资源简介

5 角平分线
第2课时　三角形三个内角的平分线　
教学设计
课标摘录 1.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
教学目标 1.运用三角形中三条角平分线性质定理解决问题。 2.引导学生发现并证明“三角形的三条角平分线相交于三角形內一点并且这一点到三边的距离相等”这一结论，即三角形中三条角平分线性质定理。 3.角平分线的性质定理和判定定理的综合运用。
教学重难点 重点:角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 难点:角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教学策略 本节课的教学思路是按“操作、猜想、验证、运用”的学习过程，遵循学生的认知规律，先学习新知：三角形中角平分线的性质定理，再结合第一课时角平分线性质定理和判定定理来进一步提高学生的思维水平和应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 三条公路围成了一个三角形区域， 要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.
新知初探 探究一　角平分线的性质和判定综合运用 活动1 例2如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． (1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+4 )cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， △ACD≌△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 活动2 随堂练习 已知:如图,∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD=2CD. 证明 ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 30° ∴在Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°,AD=BD ∴ 在Rt△ACD中，AD=2CD ∴ BD=2CD 任务一　意图说明 通过剖析例题，帮助学生将所学知识应用于实际问题中，实现知识的内化。例题通过具体计算与证明，提升学生的解题能力和数学应用能力。自主解答与听讲解相结合的方式，有助于学生发现自己的不足，及时更正和完善，促进知识的深入掌握。　
探究二　三角形三个内角的角平分线的性质 活动1：剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 问题： 观察这三条角平分线,你发现了什么 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 活动2：利用尺规作出三角形三个角的角平分线. 问题： 再观察这三条角平分线,你又发现了什么 与同伴交流. 结论:三角形三个角的角平分线相交于一点. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 思考分析：如何证三条直线交于一点？ 基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM 与角平分线CN相交于点P，过点P分别 作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF 证明： ∵ BM是△ABC 的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是D、E ， ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PE=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 即∠A的平分线经过点P 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢 （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等
活动3学以致用 开拓创新 再次出示问题“三条公路围成了一个三角形区域， 要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.” （1）学生应用新知解决。 （2）课后讨论：若去掉“三角形区域内”这个条件，则批发市场的位置是否唯一？ 任务二　意图说明 通过动手作出角平分线和观察思考，培养学生的动手能力和观察能力。证明活动的设置，旨在锻炼学生的逻辑推理能力，加深对三角形内心性质的理解。拓展问题的提出，进一步拓宽学生的思维视野。　　
板书设计
教学反思 本节课，学生在课堂上积极参与思考、大胆尝试、主动探讨、勇于创新。在此教学中，只需真正实施民主的开放式教学，创设平等、民主、宽松的教学氛围，使师生完全处于平等的地位，学生才能敞开思想，积极参与教学活动，才能最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题，使他们有足够的机会显示灵性，展现个性。让学生自主参与学习，解决问题，体验到参与的乐趣、合作的价值，并获得成功的体验。

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