资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
温州市初中数学课时教学教案(2026年版)
课题：1.4 二次函数的应用（第三课时）二次函数与一元二次方程
课型：新授课
设计时间：2026 年 6 月 3 日
学习目标及评价：
学习核心内容 学习目标 评价设计(指向学习目标)
理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系；掌握判别式判定抛物线与x轴交点个数的方法；学会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解，能结合函数图像解决简单综合问题，完善二次函数知识体系，提升数形结合解题能力。 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为对应方程的根。 1. 通过课堂提问、概念辨析题，检测学生对函数与方程对应关系的理解，能准确区分交点个数与方程根的关系。
2. 掌握利用判别式判断抛物线与x轴交点个数的三种情况，能熟练规范判断。 2. 通过随堂填空、快速判断题型，评价学生判别式的运用熟练度，精准匹配三种图像特征。
3. 掌握利用二次函数图像估求一元二次方程近似解的方法，能根据函数值正负锁定方程根的取值区间。 3. 通过例题实操、课堂板演，评价学生图像估解方程的步骤规范性与区间判断准确性。
4. 经历观察图像、类比归纳、数形转化的过程，深化数形结合思想，提升几何直观与数学推理能力。 4. 通过小组探究、课堂小结、课后作业反馈，评价学生知识归纳与迁移应用能力，落实初中数学核心素养。
学习过程设计：
一、复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 旧知回顾：回顾二次函数图像性质、一元二次方程解法及根的判别式，明确决定一元二次方程根的个数。
2. 设问激趣：二次函数的图像与x轴有几个交点？交点横坐标和方程的根有什么关联？
3. 揭示课题：本节课探究二次函数与一元二次方程的关系，利用函数图像解决方程求解问题，实现函数与方程的数形转化。
二、合作探究，建构新知（22分钟）
探究一：二次函数与一元二次方程的对应关系
师生共同探究归纳核心关系：
1. 当二次函数的函数值时，解析式转化为一元二次方程；
2. 抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根；
3. 抛物线与x轴的交点个数，等于对应一元二次方程的实数根的个数。
探究二：判别式判定交点个数（核心重难点）
结合判别式与图像特征，归纳三类对应关系：
1. ：一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同交点；
2. ：一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；
3. ：一元二次方程无实数根，抛物线与x轴无交点。
教师点拨：的符号决定开口方向，决定与x轴交点个数，二者结合可完整判断函数图像特征。
探究三：利用函数图像求方程近似解
教材标准方法归纳：
1. 画出二次函数的图像；
2. 观察图像与x轴交点的横坐标范围，锁定根所在的区间；
3. 通过区间细化、取值验证，估算方程的近似实数根。
核心原理：函数图像穿过x轴的区间内，必有一个方程的实数根。
三、例题精讲，巩固提升（10分钟）
例题1：判断二次函数的图像与x轴的交点个数，并求出交点坐标。
解答：
1. 计算判别式：，图像与x轴有两个交点；
2. 令，解方程，得；
3. 交点坐标为。
例题2（教材变式）：利用二次函数图像求方程的近似解。
解答思路：
1. 画出的图像，观察图像与x轴交点分布；
2. 锁定根的区间：一个根在之间，一个根在之间；
3. 细化取值估算，得到方程近似解：。
易错强调：近似解需保留合适精度，必须写清取值区间，不可直接写近似值；区分“交点个数”与“根的个数”的对应关系。
四、课堂小结（2分钟）
1. 核心关系：函数零点=方程实数根=图像与x轴交点横坐标；
2. 三类判定：两个交点、一个交点、无交点；
3. 核心方法：数形结合，利用函数图像估求方程近似解；
4. 数学思想：数形结合、转化与归纳思想。
五、课堂检测（1分钟）
1. 二次函数的____，图像与x轴有____个交点。
2. 抛物线与x轴有____个交点，对应方程根为______。
作业设计：
用时：20 分钟
作业类别1. □选用 改编 □自编
2. 书面练习类 □口头训练类 □活动实践类
一、基础必做题
1. 利用判别式判断下列二次函数图像与x轴的交点个数：
（1） （2）
2. 已知二次函数，求其图像与x轴的交点坐标及对应方程的根。
二、提升选做题
1. 利用二次函数图像求方程的近似解（精确到0.1）。
2. 已知抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围。
板书设计：
1.4 二次函数的应用（第三课时）二次函数与一元二次方程
一、核心对应关系
y=0
图像与x轴交点横坐标 = 方程实数根
二、判别式三类结论
：2个交点，2个不等实根
：1个交点，2个相等实根
：无交点，无实数根
三、解题方法
画图→锁定区间→估算近似解
四、思想：数形结合、转化思想
教学反思：
1. 成功之处
本节课严格贴合2025浙教版最新教材内容，聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，贴合温州市2025版教学常规。知识衔接自然，从旧知判别式、函数图像切入，降低学生学习难度。通过分类归纳、例题精讲，清晰突破本节课重难点，让学生掌握数形转化的核心方法。课堂讲练结合、分层作业设计，兼顾基础夯实与能力提升，有效培养学生数形结合的数学核心素养，课堂逻辑清晰、重难点突出。
2. 存在不足
部分学生对函数与方程的转化关系理解浅层，只会机械套用判别式，不会灵活运用图像判断根的情况；在求方程近似解时，学生区间锁定不精准，估算精度把控不足；少数学生忽略二次项系数不为0的隐含条件，在含参数题型中容易解题失误；知识迁移能力较弱，无法灵活解决综合题型。
3. 改进措施
后续教学强化函数与方程转化原理的讲解，通过多组对比题型深化数形结合认知；专项训练方程近似解的区间锁定与估算方法，规范解题步骤；针对含参数题型，强调二次函数隐含条件，梳理解题易错点；增加综合变式训练，提升学生知识迁移与综合解题能力，同时加强学困生针对性辅导，夯实基础、规范答题，全面提升课堂教学效果。

展开更多......

收起↑