资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
温州市初中数学课时教学教案(2026年版)
课题：1.4 二次函数的应用（第一课时）面积最值问题
课型：新授
设计时间：2026 年 6 月 3 日
学习目标及评价：
学习核心内容 学习目标 评价设计(指向学习目标)
掌握利用二次函数解决实际几何面积最值问题的基本步骤；学会从实际情境中提取变量关系、建立二次函数模型、确定自变量实际取值范围、求解并解释最值；掌握“设—表—列—定—求”解题流程，深化数学建模与数形结合思想，落实实际问题的数学化转化能力。 1. 回顾二次函数最值性质，理解实际最值与纯函数最值的区别，明确自变量取值范围对实际最值的约束作用。 1. 通过课堂提问、辨析判断，检测学生是否掌握开口方向、顶点最值与实际取值范围的关联，区分数学最值与实际最值。
2. 掌握几何面积类问题的建模方法，能准确设元、表示相关线段、列出二次函数解析式并规范确定自变量取值范围。 2. 通过例题拆解、课堂板演，评价学生建模能力，检查学生列式规范性、自变量范围书写完整性。
3. 熟练运用配方法或公式法求解二次函数面积最值，能对结果进行实际意义解释。 3. 通过随堂练习、变式训练，评价学生最值求解的准确性与答题规范性，能完整作答实际应用题。
4. 经历实际问题数学建模的完整过程，提升问题分析、转化归纳能力，体会二次函数的应用价值。 4. 通过小组探究、课堂小结、作业反馈，评价学生知识迁移与应用能力，落实数学核心素养。
学习过程设计：
一、复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 知识回顾：回顾二次函数最值性质，当开口向上有最小值，当开口向下有最大值，最值在顶点处取得。强调：全体实数范围内顶点最值有效，实际问题需结合自变量取值范围判断。
2. 情境设问：生活中经常遇到围栏围矩形、边框设计等问题，如何设计图形尺寸，使得围成的面积最大？这类最值优化问题，可以利用二次函数完美解决。
3. 揭示课题：本节课学习二次函数的应用（第一课时）——几何面积最值问题，掌握实际最值问题的建模与求解方法。
二、探究新知，归纳步骤（22分钟）
探究一：经典围栏面积最值模型
出示问题：用总长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，矩形的一边长为 m，围成的矩形面积为 m ，如何设计边长，使菜园面积最大？
师生分步探究，规范建模五步法：
1. 设：设矩形一边长为 m；
2. 表：由周长为40m，得另一边长为 m；
3. 列：根据面积公式列解析式 ；
4. 定：根据实际意义确定自变量范围：边长大于0，即；
5. 求：求解最值，，开口向下，顶点处取最大值，对称轴，在取值范围内，当时，。
结论：当矩形为正方形，边长为10m时，菜园面积最大，最大面积为100m 。
探究二：归纳通用解题流程
师生共同总结二次函数解决实际面积最值问题五步法：
① 设变量：合理设出自变量；② 表线段：用含自变量的代数式表示相关边长；③ 列函数：根据面积公式列出二次函数解析式；④ 定范围：结合实际意义确定自变量取值范围；⑤ 求最值：判断顶点是否在区间内，结合增减性求解最值并作答。
易错重点强调：顶点横坐标必须在自变量取值范围内，最值才在顶点取得；若顶点不在区间内，需根据端点取值判断最值。
三、例题精讲，巩固提升（10分钟）
课本变式例题：某窗户边框为矩形结构，边框总长为12m，设矩形水平边长为m，矩形透光面积为m ，求当边长为多少时，透光面积最大，最大面积是多少？
规范解答：
1. 设水平边长为m，则竖直边长为 m；
2. 列解析式：；
3. 自变量范围：；
4. 求最值：，对称轴，在取值范围内；
5. 当时，。
答：当水平边长为3m时，透光面积最大，最大面积为9m 。
方法小结：所有周长固定的矩形面积最值问题，均为正方形时面积最大，可作为快速解题结论。
四、课堂小结（2分钟）
1. 核心模型：二次函数求解几何面积最值问题；
2. 解题口诀：设—表—列—定—求；
3. 关键要点：自变量实际取值范围优先判断，顶点在区间内取顶点最值；
4. 数学思想：建模思想、数形结合、转化思想。
五、课堂检测（1分钟）
1. 周长为28cm的矩形，最大面积为______cm ；
2. 二次函数（）的最大值为______。
作业设计：
用时：20 分钟
作业类别1. □选用 改编 □自编
2. 书面练习类 □口头训练类 □活动实践类
一、基础必做题
1. 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，设一边长为m，面积为m 。（1）求关于的函数解析式及自变量取值范围；（2）求矩形的最大面积。
2. 已知矩形周长为36cm，求矩形面积的最大值。
二、提升选做题
1. 用长为40m的篱笆靠墙围成一个矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的边长为m，求花圃的最大面积。
2. 二次函数，其中自变量取值范围为，求函数的最大值和最小值。
板书设计：
1.4 二次函数的应用（第一课时）面积最值问题
一、解题五步法：设→表→列→定→求
1. 设：设自变量
2. 表：代数式表示相关量
3. 列：列二次函数解析式
4. 定：确定自变量实际取值范围
5. 求：结合范围求最值、作答
二、核心结论
周长固定矩形，正方形时面积最大
三、易错点：实际取值范围优先判断
四、思想方法：数学建模、数形结合
教学反思：
1. 成功之处
本节课贴合2025版温州初中教学常规，从生活实际最值问题切入，自然引出二次函数应用模型，有效激发学生学习兴趣。课堂归纳标准化“五步法”解题流程，让应用题解题有章可循，有效规范学生答题格式。通过由浅入深的例题与变式训练，层层突破建模难点，落实数形结合与数学建模核心素养。分层作业设计兼顾学情差异，有效夯实学生面积最值问题的解题能力。
2. 存在不足
部分学生建模意识薄弱，不会用含未知数的代数式表示线段长度；学生普遍存在忽略自变量取值范围的问题，习惯性直接套用顶点最值，解题不严谨；靠墙类特殊矩形题型，学生对周长线段分析容易出错，变式迁移能力不足。
3. 改进措施
后续教学强化线段表示专项训练，夯实建模基础；强制规范“先定范围、再求最值”的解题步骤，纠正学生解题陋习；增加靠墙、受限边长等变式题型训练，提升学生灵活解题能力；针对学困生梳理标准化答题模板，强化步骤书写训练，全面提升学生二次函数实际应用与规范答题能力。

展开更多......

收起↑