资源简介

问题解决活动：最短距离
教学设计
课标摘录 1.在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.在经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识。 3.经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题过程，体会几何数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会借助图形分析问题，形成解题的思路，发展模型观念。
教学目标 1.学生能够理解最短距离问题的基本原理，掌握利用几何图形（如线段、轴对称等）解决平面内最短距离问题的方法，并能运用这些方法解决实际生活中的相关问题。 2.通过情境引入、自主探究、合作交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和问题解决能力，让学生经历从实际问题抽象出数学模型的过程。 3.在解决最短距离问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数学的实用性和趣味性，激发学习数学的兴趣和积极性，培养严谨的思维习惯和合作探究的精神。
教学重难点 重点:理解 “两点之间线段最短” 原理，能运用该原理解决实际问题，掌握通过观察、画图等方法探究最短距离的思路，培养相关思维与能力。 难点:将实际问题转化为数学中的最短距离问题，建立合适的数学模型。
教学策略 教学中先以生活实例引出最短距离问题，引发学生兴趣，再引导学生通过画图、测量等实践操作，自主归纳 “两点之间线段最短” 原理。结合具体案例解析原理应用，通过提问引导学生思考不同情境下的路径选择，组织小组合作探究复杂问题，鼓励多角度思考，同时借助错误案例分析，强化对原理的理解与灵活运用，逐步突破难点。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到帐篷B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？请画出来。 答案提示：
新知初探 探究一 问题解决活动：最短距离 问题：居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。 已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这 条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）。 活动1 理解问题 上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 【数学建模】如果把居民区和工厂所在的位置看作点，把地铁看作两条平行的直线，这个问题可以用轴对称知识解决，先将实际问题抽象成数学问题，点M、N分别为居民区和工厂，两条平行线AB和CD为地铁，如图所示： 活动2 拟定计划 (1) 你以前遇到过类似的问题吗？ (2) 解决这个问题最大的困难是什么？ (3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？ 活动3 实施计划 (1) 写出你的解决方案 (2) 说明你的方案的合理性。 解：如图所示，地下通道建在PR时才能使点M到点N的路线最短， 理由：设地下通道为PR，则这个问题中的路线为MP、PR、RN三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段PR是定值，因此只需要考虑使MP+RN最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移PM到QR，此时连接QN交CD于R，点P和R即为地下通道的出入口． 活动4 回顾反思 通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？ 答案提示：关键是把实际问题抽象成几何图形，利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 活动5 随堂练习 1．基本知识 如图1，在直线l的两侧分别有点A和B，都要在l上确定一点P，使点P到A、B的距离之和最小，只需连接AB，则AB与l的交点即为所求点P． 初步探索 如图2 （1）所示，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，那么桥建在何处才能使由A到B的路线最短？注意，桥必须与街道垂直，桥的宽度不计．请在图2 （2）中画出天桥的位置，不需说明画法，保留画图痕迹． 旧题重温 如图3，村庄A、B在河流l同侧，现欲在同岸边建一个水泵站P，问水泵站建在何处才能使PA+PB最短．（不需说明画法，保留画图痕迹） 深入探索 如图4 （1），两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图4 （2）中画出绿化带的位置．并写出画图过程． 解：初步探索：如图EF即为所求的天桥的位置． 旧题重温：如图，点P即为所求． 深入探索：如图，点C，点D即为所求． 任务一　意图说明 通过生活情境激发探究欲，引导学生经历 “观察 — 猜想 — 验证 — 应用” 过程。从几何模型（如直线、轴对称、立体图形展开）切入，结合具体案例（如牧马饮水、蚂蚁爬行），让学生理解转化思想，将复杂距离问题转化为两点之间线段最短的基本模型。注重培养空间想象与逻辑推理能力，通过小组合作探究不同情境下的最短路径求解方法，实现从具体到抽象的认知提升，体会数学与生活的联系，提升问题解决能力。　
板书设计
教学反思 本次 “最短距离” 问题解决活动，亮点在于情境创设贴近生活，能有效引发学生共鸣。但教学中发现，部分学生对立体图形展开转化为平面图形的理解存在障碍，空间想象能力不足导致思路卡壳。小组合作时，少数学生参与度低，依赖他人结论。后续需加强直观演示，利用多媒体动态展示展开过程，降低抽象难度；设计分层任务，让不同水平学生都能参与探究；增加实操环节，如用纸片折叠立体图形，强化空间感知，更好落实转化思想的渗透，提升全体学生的问题解决能力。

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