资源简介

2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解　
教学设计
课标摘录 1.能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。
教学目标 1.会用提公因式法把多项式分解因式． 2.从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展类比思想． 3.进一步理解因式分解的意义，引导学生感受整体代换思想，渗透化归思想.
教学重难点 重点:能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解。 难点:准确找出公因式，并能正确进行因式分解。
教学策略 教学公因式是多项式的因式分解时，先通过具体情境或简单多项式，引导学生回顾公因式是单项式的提取方法，建立知识衔接。接着呈现含多项式公因式的式子，如(a+b)x+(a+b)y ，让学生观察结构，类比单项式公因式提取，发现把(a+b)当作整体公因式。通过实例演练，强化“整体代换”思想，引导学生分析多项式公因式的找法，总结提取步骤。结合几何拼图等直观活动辅助理解，设置分层练习，从基础到拓展，及时纠错，深化对这种因式分解形式的掌握 。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 回顾上一节知识点 提公因式法因式分解的一般步骤： 1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号； 2.公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 3.字母取多项式各项中都含有相同的字母； 4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母最低次幂. 问题：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式： (1)x(a+b)+y(a+b)； (2)3a(x–y)–(x–y)； (3)6(p+q) 2–12(q+p)； (4)a(m–2)+b(2–m)； 思考：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
新知初探 探究一　公因式是多项式的因式分解 活动1 例2把下列各式因式分解： (1)a(x–3)+2b(x–3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2. 提示：把“x–3”“x+1”都看做一个整体进行因式分解. 解：(1)a(x–3)+2b(x–3) =(x–3)·a+(x–3)·2b =(x–3)(a+2b)； (2)y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1) =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(yx+y+1). 归纳总结： 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。 活动2 例3 把下列各式因式分解： (1)a(x–y)+b(y–x)； (2)6(m–n)3–12(n–m)2. 分析：根据提公因式分解因式的一般步骤逐步计算；提公因式的时候，注意公因式是多项式的情况要整体提出；提公因式的时候，还要注意加括号后各项符号的变化. 解：(1)a(x–y)+b(y–x) =a(x–y)–b(x–y) =(x–y)(a–b). (2)6(m–n)3–12(n–m)2 =6(m–n)3–12(m–n)2 =6(m–n)2(m–n–2). 活动3思考·交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 提公因式法因式分解的注意事项： 1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号； 2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项； 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开. 随堂练习请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“–”，使等式成立； (1) (a-b)=___(b-a);(2)(a-b)2 =___(b-a)2; (3)(a-b)3=___(b-a)3;(4)(a-b)4=___(b-a)4; (5)(a+b)=___(b+a);(6)(a+b)2=___(b+a)2; (7)(a+b)3=__(-b-a)3;(8)(a+b)4=__(-a-b)4; 答案：– + – + + + – + 任务一　意图说明 此探究旨在通过具体实例，引导学生突破公因式仅为单项式的认知局限，感受多项式可作为公因式的情况。借助观察、类比，让学生掌握把多项式整体代换的方法，理解提取多项式公因式的原理，强化 “整体思想” 在因式分解中的运用，为构建完整因式分解方法体系奠基，同时提升学生观察归纳、知识迁移能力 。　
探究二 利用几何拼图理解因式分解　 活动1 尝试·思考 如图4-1，有三张不同型号的长方形卡片 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ (3) 依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？ 解：（1）能，选择卡片①和卡片②可以拼成一个长方形 能，新长方形的长为a+b,宽为m+n. an+bn=n(a+b);n(a+b)+m(a+b)=(a+b)(m+n) 任务二　意图说明 利用几何拼图理解因式分解，是通过直观的图形操作，让学生将抽象的因式分解概念与具体的几何图形建立联系。学生在拼图过程中，从图形面积的角度感受多项式与整式乘积的关系，能更深刻地理解因式分解的本质。同时，借助这种方式激发学生的学习兴趣，培养空间想象和逻辑推理能力，使学生在实践操作中构建数学思维，提升对因式分解知识的掌握与运用能力。　　
板书设计
教学反思 本节课教学公因式是多项式的因式分解，学生对整体代换思想的理解存在差异。部分学生能快速类比单项式公因式提取方法，但对多项式作为整体的识别不够敏锐，尤其在符号变化和指数处理上易出错。教学中虽通过实例引导观察，但练习层次可更细化，对整体思想的渗透需结合更多具象情境。后续应加强对比练习，强化符号规则训练，让学生在纠错中深化对多项式公因式提取的掌握。

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