资源简介

3 直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
教学设计
课标摘录 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。。 2.了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学目标 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性。
教学重难点 重点:理解并掌握直角三角形的性质与判定方法。 难点:勾股定理及其逆定理的证明方法，结合具体命题实例理解互逆命题的概念。
教学策略 针对直角三角形性质和判定定理，采用“问题引导 - 自主尝试 - 合作交流”模式。如证明直角三角形两锐角互余及有两角互余的三角形是直角三角形时，先让学生独立思考，再小组合作讨论证明思路。教师巡视指导，适时点拨疑难。通过自主探究培养学生逻辑思维与创新能力，合作交流促进学生思维碰撞，让学生在互动中深化对知识的理解与掌握。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答： 问题1.什么是直角三角形？ 答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形. 问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ 答案：直角三角形的两个锐角互余. 问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC， ∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少
新知初探 探究一　直角三角形的性质与判定 活动1 直角三角形的两个锐角为什么互余呢？ 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A+∠B＝90°. 证明：在Rt△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝90°. 又∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°. 即：直角三角形的两个锐角互余. 活动2思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 答案：是直角三角形 已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形 证明：在△ABC中， ∵∠A +∠B+∠C＝90°. 又∵∠A +∠B＝90°， ∴ ∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 即：有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳：直角三角形的性质与判定 定理：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 活动3说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？ 归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°， ∴AC2+BC2=AB2. 活动4探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 证明：如图，作Rt△A′B′C′， 使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC, 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2. ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 活动5如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m． （1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）在∴△ABD中， ∵∠ABD=90°， ∴AB2+BD2=AD2， 即：82+BD2=172， ∴BD=15（m）； (2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m， ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD =×8×15+×20×15 =210(m2)． 任务一　意图说明 通过引导学生独立完成推理证明的书面表达过程，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。通过探究直角三角形的性质和判定方法，加深学生对几何图形的理解和认识。同时，通过随堂练习，拓宽学生的知识面，激发学生的探索精神。此环节旨在拓展学生思维，提升数学素养。　
探究二　命题的互逆关系 活动1 观察交流：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？ 定理：直角三角形的两个锐角互余. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动2再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动3归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 追问：你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗 答案：如果两个有理数的相等平方相等,那么这两个有理数相等.第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题. 指出：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 强调：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以． 归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 比如：定理：直角三角形的两个锐角互余.与定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理 又如：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方与定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是互逆定理 活动4 随堂练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)五边形是多边形； (2)两直线平行，内错角相等. 解：(1)逆命题：多边形是五边形， 原命题是真命题，逆命题是假命题； (2)逆命题：内错角相等，两直线平行， 原命题是真命题，逆命题也是真命题． 任务二　意图说明 通过例题剖析，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。通过讨论互逆定理和逆定理的重要性，加深学生对数学定理之间联系的理解。同时，通过小组合作和全班分享，培养学生的团队协作能力和沟通能力。　　
板书设计
教学反思 本节课的教学实践让我深刻体会到了教学设计的重要性。通过情境导入，学生迅速融入了课堂，对直角三角形的性质和判定定理表现出了浓厚的兴趣。在探究勾股定理及其逆定理的证明方法时，学生积极参与，通过自主探究和合作交流，不仅掌握了证明方法，还锻炼了逻辑思维和证明能力。然而，我也发现部分学生在理解互逆命题、逆定理等概念时仍存在困难，这提示我在后续教学中需要进一步加强这些概念的讲解和练习，帮助学生巩固理解。

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