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温州市初中数学课时教学教案(2026年版)
课题：1.4 二次函数的应用（第二课时）销售利润最值问题
课型：新授课
设计时间：2026 年 6 月 3 日
学习目标及评价：
学习核心内容 学习目标 评价设计(指向学习目标)
结合销售问题情境，掌握利用二次函数解决销售利润最值问题的方法；理解单件利润、销售量、总利润三者之间的数量关系，能建立二次函数利润模型，精准确定自变量取值范围，求解实际最大利润；进一步完善二次函数实际应用建模流程，强化数学建模与数据分析核心素养。 1. 掌握销售问题核心数量关系：，理清涨价、降价对销量、利润的影响规律。 1. 通过课堂提问、关系式填空辨析，检测学生对销售核心公式的掌握程度，能准确拆解利润、销量、单价的关联关系。
2. 能根据销售增减价实际情境，自主设元、列写二次函数利润解析式，结合实际约束条件确定自变量取值范围。 2. 通过例题拆解、课堂板演，评价学生数学建模能力，核查解析式列式准确性、自变量取值范围书写规范性。
3. 能利用配方法或公式法求解二次函数最大利润，结合自变量取值范围判断实际最值，规范作答并解释实际意义。 3. 通过随堂变式训练、课堂小测，评价学生最值求解的准确率与答题完整性，突破“顶点不在取值区间”的易错难点。
4. 经历销售问题建模、求解、验证的完整过程，提升分析实际问题、转化数学问题的能力，体会二次函数的实用价值。 4. 通过小组合作探究、课堂小结、作业反馈，评价学生知识迁移与归纳应用能力，落实数形结合、建模转化数学思想。
学习过程设计：
一、复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 旧知回顾：回顾上节课二次函数解决几何面积最值的“设—表—列—定—求”五步法，强调实际问题中自变量取值范围对最值的约束作用，区分纯函数最值与实际最值的差异。
2. 情境设问：生活中商品销售涨价会提升单件利润，但会降低销量；降价会提高销量，但会压缩单件利润。如何调整商品售价，才能获得最大销售利润？这类经济最值问题，可通过二次函数精准求解。
3. 揭示课题：本节课学习二次函数的应用（第二课时）——销售利润最值问题，掌握经济类实际最值问题的建模与求解方法。
二、合作探究，建构新知（22分钟）
探究一：梳理销售核心数量关系
师生共同梳理销售问题必备公式，夯实建模基础：
1. 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本）
2. 总利润 = 单件利润 × 销售数量
3. 涨价/降价销量变化：基础销量 ± 价格变动对应的增减销量
教师点拨：价格与销量呈反向变化，总利润随价格变化呈现先增后减的二次函数变化规律，存在唯一最大值。
探究二：经典涨价利润模型建模
出示问题：某商品进价为40元/件，原售价60元/件，每天可售出200件。市场调查发现，每件商品每涨价1元，日销售量减少5件。设每件涨价元，日销售总利润为元，求最大日销售利润。
师生分步拆解，沿用标准化五步法建模：
1. 设：设每件商品涨价元；
2. 表：单件利润为元，日销售量为件；
3. 列：总利润解析式；
4. 定：结合实际意义定范围：涨价金额，销量大于0，即，得；
5. 求：，开口向下，函数有最大值；对称轴，在取值范围内。当时，。
结论：每件商品涨价10元，即售价定为70元时，日销售利润最大，最大利润为4500元。
探究三：归纳利润问题通用解题步骤
1. 设价格变动量（涨价/降价金额）为自变量；
2. 用含自变量的代数式表示单件利润、销售数量；
3. 根据总利润公式列二次函数解析式；
4. 根据销量、价格非负等实际条件，确定自变量整数或实数取值范围；
5. 结合对称轴与取值范围，求最大利润并作答。
易错重点强调：若对称轴不在自变量取值范围内，最值在区间端点处取得；实际销售问题中部分自变量需取整数，需就近取值验证最值。
三、例题精讲，巩固提升（10分钟）
典型例题：某文具店购进一批笔记本，进价20元/本，原售价30元/本，日均销量100本。经调查，每降价1元，日均销量增加20本。设每本降价元，日均利润为元，求最大日均利润。
规范解答：
1. 设：每本笔记本降价元；
2. 表：单件利润元，日均销量本；
3. 列：；
4. 定：，单件利润，得；
5. 求：，对称轴，在取值范围内，当时，。
答：每本笔记本降价2.5元，售价定为27.5元时，日均利润最大，最大利润为1125元。
方法小结：涨价问题销量递减，降价问题销量递增，核心始终依托总利润公式建模，优先判定自变量取值范围。
四、课堂小结（2分钟）
1. 核心公式：总利润=单件利润×销售量；
2. 解题流程：沿用五步法，重点突破利润、销量的代数式表示；
3. 关键要点：价格与销量反向变化，优先判断自变量范围，结合对称轴求实际最值；
4. 数学思想：数学建模、数形结合、转化思想。
五、课堂检测（1分钟）
1. 商品涨价销售中，总利润二次函数，开口向____，当____时，利润最大。
2. 进价30元的商品，售价元，销量件，总利润解析式为________。
作业设计：
用时：20 分钟
作业类别1. □选用 改编 □自编
2. 书面练习类 □口头训练类 □活动实践类
一、基础必做题
1. 某商品进价50元，售价80元，每天可卖150件，每涨价1元销量减少3件。设涨价元，（1）求总利润关于的函数解析式及自变量取值范围；（2）求最大日利润。
2. 化简销售利润解析式，并求出函数的最大值。
二、提升选做题
1. 某店铺销售纪念品，进价25元，原售价40元，月销量80件。每降价2元，月销量增加30件，求最大月销售利润。
2. 已知利润函数，自变量取值范围，求该函数的最大利润。
板书设计：
1.4 二次函数的应用（第二课时）利润最值问题
一、核心公式
总利润 = 单件利润 × 销售量
单件利润 = 售价 - 进价
二、解题五步法
设（价格变动）→表（利润、销量）→列（解析式）→定（取值范围）→求（最值作答）
三、规律总结
涨价→销量减少；降价→销量增加
四、易错点
1. 必须限定自变量实际取值范围
2. 对称轴超出区间时，取端点最值
教学反思：
1. 成功之处
本节课承接上节课面积最值的建模方法，知识衔接连贯，学生上手难度低，贴合2025版温州初中教学常规要求。课堂聚焦销售利润核心公式，拆解涨价、降价两类经典题型，步骤清晰、重难点突出。通过标准化建模流程教学，规范学生应用题答题格式，有效解决学生不会列式、步骤混乱的问题。分层作业兼顾基础巩固与能力提升，贴合不同层次学情，有效落实数学建模核心素养。
2. 存在不足
部分学生对“价格变动对应销量变化”的数量关系分析不清晰，代数式书写容易出错；多数学生解题时习惯性忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值，解题严谨性不足；对于非整数取值、对称轴超出区间的变式题型，学生应变能力较弱，容易失分。
3. 改进措施
后续教学强化利润、销量数量关系的专项拆解训练，固定列式思路；持续强化“先定范围、再求最值”的解题规范，纠正解题陋习；增加区间最值、整数取值等变式题型训练，提升学生灵活解题能力；针对学困生整理标准化答题模板，分步指导建模过程，夯实学生二次函数实际应用能力，提升答题准确率与规范性。

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