资源简介

6.4 实践与探索 教学设计
一、教学目标
掌握构建二元一次方程组解决实际问题的基本步骤.
能运用二元一次方程组解决配套问题和几何图形问题，发展模型观念.
二、教学重点及难点
重点：运用二元一次方程组解决配套问题和几何图形中的数量关系问题.
难点：准确分析实际问题中的等量关系，灵活选择直接设元与间接设元的方法.
三、教学过程
【复习引入】
知识回顾
提问：列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？（审、设、列、解、验、答）
追问：解决这类问题的核心关键是什么？（找到题目中的等量关系）
导入新课
二元一次方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，本节课我们将通过两个实际问题，进一步探索如何用方程组解决生活中的配套问题和几何图形问题.
设计意图：通过复习旧知，唤醒学生已有的知识经验，为新知识的学习做好铺垫，同时明确本节课的学习主题和任务.
【探究新知】
探究 1：配套问题 —— 白卡纸做包装盒
出示问题：要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张白卡纸可以做 2 个侧面，或者做 3 个底面.如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？
分析等量关系：
做侧面的白卡纸数量 + 做底面的白卡纸数量 = 20 张
底面的总数量 = 2 × 侧面的总数量（配套比例：1 个侧面配 2 个底面）
列方程组求解：
设用张白卡纸做侧面，张白卡纸做底面，根据题意得：
讨论解的合理性：
因为、表示白卡纸的张数，必须是正整数，所以该结果不符合实际意义，说明不能将白卡纸完整分开使侧面和底面正好配套.
延伸探究：
提问：如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，该如何分才能既配套又充分利用材料？
引导学生得出方案：用 8 张做侧面，11 张做底面，另一张套裁出 1 个侧面和 1 个底面.此时共做侧面个，底面个，正好配成 17 个包装盒，材料得到充分利用.
师生活动：学生先独立思考，尝试找出等量关系并列方程组；再小组讨论解的合理性，共同探究套裁方案；最后教师总结配套问题的解题核心 —— 根据配套比例建立等量关系.
设计意图：让学生经历 “建模 — 求解 — 检验 — 优化” 的完整过程，体会数学与实际生活的联系，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.
探究 2：几何图形问题 —— 拼图中的数学
出示问题：8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成一个大长方形（左图）；若拼成右图的正方形，中间会留下一个边长为 2mm 的小正方形.求这些长方形的长和宽.
分析图形中的等量关系：
从左图看：3 个长方形的长 = 5 个长方形的宽
从右图看：2 个长方形的宽 - 1 个长方形的长 = 2mm
列方程组求解：
设长方形的长为 mm，宽为 mm，根据题意得：
师生活动：学生分组观察图形，讨论并找出边长之间的等量关系；独立列方程组求解后，小组内交流答案；教师巡视指导，重点引导学生从图形的边长关系入手分析问题.
设计意图：通过拼图问题，培养学生的观察能力和数形结合思想，让学生学会从几何图形中提取数量关系，建立方程组模型.
【做一做：解法对比】
出示问题：某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天，现由徒弟先做 1 天，再两人合作，完成后共得到报酬 900 元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
要求学生分别用一元一次方程和二元一次方程组两种方法解答.
对比总结：
直接设元（设两人合作的天数为天）：列方程组容易，但解方程相对复杂.
间接设元（设总工作量为 1）：列一元一次方程偏难，但解方程较简单.
引导学生明确：解决实际问题时，要根据题目特点灵活选择设元方法.
师生活动：学生独立完成两种解法，小组内交流讨论两种方法的优劣；教师引导学生总结设元的技巧和适用场景.
设计意图：通过对比两种解法，让学生体会不同设元方法的特点，提高学生灵活运用方程（组）解决实际问题的能力.
【典型例题】
教师用课件展示教材配套例题，学生独立完成后小组讨论，最终教师展示规范的解题过程，强调解题步骤的完整性和等量关系的分析方法.
设计意图：通过典型例题的练习，巩固本节课所学知识，规范学生的解题格式.
四、当堂检测
通过课件展示配套问题和几何图形问题的基础练习题，学生独立完成，教师巡视批改，针对学生出现的共性问题进行集中讲解.
五、课堂小结
本节课我们学习了用二元一次方程组解决配套问题和几何图形问题.
设未知数的方法有直接设元和间接设元，需根据问题特点灵活选择.
用方程组解决实际问题的核心是准确找出等量关系，建立数学模型.

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