资源简介

8.3.2 用多种正多边形
一、教学目标
理解用多种正多边形铺设地面的情形和条件.
能进行简单的用正多边形铺设地面的设计.
二、教学重点及难点
重点：掌握用多种正多边形铺满地面的条件.
难点：判断哪些正多边形组合能够铺满地面，并进行简单的设计.
三、教学过程
【复习引入】
提出问题，引导学生回顾上节课所学内容：
问题 1：在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中取一种，可以铺满地板的有哪些？
问题 2：用同种正多边形瓷砖能不留空隙、不重叠地铺满地板的关键是什么？
学生思考后回答，教师总结：
可以单独铺满地板的正多边形有：正三角形、正方形、正六边形.
关键条件：围绕一点拼在一起的正多边形的内角之和为 360°.
设计意图：通过复习单一正多边形铺满地面的知识，为学习多种正多边形组合铺设地面做好铺垫，帮助学生建立知识间的联系，自然过渡到新课内容.
【探究新知】
探究 1：两种正多边形组合铺满地面
教师展示正三角形和正六边形组合铺满地面的图片，提问：除了单一正多边形，两种正多边形组合起来能不能铺满地面呢？
引导学生从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任取两种进行尝试，思考哪些组合能够铺满地面.
教师展示更多两种正多边形组合铺满地面的图片（如正方形和正八边形、正三角形和正方形等），让学生观察并验证.
师生共同总结：两种正多边形组合铺满地面的条件仍然是围绕一点拼在一起的内角之和为 360°.
师生活动：学生以小组为单位进行讨论和尝试，每组选择 1-2 种组合进行计算验证，然后派代表汇报结果.
设计意图：通过小组合作探究，培养学生的动手能力和合作意识，让学生在实践中发现规律，加深对多种正多边形铺满地面条件的理解.
探究 2：三种正多边形组合铺满地面
教师提问：三种正多边形组合起来能不能铺满地面呢？
展示三种正多边形组合的图片：
正十二边形、正方形、正六边形
正六边形、正方形、正三角形
正十二边形、正方形、正三角形
引导学生计算围绕一点的内角和，验证是否为 360°.
教师强调：无论是两种还是三种正多边形组合，铺满地面的核心条件都是围绕一点拼在一起的内角之和为 360°.
师生活动：教师引导学生进行计算，学生独立完成后同桌之间互相检查.
设计意图：从两种正多边形扩展到三种正多边形，让学生进一步巩固铺满地面的条件，培养学生的逻辑推理能力.
注意事项
教师展示正五边形与正十边形组合的图片，说明：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.
设计意图：通过反例让学生更全面地理解铺满地面的条件，避免学生产生片面认识.
【典型例题】
例：用边长相等的正三角形和正方形能否铺满地面？如果能，说明理由并画出草图.
解：能.
正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°.
设用 x 个正三角形和 y 个正方形，则有：
60x + 90y = 360
化简得：2x + 3y = 12
因为 x、y 都是正整数，所以方程的正整数解为 x=3，y=2.
即围绕一点用 3 个正三角形和 2 个正方形可以拼成周角，因此能铺满地面.
师生活动：学生独立完成，在小组内讨论，最终教师展示答题过程和草图.
设计意图：通过典型例题的分析和解答，让学生掌握判断正多边形组合能否铺满地面的方法，巩固所学知识.
四、当堂检测
下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A. 正五边形和正方形
B. 正六边形和正三角形
C. 正八边形和正五边形
D. 正十边形和正三角形
用边长相等的正八边形和正方形能否铺满地面？如果能，说明理由.
设计一个用两种不同正多边形铺满地面的方案.
师生活动：通过课件展示练习题，学生独立完成后，教师带领学生进行讲解和订正.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对知识的掌握情况，发现问题并及时解决，进一步巩固所学内容.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
用多种正多边形铺满地面的条件：围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360°.
常见的能够铺满地面的正多边形组合：
两种组合：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等.
三种组合：正十二边形、正方形和正六边形；正六边形、正方形和正三角形等.
注意：有些组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面.

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