ME上时：
在△ENK中，∠KEN＝30°，
设∠ENK＝x，则∠EKN＝2x，
∴30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，
∴∠EKN＝100°，
∵PQ∥MN，
∴∠PKE＝∠EMN＝30°，
∴∠PKN＝∠PKE+∠EKN＝30°+100°＝130°，
当点K在线段ME的延长线上时：
∵∠MEN＝30°，
∴∠KEN＝∠MEN＝30°（对顶角相等），
设∠ENK＝x，则∠EKN＝2x，
∴30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，
∴∠EKN＝100°，
∵PQ∥MN，
∴∠PKE＝∠EMN＝30°，
∴∠PKN＝∠EKN﹣∠PKE＝100°﹣30°＝70°，
答：∠PKN的度数为130°或70°．
故答案为：130°或70°．
五．例题（共1小题）
18．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，线段PN最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
六．练习（共6小题）
19．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
20．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】利用垂线段最短求解即可．
【解答】解：测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短．
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
21．如图，A，D，C三点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l于点C，若MA＝6，MD＝3，MC＝2，则点M到直线l的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案．
【解答】解：∵MC＝2，MC⊥l，
∴若MA＝6，MB＝3，MC＝2，则点M到直线l的距离是2，
故选：A．
22．在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN，
选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意．
故选：A．
23．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　）
A．AB B．BD C．BC D．AD
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离的定义分析．
【解答】解：∵DB⊥AC，
∴线段BD的长能表示点B到AC的距离．
故选：B．
24．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是 　垂线段最短　 ．
【答案】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．一题一课期末复习2--平移与点到直线距离
一．例题
1．如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
2．如图，在边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'图中标出了点B的对应点B′．
（1）请补全△A'B'C'；
（2）求线段BC平移过程中扫过的面积S．
知识点： 解题思路：
二．基础练习
3．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为　 　 m2．
5．下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
6．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，CE＝6，则BE的长是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．3
三．提高练习
7．如图，将△ABC沿BC方向平移8cm得到△DEF，若BF＝7CE，则BC的长为 　 　 cm．
8．如图，△ABC中，∠B＝90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB＝8，BE＝6，PE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．33 B．38 C．40 D．42
9．如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 　 　 平方米．
10．如图，把三角形ABC沿直线AB向右平移4cm，得三角形DEF（点D在边AB上）．连接CF，若四边形AEFC的周长为21cm，则两块阴影部分的周长之和为　 　 cm．
11．如图，将图形A平移到图形B，下列平移方法正确的是（　　）
A．将图形A先向下平移5格，再向左平移2格
B．将图形A先向下平移4格，再向左平移3格
C．将图形A先向下平移3格，再向左平移5格
D．将图形A先向下平移5格，再向左平移3格
12．如图，在直角△ABC中，BC＝9，把△ABC沿点A到点E方向平移至△EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝3，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　 　 ．
13．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移，得到△DEF．若△ABC的周长是19，四边形ABFD的周长是24，则平移的距离是 　 　 ．
14．如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小帆船，若小帆船先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）．
（1）请在网格中补全平移后的船帆；
（2）m+n＝　 　 ．
四．培优练习
15．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　 °，∠β＝　 　 °．
（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；
（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．
16．如图，直线MN∥PQ，直线l与MN，PQ分别交于点G，H，∠GHP＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板ABC按如图1放置，使点B，C在直线l上，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，直线AB与直线MN交于点D．
（1）如图1，∠MDB＝ 　 　 ．（用含α的式子表示）；
（2）直线AC分别与直线MN，PQ交于点F，E．
①如图2，作∠CFN的平分线FK交直线PQ于点K，若恰有FK∥GH，求a的度数；
②从图1的位置开始，将三角板ABC沿直线l平移，直接写出∠GDB与∠AEH的数量关系：　 　 ．
17．已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M，N，∠AMN＝120°，ME平分∠BMN交CD于点E．将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线PQ与射线ME交于点K，连接NK．（1）当点K在线段ME上时．
①请在图1中补全图形，求∠PKE的值；
②已知NK⊥ME，求证：NK平分∠MND．
（2）在线段MN平移的过程中，当∠EKN＝2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为　 　 ．
五．例题
18．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点： 解题思路：
六．基础练习
19．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
20．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
21．如图，A，D，C三点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l于点C，若MA＝6，MD＝3，MC＝2，则点M到直线l的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
22．在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
23．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　）
A．AB B．BD C．BC D．AD
24．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是 　 　 ．

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