资源简介

5 角平分线
第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理
教学设计
课标摘录 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
教学目标 1.会叙述角平分线的性质及判定； 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重难点 重点:会叙述角平分线的性质及判定。 难点:能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题。
教学策略 通过具体的图形和已知条件，引导学生探究角平分线的性质定理和判定定理。在探究过程中，组织学生讨论角平分线的判定条件，鼓励学生相互交流、合作学习。通过小组讨论，学生能够更深入地理解角平分线的性质定理和判定定理，形成完整的知识体系。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计． (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 师生活动：教师分析， 仓库到两所大学的距离相同读成数学语言： 到一条线段 MN 两个端点距离相等的点在哪？ 预设1：在这条线段的垂直平分线上. 仓库到两条公路的距离相同读成数学语言： 到∠AOB 两边的距离相等的点在哪？ 学生独立思考.
新知初探 探究一　角平分线的性质 活动1 在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗 活动探究：教师引导学生通过折纸的活动，自主探究线段 CD 和 CE 的数量关系. 师追问：对此你能得出什么结论？动手证一证. 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE (全等三角形的对应边相等). 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 任务一　意图说明 通过学生的知识回顾：命题证明的一般步骤及线段垂直平分线性质的证明方法. 能够利用三角形全等进行命题证明，从而获得角平分线的性质定理.　
探究二　角平分线的判定 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 活动1 问题1：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 预设1：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 问题2：它是真命题吗？你能证明吗？ 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∵PD = PE ，OP = OP ， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴ OP 平分∠AOB. 师生活动：教师引导学生写出已知和求证，学生独立完成证明过程，教师进行定义总结： 角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 活动2 例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. 证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝AD＝×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 活动3 回顾导入：根据以上的知识，则可解决导入中的问题. 师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表展示，教师引导学生方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 任务二　意图说明 结合之前学过的直角三角形的有关知识和刚刚学习的角平分线的性质定理和判定定理，解决实际问题，同时在解决中引导学生明确知识应用的条件和注意事项，深一步解读知识，明确应用条件.　　
板书设计
教学反思 本节课的教学过程中，学生表现出了较高的学习积极性和参与度。通过情境引领和探究引导，学生成功地理解了角平分线的性质定理和判定定理，并能够运用所学知识解决实际问题。例题剖析环节进一步巩固了学生的知识内化，拓宽了他们的解题思路。

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