资源简介

专题02 统计与概率
题型1 随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件 题型2 事件的互斥（互不相容）及互斥事件
题型3 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 题型4 概率的应用
题型5 相互独立事件的概率乘法公式 题型6 抽签法简单随机抽样及其步骤
题型7 求随机数法抽样的样本 题型8 分层随机抽样及其适用条件
题型9 分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量 题型10 由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
题型11 普查与抽样 题型12 茎叶图
题型13 扇形统计图 题型14 平均数
题型15 中位数 题型16 众数
题型17 标准差 题型18 方差
题型19 极差 题型20 百分位数
知识点一 简单随机抽样
可用简单随机抽样抽取样本的依据:①总体中的个体之间无明显差异；②总体中个体数有限；③抽取的样本个体数小于总体中的个体数；④每个个体被抽到的可能性均为
知识点二 分层随机抽样中有关计算的方法:
（1）抽样比=；
（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
知识点三 柱形图、折线图、扇形图的应用
（1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率；
（2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数；
（3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势.
知识点四 频率直方图的应用
（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解；
（2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；
（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解.
（4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法:
①众数:最高小长方形底边中点的横坐标；
②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
知识点五 平均数、标准差、方差性质
（1）若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是,方差为
（2）分层方差计算总体方差
若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则
知识点六 百分位数
（1）几个数的百分位数计算方式：
第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数据；
如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。
（2）频率分布直方图的百分位数计算方式
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解.
知识点七 知识对标
用样本估计总体
用样本的频率分布估计总体的分布.
知识点八 规律方法
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律,我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.并由此估计总体的分布情况.
知识点九 用频率估算概率
频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
知识点十 互斥、对立、独立事件的辨别
设事件与所含的结果组成的集合分别为.
①若事件件与互斥,则集合;nn
②若事件件与对立,则集合且.
事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立 ；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响；
知识点十一 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0~1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
一．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球
D．摸出的是2个白球、1个黑球
【答案】C
【解答】解：对于A，摸出的是3个白球是不可能事件，故A错误；
对于B，摸出的是3个黑球是随机事件，故B错误；
对于C，摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，故C正确；
对于D，摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件，故D错误．
故选：C．
2．下列关于随机事件的说法错误的是（　　）
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
【答案】D
【解答】解：因为P（ΩA）＝P（A），而P（Ω）P（A）＝1 P（A）＝P（A），
因此P（ΩA）＝P（Ω）P（A），故A正确，
P（ A）＝P（ ）＝0，而P（ ）P（A）＝0 P（A）＝0，
因此P（ A）＝P（ ）P（A），故B正确，
设P（A）＞0，P（B）＞0，若A与B互斥，则AB＝ ，P（AB）＝0，
但P（A）P（B）＞0，因此P（AB）≠P（A）P（B），故C正确，
若A与B独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，
因此AB≠ ，A与B一定不互斥，故D错误．
故选：D．
3．对于随机事件A，B有P（A），P（AB），P（A+B），P（B）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：随机事件A，B有P（A），P（AB），P（A+B），
又P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
则P（B）．
故答案为：．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与B互斥
C．A与B相互独立 D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
【答案】C
【解答】解：抛掷一枚骰子的所有可能结果是：{1，2，3，4，5，6}，
事件A包含的结果是：{2，4，6}，
事件B包含的结果是：{5，6}．
∵A∪B没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），∴A与B不对立，故A错误；
∵A∩1B＝{6]≠ ，∴A与B不互斥，故B错误；
∵P（A），
∴A与B相互独立，故C正确；
，（B），
而P，故D错误．
故选：C．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A．A B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【解答】解：由题意可知，事件A为1，2，3，事件B为2，4，6，故A错误，B正确；
事件A，B可以同时发生，故CD错误．
故选：B．
6．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】D
【解答】解：根据题意，由A和C对立，可得P（A）+P（C）＝1，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝0.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．
故选：D．
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
7．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 ．
故选：B．
8．小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【答案】．
【解答】解：设他考试通过为事件A，他考试获得优秀为事件B，
事件A包含他能答对其中的5道题，答对其中的4道题，答对其中的3道题，
则P（A），
P（AB），
∴P（B|A）．
则他获得优秀成绩的概率为．
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【答案】（1）m＝1840，n＝0.46，p＝0.0018，q＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.036；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝4000×（0.046×10）＝1840，
n＝0.046×10＝0.46，
p＝0.018÷10＝0.0018，
q＝4000×0.006＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，
设上述6户为a，b，c，d．e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），
在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，
具体为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，f），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）}，
记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为A＝{（a，f），（b，f），（c，f），（d，f），（e，f）}，
所以．
四．概率的应用（共3小题）
（多选）10．袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，从6个球中不放回的随机抽取两个球，有15种情况，
若取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数，有12种情况，则P（A），
若取出的两个球的编号之和为偶数，即取出的两个球编号为两个偶数或两个奇数，有6种情况，则P（B），
事件AB，即取出两个球都是奇数，有3种情况，则P（AB），
依次分析选项：
对于A，P（A）P（B）≠P（AB），则事件A与事件B不相互独立，A正确；
对于B，事件A、B可以同时发生，则事件A与事件B不是互斥事件，B错误；
对于C，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率P（B|A），C正确；
对于D，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率P（A|B），D正确．
故选：ACD．
（多选）11．对于随机事件A，B，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选：AC．
12．现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子．则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，由于六件货物的质量之和为1+2+3+4+5+7＝22，不是3的倍数，
故不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况，
设事件A表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，B表示第一，二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量，
由对称性，可得P（B|A），
当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是{1，4）和（2，3），（1，5）和（2，4），（2，5）和（3，4），有三种可能，
故P（A），
当A不发生时，表示表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得P（B|），
故P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）（1）．
故答案为：．
五．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题）
13．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
14．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：甲队每场获胜的概率为，甲队获得胜利的情况为2：0，2：1，
若比分为2：0，其概率为P，
若比分为2：1，其概率为P，
则甲队获得胜利的概率．
故选：A．
15．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲2：1获胜的概率为：；
第二类：甲2：0获胜的概率为：；
所以甲获胜的概率为．
故选：D．
六．抽签法简单随机抽样及其步骤（共3小题）
16．下列抽样中适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解答】解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选：B．
17．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（　　）
A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，91
【答案】D
【解答】解：将题目中的8个数从小到大排列为：71，73，80，82，85，91，93，106，
中位数为第四、五两个数的平均数，等于，
又∵8×70%＝5.6，∴这组数据的70%分位数为第六个数，等于91．
∴这组数据的中位数与70%分位数分别为83.5，91．
故选：D．
18．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（　　）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解答】解：对于①②，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；
对于③④，由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．
故选：B．
七．求随机数法抽样的样本（共3小题）
19．总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．01 B．02 C．04 D．07
【答案】A
【解答】解：从第一行的第7列和第8列起由左向右依次选取两个数字，划去大于20的数，
得到的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01．
故选：A．
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
故选：B．
21．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，...500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为　047　 ．
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
【答案】047．
【解答】解：由题知，选取的同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047，
剔除重复数据，超过500的数据，
符合条件的是442，175，455，331，047，第五个是047．
故答案为：047．
八．分层随机抽样及其适用条件（共3小题）
22．某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（　　）
A．150人 B．200人 C．300人 D．500人
【答案】C
【解答】解：因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为；
学校有高中学生3000人，
所以高中生抽取了：人．
故选：C．
23．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
【答案】A
【解答】解：根据分层抽样原理知，，，
所以抽取男生40人，女生32人．
故选：A．
（多选）24．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是（　　）
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，②随机数法
【答案】BCD
【解答】解：①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．
故选：BCD．
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共3小题）
25．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：由题意，样本中高二学生的人数为3010．
故选：B．
26．某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解答】解：设应抽取的女生人数是x，
因为共有1200名学生，其中男生700名，
所以，计算得x＝30．
故选：B．
27．某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．28
【答案】C
【解答】解：设男同学应抽取的人数为n，
因为有360名男同学和270名女同学，
可得，解得n＝16．
故选：C．
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共3小题）
28．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
【答案】D
【解答】解：由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选：D．
（多选）29．在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（　　）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
【答案】BD
【解答】解：由题意可知，男职员比例为，女职员比例为，
所以总样本的平均数为50，
考虑极端情况，若男职员锻炼时间均为56，女职员锻炼时间均为42，
此时男职员的方差为0，女职员的方差为0，
所以总样本的方差为48，
实际上若男、女职员锻炼时间存在波动（即层内方差不为0），总方差必然大于48，
所以总样本的方差不小于48．
故选：BD．
30．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　1.92　 ．
【答案】1.92．
【解答】解：采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，
总体样本均值为7.4，
则总体方差为{800×[2.1+（7.7﹣7.4）2]+600×[1.4+（7.4﹣7）2]}＝1.92．
故答案为：1.92．
十一．普查与抽样（共3小题）
31．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
32．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解答】解：全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查；
对于D，查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．调查数目较多，不适合全面调查．
故选：A．
（多选）33．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）
A．调查某市小学生每天的运动时间
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
【答案】AC
【解答】解：选项A和C适合采用抽样调查，
因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式．
故选：AC．
十二．茎叶图（共3小题）
34．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（　　）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【答案】C
【解答】解：根据题意，在这5天中，甲加工零件数为18、19、23、27、28，
乙加工零件数为17、19、21、23、25，
依次分析选项：
对于A，在这5天中，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差25﹣17＝8，A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为（18+19+23+27+28）＝23，乙加工零件数的平均数为（17+19+21+23+25）＝21，C正确；
对于，甲加工零件数的方差为（25+16+0+16+25），乙加工零件数的方差为（16+4+0+4+16）＝8，D错误．
故选：C．
35．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
【答案】A
【解答】解：选项A，甲组学生身高的极差为182﹣157＝25，乙组学生身高的极差为182﹣159＝23，
则两组学生身高的极差不相等，A正确；
选项B，甲组学生身高的平均值为169.2，
乙组学生身高的平均值为171，
则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误；
选项C，甲组学生身高的中位数为168，
乙组学生身高的中位数为178.5，
甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C错误；
选项D，甲组学生身高在175cm以上的有3人，
乙组学生身高在175cm以上的有4人，
甲组学生身高在175cm以上的人数较少，D错误．
故选：A．
36．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由．
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
【答案】（1）甲．
（2）．
【解答】解：（1）由茎叶图可得，甲城市的中位数为61，乙城市的中位数为79，
且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上，
所以甲城市空气质量总体较好．
（2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天，乙城市空气质量类别为优或良的有5天，
所以甲城市空气质量类别优或良的概率为，乙城市空气质量类别优或良的概率为，
所以甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．
十三．扇形统计图（共3小题）
37．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的80%分位数是19.2%
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
【答案】C
【解答】解：截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，
对于A，注册资本不高于200万元的企业数量占比为12.4%+11.1%＝23.5%，，故A正确；
对于B，注册资本在1000万元以上的企业数量为1782×43.2%≈770，770＞750，故B正确；
对于C，80%×5＝4，故80%分位数为19.2%与43.2%的平均数，故C错误；
对于D，从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，
则该企业注册资本在200万元—500万元的概率为，0.5595＞0.55，故D正确．
故选：C．
38．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【解答】解：由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×（45%﹣30%）＝30，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
39．随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：100，95，85，85，80，80，80，80，75，70．
乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85，85，85，81，80．
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
车型 平均数 中位数 众数
甲 83 80 a
乙 83 b 85
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 　80　 ，b＝ 　82.5　 ，m＝ 　30　 ；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
【答案】（1）80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析；
（3）200人．
【解答】解（1）由题意可知，从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，
即a＝80，
乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占20%，B组占50%，C组占1﹣20%﹣50%＝30%，
所以m＝30，
所以A组有两个最大的数据，B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，
所以中位数为，
即b＝82.5，
故答案为：80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：
甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，
所以乙款的满意度更好；
（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为20%，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为20%，
所以满足题意的总人数为：400×20%+600×20%＝200（人）．
十四．平均数（共3小题）
40．样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解答】解：由题意，样本数据中的最低分6，
去掉6，剩余数据的平均数为．
故选：D．
41．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
【答案】C
【解答】解：已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，
若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，
即，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7x8，则，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的平均数是x8，
又
，，
与的分子相同，比较分母，可知．
故选：C．
（多选）42．在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3， ，x10满足xi﹣1＜xi（2≤i≤10），按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（　　）
A．极差变小 B．中位数不变
C．平均数变高 D．第75百分位数变小
【答案】ABD
【解答】解：原数据从小到大排序为：x1，x2，x3， ，x10，处理后数据从小到大排序为：x2，x3，x4， ，x9．
对于A，原数据极差：x10﹣x1，处理后数据极差：x9﹣x2，因为xi﹣1＜xi（2≤i≤10），
所以x10﹣x1＞x9﹣x2，A正确．
对于B，处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即，
原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即，
所以中位数不变，B正确．
对于C，原数据平均数：，处理后数据平均数：，
平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误．
对于D，原数据共10个，第75百分位数是第8个，即x8，
处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即，
因为x8＞x7，所以，第75百分位数变小，D正确．
故选：ABD．
十五．中位数（共3小题）
43．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【答案】D
【解答】解：由已知，样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为（1+2+2+2+3+5），极差为5﹣1＝4，中位数为2，
去掉1和5后的数据的平均数为，极差为3﹣2＝1，中位数为2，
故平均数和极差都发生变化，中位数不变，
由于去掉1和5后，数据的稳定性更高，故相比较于原数据，方差变小．
故选：D．
44．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】B
【解答】解：样本数据从小到大排列为：6，7，8，8，9，9，10，11，
则中位数为．
故选：B．
45．已知x＞0，若x，3x，x+2，x2的中位数为2，则x＝（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：因为x＞0，所以x＜3x，x＜x+2，
分别令x＝x2，3x＝x+2，3x＝x2，x+2＝x2，解得x＝1，2，3，
当x＞3时，x＜x+2＜3x＜x2，所以，解得（舍去）；
当2＜x≤3时，x＜x+2＜x2≤3x，所以，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当1＜x≤2时，x＜x2≤x+2＜3x，所以，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当0＜x≤1时，x2≤x＜3x≤x+2，所以，解得x＝1；
综上，x＝1．
故选：D．
十六．众数（共3小题）
46．小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）
A．N＜M＜P B．P＜N＜M C．M＜P＜N D．M＜N＜P
【答案】D
【解答】解：由统计图可得，每天花在健身运动上的时间为50分钟的天数最多，所以众数M＝50；
处在中间位置的两个数据为50，60，所以中位数；
平均数P，
所以M＜N＜P．
故选：D．
（多选）47．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（　　）
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第70百分位数为2025
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由数据知，极差为2026﹣2022＝4，对；
对于B：平均数为，则方差，错；
对于C：众数为2024，即与平均数相等，对；
对于D：已知这组数据从小到大排列为2022，2023，2024，2024，2025，2026，
由6×70%＝4.2，则数据的第70百分位数为2025，对．
故选：ACD．
48．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为　16　 ．
【答案】16．
【解答】解：由16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，
可得，出现次数最多的数为16，所以众数为16．
故答案为：16．
十七．标准差（共3小题）
49．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（　　）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
【答案】D
【解答】解：甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，
可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A不正确；
对于B，因为1.4＞0.4，可知乙队比甲队技术更稳定，故B不正确；
对于C，因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以乙队失球数更多，且乙队防守技术更稳定，即乙队很少不失球，故C不正确；
对于D，由B可知甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故D正确．
故选：D．
50．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
B．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【答案】B
【解答】解：对于A，E（X）＝1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.4+（2﹣2.5）2×0.1+（3﹣2.5）2×0.1+（4﹣2.5）2×0.4＝1.85，
所以，
对于B，E（X）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65，
所以，
对于C，E（X）＝1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.2＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.2+（2﹣2.5）2×0.3+（3﹣2.5）2×0.3+（4﹣2.5）2×0.2＝1.05，
所以，
对于D，E（X）＝1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.3+（2﹣2.5）2×0.2+（3﹣2.5）2×0.2+（4﹣2.5）2×0.3＝1.45，
所以，
综上对应样本的标准差最小的一组是B组．
故选：B．
51．甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的标准差为s2．根据上述信息，若s1＝s2，则a值可以为 　13或20（其中任意一个都可以）　 ．（写出一个符合题意答案即可）
【答案】13或20（其中任意一个都可以）．
【解答】解：根据题意，甲地7天内，最低气温依次为：10，14，16，15，11，13，12，
其平均数（10+14+16+15+11+13+12）＝13，
其方差（9+1+9+4+4+0+1）＝4，
乙地7天内，最低气温依次为：18，19，15，16，17，14，a，
其平均数（18+19+15+16+17+14+a），
其方差[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]，
若s1＝s2，即，
必有[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]＝4，
解可得a＝13或20．
故答案为：13或20（其中任意一个都可以）．
十八．方差（共3小题）
52．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【解答】解：由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是，
所以不发生变化的是平均数．
故选：A．
53．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（　　）
A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2
【答案】C
【解答】解：数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，
由方差、平均数的线性公式可知，2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数为2×4+3＝11，方差为22×2＝8．
故选：C．
54．设一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的标准差为（　　）
A．12 B． C．6 D．36
【答案】C
【解答】解：因为样本数据x1，x2， ，xn的方差为4，
所以数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为32×4＝36，
故标准差为．
故选：C．
十九．极差（共3小题）
55．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
（多选）56．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（　　）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5
D．该组数据的第70百分位数为26
【答案】ABD
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺排列得23，24，25，26，26，28，29，
则该组数据的极差为29﹣23＝6，故A正确；
该组数据的众数为26，故B正确；
该组数据的中位数为26，故C错误；
因为70%×7＝4.9，所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确．
故选：ABD．
57．为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 　9　 ℃．
【答案】9．
【解答】解：某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），
其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，
∴该地区这10天日平均气温的极差是38﹣29＝9℃．
故答案为：9．
二十．百分位数（共3小题）
58．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．14
【答案】A
【解答】解：从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23，共10个，
10×70%＝7，可得70百分位数为：，又中位数是7，
可得2×7，解得x＝10．
故选：A．
59．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10 B．13 C．13.5 D．14
【答案】D
【解答】解：某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），
分别为13，9，13，10，8，8，15，14，
将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15共8项数据，
∴n＝8×0.8＝6.4＜7，∴第80百分数为14．
故选：D．
（多选）60．已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（　　）
A．这组数据的极差是5
B．这组数据的中位数是4.5
C．这组数据的第80百分位数是5.5
D．这组数据的方差是4.25
【答案】BD
【解答】解：根据题意，把数据从小到大排序，可得1，1，3，4，5，5，6，7，共有8个数，
对于A，这组样本数据的极差为7﹣1＝6，故A错误；
对于B，根据数据中位数的定义，可得样本数据的中位数为，故B正确；
对于C，由8×80%＝6.4，所以样本数据的第80百分位数为数据的第7个数，
即第80百分位数为6，故C错误；
对于D，，
∴
，
∴这组数据的方差是4.25，故D正确．
故选：BD．专题02 统计与概率
一．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球
D．摸出的是2个白球、1个黑球
2．下列关于随机事件的说法错误的是（　　）
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
3．对于随机事件A，B有P（A），P（AB），P（A+B），P（B）＝　 　 ．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与B互斥
C．A与B相互独立 D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A．A B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
6．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
7．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
四．概率的应用（共3小题）
（多选）10．袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为
（多选）11．对于随机事件A，B，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子．则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 　 　 ．
五．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题）
13．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
14．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
六．抽签法简单随机抽样及其步骤（共3小题）
16．下列抽样中适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
17．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（　　）
A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，91
18．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（　　）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
七．求随机数法抽样的样本（共3小题）
19．总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．01 B．02 C．04 D．07
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
21．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，...500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为　 　 ．
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
八．分层随机抽样及其适用条件（共3小题）
22．某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（　　）
A．150人 B．200人 C．300人 D．500人
23．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
（多选）24．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是（　　）
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，②随机数法
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共3小题）
25．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
26．某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
27．某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．28
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共3小题）
28．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
（多选）29．在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（　　）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
30．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　 　 ．
十一．普查与抽样（共3小题）
31．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
32．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
（多选）33．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）
A．调查某市小学生每天的运动时间
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
十二．茎叶图（共3小题）
34．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（　　）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
35．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
36．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由．
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
十三．扇形统计图（共3小题）
37．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的80%分位数是19.2%
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
38．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
39．随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：100，95，85，85，80，80，80，80，75，70．
乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85，85，85，81，80．
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
车型 平均数 中位数 众数
甲 83 80 a
乙 83 b 85
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
十四．平均数（共3小题）
40．样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
41．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
（多选）42．在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3， ，x10满足xi﹣1＜xi（2≤i≤10），按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（　　）
A．极差变小 B．中位数不变
C．平均数变高 D．第75百分位数变小
十五．中位数（共3小题）
43．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
44．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
45．已知x＞0，若x，3x，x+2，x2的中位数为2，则x＝（　　）
A． B． C．2 D．1
十六．众数（共3小题）
46．小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）
A．N＜M＜P B．P＜N＜M C．M＜P＜N D．M＜N＜P
（多选）47．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（　　）
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第70百分位数为2025
48．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为　 　 ．
十七．标准差（共3小题）
49．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（　　）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
50．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
B．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
51．甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的标准差为s2．根据上述信息，若s1＝s2，则a值可以为 　 　 ．（写出一个符合题意答案即可）
十八．方差（共3小题）
52．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
53．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（　　）
A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2
54．设一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的标准差为（　　）
A．12 B． C．6 D．36
十九．极差（共3小题）
55．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
（多选）56．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（　　）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5
D．该组数据的第70百分位数为26
57．为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 　 　 ℃．
二十．百分位数（共3小题）
58．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．14
59．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10 B．13 C．13.5 D．14
（多选）60．已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（　　）
A．这组数据的极差是5
B．这组数据的中位数是4.5
C．这组数据的第80百分位数是5.5
D．这组数据的方差是4.25
专题02 统计与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共40小题）
题号 1 2 4 5 6 7 13 14 15 16 17
答案 C D C B D B D A D B D
题号 18 19 20 22 23 25 26 27 28 31 32
答案 B A B C A B B C D A A
题号 34 35 37 38 40 41 43 44 45 46 49
答案 C A C D D C D B D D D
题号 50 52 53 54 55 58 59
答案 B A C C A A D
二．多选题（共9小题）
题号 10 11 24 29 33 42 47 56 60
答案 ACD AC BCD BD AC ABD ACD ABD BD
一．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球
D．摸出的是2个白球、1个黑球
【答案】C
【解答】解：对于A，摸出的是3个白球是不可能事件，故A错误；
对于B，摸出的是3个黑球是随机事件，故B错误；
对于C，摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，故C正确；
对于D，摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件，故D错误．
故选：C．
2．下列关于随机事件的说法错误的是（　　）
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
【答案】D
【解答】解：因为P（ΩA）＝P（A），而P（Ω）P（A）＝1 P（A）＝P（A），
因此P（ΩA）＝P（Ω）P（A），故A正确，
P（ A）＝P（ ）＝0，而P（ ）P（A）＝0 P（A）＝0，
因此P（ A）＝P（ ）P（A），故B正确，
设P（A）＞0，P（B）＞0，若A与B互斥，则AB＝ ，P（AB）＝0，
但P（A）P（B）＞0，因此P（AB）≠P（A）P（B），故C正确，
若A与B独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，
因此AB≠ ，A与B一定不互斥，故D错误．
故选：D．
3．对于随机事件A，B有P（A），P（AB），P（A+B），P（B）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：随机事件A，B有P（A），P（AB），P（A+B），
又P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
则P（B）．
故答案为：．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共3小题）
4．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与B互斥
C．A与B相互独立 D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
【答案】C
【解答】解：抛掷一枚骰子的所有可能结果是：{1，2，3，4，5，6}，
事件A包含的结果是：{2，4，6}，
事件B包含的结果是：{5，6}．
∵A∪B没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），∴A与B不对立，故A错误；
∵A∩1B＝{6]≠ ，∴A与B不互斥，故B错误；
∵P（A），
∴A与B相互独立，故C正确；
，（B），
而P，故D错误．
故选：C．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A．A B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【解答】解：由题意可知，事件A为1，2，3，事件B为2，4，6，故A错误，B正确；
事件A，B可以同时发生，故CD错误．
故选：B．
6．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】D
【解答】解：根据题意，由A和C对立，可得P（A）+P（C）＝1，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝0.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．
故选：D．
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3小题）
7．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 ．
故选：B．
8．小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【答案】．
【解答】解：设他考试通过为事件A，他考试获得优秀为事件B，
事件A包含他能答对其中的5道题，答对其中的4道题，答对其中的3道题，
则P（A），
P（AB），
∴P（B|A）．
则他获得优秀成绩的概率为．
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【答案】（1）m＝1840，n＝0.46，p＝0.0018，q＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.036；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝4000×（0.046×10）＝1840，
n＝0.046×10＝0.46，
p＝0.018÷10＝0.0018，
q＝4000×0.006＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，
设上述6户为a，b，c，d．e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），
在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，
具体为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，f），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）}，
记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为A＝{（a，f），（b，f），（c，f），（d，f），（e，f）}，
所以．
四．概率的应用（共3小题）
（多选）10．袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A与事件B不相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，从6个球中不放回的随机抽取两个球，有15种情况，
若取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数，有12种情况，则P（A），
若取出的两个球的编号之和为偶数，即取出的两个球编号为两个偶数或两个奇数，有6种情况，则P（B），
事件AB，即取出两个球都是奇数，有3种情况，则P（AB），
依次分析选项：
对于A，P（A）P（B）≠P（AB），则事件A与事件B不相互独立，A正确；
对于B，事件A、B可以同时发生，则事件A与事件B不是互斥事件，B错误；
对于C，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率P（B|A），C正确；
对于D，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率P（A|B），D正确．
故选：ACD．
（多选）11．对于随机事件A，B，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选：AC．
12．现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子．则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，由于六件货物的质量之和为1+2+3+4+5+7＝22，不是3的倍数，
故不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况，
设事件A表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，B表示第一，二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量，
由对称性，可得P（B|A），
当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是{1，4）和（2，3），（1，5）和（2，4），（2，5）和（3，4），有三种可能，
故P（A），
当A不发生时，表示表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得P（B|），
故P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）（1）．
故答案为：．
五．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题）
13．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
14．现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：甲队每场获胜的概率为，甲队获得胜利的情况为2：0，2：1，
若比分为2：0，其概率为P，
若比分为2：1，其概率为P，
则甲队获得胜利的概率．
故选：A．
15．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲2：1获胜的概率为：；
第二类：甲2：0获胜的概率为：；
所以甲获胜的概率为．
故选：D．
六．抽签法简单随机抽样及其步骤（共3小题）
16．下列抽样中适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解答】解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选：B．
17．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为（　　）
A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，91
【答案】D
【解答】解：将题目中的8个数从小到大排列为：71，73，80，82，85，91，93，106，
中位数为第四、五两个数的平均数，等于，
又∵8×70%＝5.6，∴这组数据的70%分位数为第六个数，等于91．
∴这组数据的中位数与70%分位数分别为83.5，91．
故选：D．
18．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（　　）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解答】解：对于①②，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；
对于③④，由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．
故选：B．
七．求随机数法抽样的样本（共3小题）
19．总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．01 B．02 C．04 D．07
【答案】A
【解答】解：从第一行的第7列和第8列起由左向右依次选取两个数字，划去大于20的数，
得到的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01．
故选：A．
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
故选：B．
21．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，...500，假设从第1行第8列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为　047　 ．
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
【答案】047．
【解答】解：由题知，选取的同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047，
剔除重复数据，超过500的数据，
符合条件的是442，175，455，331，047，第五个是047．
故答案为：047．
八．分层随机抽样及其适用条件（共3小题）
22．某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（　　）
A．150人 B．200人 C．300人 D．500人
【答案】C
【解答】解：因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为；
学校有高中学生3000人，
所以高中生抽取了：人．
故选：C．
23．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
【答案】A
【解答】解：根据分层抽样原理知，，，
所以抽取男生40人，女生32人．
故选：A．
（多选）24．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
抽样方法不合理的是（　　）
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，②随机数法
【答案】BCD
【解答】解：①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．
故选：BCD．
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共3小题）
25．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：由题意，样本中高二学生的人数为3010．
故选：B．
26．某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解答】解：设应抽取的女生人数是x，
因为共有1200名学生，其中男生700名，
所以，计算得x＝30．
故选：B．
27．某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．28
【答案】C
【解答】解：设男同学应抽取的人数为n，
因为有360名男同学和270名女同学，
可得，解得n＝16．
故选：C．
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共3小题）
28．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
【答案】D
【解答】解：由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选：D．
（多选）29．在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（　　）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
【答案】BD
【解答】解：由题意可知，男职员比例为，女职员比例为，
所以总样本的平均数为50，
考虑极端情况，若男职员锻炼时间均为56，女职员锻炼时间均为42，
此时男职员的方差为0，女职员的方差为0，
所以总样本的方差为48，
实际上若男、女职员锻炼时间存在波动（即层内方差不为0），总方差必然大于48，
所以总样本的方差不小于48．
故选：BD．
30．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　1.92　 ．
【答案】1.92．
【解答】解：采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，
总体样本均值为7.4，
则总体方差为{800×[2.1+（7.7﹣7.4）2]+600×[1.4+（7.4﹣7）2]}＝1.92．
故答案为：1.92．
十一．普查与抽样（共3小题）
31．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
32．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解答】解：全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查；
对于D，查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．调查数目较多，不适合全面调查．
故选：A．
（多选）33．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）
A．调查某市小学生每天的运动时间
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C．农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
【答案】AC
【解答】解：选项A和C适合采用抽样调查，
因为选项B和D中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式．
故选：AC．
十二．茎叶图（共3小题）
34．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（　　）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【答案】C
【解答】解：根据题意，在这5天中，甲加工零件数为18、19、23、27、28，
乙加工零件数为17、19、21、23、25，
依次分析选项：
对于A，在这5天中，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差25﹣17＝8，A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为（18+19+23+27+28）＝23，乙加工零件数的平均数为（17+19+21+23+25）＝21，C正确；
对于，甲加工零件数的方差为（25+16+0+16+25），乙加工零件数的方差为（16+4+0+4+16）＝8，D错误．
故选：C．
35．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
【答案】A
【解答】解：选项A，甲组学生身高的极差为182﹣157＝25，乙组学生身高的极差为182﹣159＝23，
则两组学生身高的极差不相等，A正确；
选项B，甲组学生身高的平均值为169.2，
乙组学生身高的平均值为171，
则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误；
选项C，甲组学生身高的中位数为168，
乙组学生身高的中位数为178.5，
甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C错误；
选项D，甲组学生身高在175cm以上的有3人，
乙组学生身高在175cm以上的有4人，
甲组学生身高在175cm以上的人数较少，D错误．
故选：A．
36．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由．
（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
【答案】（1）甲．
（2）．
【解答】解：（1）由茎叶图可得，甲城市的中位数为61，乙城市的中位数为79，
且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上，
所以甲城市空气质量总体较好．
（2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天，乙城市空气质量类别为优或良的有5天，
所以甲城市空气质量类别优或良的概率为，乙城市空气质量类别优或良的概率为，
所以甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．
十三．扇形统计图（共3小题）
37．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的80%分位数是19.2%
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
【答案】C
【解答】解：截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，
对于A，注册资本不高于200万元的企业数量占比为12.4%+11.1%＝23.5%，，故A正确；
对于B，注册资本在1000万元以上的企业数量为1782×43.2%≈770，770＞750，故B正确；
对于C，80%×5＝4，故80%分位数为19.2%与43.2%的平均数，故C错误；
对于D，从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，
则该企业注册资本在200万元—500万元的概率为，0.5595＞0.55，故D正确．
故选：C．
38．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【解答】解：由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×（45%﹣30%）＝30，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
39．随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：100，95，85，85，80，80，80，80，75，70．
乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85，85，85，81，80．
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
车型 平均数 中位数 众数
甲 83 80 a
乙 83 b 85
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 　80　 ，b＝ 　82.5　 ，m＝ 　30　 ；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该4S店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
【答案】（1）80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析；
（3）200人．
【解答】解（1）由题意可知，从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，
即a＝80，
乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占20%，B组占50%，C组占1﹣20%﹣50%＝30%，
所以m＝30，
所以A组有两个最大的数据，B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，
所以中位数为，
即b＝82.5，
故答案为：80，82.5，30；
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：
甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，
所以乙款的满意度更好；
（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为20%，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为20%，
所以满足题意的总人数为：400×20%+600×20%＝200（人）．
十四．平均数（共3小题）
40．样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解答】解：由题意，样本数据中的最低分6，
去掉6，剩余数据的平均数为．
故选：D．
41．已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
【答案】C
【解答】解：已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为，
若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差为，
即，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝7x8，则，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的平均数是x8，
又
，，
与的分子相同，比较分母，可知．
故选：C．
（多选）42．在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据x1，x2，x3， ，x10满足xi﹣1＜xi（2≤i≤10），按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（　　）
A．极差变小 B．中位数不变
C．平均数变高 D．第75百分位数变小
【答案】ABD
【解答】解：原数据从小到大排序为：x1，x2，x3， ，x10，处理后数据从小到大排序为：x2，x3，x4， ，x9．
对于A，原数据极差：x10﹣x1，处理后数据极差：x9﹣x2，因为xi﹣1＜xi（2≤i≤10），
所以x10﹣x1＞x9﹣x2，A正确．
对于B，处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即，
原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即，
所以中位数不变，B正确．
对于C，原数据平均数：，处理后数据平均数：，
平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误．
对于D，原数据共10个，第75百分位数是第8个，即x8，
处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即，
因为x8＞x7，所以，第75百分位数变小，D正确．
故选：ABD．
十五．中位数（共3小题）
43．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【答案】D
【解答】解：由已知，样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为（1+2+2+2+3+5），极差为5﹣1＝4，中位数为2，
去掉1和5后的数据的平均数为，极差为3﹣2＝1，中位数为2，
故平均数和极差都发生变化，中位数不变，
由于去掉1和5后，数据的稳定性更高，故相比较于原数据，方差变小．
故选：D．
44．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】B
【解答】解：样本数据从小到大排列为：6，7，8，8，9，9，10，11，
则中位数为．
故选：B．
45．已知x＞0，若x，3x，x+2，x2的中位数为2，则x＝（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：因为x＞0，所以x＜3x，x＜x+2，
分别令x＝x2，3x＝x+2，3x＝x2，x+2＝x2，解得x＝1，2，3，
当x＞3时，x＜x+2＜3x＜x2，所以，解得（舍去）；
当2＜x≤3时，x＜x+2＜x2≤3x，所以，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当1＜x≤2时，x＜x2≤x+2＜3x，所以，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣2（舍去）；
当0＜x≤1时，x2≤x＜3x≤x+2，所以，解得x＝1；
综上，x＝1．
故选：D．
十六．众数（共3小题）
46．小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）
A．N＜M＜P B．P＜N＜M C．M＜P＜N D．M＜N＜P
【答案】D
【解答】解：由统计图可得，每天花在健身运动上的时间为50分钟的天数最多，所以众数M＝50；
处在中间位置的两个数据为50，60，所以中位数；
平均数P，
所以M＜N＜P．
故选：D．
（多选）47．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（　　）
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第70百分位数为2025
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由数据知，极差为2026﹣2022＝4，对；
对于B：平均数为，则方差，错；
对于C：众数为2024，即与平均数相等，对；
对于D：已知这组数据从小到大排列为2022，2023，2024，2024，2025，2026，
由6×70%＝4.2，则数据的第70百分位数为2025，对．
故选：ACD．
48．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为　16　 ．
【答案】16．
【解答】解：由16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，
可得，出现次数最多的数为16，所以众数为16．
故答案为：16．
十七．标准差（共3小题）
49．在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（　　）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
【答案】D
【解答】解：甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，
可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A不正确；
对于B，因为1.4＞0.4，可知乙队比甲队技术更稳定，故B不正确；
对于C，因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以乙队失球数更多，且乙队防守技术更稳定，即乙队很少不失球，故C不正确；
对于D，由B可知甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故D正确．
故选：D．
50．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
B．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【答案】B
【解答】解：对于A，E（X）＝1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.4+（2﹣2.5）2×0.1+（3﹣2.5）2×0.1+（4﹣2.5）2×0.4＝1.85，
所以，
对于B，E（X）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65，
所以，
对于C，E（X）＝1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.2＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.2+（2﹣2.5）2×0.3+（3﹣2.5）2×0.3+（4﹣2.5）2×0.2＝1.05，
所以，
对于D，E（X）＝1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3＝2.5，
D（X）＝（1﹣2.5）2×0.3+（2﹣2.5）2×0.2+（3﹣2.5）2×0.2+（4﹣2.5）2×0.3＝1.45，
所以，
综上对应样本的标准差最小的一组是B组．
故选：B．
51．甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1；记这7天乙地每天最低气温的标准差为s2．根据上述信息，若s1＝s2，则a值可以为 　13或20（其中任意一个都可以）　 ．（写出一个符合题意答案即可）
【答案】13或20（其中任意一个都可以）．
【解答】解：根据题意，甲地7天内，最低气温依次为：10，14，16，15，11，13，12，
其平均数（10+14+16+15+11+13+12）＝13，
其方差（9+1+9+4+4+0+1）＝4，
乙地7天内，最低气温依次为：18，19，15，16，17，14，a，
其平均数（18+19+15+16+17+14+a），
其方差[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]，
若s1＝s2，即，
必有[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]＝4，
解可得a＝13或20．
故答案为：13或20（其中任意一个都可以）．
十八．方差（共3小题）
52．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【解答】解：由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是，
所以不发生变化的是平均数．
故选：A．
53．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（　　）
A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2
【答案】C
【解答】解：数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，
由方差、平均数的线性公式可知，2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数为2×4+3＝11，方差为22×2＝8．
故选：C．
54．设一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的标准差为（　　）
A．12 B． C．6 D．36
【答案】C
【解答】解：因为样本数据x1，x2， ，xn的方差为4，
所以数据3x1+1，3x2+1， ，3xn+1的方差为32×4＝36，
故标准差为．
故选：C．
十九．极差（共3小题）
55．已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
（多选）56．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（　　）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25.5
D．该组数据的第70百分位数为26
【答案】ABD
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺排列得23，24，25，26，26，28，29，
则该组数据的极差为29﹣23＝6，故A正确；
该组数据的众数为26，故B正确；
该组数据的中位数为26，故C错误；
因为70%×7＝4.9，所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确．
故选：ABD．
57．为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是 　9　 ℃．
【答案】9．
【解答】解：某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），
其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，
∴该地区这10天日平均气温的极差是38﹣29＝9℃．
故答案为：9．
二十．百分位数（共3小题）
58．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．14
【答案】A
【解答】解：从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23，共10个，
10×70%＝7，可得70百分位数为：，又中位数是7，
可得2×7，解得x＝10．
故选：A．
59．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10 B．13 C．13.5 D．14
【答案】D
【解答】解：某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），
分别为13，9，13，10，8，8，15，14，
将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15共8项数据，
∴n＝8×0.8＝6.4＜7，∴第80百分数为14．
故选：D．
（多选）60．已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（　　）
A．这组数据的极差是5
B．这组数据的中位数是4.5
C．这组数据的第80百分位数是5.5
D．这组数据的方差是4.25
【答案】BD
【解答】解：根据题意，把数据从小到大排序，可得1，1，3，4，5，5，6，7，共有8个数，
对于A，这组样本数据的极差为7﹣1＝6，故A错误；
对于B，根据数据中位数的定义，可得样本数据的中位数为，故B正确；
对于C，由8×80%＝6.4，所以样本数据的第80百分位数为数据的第7个数，
即第80百分位数为6，故C错误；
对于D，，
∴
，
∴这组数据的方差是4.25，故D正确．
故选：BD．
第1页（共1页）

展开更多......

收起↑