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17.2 平行四边形的判定（课时 1）
一、教学目标
经历平行四边形判定定理的猜想、操作与证明过程，体会类比思想及图形判定的探究思路.
掌握平行四边形的定义、判定定理 1 和判定定理 2，能运用它们进行简单的几何证明.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形判定定理 1、判定定理 2 的内容及应用.
难点：平行四边形判定定理的证明过程，灵活选择判定方法解决问题.
三、教学过程
【复习引入】
回顾旧知：提问学生平行四边形的定义和性质
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质：①两组对边分别相等；②两组对角分别相等；③两条对角线互相平分.
提出问题：我们知道了平行四边形的性质，那么反过来，如何判定一个四边形是平行四边形？除了用定义判定，还有没有其他的判定方法？
设计意图：通过复习平行四边形的定义和性质，引导学生逆向思考，自然引出本节课的探究主题，激发学生的学习兴趣.
【探究新知】
探究 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
逆向猜想：由 “平行四边形的两组对边分别相等”，互换条件和结论，得到逆命题：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
动手操作：学生分组按照以下步骤作图
（1）任取两点 B、D；
（2）分别以点 B 和点 D 为圆心、任意长为半径，分别在线段 BD 的两侧作弧；
（3）再分别以点 D 和点 B 为圆心、适当长为半径作弧，与前面所作的弧分别交于点 A 和点 C；
（4）顺次连结各点，得到四边形 ABCD.
观察猜想：学生观察自己和同学所作的四边形，猜想它们是否都是平行四边形.
演绎证明：引导学生利用平行四边形的定义进行证明
已知：在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连结 BD.
在△ABD 和△CDB 中，
AB=CD，
AD=BC，
BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS）.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴AB∥DC，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
得出结论：平行四边形的判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号表示：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
师生活动：学生分组完成作图和证明，小组代表展示证明过程，教师点评并规范书写格式.
设计意图：通过动手操作、猜想、证明的完整过程，让学生直观感受并严谨证明判定定理 1，培养学生的动手能力和逻辑推理能力.
探究 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
提出问题：如果只考虑四边形的一组对边，满足什么条件时它是平行四边形？
引导学生排除错误猜想：①一组对边相等的四边形（如等腰梯形）；②一组对边平行的四边形（如梯形）.
合理猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
动手操作：学生按照以下步骤作图
（1）任意作两条平行线 m、n；
（2）在直线 m、n 上分别截取 AB、CD，使 AB=CD；
（3）分别连结点 B、C 和点 A、D，得到四边形 ABCD.
观察猜想：学生观察所作图形，猜想它是否是平行四边形.
演绎证明：引导学生用定义或判定定理 1 进行证明
已知：在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB=CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连结 AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC 和△CDA 中，
AB=CD，
∠1=∠2，
AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=AD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
追问：还能用其他方法证明吗？（引导学生用定义证明，即证明 AD∥BC）
得出结论：平行四边形的判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号表示：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
师生活动：学生独立思考证明方法，小组交流讨论，教师引导学生对比不同证明方法的优劣.
设计意图：通过逐步引导学生排除错误猜想，得出正确结论，并进行多种方法的证明，培养学生的发散思维和逻辑推理能力.
【典型例题】
例 1 如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 AD 上，且 AF=CE.
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）.
即 AF∥CE.
又∵AF=CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
追问：还可以用其他方法证明吗？哪种方法较为简捷？
（引导学生思考用判定定理 1 证明，即证明 AE=CF，对比得出用判定定理 2 更简捷）
师生活动：学生先独立完成，然后小组讨论不同的证明方法，教师展示规范的证明过程，并强调根据已知条件选择简捷的证明方法.
设计意图：通过典型例题的练习，让学生巩固所学的判定定理，学会灵活选择判定方法解决问题.
【当堂检测】
下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB=CD，AD=BC
C. AB∥CD，AB=CD D. AB=CD，AD∥BC
在四边形 ABCD 中，已知 AB=4cm，BC=5cm，当 CD= cm，AD=__cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形.
在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD=BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AC=6，则线段 AO 的长为 .
在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，求证：四边形 AECF 是平行四边形.
师生活动：学生独立完成检测题，教师巡视指导，然后集体订正答案，针对易错点进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时反馈学生的学习效果，巩固本节课的知识，发现并解决学生存在的问题.
【课堂小结】
今天我们学行四边形的三种判定方法：
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
师生活动：教师引导学生回顾本节课的主要内容，学生总结判定方法，教师补充强调.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识体系，加深对平行四边形判定方法的理解和记忆.
四、板书设计
17.2 平行四边形的判定（课时 1）
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
符号：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形
判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
符号：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形
判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
符号：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形
例 1 证明过程：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD∥BC，即 AF∥CE
又∵AF=CE
∴四边形 AECF 是平行四边形

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