资源简介

10.1.1 平方根 《数的开方》章起始课
一、教材分析
本节课从求面积为25cm 的正方形边长这一实际问题出发，引发学生对已知平方求原数的思考，让学生感知学习平方根的必要性，体现数学源于生活．借助复习求一个数的平方运算，逆向探究已知平方求原数，通过具体数字实例，逐步引出平方根概念并探索平方根的性质．再以正数a为例，区分算术平方根与平方根，帮助学生理解两者联系与区别，并明确平方与开平方互为逆运算关系．通过教材例题、经典例题，让学生掌握求平方根的方法，包括直接根据平方根意义求解，以及利用计算器求算术平方根，提升学生运算能力．
二、学情分析
本章的主要内容是平方根立方根，无理数与实数．具体来说，包括平方根的定义及性质，算术平方根，立方根的定义和性质，无理数的概念，实数的概念、分类，实数与数轴上点的位置关系，实数的大小比较和近似计算等，学习这些知识之前，学生已经学习了数的乘方运算，已经会求一个数的平方和立方，还了解了有理数的概念、性质及运算，掌握了有理数大小的比较方法和有理数与数轴上点的位置关系，为学习平方根、立方根、无理数和实数奠定了基础．大多数同学对以上知识掌握较好，学习新知识的兴趣也浓厚，但也有少数学生，基础相对薄弱，在教学过程中适当穿插回顾一些基础内容，能帮助他们提高学习效率．
三、教学目标
1．了解平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根，发展数感和符号意识，发展数学抽象．
2．了解开平方与平方互为逆运算，会求某些非负数的平方根，能用计算器求一个数的算术平方根，发展运算能力．
3．经历正方形面积问题的探究过程，经历正数、负数、零的平方根的探究过程，体会平方根的意义及性质，体会平方根的意义，体验数学知识来源于实践，是由于生活或生产的需要而产生、发展的，进一步培养学生独立思考，合作交流的团队精神．
四、教学重难点
重点：平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根．
难点：体会平方根、算术平方根的联系与区别．
五、教学方法
教法：启发式、探究式．
学法：合作探究．
六、教学过程设计
（一）温故知新，提出问题
师：同学们，我们知道“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律．“数”是数学中的基本概念，是数量的抽象．数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃．一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平，现在我们先来回顾一下运算的发展与数系的扩充．
一切的开始，源于最原始的需求，我们的祖先面对收获的猎物、部落的人口等，需要计数．于是，自然数（0，1, 2, 3, ...）诞生了．
问题1：有数，就有了基础的计算，为了研究增长，我们引入了什么运算？定义了什么运算符号？
生（预设）：引入了加法，并定义了“+”号．
追问1：随后为了研究亏钱和负债，我们又引入了什么运算？定义了什么运算符号？
生（预设）：引入了减法，并定义了“－”号．
师：加法和减法互为逆运算．减不足时，负数就产生了，这时，自然数（包括正整数和0）就扩充到了整数（包括正整数、0和负整数）．
追问2：为了研究重复的增长，我们又引入了什么运算？定义了什么运算符号？
生（预设）：引入了乘法，并定义了“×”号．
追问3：随后为了研究均分，我们又引入了什么运算？定义了什么运算符号？
生（预设）：引入了除法，并定义了“÷”号．
师：除法和乘法互为逆运算．除不尽时，分数便产生了（包括正分数和负分数）．数系得到了进一步扩充，这时，我们把整数和分数统称为有理数（即能写成两个整数之比的数）．
追问4：在上一学年，为了研究重复的乘法，我们又引入了什么运算？
生（预设）：引入了乘方（包括平方、立方、n次方等），并定义了乘方的书写形式．
师：数系扩充到有理数后，古希腊的毕达哥拉斯学派坚信：“万物皆数（宇宙万物皆可用整数之比来描述）”．然而毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现：一个边长为1的正方形，它的对角线长度竟然无法表示成任何两个整数的比！
问题2：我们不妨把这个对角线的长度设为x，由勾股定理可得：x2＝2．你认为x是有理数吗？
生（预设）：不是，最简分数的平方还是最简分数，并且没有那个整数的平方等于2．
师：所以我们发现，有理数不够用了，必然存在有理数以外的数，因此，想要求出x的值，就需要引入新的运算和新的数．接下来，咱们就开启这章的学习之旅.
设计意图：初中阶段的“数与式”可以看作小学“数与运算”的延伸，本质上是数的认识的拓展以及数与式的运算．本环节采用内容结构化教学，将具有相同本质属性的内容（数与运算）进行整合，有利于学生对“数与运算”主题核心概念的理解与学习内容的迁移，有利于发展学生的核心素养．
（二）探究讨论，发现新知
问题3：正方形的面积与边长有怎样的数量关系？
生（预设）：正方形面积=边长2.
追问1：本章导图中提出的问题，要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长应是多少？
生（预设）：5cm．
设计意图：通过求正方形纸片边长的实际问题，引出开方运算，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，激发学生学习兴趣，自然导入本章学习内容.
师：将上面正方形面积问题抽象为数学问题就是：“已知一个数的平方等于25，求这个数”．这实际上是平方的逆运算，为解决这类问题，我们引入一个新概念——平方根（板书课题）！
设计意图：作为起始课，基本概念的引入一定要让学生充分感知数学来源于丰富的生活经验，而不是凭空制造出来的．在研究基本概念的同时也让学生充分体会许多数学概念都有其发展的基础与历史，学会同类知识的相互迁移，感知数学知识结构的发展，体验数学知识的学习方法，逐渐提高学生的数学文化修养和素质．同时还要适当地引导学生宏观地了解即将学习的内容的存在价值和意义以及具体涉及的一些知识．
师：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表达：若x2＝a，则x叫做a的平方根．
问题4：25的平方根只有一个吗？有没有其他的数，它的平方也是25？
生（预设）：因为（－5）2＝25，所以这个数可以是－5；除了5和－5外，任何一个数的平方都不等于25．所以5和－5都是20的平方根．
师：根据平方根的定义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根．
设计意图：作为学生初步理解平方根概念后尝试使用新知识，有助于学生加深印象和进一步深入地理解平方根概念，并为下面学习平方根的性质做好铺垫．
（三）师生互动，熟悉新知
问题5：你能按照上述问题的解决方法来求出100的平方根吗？请思考并写出解题过程．
例1：求100的平方根．
生（预设）：
解：∵102=100，（－10）2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100．
∴100的平方根 10或－10（也可以写成±10）．
师生活动：学生在理解概念的基础上积极思考，讨论回答，由学生口述，教师适时纠正易出现的错误，板书规范解题格式．
设计意图：巩固所学有关平方根概念的知识，提醒学生注意答题格式和书写，培养学生严谨认真的学习态度．
师：请同学们根据平方根的定义讨论下面问题．
试一试
（1）144 的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？
－4的平方根是什么？为什么？
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．
生（预设）：
（1）因为122=144，（－12）2＝144，除了12和－12外，任何一个数的平方都不等于144，所以144的平方根是±12．
（2）因为02＝0，除了0外任何一个数的平方都不等于0，所以0的平方根是0．
（3）因为任何数的平方都不可能是负数，所以没有一个数的平方为－4，即－4没有平方根．
师生活动：学生在理解概念的基础上合作讨论2分钟后，规范书写解答过程，并在教师引导总结出平方根的性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
设计意图：进一步巩固平方根的概念，在练习中总结平方根的有关性质，培养学生总结归纳能力．引导学生自我总结出平方根的性质并学会用简练明了的数学语言来表达，促进学生数学思维的发展及数学语言的运用．充分体现了“教师主导，学生主体”的新课程理念．
问题6：前面我们列过一个方程x2＝2，现在我们知道x是2的平方根，你能求出x吗？
生（预设）：不能，因为x不是有理数．
师：我们知道对于方程x2=a，则x叫做a的平方根．当a不是平方数时，我们无法直接表示出x，因此，我们需要引入新的符号来表示这个数．
我们知道正数a的平方根有两个，且互为相反数，因此只需要表示出正数a的正的平方根即可．而正数a的正的平方根只与a的取值和二次方有关，因此我们可以将正数a的正的平方根（也叫正数a的算术平方根）记作：，也可以简记为，读作根号a．另一个平方根是它的相反数，即．因此正数a的平方根可以记作，其中a叫做被开方数．
追问1：那么2的平方根该怎么表示？
生（预设）：2的平方根可以用表示．
师：因为0的平方根只有一个（就是0），也叫做0的算术平方根，记作．即．
设计意图：数学的发展在于不断发现问题，并努力解决问题．通过2的平方根引入平方根和算术平方根的一般表示方法，基本完成本堂课新知识的学习．
问题7：（a≥0）表示a的算术平方根，试就和两种情况，分别说出它的意义．
设计意图：教材中分两段给出算术平方根的意义和记号．第一段指出正数的算术平方根，第二段对于“0的算术平方根是0”则是一个补充规定．学生在理解这两段规定的基础上，对算术平方根的记号的意义做出概况．这样，在实数范围内，对于任意非负实数a，都表示a的算术平方根，它有唯一确定的值，这也为后面学习二次根式埋下伏笔．
师：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
问题8：将一个正数开平方，最关键的是什么？
生（预设）：找出这个数的算术平方根．
设计意图：了解开平方的概念，知道平方和开平方互为逆运算．认识到正数的算术平方根具有唯一性，记号也就有唯一确定的对象．
师：在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有，然后得知100的平方根是．接下来请根据所学知识完成课本第三页例2．
例2：将下列各数开平方．
（1）49； （2）．
生（预设）：（1）因为，所以，因此49的平方根为．
（2）因为，所以，因此的平方根为．
师生活动：学生在理解概念的基础上结合例2（1）的示例，独立思考解决并规范解题格式，教师巡堂观察学生的书写过程及书写规范，并为学生答疑解惑．
设计意图：进一步巩固平方根与算术平方根的概念及一般表示方法，发展学生的符号意识和运算能力．
师：在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的．通常可以用计算器直接求出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）．
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
例3：用计算器求下列各数的算术平方根．
（1）529； （2）（精确到0.01）．
预设：解：（1）本小题的按键顺序是：
显示结果为23，所以529的算术平方根为．
（2）本小题的按键顺序是：
显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为．
师生活动：学生参考课本例3（1）的示例，独立使用计算器解决后相互交流计算器的使用及计算的结果，教师巡堂观察学生的操作，并为学生答疑解惑．
设计意图：让学生认识到正数a的算术平方根有时并不好通过观察得到，可以适当运用信息技术手段避免繁杂的运算，在操作中领悟操作步骤，真正把计算器作为学习工具加以使用，让信息技术服务于我们的学习和生活，同时发展学生的应用意识．
师生活动：学生在本节课学习的基础上，在规定时间内独立完成，教师巡堂观察学生的解答过程及计算器操作过程，发现学生在解答过程中出现的问题，并为学生答疑解惑．
设计意图：通过自主练习加强学生对本堂课所学知识的理解和巩固．让学生在实践中提升能力，并发展学生的运算能力．
（四）课堂小结，提炼升华
1．本节课你学到什么？
预设：（1）
（2）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．
（3）随着运算的发展，数系在不断扩充，从整数、分数到有理数，数的意义在拓展，表达方式也各有不同，但他们的本质是一致的，都是对数量的抽象．
2．完成本节课的学习后，你还想继续探究什么？
预设：类比“平方与开平方的关系，以及平方根的定义”，研究立方的逆运算．
设计意图：通过适时引导学生自我反思，归纳总结，构建知识体系，培养学生良好的学习习惯．
七、板书设计
1．数的发展与分类
2．平方根与算术平方根

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